Dokumen tersebut membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat, termasuk pengertian, bentuk umum, cara menentukan akar dan diskriminan, serta jenis akar persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

1. Oleh :
1. Deni Kurniawan R (NPM : 220110731010)
2. Julianti Anggraeni (NPM : 220110731001)
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
LINIER DAN KUADRAT
PROGRAM MAGISTER
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS APRIL SUMEDANG

2. Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Pengertian Persamaan Kuadrat
Persamaan Kuadrat didefinisikan sebagai suatu pernyataan hubungan dua hal yang
memiliki nilai sama dan disimbolkan dengan simbol sama-dengan (=) serta
memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah 2.
Bentuk Umum persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum, yaitu: ax² + bx + c = 0
Keterangan:
 a,b dan c adalah bilangan riil dan a ≠ 0
 a adalah koefisian dari x2
 b adalah koefisien dari x
 c adalah konstanta
 x adalah variabel

3. Misal: 𝑥2
- x – 6 = 0
Jika dalam bentuk a𝑥2
+ bx + c = 0, maka 𝑥2
- x – 6 = 0 berarti 1 adalah koefisien dari, 𝑥2
-1 koefisien dari x,
dan -6 adalah konstanta.
Contoh lain:
𝑥2
- 4 = 0. nilai a = 1, b = 0, c = -4
𝑥2
+ 4x = 0. nilai a = 1, b = 4, c = 0
𝑥2
- 4x + 2 = 0. nilai a = 1, b = -4, c = 2
3𝑥2
+ 4x = 0. nilai a = 3, b = 4, c = 0
2𝑥2
-x + 2 = 0. nilai a = 2, b = -1, c = 2
Ada beberapa macam nama terhadap beberapa bentuk persamaan kuadrat, sebagai berikut:
Jika a = 1 maka persamaan menjadi ax² + bx + c = 0. Persamaan kuadrat dengan bentuk ini
dinamakan persamaan kuadrat biasa.
Jika b = 0 maka persamaan menjadi ax² + c = 0. Persamaan kuadrat dengan bentuk ini dinamakan persamaan
kuadrat sempurna.
Jika c = 0 maka persamaan menjadi ax² + bx = 0. Persamaan kuadrat dengan bentuk ini dinamakan persamaan
kuadrat tak lengkap.
Jika nilai a, b, dan c merupakan bilangan real, maka ax² + bx + c = 0 disebut sebagai persamaan kuadrat real.
Jika nilai a, b, dan c merupakan bilangan rasional, maka ax² + bx + c = 0 disebut sebagai persamaan kuadrat
rasional.

4. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat
Cara mudah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menentukan solusi atau pengganti variabel yang
berupa nilai, sehingga persamaan tersebut bernilai benar.
Nilai-nilai yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat yang
dikenal dengan akar persamaan kuadrat.
Ada beberapa cara dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan kuadrat sempurna (diubah bentuk menjadi kuadrat sempurna)
3. Menggunakan rumus kuadrat
4. Menggambarkan grafik fungsi f(x) = ax² + bx + c
Pada pembahasan kali ini akan dibahas mengenai 3 dari 4 cara di atas, yaitu cara memfaktorkan, cara
melengkapkan kuadrat sempurna, dan cara menggunakan rumus kuadrat.
1. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan
Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat kita dapat menggunakan cara pemfaktoran. Cara ini
memanfaatkan salah satu sifat yang berlaku dalam bilangan real. Sifat itu dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika a, b, ϵ R (a dan b anggota himpunan bilangan real) dan berlaku a × b = 0. Maka nilai a = 0 atau nilai b = 0.
Dengan catatan sebagai berikut:
1. Jika dimaknai nilai a = 0 dan nilai b ≠ 0
2. Jika dimaknai nilai b = 0 dan nilai a ≠ 0
3. Jika dimaknai nilai a = 0 dan nilai b = 0

5. Contoh soal dan pembahasan:
x² - 7x + 10 = 0
Jawab:
x² - 3x - 10 = 0
Kita ubah bentuk persamaan di atas, menjadi :
(x - 5) (x + 2) = 0
Kita bisa menganggap bahwa (x - 5) = a dan (x + 2) = b pada sifat perkalian bilangan real. Sehingga menghasilkan
nilai:
(x - 5) = 0 atau (x + 2) = 0
x = 5 atau x = -2
Jadi, Penyelesaian atau akar-akarnya adalah 𝑥1 = 5 dan 𝑥2= -2. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan
dengan, HP {5, -2}.

6. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna
(diubah bentuk menjadi kuadrat sempurna)
Dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat melalui cara melengakapkan kuadrat sempurna dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
a) Mengubah persamaan kudrat semula menjadi bentuk berikut:
(x + p)² = q dengan syarat q ≥ 0.
b.) Menentukan akar – akar persamaan kuadrat
(x + p) = ±√q
x = ±√q - p
Contoh soal dan pembahasan:
x² - 4x -2 = 0
Jawab:
x² - 4x -2 + 4 - 4 = 0
(x² - 4x + 4) -2 - 4 = 0
(x - 2)² - 6 = 0
(x - 2)² = 6
(x - 2) = ±√6
(x - 2) = √6 atau (x - 2) = -√6
x = 2 + √6 atau x = 2 - √6
Jadi, akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat di atas adalah x1 = 2 + √6 dan x2 = 2 - √6
. Ditulis HP = {2 + √6, 2 - √6).

7. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara rumus kuadrat abc
Misalkan, a, b, dan c merupakan bilangan real dan a ≠ 0. Maka, akar-akar persamaan
kuadrat ax² + bx + c = 0 ditentukan oleh:
Contoh soal dan pembahasan:
x² - 6x + 8 = 0
Jawab:
Dengan koefisien sebagai berikut:
a = 1, b = -6, c = 8 Jadi, akar-akarnya adalah
𝑥1 = 2 atau 𝑥2= 4

8. Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis - jenis akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan nilai diskriminan D = b² - 4ac
1. Jika nilai diskriminan lebih besar dari 0, D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang
berlainan.
a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.
b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irrasional.
2. Jika D = 0 maka akar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar) real dan rasional.
3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner).
Contoh:
2x² - 5x + 2 = 0
Jawab:
2x² - 5x + 2 = 0
Dengan koefisien sebagai berikut:
a = 2, b = -5, c = 2
Maka nilai diskriminannya adalah:
D = b² - 4ac
D = (-5)² - 4(2)(2)
D = 25 - 16
D = 9
Karena nilai D > 0 dan D = 9 = 3² berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 2x² - 5x + 2 = 0
mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional.

9. Jumlah dan Hasil Kali Akar - Akar Persamaan Kuadrat
Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenari cara menentukan akar - akar persamaan
kuadrat. Sedangkan pada pembahasan sub-bab ini akan menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar
persamaan kuadrat.
Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki akar-akar penyelesaian x1 dan x2.
X1 + X2= - b/a
Jadi, rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah x1 + x2 = - b/a

10. Rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah:
Jadi, rumus hasil kali persamaan akar-akar kuadrat adalah
X1 . X2= c/a

11. Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan Kuadrat didefinisikan sebagai suatu pernyataan hubungan dua hal yang dihubungkan dengan simbol pertidaksamaan
(>, <, ≤, ≥) serta memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.
Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat
a 𝑥2
+ bx + c > 0
a𝑥2
+ bx + c < 0
a𝑥2
+ bx + c ≤ 0
a𝑥2
+ bx + c ≥ 0
Dengan catatan:
a ≠ 0 dan a, b, c ϵ R
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita dapat menggunakan cara yang digunakan pada persamaan kuadrat
yang telah kita bahas di atas.
Ada beberapa cara dalam menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat, yaitu:
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan kuadrat sempurna (diubah bentuk menjadi kuadrat sempurna)
3. Menggunakan rumus kuadrat
4. Menggambarkan grafik fungsi f(x) = ax² + bx + c
5. Garis bilangan
Pada pembahasan kali ini akan dibahas mengenai 2 dari 5 cara di atas, yaitu menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat
dan garis bilangan.

12. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus f(x) = ax² + bx + c misalnya pada f(x) = x² - 3x - 4
grafiknya berbentuk parabola dengan persamaan y = x² - 3x - 4. Sketsa grafik parabola y = x² - 3x - 4
digambarkan sebagai berikut:
. Parabola di samping sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4
jadi x² - 3x - 4 > 0 dalam selang x < -1 atau x > 4.
2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.
Jadi, x² - 3x - 4 = 0 untuk nilai x = -1 atau x = 4.
3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang -1 < x < 4.
Jadi, x² - 3x - 4 < 0 dalam selang -1 < x < 4.
Dengan demikian, sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x² - 3x - 4 atau parabola y = x² - 3x - 4 dapat digunakan
untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut:
a. Pertidaksamaan kuadrat x² - 3x - 4 < 0. Himpunan penyelesaiannya:
HP = {x | -1 < x < 4, x ϵ R}
b. Pertidaksamaan kuadrat x² - 3x - 4 ≤ 0. Himpunan penyelesaiannya:
HP = {x | -1 ≤ x ≤ 4, x ϵ R}
c.Pertidaksamaan kuadrat x² - 3x - 4 > 0. Himpunan penyelesaiannya:
HP = {x | x < -1 atau x > 4, x ϵ R}
d. Pertidaksamaan kuadrat x² - 3x - 4 ≥ 0. Himpunan penyelesaiannya
HP = {x | x ≥ -1 atau x ≥ 4, x ϵ R}

13. Berdasarkan uraian yang kita bahas di atas, dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c = 0 atau parabola y
= ax² + bx + c dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≤ 0; ax² + bx +
c > 0; ax² + bx + c ≥ 0.
Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat dapat
ditentukan melalui langkah-langkah:
1. Gambar sketsa grafik kuadrat f(x) = ax² + bx + c atau parabola y = ax² + bx + c jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu x.
2. Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh dari langkah 1 kita dapat menetapkan selang atau interval yang memenuhi
pertidaksamaan kuadrat ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c ≥ 0.
Menyelesaikan Pertidaksamaan dengan Menggunakan Garis Bilangan
Dalam hal sub-bab ini kita akan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, kita akan
menentukan sebuah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x² - 3x - 4 > 0.
Langkah - langkah yang diperlukan sebagai berikut:
1. Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan
x² - 3x - 4 = 0
(x + 1)(x - 4) = 0
x = -1 atau x = 4
2. Gambarlah nilai nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan.

14. 3. Kita harus menentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4, misalnya:
x = -2 maka nilai dari x² - 3x - 4 = (-2)² - 3(-2) - 4 = 6 sehingga tanda dalam interval adalah x < -1, x anggota
bilangan positif, atau x > 0.
x = 1 maka nilai dari x² - 3x - 4 = (1)² - 3(1) - 4 = -6 sehingga tanda dalam interval -1 < x < 4, 1, atau x < 0
x = 5 maka nilai dari x² - 3x - 4 = (5)² - 3(5) - 4 = 6 sehingga tanda dalam interval x > 4, x bilangan positif, atau x > 0.
.Berdasarkan tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan x² - 3x - 4 > 0 adalah x < -1 atau x > 4.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x| x < -1 atau x > 4, x ϵ R}.

15. Secara umum penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≤ 0; ax² + bx + c > 0; ax² + bx
+ c ≥ 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diagram garis bilangan melalui langkah-langkah sebagai berikut:
1. Carilah nilai – nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri pertidaksamaan
ax² + bx + c = 0
2. Gambarlah nilai nol itu pada diagram garis bilangan sehingga diperoleh interva - interval.
3. Tentukan tanda – tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing
interval.
4. Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh dari langkah 3 kita dapat menetapkan interval yang
memenuhi.
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat kita perlu mencermati adanya beberapa bentuk khusus dari suatu
bentuk kuadrat. Ada 2 macam bentuk khusus dari suatu bentuk kuadrat yaitu:
1. Definit positif, yaitu bentuk kuadrat ax² + bx + c > 0 berlaku untuk semua ϵ R. Bentuk ax² + bx + c disebut
definit positif jika a > 0 dan D < 0.
2. Definit negatif, yaitu bentuk kuadrat ax² + bx + c > 0 berlaku untuk semua ϵ R. Bentuk ax² + bx + c disebut
definit negatif jika a < 0 dan D < 0.

16. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Pengertian Persamaan Linear
Persamaan linear adalah suatu persamaan matematika yang menggambarkan hubungan linear antara variabel-variabel yang
terlibat. Secara umum, suatu persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk:
y = mx + b
di mana y dan x adalah variabel-variabel yang terlibat, m adalah kemiringan (slope) dari garis linear yang menghubungkan titik-
titik data, dan b adalah intercept atau konstanta pada sumbu y (y-intercept).
Contoh persamaan linear yang lebih umum adalah:
y = 3x + 4
 Metode Penyelesaian Persamaan Linear
Ada beberapa metode yang bisa digunakan ketika menyelesaikan sebuah permasalah linear, metode-metode yang bisa kamu
gunakan antara lain adalah:
1. Metode Substitusi
Metode Substitusi adalah salah satu teknik penyelesaian sistem persamaan linear yang menggunakan dua variabel.
Metode ini melibatkan penggantian satu variabel (peubah) dengan persamaannya yang lain untuk mencari nilai variabel tersebut.
2. Metode Eliminasi
Metode Eliminasi adalah teknik penyelesaian sistem persamaan linear yang melibatkan penghapusan atau menghilangkan
satu variabel dengan mengalikan satu atau kedua persamaan dengan konstanta sedemikian rupa sehingga koefisien dari salah
satu variabel sama dan berlawanan tanda.

17. 3. Metode Campuran (Subtitusi dan Campuran)
Metode campuran adalah metode yang menggabungkan antara metode eliminasi dan substitusi, metode ini adalah salah satu teknik
penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggabungkan kedua metode tersebut.
Dalam metode ini, kamu dapat menggunakan substitusi untuk mengekspresikan satu variabel dalam satu persamaan dan kemudian
mengeliminasi variabel tersebut dengan menggunakan teknik eliminasi.
4. Metode Grafik
Metode grafik adalah suatu teknik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan grafik. Metode ini digunakan
dengan menggambarkan persamaan pada grafik.
Contoh Soal Persamaan Liner
1. Tentukan solusi dari sistem persamaan linear berikut:
2x + y = 5
3x – 2y = 4
Langkah pertama adalah mengeliminasi variabel y dengan teknik eliminasi. Kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan
menjumlahkannya dengan persamaan kedua:
4x + 2y = 10
3x – 2y = 4
7x = 14
Dari sini, kita dapat menentukan nilai dari x = 2. Kemudian, substitusikan nilai x ke salah satu persamaan dan kita dapatkan?
2(2) + y = 5
y = 1
Maka, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah x = 2 dan y = 1.

18. Pengertian Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear merupakan kumpulan persamaan dan pertidaksamaan linear yang biasanya menggunakan
variable linear untuk menggambarkan permasalahan.
Jika diartikan per kata, “pertidaksamaan linear” terdiri dari dua kata, yakni “pertidaksamaan” dan “linear”.
Pertidaksamaan merupakan kalimat yang akan memuat tanda seperti lebih dari (>). kurang dari (< ), lebih dari
atau sama dengan (≥), dan kurang dari atau sama dengan (≤).
Sedangkan linear diartikan sebagai suatu bentuk aljabar yang memiliki variabel pangkat tertingginya yaitu satu.
Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear, antara lain:
1. Metode grafik
Pertidaksamaan linear dapat digambarkan pada koordinat kartesius dan solusinya dapat dicari dengan
melihat area yang dibatasi oleh garis linear dan sumbu koordinat.
2. Metode substitusi
Pada metode ini, salah satu variabel diubah menjadi persamaan tunggal, kemudian disubstitusikan pada
persamaan lainnya untuk mencari nilai variabel lain.

19. 3. Metode eliminasi
Pada metode ini, dua persamaan linear dikombinasikan sehingga salah satu variabel dieliminasi, kemudian dicari nilai
variabel yang lain.
4. Metode interval
Ketika menggunakan metode ini, pertidaksamaan linear diselesaikan dengan mencari rentang nilai variabel yang
memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Pada dasarnya untuk menyelesaikan permasalahan pertidaksamaan linear dapat menggunakan beberapa metode di atas.
Namun, tergantung pada kompleksitas dari pertidaksamaan linear yang diberikan untuk menyelesaikan pertidaksamaan
tersebut.
Dalam beberapa kasus, lebih efektif untuk menggunakan lebih dari satu metode untuk menyelesaikan pertidaksamaan
linear yang diberikan.
Contoh Soal Pertidaksamaan Linier
Tentukan solusi dari pertidaksamaan linear berikut: 3x + 2 < 11.
Pertama-tama, kita dapat mengurangi 2 pada kedua sisi pertidaksamaan:
3x + 2 – 2 < 11 – 2
Maka kita dapat menyederhanakan pertidaksamaan menjadi:
3x < 9
Kemudian, kita dapat membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan 3:
x < 3
Jadi, solusi dari pertidaksamaan linear tersebut adalah x < 3.

20. Perbedaan Persamaan Linear dan Pertidaksamaan Linear
Kamu dapat mengetahui perbedaan yang paling menonjol antara persamaan linear dan pertidaksamaan
linear dari penggunaan tandanya.
Biasanya, persamaan linear menggunakan tana (=). Sementara pertidaksamaan linear akan menggunakan tanda
<, >, ≤, atau ≥.
Selain itu, perbedaan antara persamaan linear dan pertidaksamaan linear terletak pada cara mencari solusinya.
Persamaan linear mencari solusi tunggal dari variabel x yang memenuhi persamaan tersebut, sedangkan
pertidaksamaan linear mencari rentang solusi dari variabel x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.