1. ÈÖÓ Ð ØÝ Ø Ó Ì ÖÓÛ×
× ÖÓ
ÌÓ× Ì ×
¾¼½¿»½½»¿¼
×ØÖ
Ø
ÇÒ
Ò×Ø Ò Ò× ×Ø Ø Ó
ÒÒÓØ Ù×
Ò×Ø ÓÖÒ³× ÒØ Ö¹
ÔÖ Ø Ø ÓÒ Ø Ø Û
Ò ÒÓÛ Û Ö Ô ÖØ
Ð × ÐÓÛ ÔÖÓ Ð ØÝ × ×ÕÙ Ö Ó
×ÓÐÙØ Ú ÐÙ Ó Û Ú ÙÒ
Ø ÓÒº ÁØ Û ×
ÖÙ
Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÛ Ò Ô ×Ø ¹
ÑÓÐÓ Ý Ò ÓÒØÓÐÓ Ý¸ Ø ÖÑ Ò ×Ñ Ò ÒÓÒ¹ Ø ÖÑ Ò ×Ñ Ò ¾¼Ø
ÒØÙÖݺ
Ì × Ø × × × Ø Ö Ñ Ò ××٠׺ Ö×Ø Á Ò ÔÖÓ Ð ØÝ × Ò ÓÖ¹
Ñ Ø ÓÒ Û
Ò Ø ÖÓÑ Ú Òظ ÜÔ Ò Ò ÔÖÓ Ð ØÝ ØÓ
ÓÑÔÐ Ü ÔÖÓ ¹
Ð Øݺ Ë
ÓÒ Á Ò Ë ÒÒÓÒ³× Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù× Ò
ÓÑÔÐ Ü ÔÖÓ Ð Øݸ
Ø Ò × ÓÛ ÓÖÒ³× Ñ Ø Ñ Ø
Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ñ Ò× Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ò ÓÖÑ ¹
Ø ÓÒ Ú ÐÙ º Ì Ö Á Ò Ô Ý×
Ð Ñ Ò Ò Ó
ÓÑÔÐ Ü ÔÖÓ Ð Øݸ Ø Ò
ÔÖÓÚ Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ó Ø ÖÓÛ×
× Þ ÖÓº
× Ö ×ÙÐظ Ø × Ø × ×
Ò ÔÖÓÚ ÓØ Ò×Ø Ò Ò ÓÖÒ Ö
ÓÖÖ
غ
ÓÖÒ × ÓÛ× Û Ú ÙÒ
Ø ÓÒ Ñ Ò× Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û
Ò ÜØÖ
Ø ÖÓѺ Ò ÐÐÝ
Û ÒÓÛ Û Ø Ö Ø Ó Ø ÖÓÛ×
Ö Ñ Ò× × ÑÝ×Ø Öݸ
Ù× ÒÓ
ÓÒ Ó × ÒÓØ ÒÓÛ Ø ÒÙÑ Ö× Ó Ò ØÙÖ Ð
Ý Øº
½ Ò Ø ÓÒ Ó
ÓÑÔÐ Ü ÔÖÓ Ð ØÝ Ò Ò ÓÖÑ ¹
Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ
Ô´ µ はその場に起こること、すなわち事象 が起きる確率を表す。情報量 ´ µ
は事象、すなわち情報源 が起きたとき次のように表される。
´ µ ÐÓ Ô´ µ
情報源が既知の場合、確率 Ô´ µ は ¼ Ô´ µ ½ という値をとる。 ´ µ を顕在
情報量 ÜÔÐ
Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ という。既知の情報源から引き出せる情報量をいう。
情報源が未発見の場合、確率 Ô´ µ は ½ Ô´ µ ¼ という値をとる。このと
き情報量 È ´ µ は情報源が未発見であるから、「知りうる情報」となる。これを潜
在情報量 ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ という。
潜在情報量 È ´ µ もまた次のように表される。
È ´ µ ÐÓ Ô´ µ
たとえば Ô´ µ ½ のとき È ´ µ は、
È ´ µ ÐÓ ´ ½µ
½
2. となる。この ÐÓ ´ ½µ を擬数 Ô× Ù Ó ÒÙÑ Ö と呼び、記号 Ô で表す。
Ô ÐÓ ´ ½µ
したがって、先の È ´ µ は次のようになる。
È ´ µ Ô
また、Ô´ µ ½
¾ のとき È ´ µ は、
È ´ µ ÐÓ ´ ½
¾
µ ÐÓ ´ ½µ ÐÓ ´
½
¾
µ Ô · ÐÓ ¾ ½ Ô
となる。
ここで一般情報量 ÙÒ Ú Ö× Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ なる量を導入する。
一般情報量 Í´ µ は ´ µ È ´ µ 知識 ÒÓÛРô µ によって次の式により表
せる。
Í´ µ ´ µ · È ´ µ · ô µ
なお知識 ô µ は ½ Ô´ µ ½ において定義される。負数まで拡張した確率
を複素確率
ÓÑÔÐ Ü ÔÖÓ Ð ØÝ という。
情報理論においては、 ´ µ は減少した不確かさ、È ´ µ は未知の不確かさ、ô µ
は増大した不確かさを表す。各情報量は次の式となる。
´ µ È ´ µ ÐÓ Ô´ µ
ô µ ÐÓ ´ ½
Ô´ µ
µ ÐÓ ´ ½µ · ÐÓ ´
½
Ô´ µ
µ Ô ÐÓ Ô´ µ
たとえば、Ô´ µ ½ のとき Í´ µ は、
Í´ µ È ´ µ · ô µ Ô · ´Ô Ôµ Ô È ´ µ
したがって ô µ ¼ であることがわかる。同様に、Ô´ µ ½
¾ のとき Í´ µ
は、
Í´ µ È ´ µ · ô µ ½ Ô · ´Ô · ´½ Ôµµ ¾ Ô ½ · È ´ µ
となり、ô µ ½ であることがわかる。Ô´ µ ¼ のときは、
Í´ µ ´ µ · È ´ µ · ô µ ÐÓ ¼ · ´ ÐÓ ¼µ · ´Ô ÐÓ ¼µ Ô ´ ÐÓ ¼ ¼ µ
Ô´ µ
½
¾ のときは、
Í´ µ ´ µ · ô µ ÐÓ ¾ · ´Ô · ÐÓ ¾µ ¾ · Ô
Ô´ µ ½ のとき、
Í´ µ ´ µ · ô µ ¼ · ´Ô · ¼µ Ô
となり、Ô´ µ ¼ の場合も Ô´ µ ½ の場合も Í´ µ は同じ値をとる。ただし、
複素的に同じである。
¾
3. ¾ Ò Ø ÓÒ Ó Ô Ý×
Ð Ñ Ò Ò Ó
ÓÑÔÐ Ü ÔÖÓ ¹
Ð ØÝ
複素確率 Ô´ µ には次の意味がある。
Ô´ µ ½ ´ÙÒ Ú Ö× Ð ØÖÙØ µ Ï ÒÓÛ Ø Ú ÒØ Ó
ÙÖ× Û Ø ÓÙØ ÒÝ
Ó × ÖÚ Ø ÓÒº
Ô´ µ
½
¾ ´Ñ ×ÙÖ Ñ Òص Ï Ó × ÖÚ Ø Ú ÒØ Ó
ÙÖ׺
Ô´ µ ¼ ´ÑÝ×Ø Öݵ Ï ÒÓÛ Ø Ú ÒØ Ó × ÒÓØ Ó
ÙÖ× Û Ø ÓÙØ
ÒÝ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ¸ ×Ó Û
ÒÒÓØ ÒÓÛ Ø Ú ÒØ Ó
ÙÖ× Û Ø ÒÝ
Ó × ÖÚ Ø ÓÒº
Ô´ µ ½
¾ ´ ×
ÓÚ Öݵ Ï ÒÓÛ Ø Ú ÒØ
Ò Ó
ÙÖ Û Ø ×ÓÑ
Ó × ÖÚ Ø ÓÒº
Ô´ µ ½ ´ÔÖ
Ø ÓÒµ Ï
Ò ÒÓÛ Ø Ú ÒØ
Ò Ó
ÙÖ Û Ø ÓÙØ
Ó × ÖÚ Ø ÓÒº
ボルンの解釈によれば、ある状態 において物理量 の測定をしたとき、
その測定値 の確率分布 È ´ µ は、
È ´ µ ´ µ
¾
´ µ とは測定することにより波動関数 ´ µ から引き出せた複素情報量の絶
対値を表す。È ´ µ は複素情報量を実数化した値の分布である。
神がサイコロを振るわけではなく、知的な観測者がサイコロ遊びをしている
だけである。
¿ Ï Ø Ö Ø Ó Ø ÖÓÛ×
Ö Ñ Ò× ×
ÑÝ×Ø ÖÝ
ただ、神がほんとうにサイコロを振らないかどうかは知られない。例として、
ゼータ関数の零点の虚部の分布について考える。
ゼータ関数の非自明な零点 ´×µ ¼ は次の式で与えられる。
×
½
¾
· Ô
Ô ÐÓ ´ ½µ ´¾ · ½µ であるから、
Ô
¾
½
¾
ここで差分方程式 Ò Ò·½ Ò を考える。
Ò Ò·½ Ò
ÔÒ·½
¾
½
¾
´
ÔÒ
¾
½
¾
µ
ÔÒ·½ ÔÒ
¾
このとき、
¿
4. Ò
´¿µ
Û Ö ½ ¾ ¿
の値が複数あることは、観測者がサイコロを振ることを表す。しかし、整数
の目 として近似した場合の出目順に規則性をみることも、出目の分布がどんな
種類の分布となっているか調べることもまだ達せられていない。
ゼータ関数の零点の虚部の分布をみると、観測者は非整数値でできたサイコ
ロをすでに振っている。この非整数値のサイコロを自然采 Ò ØÙÖ Ð
と呼ぶ。
神はサイコロを振らない。神がサイコロを振る確率はゼロであるが、観測者
によってすでに自然采は振られており、自然采の目はよく知られている。本論文
における自然采の目 Ò は粗視的なものである。だが、観測者はより精密な采を
好む。
Ê Ö Ò
×
½℄ ÄÙ
Ò À Ö Ý¸ È Ý×
Ð Ê Ú Û Ä ØØ Ö׸ ÎÓк ¸ ÆÓº ¾¼¸ ¾ ½¹¾ ´½ ¾µº
¾℄ Û Ö Æ Ð×ÓÒ¸ È Ý×
Ð Ê Ú Û¸ ½ ¼¸ ½¼ ¹½¼ ´½ µº
¿℄ Ö Ö ÒÓÚ Ø Ðº¸ È Ý×
Ð Ê Ú Û Ä ØØ Ö׸ ÎÓк ¼¸ ÆÓº ½ ¸ ½¿ ½¹½¿
´½ µº
℄ Ä Ò ÓÒØ Ò Ò
ݺ à Ò
ÖÓ ÅÓ º Ë Ò
Ó× ´¾¼½¼µº
℄ Ú Ö ÓÙÖ ÓÒ¸ ÓÒÐ Ò ´¾¼¼ µº
℄ Å Ó ËÙ Ó ¸ ÓÒÐ Ò ØØÔ »»ÛÛÛ º ÐÓ ºÒ º Ô» ×Ù Ñ»Ô ¼¾½º ØÑ
´¾¼½¿µº
