1. Multiplicadores de Lagrange.- Se pueden utilizar estos multiplicadores para resolver problemas no lineales. Consideremos los del tipo siguiente: max(o min) z=f(x1,x2,…,xn) con las siguientes restricciones como igualdades g1( x1,x2….,xn)=b1 g2( x1,x2….,xn)=b2 gm( x1,x2….,xn)=bm Para resolverlo asociamos un multiplicador li con cada restricción y formamos el lagrangiano L(x1,x2,…xn,l1,l2,….lm)=f(x1,x2….,xn)+sumatoria li[bi-gi(x1,x2….,xn)] Donde li son constantes desconocidas denominadas multiplicadores de Lagrange. Despues resuélvase el sistema de n+m ecuaciones: dL/dxj=0 (j=1,2,….,n) dL/dlj=0 (j=1,2,….,m) Se tiene el programa no lineal siguiente: max z = -2x^2-y^2+xy+8x+3y s.a. 3x+y=10 Entonces L(x,y,l)=-2x^2-y^2+xy+8x+3y+l(10-3x-y) Hacemos dL/dx=dL/dy=dL/dl=0 Esto da dL/dx=-4x+y+8-3l=0 dL/dy=-2y+x+3-l=0 dL/dl=10-3x-y=0
2. De la solución de este sistema salen los siguientes valores: x=71/14 y=73/14 z=-33/14 Se aclara que no siendo un proceso de simplex las variables pueden ser positivas o negativas.
3. Veamos este otro ejercicio: 0,25x1+0,4x2<=500 0,75x1+0,6x2<=1200 z=250x1+(600-x2)x2 Maximizar 0,25x1+0,4x2+x3^2=500 0,75x1+0,6x2+x4^2=1200 Variable floja al cuadrado para que sea + x1>=0 x1-x5^2=0 x2>=0 x2-x6^2=0 L=250x1+600x2-x2^2+l1(500-0,25x1-0,4x2-x3^2)+l2(1200-0,75x1-0,6x2-x4^2)+ +l3(-x1+x5^2)+l4(-x2+x6^2) dL/dx1=250-0,25l1-0,75l2-l3 dL/dx2=600-2x2-0,4l1-0,6l2+2l3x5-l4 dL/dx3=-2l1x3 dL/dx4=-2l2x4 dL/dx5=2l3x5 dL/dx6=2l4x6 dL/l1=500-0,25x1-0,4x2-x3^2 dL/l2=1200-0,75x1-0,6x2-x4^2 dL/l3=-x1+x5^2 dL/l4=-x2+x6^2
4. Haciendo estas derivadas iguales a cero y si se puede resolver el sistema se llegará a la solución buscada.
5. Técnicas de gradiente.- Consideremos el maximizar la función f(x1,x2)=4x1+6x2-2x1^2-2x1x2-2x2^2 A esta es una función cuadrática cuyo óptimo absoluto ocurre en (x1,x2)=(1/3,4/3). Tomemos como punto inicial xA=(1,1). Ahora calculamos el gradiente Delta f(x)=(4-4x1-2x2,6-2x1-4x2) Primera iteración.- Para el punto que se elige inicialmente xA=(1,1) el gradiente da Delta f(xA)=(-2,0) El punto siguiente xB se obtiene considerando xB=(1,1)+r(-2,0)=(1-2r,1) Por consiguiente aplicando esta x en la primera ecuación A tenemos 4(1-2r)+6-2(1-2r)^2-2(1-2r).1-2 y el valor máximo de esta función se halla para r=1/4 y entonces xB=(1/2,1). Para este valor Delta f(x)xB=(0,1) y xC=(1/2,1)+r(0,1)=(1/2,1+r) aplicando este valor en la primera ecuación tenemos 4(1/2)+6(1+r)-2(1/2)^2-2(1/2)(1+r)-2(1+r)^2 y el valor máximo de esta ecuación se halla para r=1/4 y así continuando llega el punto xC=(1/2,5/4) para luego seguir con el procedimiento
![Multiplicadores de Lagrange.- Se pueden utilizar estos multiplicadores para resolver problemas no lineales. Consideremos los del tipo siguiente: max(o min) z=f(x1,x2,…,xn) con las siguientes restricciones como igualdades g1( x1,x2….,xn)=b1 g2( x1,x2….,xn)=b2 gm( x1,x2….,xn)=bm Para resolverlo asociamos un multiplicador li con cada restricción y formamos el lagrangiano L(x1,x2,…xn,l1,l2,….lm)=f(x1,x2….,xn)+sumatoria li[bi-gi(x1,x2….,xn)] Donde li son constantes desconocidas denominadas multiplicadores de Lagrange. Despues resuélvase el sistema de n+m ecuaciones: dL/dxj=0 (j=1,2,….,n) dL/dlj=0 (j=1,2,….,m) Se tiene el programa no lineal siguiente: max z = -2x^2-y^2+xy+8x+3y s.a. 3x+y=10 Entonces L(x,y,l)=-2x^2-y^2+xy+8x+3y+l(10-3x-y) Hacemos dL/dx=dL/dy=dL/dl=0 Esto da dL/dx=-4x+y+8-3l=0 dL/dy=-2y+x+3-l=0 dL/dl=10-3x-y=0](https://image.slidesharecdn.com/multiplicadoresdelagrange-100630214025-phpapp01/85/Multiplicadores-de-lagrange-1-320.jpg)
