Exerc´ıcios de c´alculo diferencial e integral de fun¸c˜oes

Exerc´
ıcios de C´lculo Diferencial e Integral de Fun¸˜es
a co
Definidas em Rn

Diogo Aguiar Gomes, Joõ Palhoto Matos e Joõ Paulo Santos
a a

24 de Janeiro de 2000

Conte´ do
u

1 Introdu¸õ
ca 5
1.1 Explica¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 5
1.2 Futura introdu¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 5

2 Complementos de C´lculo Diferencial
a 7
2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Sugest˜es para os exerc´
o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 C´lculo diferencial elementar . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Derivadas parciais de ordem superior ` a primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Polin´mio de Taylor . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Extremos 27
3.1 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Testes de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Teoremas da Fun¸õ Inversa e da Fun¸õ Impl´
ca ca ıcita 47
4.1 Invertibilidade de fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 Exerc´ ıcios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Teorema do valor m´dio para fun¸˜es vectoriais . . .
e co . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Teorema da Fun¸õ Inversa . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Exerc´ ıcios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Teorema da Fun¸õ Impl´
ca ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Bibliografia 69

3

´
CONTEUDO

24 de Janeiro de 2000 4

Cap´
ıtulo 1

Introdu¸õ
ca

1.1 Explica¸õ
ca
Est´ a ler uma versõ parcial e preliminar de um texto em elabora¸õ. Os autores agradecem
a a ca
quaisquer notifica¸˜es de erros, sugest˜es,. . . , para ecdi@math.ist.utl.pt. Estima-se que o texto
co o
final ter´ uma extensõ cerca de trˆs a quatro vezes maior e incluir´ cap´
a a e a ıtulos que nesta versõ
a
foram exclu´ıdos.
A seçõ seguinte desta introdu¸õ tem carćter preliminar e tem como pressuposto a existˆncia
ca ca a e
do material que aqui ainda nõ foi inclu´
a ıdo.
Partes deste texto foram distribu´ıdas separadamente por cada um dos autores no passado.
Tendo descoberto que os diversos textos tinham carćter algo complementar decidimos reuni-los.
a
A presente versõ idealmente nõ mostra de uma maneira ´bvia as adapta¸˜es e correç˜es que
a a o co co
foram necess´rias para chegar ao formato actual.
a
Novas vers˜es deste texto irõ aparecendo sempre que os autores considerarem oportuno em
o a
http://www.math.ist.utl.pt/~jmatos/AMIII/temp.pdf. Para evitar a prolifera¸õ de textos
ca
obsoletos a maioria das p´ginas apresenta a data de revisõ corrente em p´ de p´gina.
a a e a

1.2 Futura introdu¸õ
ca
Este texto nasce da nossa experiˆncia a leccionar a disciplina de An´lise Matem´tica III no Instituto
e a a
Superior Tćnico. Por um lado reune um n´mero consider´vel de enunciados de problemas de
e u a
exame e por outro serve de propaganda ` nossa maneira de ver os assuntos aqui tratados. An´lise
a a
Matem´tica III ´ uma disciplina do primeiro semestre do segundo ano de todos os curr´
a e ıculos de
licenciatura leccionados no Instituto Superior Tćnico (IST) excepto Arquitectura.
e
Se se perguntar a um aluno de um dos dois primeiros anos do IST que tipo de “folhas” mais
deseja que lhe sejam disponibilizadas pelos seus professores temos como resposta mais que prov´vel: a
“folhas de exerc´ıcios resolvidos de An´lise Matem´tica”. No entanto tal resposta costuma suscitar
a a
como reaçõ da parte dos docentes essencialmente preocupa¸õ. De facto a resolu¸õ de exerc´
ca ca ca ıcios
de An´lise Matem´tica nõ ´ geralmente unica e o processo de aprendizagem est´ mais ligado `
a a a e ´ a a
tentativa de resolu¸õ dos mesmos quando se possui um conjunto de conhecimentos m´
ca ınimo do
que ` absor¸õ ac´fala de um n´mero finito de receitas.
a ca e u
O que se segue ´ uma tentativa de compromisso entre a procura e a oferta neste mercado
e
sui generis. Sõ inclu´
a ıdos exerc´
ıcios de exame dos ultimos anos com modifica¸˜es do enunciado
´ co
quando tal foi julgado conveniente e muitos outros com um carćter mais ou menos trivial, ou de
a
complemento de resultados citados, ou de coment´rio de uma resolu¸õ de um exerc´
a ca ıcio, sugestõa
de extens˜es, etc. Por vezes um exerc´
o ıcio embora inclu´ numa seçõ inclui uma questõ que
ıdo ca a
s´ ´ tratada numa seçõ posterior. Tais exerc´
oe ca ıcios estõ assinalados com um asterisco *. Foram
a
inclu´
ıdos esbo¸os de resolu¸õ e sugest˜es em n´mero consider´vel.
c ca o u a

5

CAP´ ¸˜
ITULO 1. INTRODUCAO

O leitor dever´ ter em considera¸õ que o programa de An´lise Matem´tica III tem variado
a ca a a
´
ao longo do tempo. E consensual no Departamento de Matem´tica do IST e na escola em geral
a
que a introdu¸õ ` an´lise em Rn e o c´lculo diferencial em Rn deverõ ser tratados em grande
ca a a a a
parte no primeiro ano do curso. Da´ a existˆncia de seç˜es correspondentes a revisõ de material
ı e co a
coberto no primeiro ano do curso.
Outro facto a ter em conta ´ a diferen¸a de programa para os cursos de Matem´tica Aplicada
e c a
e Computa¸õ e Engenharia F´
ca ısica Tecnol´gica. Nestes cursos sõ introduzidos o formalismo das
o a
formas diferenciais e a respectiva versõ do teorema fundamental do c´lculo em vez da formula¸õ
a a ca
cl´ssica do teorema de Stokes. Aconselha-se os alunos destes dois cursos a comparar os enunci-
a
ados de exerc´ ıcios deste tema com as formula¸˜es cl´ssicas dos mesmos. Tais compara¸˜es estõ
co a co a
indicadas em nota de p´ de p´gina.
e a
A nota¸õ utilizada ´ cl´ssica tanto quanto poss´
ca e a ıvel, embora obviamente nõ universal, e nem
a
sempre ser´ isenta de incoerˆncias. Por exemplo: usaremos a nota¸õ de Leibniz para derivadas
a e ca
2
parciais mas de acordo com a nota¸õ geral para operadores, isto ´, ∂x∂y = ∂x ∂u ; usaremos
ca e ∂ u ∂
∂y
, sempre que tal for considerado sugestivo.
Citaremos os resultados essenciais de cada tema mas nõ necessariamente com a sua formula¸õ
a ca
mais geral remetida por vezes para observa¸˜es marginais ou problemas. O enunciado de tais resul-
co
tados por vezes ´ seguido de uma “demonstra¸õ” que mais nõ faz que relembrar sinteticamente
e ca a
a dependˆncia em rela¸õ a outros resultados e os m´todos utilizados.
e ca e
Faz-se notar que nõ seguimos a ordena¸õ de material geralmente adoptada durante a ex-
a ca
posi¸õ dos cursos no IST devido devido a raz˜es como a conveniˆncia em apresentar problemas
ca o e
sobre a introdu¸õ do conceito de variedade como complemento do estudo do teorema da fun¸õ
ca ca
impl´
ıcita.
Um ultimo aviso: este texto nõ pretende substituir os excelentes livros de texto dispon´
´ a ıveis
sobre os assuntos aqui abordados. Diria mesmo que ´ provavelmente incompreens´
e ıvel se um ou
mais desses livros nõ for consultado. Os textos adoptados no IST sõ [6, 3, 5].
a a

Lisboa, Outubro de 1999

DG, JPM, JPS


Cap´
ıtulo 2

Complementos de C´lculo
a
Diferencial

O conceito de fun¸õ diferenci´vel ´ uma das no¸˜es chave da an´lise. Por exemplo, se f : R → R
ca a e co a
for diferenci´vel em x0 , o c´lculo de f (x0 ) permite aproximar f pela f´rmula de Taylor perto de
a a o
x0 , i.e.,
f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ),

onde limx→x0 o(x−x00 ) = 0. Esta f´rmula tem a seguinte interpreta¸õ geom´trica: f (x0 ) ´ o
x−x o ca e e
declive da recta tangente a f em x0 e y = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) ´ a equa¸õ dessa recta.
e ca
Outras aplica¸˜es do conceito de derivada familiares a um estudante que conhe¸a An´lise
co c a
Matem´tica ao n´
a ıvel de um primeiro ano de licenciatura sõ, por exemplo, a determina¸õ de
a ca
pontos de extremo: se f : R → R for diferenci´vel, os seus m´ximos ou m´
a a ınimos sõ zeros de f 1 .
a
Outra aplica¸õ que deve ser familiar ´ a mudan¸a de coordenadas na integra¸õ atrav´s de:
ca e c ca e

b f −1 (b)
g(x)dx = g(f (y))f (y)dy.
a f −1 (a)

Esta presen¸a ub´
c ıqua da diferencia¸õ no estudo de fun¸˜es reais de vari´vel real faz com que
ca co a
seja natural, quando se estudam fun¸˜es de v´rias vari´veis, generalizar a no¸õ de derivada. Para
co a a ca
fun¸˜es de Rn em R, a interpreta¸õ geom´trica da derivada ser´ o “declive” do “plano” tangente
co ca e a
ao gr´fico da fun¸õ, mais precisamente y = f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ) ´ a equa¸õ desse “plano”
a ca e ca
tangente2 .
Neste cap´ıtulo resumiremos alguns resultados de c´lculo diferencial, para fun¸˜es reais de mais
a co
do que uma vari´vel real. Em particular trataremos quest˜es importantes sobre a continuidade e
a o
diferenciabilidade de fun¸˜es de Rn em Rm . Para al´m disso estudaremos a f´rmula de Taylor.
co e o

2.1 Preliminares
Esta seçõ relembra alguns dos conceitos e resultados sobre fun¸˜es de Rn em Rm que se sup˜em
ca co o
conhecidos nas seç˜es seguintes. Aconselha-se o leitor a consultar [1] para relembrar, com detalhe,
co
os resultados, supostos j´ conhecidos, que a seguir se enumeram de uma forma necessariamente
a
breve.
Tanto a defini¸õ de continuidade como a de diferenciabilidade dependem do conceito de dis-
ca
tˆncia entre dois pontos, definida por sua vez ` custa da no¸õ de norma:
a a ca
1 Note, no entanto, que o facto de a derivada se anular num ponto, nõ implica que este seja um m´ximo ou
a a
m´
ınimo; pode ser ponto de sela! Veja o cap´ıtulo 3.
2 Designa¸˜es tćnicas para um tal conjunto sõ de um subespa¸o afim de dimensõ n de Rn+1 ou hiperplano
co e a c a

7

CAP´ ´
ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL

Defini¸õ 2.1.1 Seja η : Rn → R. Diz-se que η ´ uma norma se verificar as seguintes proprie-
ca e
dades:
i) η(x) > 0 se x = 0 e η(0) = 0;
ii) η(λx) = |λ|η(x), ∀x ∈ Rn , ∀λ ∈ R;
iii) η(x + y) ≤ η(x) + η(y), ∀x, y ∈ Rn .
Para designarmos uma norma gen´rica utilizaremos a nota¸õ x = η(x). Em Rn ´ usual
e ca e
considerar a norma euclideana, definida por

(x1 , . . . , xn ) = x2 + . . . + x2 .
1 n

Por´m, em certas situa¸˜es, pode ser util trabalhar com normas diferentes.
e co ´

ıcio 2.1.1 Prove que as seguintes fun¸˜es sõ normas em R2 :
Exerc´ co a
1. η(x, y) = |x| + |y|
2. η(x, y) = m´x {|x|, |y|}
a

3. η(x, y) = 2 x2 + y 2

4. η(x, y, z) = |x| + y2 + z2 .

ıcio 2.1.2 Mostre que η(x, y) = |x + y| nõ ´ uma norma mas satisfaz ii e iii em 2.1.1.
Exerc´ a e

Defini¸õ 2.1.2 Em Rn , a bola (aberta) centrada em x e de raio r, relativa ` norma
ca a · ,ó
e
conjunto B(x, r) (ou Br (x)) definido por

B(x, r) = {y ∈ Rn : x − y < r}.

Se a norma em questõ for a norma euclideana as bolas serõ “redondas”, caso contr´rio poderõ
a a a a
ter formatos mais ou menos inesperados, como se pode ver no exerc´ seguinte.
ıcio

ıcio 2.1.3 Esboce as bolas B1 (0) em R2 para as seguintes normas:
Exerc´

1. (x, y) = x2 + y 2
2. (x, y) = |x| + |y|
3. (x, y) = m´x{|x|, |y|}
a

Exerc´ıcio 2.1.4 Mostre que uma bola ser´ sempre um conjunto convexo, isto ´, dados dois quais-
a e
quer dos seus pontos, o segmento de recta que os une est´ contido na bola.
a
Daqui para a frente vamos sempre supor que a norma em Rn ´ a norma euclideana, a nõ ser
e a
que seja dito algo em contr´rio. Al´m disso a nota¸õ nõ distinguir´ as normas euclidianas em
a e ca a a
diferentes espa¸os Rn para n ≥ 2.
c

Defini¸õ 2.1.3 Diz-se que um conjunto A ⊂ Rn ´ aberto se verificar a seguinte propriedade:
ca e

∀x ∈ A, ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ A.

Exemplo 2.1.1 O conjunto ]0, 1[ ⊂ R ´ aberto. Com efeito, para qualquer n´mero real 0 < x < 1
e u
temos x > 1/2 ou x ≤ 1/2. No primeiro caso B(x, x/2) ⊂ ]0, 1[, no segundo B(x, (1−x)/2) ⊂ ]0, 1[.

Exerc´
ıcio 2.1.5 Mostre que as bolas abertas sõ conjuntos abertos.
a


2.1. PRELIMINARES

Temos reunidos todos os ingredientes ncess´rios ` defini¸õ de fun¸õ cont´
a a ca ca ınua:

Defini¸õ 2.1.4 Diz-se que uma fun¸õ f : A ⊂ Rn → Rm ´ cont´
ca ca e ınua num ponto x ∈ A se:

∀ > 0 ∃δ > 0 tal que x − y < δ, y ∈ A ⇒ f (x) − f (y) < .

Diz-se que f ´ cont´
e ınua num subconjunto do seu dom´
ınio se for cont´
ınua em todos os pontos desse
conjunto.

Exemplo 2.1.2 Suponhamos f (x, y) = x + y. Provemos que f ´ cont´
e ınua. Seja > 0 arbitr´rio.
a
Reparemos que, para todo o (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), se tem

|x1 + y1 − x2 − y2 | ≤ |x1 − x2 | + |y1 − y2 |,

sendo que |x1 − x2 | ≤ (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) e |y1 − y2 | ≤ (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) . Portanto, fixando
> 0, e escolhendo δ < 2 teremos:

|x1 + y1 − x2 − y2 | ≤ 2δ < ,

se (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) < δ. Logo f ´ cont´
e ınua.

Exerc´
ıcio 2.1.6 Mostre que a fun¸õ definida por
ca

1, se x + y > 0,
f (x, y) =
0, se x + y ≤ 0

nõ ´ cont´
a e ınua.
Muitas vezes, para mostrar continuidade (ou a falta dela), utiliza-se a caracteriza¸õ de conti-
ca
nuidade atrav´s de sucess˜es:
e o
Teorema 2.1.1 (Continuidade ` Heine)
a
Seja f : A ⊂ Rn → Rm . f ´ cont´
e ınua em x0 ∈ A se e somente se para toda a sucessõ (xk )k∈N ⊂ A
a
que converge para x0 (isto ´, limk→+∞ xk − x0 = 0) a sucessõ (f (xk ))k∈N converge para f (x0 ).
e a

Exemplo 2.1.3 Seja f : Rn → Rm , g : Rm → Rp , f e g cont´ ınuas. Provemos que g ◦ f ´ e
ınua. Seja x0 ∈ Rn e (xk ) ⊂ Rn uma sucessõ convergente para x0 . Definindo yk = f (xk )
cont´ a
obtemos uma sucessõ (yk ) ⊂ Rm que converge para y0 = f (x0 ), uma vez que f ´ cont´
a e ınua. A
sucessõ (zk ) ⊂ Rp , definida por zk = g(yk ), converge para z0 = g(y0 ), uma vez que g ´ cont´
a e ınua.
Resta observar que zk = g ◦ f (xk ) → z0 = g ◦ f (x0 ), pelo que g ◦ f ´ cont´
e ınua.

Exerc´
ıcio 2.1.7 Refa¸a o exemplo anterior usando a defini¸õ 2.1.4.
c ca

Exerc´
ıcio 2.1.8 Prove o teorema 2.1.1.

ıcio 2.1.9 Seja f : Rn → Rm . Prove que f ´ cont´
Exerc´ e ınua se e somente se para todo o aberto
A ⊂ R se tem f −1 (A) ⊂ Rn aberto, onde o conjunto f −1 (A) ´ definido como sendo:
m
e

f −1 (A) = {x ∈ Rn : f (x) ∈ A}.

Generalize este resultado para fun¸˜es definidas num subconjunto arbitr´rio de Rn .
co a

Defini¸õ 2.1.5 Diz-se que um conjunto F ⊂ Rn ´ fechado se o seu complementar F c for aberto.
ca e

Teorema 2.1.2 (Caracteriza¸õ dos fechados via sucess˜es)
ca o
F ⊂ Rn ´ fechado se e s´ se dada uma qualquer sucessõ convergente de termos em F esta converge
e o a
para um elemento de F .

9 24 de Janeiro de 2000

CAP´ ´

Exerc´ıcio 2.1.10 Dˆ dois exemplos distintos de subconjuntos de Rn que sejam, cada um deles,
e
simultaneamente aberto e fechado (isto s´ se verifica para dois conjuntos muito especiais!).
o

Defini¸õ 2.1.6 A uniõ de todos os abertos contidos num conjunto A ser´ designada por interior
ca a a
`
de A e abrevia-se int A. A interseçõ de todos os fechados contendo A chamar-se-´ fecho de A e
ca a
abrevia-se A. A fronteira de A, ∂A, ´ definida por ∂A = A int A.
e

Defini¸õ 2.1.7 Diz-se que um conjunto K ⊂ Rn ´ compacto se dada uma qualquer sucessõ de
ca e a
termos em K esta possui uma subsucessõ convergente para um elemento de K.
a

Teorema 2.1.3 (Caracteriza¸õ dos compactos de Rn )
ca
K ⊂ Rn ´ compacto se e s´ se K ´ limitado e fechado.
e o e

Exerc´ ıcio 2.1.11 O conjunto vazio ´ compacto? E o conjunto dos n´meros racionais de valor
e u
absoluto menor que 1?

ıcio 2.1.12 Dˆ um exemplo de uma fun¸õ f : Rn → R tal que
Exerc´ e ca
1. {x ∈ Rn : f (x) ≤ 1} seja um conjunto compacto.
2. {x ∈ Rn : f (x) < 1} seja um conjunto compacto nõ vazio. Observa¸õ: se f for cont´
a ca ınua
entõ este conjunto ´ necessariamente aberto (porquˆ?) portanto se escolher f cont´
a e e ınua o
conjunto ser´ necessariamente vazio (porquˆ?).
a e
3. Seja K um conjunto compacto. Construa uma fun¸õ f tal que K = {x : f (x) = 1}.
ca
Escolhendo f nõ cont´
a ınua o problema ´ trivial. No entanto pode tornar o problema bem
e
mais interessante tentando construir f cont´
ınua!

2.1.1 Exerc´
ıcios suplementares
Exerc´ıcio 2.1.13 Diz-se que duas normas em Rn , · α e · β, sõ equivalentes se existirem
a
constantes positivas, a e b tais que

a x α ≤ x β ≤b x α

para todo o x ∈ Rn . Prove que as seguintes normas sõ todas equivalentes entre si:
a
1. (x1 , . . . , xn ) 1 = |x1 | + . . . + |xn |
2. (x1 , . . . , xn ) 2 = |x1 |2 + . . . + |xn |2
3. (x1 , . . . , xn ) ∞ = m´x{|x1 |, . . . , |xn |}
a

Exerc´
ıcio 2.1.14 Prove que as seguintes fun¸˜es sõ cont´
co a ınuas:
1. f (x) = 1 se −∞ < x ≤ 1 e f (x) = x se x ≥ 1;
2. qualquer polin´mio em n vari´veis.
o a

Exerc´
ıcio 2.1.15 Prove que
0, se x < 0,
f (x) =
1, se x ≥ 0,
nõ ´ cont´
a e ınua.

Exerc´ ıcio 2.1.16 Diz-se que uma fun¸õ f : J ⊂ Rn → R ´ semicont´
ca e ınua inferior se para toda
a sucessõ xk → x ∈ J se tem lim inf j→+∞ f (xk ) ≥ f (x) (recorde que o lim inf de uma sucessõ
a a
(yk )k∈N ´ definido como sendo lim inf k→+∞ yk = limn→+∞ inf k>n {yk }).
e


2.1. PRELIMINARES

1. Mostre que o lim inf existe sempre (eventualmente pode ser igual a −∞, quando?).
2. Mostre que qualquer fun¸õ cont´
ca ınua ´ semicont´
e ınua inferior.
3. Dˆ um exemplo de uma fun¸õ semicont´
e ca ınua inferior que nõ seja cont´
a ınua.
4. Mostre que qualquer fun¸õ semicont´
ca ınua inferior f definida num compacto K ´ limitada
e
inferiormente, isto ´ ∃C ∈ R tal que f (x) ≥ C sempre que x ∈ K.
e
5. Mostre que uma fun¸õ semicont´
ca ınua inferior definida num compacto tem sempre m´
ınimo.
6. Utilizando as ideias das al´
ıneas anteriores mostre que qualquer fun¸õ cont´
ca ınua definida num
compacto tem m´ximo e m´
a ınimo.

Exerc´ıcio 2.1.17 As defini¸˜es de aberto e fun¸õ cont´
co ca ınua dependem aparentemente de usarmos
a norma euclidiana. Uma d´vida leg´
u ıtima ´ saber se tivessemos usado outra norma chegar´
e ıamos `s
a
mesmas conclus˜es relativamente a que conjuntos sõ abertos e que fun¸˜es sõ cont´
o a co a ınuas. Mostre
que:
1. Todas as normas em Rn sõ cont´
a ınuas.
2. Qualquer norma em Rn tem um m´
ınimo positivo na fronteira da bola B(0, 1).
3. Todas as normas em Rn sõ equivalentes.
a
4. Conclua que as no¸˜es de aberto e fun¸õ cont´
co ca ınua sõ independentes da norma utilizada.
a

o ıcios
2.1.13 Observe que ∀x ∈ Rn
1. x ∞ ≤ x 1 ≤ n x ∞;
√
2. x ∞ ≤ x 2 ≤ n x ∞.
Usando 1 e 2 deduza as restantes desigualdades.
2.1.14 Utilize a defini¸õ 2.1.4 e o teorema 2.1.1.
ca
1
2.1.15 Note que f − n → 0 = f (0).
2.1.16
1. Note que a sucessõ zn = inf k>n {yk } ´ mon´tona crescente.
a e o
e ınua e xk → x entõ f (xk ) → f (x).
2. Se f ´ cont´ a
3. Por exemplo
0 se x ≤ 0,
f (x) =
1 se x > 0.

4. Se f nõ fosse limitada inferiormente existiria uma sucessõ xk ∈ K tal que f (xk ) →
a a
−∞. Como K ´ compacto poder-se-ia extrair uma subsucessõ convergente xkj → x ∈
e a
K. Consequentemente ter-se-ia −∞ = lim f (xkj ) = lim inf f (xkj ) ≥ f (x) > −∞ o que ´
e
absurdo.
5. Seja f : K → R, onde K ⊂ Rn ´ compacto, semicont´
e ınua inferior. Note que, pela al´
ınea
anterior, f ´ minorada. Defina-se m = inf y∈K f (y). Entõ existe uma sucessõ xk ∈ K tal
e a a
que f (xk ) → m. Como K ´ compacto, existe uma subsucessõ xkj que converge para algum
e a
x ∈ K. Por semicontinuidade inferior tem-se
m = lim f (xkj ) = lim inf f (xkj ) ≥ f (x)
j→+∞ j→+∞

mas por outro lado f (x) ≥ inf y∈K f (y) = m portanto f (x) = m.


CAP´ ´

y

y = f(x)

b y = b + f'(a)(x-a)

a x

Figura 2.1: A interpreta¸õ geom´trica de derivada para fun¸˜es reais de vari´vel real.
ca e co a

ınua entõ f e −f sõ semicont´
6. Se f ´ cont´
e a a ınuas inferiores.

2.2 C´lculo diferencial elementar
a
Vamos come¸ar por definir fun¸õ diferenci´vel .
c ca a

Defini¸õ 2.2.1 Seja U ⊂ Rn um aberto. Diz-se que uma fun¸õ f : U → Rm ´ diferenci´vel no
ca ca e a
ponto x0 ∈ U se existir uma aplica¸õ linear A de Rn em Rm , para a qual se tem
ca
f (x0 + h) − f (x0 ) − Ah
lim = 0.
h→0,h∈Rn h
Ser´ ` aplica¸õ linear A na defini¸õ anterior que chamaremos derivada3 de f no ponto x0 .
aa ca ca
No entanto poderia existir mais do que uma aplica¸õ linear nestas condi¸˜es. . .
ca co

Problema 2.2.1 Mostre que a aplica¸õ linear A da defini¸õ 2.2.1 se existir ´ unica.
ca ca e´

Defini¸õ 2.2.2 A aplica¸õ linear A da defini¸õ 2.2.1 designa-se por derivada de f em x0
ca ca ca
escrevendo-se Df (x0 ).
Esta defini¸õ de derivada coincide com a defini¸õ usual de derivada para fun¸˜es reais de
ca ca co
vari´vel real. Para este caso, a aplica¸õ linear A referida na defini¸õ anterior ´ simplesmente
a ca ca e
multiplica¸õ por um escalar.
ca

ıcio 2.2.1 Suponha f : U ⊂ Rn → Rm ´ diferenci´vel num ponto x0 ∈ int U . Prove que
Exerc´ e a

f (x0 + h) = f (h0 ) + Df (x0 )(h) + o(h),

onde limh→0,h∈Rm o(h) = 0.
h

Defini¸õ 2.2.3 Diz-se que uma fun¸õ f : U ⊂ Rn → Rm . Se U for aberto dizemos que f ´
ca ca e
diferenci´vel em U se o for em todos os pontos do dom´
a ınio U . Se U nõ for aberto dizemos que
a
f ´ diferenci´vel em U se existir um prolongamento f de f a um aberto V contendo U tal que f
e a
seja diferenci´vel em V .
a
3 Tal aplica¸õ ser´ muitas vezes identificada com a matriz real m × n que a representa ou com um vector se n
ca a
ou m for igual a 1. Se n = 1 ´ comum usar f (x0 ) em vez de Df (x0 ).
e


´
2.2. CALCULO DIFERENCIAL ELEMENTAR

Exemplo 2.2.1 Seja f definida em R por f (x) = x3 . Mostremos que ela ´ diferenci´vel em
e a
qualquer ponto de x ∈ R e que a sua derivada ´ 3x2 .
e
Com efeito temos

|(x + h)3 − x3 − 3x2 h| |3xh2 + h3 |
lim = lim = 0.
h→0 |h| h→0 |h|

A verifica¸õ da diferenciabilidade usando directamente a defini¸õ pode ser, mesmo em casos
ca ca
simples, penosa. Isso nõ acontece, no entanto, no caso ilustrado no pr´ximo exerc´
a o ıcio.

ıcio 2.2.2 Mostre que uma transforma¸õ linear f : Rm → Rn , dada por f (x) = M x, onde
Exerc´ ca
M ´ uma matriz n × m, ´ diferenci´vel e que Df = M .
e e a

As fun¸˜es diferenci´veis formam um subconjunto estrito das fun¸˜es cont´
co a co ınuas. Com efeito:

Exerc´
ıcio 2.2.3 Mostre que qualquer fun¸õ diferenci´vel ´ cont´
ca a e ınua.

Consideremos uma fun¸õ f : U ⊂ Rn → Rm e fixemos um vector v ∈ Rn . Dado um ponto
ca
x0 ∈ U , podemos restringir a fun¸õ f ` recta que passa por x0 e com sentido definido por v. A
ca a
derivada “ao longo” desta recta chama-se derivada dirigida:

Defini¸õ 2.2.4 Define-se a derivada dirigida da fun¸õ f : U ⊂ Rn → Rm no ponto x0 ∈ U ,
ca ca
segundo o vector v ∈ Rn como sendo

f (x0 + λv) − f (x0 )
Dv f (x0 ) = lim .
λ→0 λ
se o limite existir.

Este uma rela¸õ simples entre derivadas dirigidas relativamente a vectores com a mesma
ca
direçõ (qual?). Da´ “normalizarmos” as derivadas dirigidas considerando muitas vezes v como
ca ı
sendo unit´rio. Nesse caso designamos a derivada dirigida como derivada direccional .
a
A defini¸õ de derivada dirigida ´ mais fraca do que a defini¸õ de fun¸õ diferenci´vel. Com
ca e ca ca a
efeito h´ fun¸˜es que nõ sõ diferenci´veis num determinado ponto mas que admitem derivadas
a co a a a
dirigidas. Pode mesmo acontecer que uma fun¸õ admita algumas (ou todas!) as derivadas
ca
dirigidas num determinado ponto mas que nõ seja sequer cont´
a ınua nesse ponto.

Exemplo 2.2.2 Consideremos a fun¸õ definida por
ca

1, se x ∈ Q,
/
f (x, y) =
0, se x ∈ Q.

Claramente esta fun¸õ nõ ´ cont´
ca a e ınua. No entanto, ela admite derivada dirigida na direçõca
(0, 1). Fixemos um ponto (x0 , y0 ). Se x0 for racional teremos f (x0 , y0 + h) = 0, para qualquer
h ∈ R. Deste modo
D(0,1) f (x0 , y0 ) = 0.
Analogamente se x0 for irracional teremos f (x0 , y0 + h) = 1, para todo o h ∈ R. Pelo que tamb´m
e
se ter´
a
D(0,1) f (x0 , y0 ) = 0.

As derivadas direccionais de fun¸˜es f : U ⊂ Rn → R na direçõ dos eixos coordenados e no
co ca
sentido crescente da coordenada sõ frequentemente utilizadas e por isso tˆm um nome especial:
a e
derivadas parciais.


CAP´ ´

Defini¸õ 2.2.5 Seja f : U ⊂ Rn → R. A derivada parcial de f em rela¸õ a xi ´ definida, caso
ca ca e
o limite exista, por
∂f f (x + λei ) − f (x)
(x) = Dei f (x) = lim ,
∂xi h→0 λ
com x = (x1 , . . . , xn ) e sendo ei o versor da direçõ i. Por vezes usaremos a nota¸õ Di f em
ca ca
∂f
vez de ∂xi .

Analisando a defini¸õ facilmente se conclui que, em termos pr´ticos, a derivada parcial de f
ca a
em ordem a xi ´ calculada coordenada a coordenada se m > 1, o que permite lidar s´ com fun¸˜es
e o co
escalares, e, para cada uma destas, fixando todas as vari´veis excepto xi e derivando cada fj em
a
ordem a xi como se esta fosse uma fun¸õ real de vari´vel real.
ca a

Exemplo 2.2.3 Seja g(x, y) = (x2 y 2 , x). As derivadas parciais de g em ordem a x e y sõ
a

∂g ∂g
= (2xy 2 , 1) = (2x2 y, 0).
∂x ∂y

Exerc´
ıcio 2.2.4 Calcule a derivada parcial em ordem a y das seguintes fun¸˜es
co

1. f (x, y, z) = xyz;

2. f (x, y) = x2 + sen(xy);

3. f (x, y, z, w) = 0.

Se uma fun¸õ ´ diferenci´vel as derivadas parciais permitem construir facilmente a matriz
ca e a
representando a derivada.

Proposi¸õ 2.2.1
ca
Se uma fun¸õ f : U ⊂ Rn → Rm ´ diferenci´vel em a entõ a derivada Df (a) satisfaz Df (a)(h) =
ca e a a
Jf (a)h em que ´ a matriz jacobiana de f no ponto a definida por
e
 ∂f1 ∂f1 
∂x1 (a) ... ∂xm (a)
Jf (a) =  .
. .
. .
 
. .
∂fn ∂fn
∂x1 (a) . . . ∂xm (a)

A diferenciabilidade de uma fun¸õ pode ser estabelecida facilmente ` custa da continuidade
ca a
das derivadas parciais:

Defini¸õ 2.2.6 Diz-se que uma fun¸õ f : U ⊂ Rn → Rm com U aberto ´ de classe C 1 (U ) se
ca ca e
existirem as derivadas parciais

∂fj
, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n
∂xi

ınuas. Se U nõ fˆr aberto dizemos que f ∈ C 1 (U ) se existir um aberto V ⊃ U e uma
e forem cont´ a o
fun¸õ g : V → Rm tal que g|U = f e g ∈ C 1 (V ).
ca

Exemplo 2.2.4 A fun¸õ f (x, y) = x2 y 2 ´ de classe C 1 pois as suas derivadas parciais sõ
ca e a
cont´
ınuas (veja exemplo 2.2.3).

Exemplo 2.2.5 Calculemos a derivada da fun¸õ
ca

f (x, y, z, w) = (f1 , f2 , f3 ) = (x + y, x + y + z 2 , w + z).


´

Aplicando os resultados e observa¸˜es anteriores temos
co
 ∂f ∂f1 ∂f1 ∂f1
 
1 
∂x ∂y ∂z ∂w 1 1 0 0
Jf =  ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂f2  = 1 1 2z 0
 
∂x ∂y ∂z ∂w
∂f3 ∂f3 ∂f3 ∂f3 0 0 1 1
∂x ∂y ∂z ∂w

pelo que a fun¸õ ´ C 1 , logo diferenci´vel e a derivada ´ representada pela matriz Jf .
ca e a e

Proposi¸õ 2.2.2 (C 1 implica diferenciabilidade)
ca
Uma fun¸õ f : U ⊂ Rn → Rm de classe C 1 (U ) com U aberto ´ diferenci´vel em U .
ca e a

Ideia da demonstra¸õ. Claro que basta supor m = 1. Al´m disso consideramos n = 2 pois tal
ca e
permite usar nota¸õ mais simples e quando terminarmos ser´ ´bvio como generalizar para n > 2.
ca ao
Seja (x, y) ∈ U . Basta provar que

f (x + h, y + k) − f (x, y) − h ∂f (x, y) − k ∂f (x, y)
∂x ∂y
lim 1/2
= 0.
(h,k)→(0,0) (h2 + k 2 )

Para tal decompomos a diferen¸a f (x+h, y +k)−f (x, y) como uma soma de parcelas de diferen¸as
c c
de valores de f em que em cada parcela os argumentos de f s´ diferem numa coordenada. Uma
o
escolha poss´ ´
ıvel e

f (x + h, y + k) − f (x, y) = [f (x + h, y + k) − f (x, y + k)] + [f (x, y + k) − f (x, y)].

Podemos assim lidar separadamente com cada coordenada reduzindo o nosso objectivo a provar

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − h ∂f (x, y)
∂x
lim 1/2
= 0, (2.1)
(h,k)→(0,0) (h2 + k 2 )
f (x, y + k) − f (x, y) − k ∂f (x, y)
∂y
lim 1/2
= 0. (2.2)
(h,k)→(0,0) (h2 + k 2 )

Para lidar com (2.1) use o teorema de Lagrange, aplicado a g(t) = f (x + t, y + k) − f (x, y + k),
para obter que existe θ, 0 < θ < 1, tal que f (x + h, y + k) − f (x, y + k) = h ∂f (x + θh, y + k) e
∂x
use a continuidade da derivada parcial. Para lidar com (2.2) pode usar um racioc´ ınio an´logo ou
a
simplesmente a defini¸õ de derivada parcial.
ca

Problema 2.2.2 Verifique que a demonstra¸õ da proposi¸õ 2.2.2 permite enunciar o resultado
ca ca
sob hip´teses mais gerais. Dˆ um exemplo de uma fun¸õ que satisfa¸a tais hip´teses e nõ seja
o e ca c o a
C 1 . Altere a demonstra¸õ para obter o caso n > 2.
ca

Exerc´
ıcio 2.2.5 Mostre que sõ diferenci´veis e calcule a derivada das seguintes fun¸˜es:
a a co

1. f (x, y, z) = (x2 − y 2 , xy)

2. f (x, y) = (x − y, x + y, 2x + 3y)

3. f (x, y) = (sen(x + y), cos(x − y))

4. f (x, y) = (ex+y+z , log(1 + ey ), z 2 + x)

No caso de fun¸˜es escalares (m = 1) a derivada ´ representada por uma matriz linha que
co e
se identifica a um vector de Rn que merece um nome especial pela sua importˆncia no c´lculo
a a
diferencial e nas aplica¸˜es.
co


CAP´ ´

Defini¸õ 2.2.7 Suponha que uma fun¸õ f : U ⊂ Rn → R possui todas as derivadas parciais
ca ca
num ponto a ∈ U . Define-se o gradiente de f em a, f (a), via

∂f ∂f
f (a) = (a), . . . , (a) .
∂x1 ∂xn

ıcio 2.2.6 Verifique que se f : U ⊂ Rn → R ´ diferenci´vel em a ∈ U entõ:
Exerc´ e a a

1. Df (a)(h) = Dh f (a) = f (a) · h;

2. sup h =1 Dh f (a) = f (a) .

Exerc´ ıcio 2.2.7 Mostre que a derivada da composi¸õ f ◦ g das transforma¸˜es lineares f (y) =
ca co
Ay, g(x) = Bx, onde f : Rn → Rm , g : Rp → Rn e A, B sõ matrizes reais m × n e n × p,
a
respectivamente, ´ a matriz AB.
e

O pr´ximo teorema fornece um m´todo de c´lculo da derivada de fun¸oes obtidas por com-
o e a c˜
posi¸õ. Note que para aplica¸˜es lineares a demonstra¸õ ´ trivial (exerc´
ca co ca e ıcio 2.2.7) e sugere o
resultado geral: a derivada da composta ´ a composta das derivadas. Mais precisamente:
e

Teorema 2.2.3 (Deriva¸õ da Fun¸õ Composta ou Regra da Cadeia)
ca ca
Sejam f : V ⊂ Rn → Rm e g : U ⊂ Rp → Rn , fun¸˜es diferenci´veis, a ∈ U, f (a) ∈ V com U e V
co a
abertos. Entõ f ◦ g : U ∩ f −1 (V ) → Rm ´ diferenci´vel em a e verifica-se:
a e a

D(f ◦ g)(a) = Df (g(a)) ◦ Dg(a).

Se f e g forem de classe C 1 entõ h ´ de classe C 1 .
a e

De um ponto de vista de c´lculo as derivadas parciais da composta sõ calcul´veis em termos das
a a a
derivadas parciais das fun¸˜es que definem a composi¸õ usando o resultado anterior e o facto de `
co ca a
composi¸õ de aplica¸˜es lineares corresponder o produto de matrizes que as representam. Assim
ca co
´ importante compreender exemplos cujo prot´tipo mais simples ´ do tipo seguinte:
e o e

Exemplo 2.2.6 Seja f : R2 → R e g = (g1 , g2 ) : R → R2 . Se f e g forem diferenci´veis entõ
a a

d(f ◦ g) ∂f dg1 ∂f dg2
(t) = (g1 (t), g2 (t)) (t) + (g1 (t), g2 (t)) (t).
dt ∂x1 dt ∂x1 dt
Um outro exemplo do mesmo gńero ´:
e e

Exemplo 2.2.7 Seja f (x, y) = (x + y, x − y) e g(t1 , t2 , t3 ) = (t1 + 2t2 , t2 + 2t3 ). f e g sõ
a
diferenci´veis. A derivada de f ◦ g ´
a e

D(f ◦ g)(t1 , t2 , t3 ) =Df (g(t1 , t2 , t3 ))Dg(t1 , t2 , t3 ) =
1 1 1 2 0 1 3 2
= = .
1 −1 0 1 2 1 1 −2

Quando nõ h´ risco de confusõ sobre os pontos em que se calculam as diversas derivadas
a a a
parciais ´ comum abreviar uma f´rmula como a do exemplo 2.2.6 como segue:
e o
d ∂f dg1 ∂f dg2
(f ◦ g) = +
ou
d ∂f dx1 ∂f dx2
(f ◦ g) = + .
H´ risco de confusõ em situa¸˜es como a seguinte:
a a co


´

Exerc´ ıcio 2.2.8 Suponha que f : R2 → R ´ diferenci´vel, f (0, 1) = 0 e f (1, 0) = 0. Seja
e a
g(x, y) = f (f (x, y), f (y, x)). Calcule
∂g
(0, 1)
∂x
em termos de derivadas parciais de f em pontos convenientes. Convir-lhe-´ usar a nota¸õ Di f
a ca
para evitar ambiguidades.

ıcio 2.2.9 Calcule a derivada da composi¸õ h = f ◦ g nos seguintes casos:
Exerc´ ca
1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e g(t) = (t, 2t, 3t)
2. f (x, y) = (xy 5 + y ch y 2 , x tg(sh x2 ) + 3y, x − y) e g(t) = (3, 4).

Exerc´ıcio 2.2.10 Seja f : U ⊂ Rn → R e g : [a, b] → U diferenci´veis tais que f ´ constante no
a e
contradom´ınio de g. Mostre que f (g(t)) · g (t) = 0 para todo o t ∈ [a, b]. Interprete este resultado
como significando que, para fun¸˜es diferenci´veis, o gradiente ´ ortogonal aos conjuntos de n´
co a e ıvel
da fun¸õ.
ca
O teorema de deriva¸õ da fun¸õ composta permite generalizar alguns resultados com facili-
ca ca
dade ` custa de resultados j´ conhecidos para fun¸˜es reais de vari´vel real. Por exemplo o teorema
a a co a
de Lagrange para fun¸˜es escalares em que se relaciona a diferen¸a entre os valores de uma fun¸õ
co c ca
em dois pontos e a derivada no segmento de recta4 que os une.

Teorema 2.2.4 (do valor m´dio ou de Lagrange)
e
Sejam U ⊂ Rn um aberto e f : U → R uma fun¸õ diferenci´vel. Se x, y ∈ U e L(x, y) ⊂ U entõ
ca a a
existe θ ∈ ]0, 1[ tal que

f (y) − f (x) = f (x + θ(y − x)) · (y − x).

Exerc´ ıcio 2.2.11 Prove o teorema do valor m´dio. Sugestõ: considere a fun¸õ de vari´vel real
e a ca a
g(t) = f (x + t(y − x)) e aplique o teorema do valor m´dio para fun¸˜es a uma vari´vel.
e co a

2.2.1 Exerc´
ıcio 2.2.12 Seja f : R2 → R definida por
Exerc´
xy 2
f (x, y) = x2 +y 4 , se (x, y) = (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).

a) Determine justificadamente o maior subconjunto do dom´
ınio de f em que esta fun¸õ ´
ca e
cont´
ınua.
b) Uma fun¸õ H : R2 → R2 verifica H(0, 1) = (1, −1) ´ diferenci´vel em (0, 1) sendo a matriz
ca e a
jacobiana de H nesse ponto dada por

1 −1
JH (0, 1) = .
1 2

Calcule a derivada dirigida D(1,1) (f ◦ H)(0, 1).

ıcio 2.2.13 Se f : R2 → R est´ definida por
*Exerc´ a
x3 −y 3
f (x, y) = x2 +y 2 , se (x, y) = (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
4 Dados x, y ∈ Rn define-se o segmento de recta unindo x a y como sendo o conjunto L(x, y) = {z = x+t(y−x) :

t ∈ [0, 1]}.


CAP´ ´

a) Calcule o valor m´ximo de Dh f (1, 2) quando h ´ um vector unit´rio.
a e a
b) Calcule a equa¸õ do plano tangente ao gr´fico de f no ponto (x, y, z) = (1, 2, −7/5).
ca a
*c) Decida justificadamente se o gr´fico de f constitui ou nõ uma variedade diferenci´vel. Se
a a a
optar pela negativa determine o maior subconjunto do gr´fico de f que efectivamente constitui
a
uma variedade diferenci´vel. Em qualquer caso determine justificadamente a dimensõ da
a a
variedade e o espa¸o normal no ponto (1, 2, −7/5).
c

Exerc´
ıcio 2.2.14 Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de
1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
2. f (x, y) = sen(sen(sen(sen(x + y))))
x+y 2
3. f (x, y) = 0
e−s ds

∂f
ıcio 2.2.15 Seja f (x, y) = y sen(x2 + arctg(y − cos(x))) + 2. Calcule
Exerc´ ∂x (0, 0).

Exerc´
ıcio 2.2.16 Moste que as seguintes fun¸˜es sõ diferenci´veis e calcule as suas derivadas:
co a a
1. f (x, y) = (x2 + y, x − y)
y x cos(s)
2. f (x, y) = (x 0
ecos(s) ds, y 0
e ds)

ıcio 2.2.17 Calcule a derivada de f ◦ g nos seguintes casos:
Exerc´
1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e g(t) = (sen(t), cos(t), 0);
2. f (x, y) = (x + y, x − y) e g(u, v) = (v, u);
2
+y 2 )
3. f (x, y, z, w) = cos(e(x − z − w) e g(p, q) = (0, 1, 2, 3).

o ıcios

2.2.14
∂f
a) ∂x = 2x, ∂f = 2y e ∂f = 2z. Observe que o vector (2x, 2y, 2z) ´ ortogonal ` fronteira
∂y ∂z e a
2 2 2
das bolas centradas em 0, isto ´ `s esferas de equa¸õ da forma x + y + z = c. Isto nõ
e a ca a
´ uma coincidˆncia mas sim uma consequˆncia do que foi aflorado no exerc´
e e e ıcio 2.2.10 e que
retomaremos!
∂f ∂f
b) ∂x = ∂y = cos(sen(sen(sen(x + y)))) cos(sen(sen(x + y))) cos(sen(x + y)) cos(x + y);
∂f ∂f 2
c) ∂x = ∂y = e−(x+y) (observe que nõ ´ necess´rio calcular o integral).
a e a

2.2.15 Observe que f (x, 0) = 2.
2.2.16 Ambas as fun¸˜es sõ de classe C 1 , pois as derivadas parciais sõ cont´
co a a ınuas. Portanto:
2x 1
1. Df = .
1 −1
y
0
ecos(s) ds xecos(y)
2. Df = x cos(s)
yecos(x) 0
e ds

2.2.17


`
2.3. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR A PRIMEIRA

1. Observe que (f ◦ g)(t) = 1 para qualquer t.

2. Pela regra da cadeia temos:

1 1 0 1 1 −1
D(f ◦ g) = Df Dg = = .
1 −1 1 0 1 1

3. Note que Dg = 0 pelo que D(f ◦ g) = 0.

2.3 Derivadas parciais de ordem superior ` primeira
a
Vamos considerar com derivadas parciais de ordem superior ` primeira que, no essencial, se definem
a
recursivamente.

Defini¸õ 2.3.1 Seja f : Rn → R. As derivadas parciais de segunda ordem, com respeito a xi e
ca
xj , 1 ≤ i, j ≤ n, sõ definidas por
a
∂2f ∂ ∂f
= ,
∂xi ∂xj ∂xi ∂xj
∂2f ∂2f
caso a expressõ da direita esteja definida. Se i = j escreve-se
a ∂xi ∂xi = ∂x2
. Procede-se de modo
i
an´logo para derivadas parciais de ordem superior ` segunda.
a a

Exemplo 2.3.1 Uma nota¸õ como
ca
∂4u
∂x∂y 2 ∂z
indica que a fun¸õ u foi derivada sucessivamente em ordem ` vari´vel z, duas vezes em ordem a
ca a a
y e finalmente em ordem a x.

Exemplo 2.3.2 Seja f (x, y) = x2 + 2y 2 + xy. Temos

∂2f ∂ ∂f ∂
= = (4y + x) = 1.
∂x∂y ∂x ∂y ∂x

Exemplo 2.3.3 Seja f (x, y, z) = sen(x + y + z)

∂5f ∂4 ∂3
= 2 (cos(x + y + z)) = − 2 (sen(x + y + z)) =
∂x2 ∂y∂z∂y ∂x ∂y∂z ∂x ∂y
2
∂ ∂
= − 2 (cos(x + y + z)) = (sen(x + y + z)) = cos(x + y + z).
∂x ∂x

∂2f
Exerc´ıcio 2.3.1 Seja f (x, y) = x2 + 2y 2 + xy. Calcule ∂y∂x ; observe que o resultado ´ o mesmo
e
do exemplo 2.3.2.

O resultado deste ultimo exerc´
´ ıcio ser o mesmo do exemplo 2.3.2 nõ ´ uma coincidˆncia mas
a e e
sim a consequˆncia de um facto mais geral — o Teorema de Schwarz. Antes de o enunciarmos
e
precisamos de uma defini¸õ:
ca

Defini¸õ 2.3.2 Considere uma fun¸õ f : U ⊂ Rn → R.
ca ca

• Se U for aberto diz-se que f ´ de classe C k em U , k ∈ N, ou abreviadamente f ∈ C k (U ), se
e
todas as derivadas parciais de ordem k de f existirem e forem cont´ ınuas em U .


CAP´ ´

y

y +k

y

x x +h x

Figura 2.2: Conven¸˜es na demonstra¸õ da Proposi¸õ 2.2.2 e do Teorema 2.3.1.
co ca ca

• Se U nõ for aberto escrevemos f ∈ C k (U ), k ∈ N, se existir V aberto com V ⊃ U e uma
a
fun¸õ g ∈ C k (V ) tal que a restri¸õ de g a U seja igual a f .
ca ca

• f diz-se de classe C 0 (U ) se for cont´
ınua em U .

• Adicionalmente, para U aberto, definimos C ∞ (U ) = ∩k∈N C k (U ) e para um conjunto nõ
a
necessariamente aberto procedemos como anteriormente.

Na maior parte das aplica¸˜es do c´lculo diferencial a hip´tese de uma fun¸õ ser de classe C k
co a o ca
para um certo k ´ natural. Certos resultados a citar a seguir serõ v´lidos sob hip´teses mais gerais
e a a o
mas abstermo-nos-emos de dar importˆncia especial a tais hip´teses. Por vezes serõ remetidas
a o a
para problemas.

Exerc´ıcio 2.3.2 Seja p(x1 , . . . xn ) um polin´mio em n vari´veis. Mostre que sen(p(x1 , . . . xn )) ´
o a e
uma fun¸õ C ∞ (Rn ).
ca

Problema 2.3.1 Verifique que se j < k entõ C k ⊂ C j .
a

O pr´ximo teorema ´ um resultado muito importante que permite reduzir o n´mero de c´lculos
o e u a
necess´rios para determinar as derivadas parciais de ordem superior ´ primeira. Ele diz-nos que,
a a
sob certas condi¸˜es, a ordem pela qual se deriva uma fun¸õ ´ irrelevante.
co ca e

Teorema 2.3.1 (Schwarz)
∂2f ∂2f
Seja f : U ⊂ Rn → R, a um ponto interior a U , f ∈ C 2 (U ). Entõ
a ∂xi ∂xj (a) = ∂xj ∂xi (a) para
ındices 1 ≤ i, j ≤ n.
quaisquer ´

Ideia da demonstra¸õ. Basta considerar n = 2 e convencionamos a = (x, y). Notamos que
ca

∂2f [f (x + h, y + k) − f (x + h, y)] − [f (x, y + k) − f (x, y)]
(x, y) = lim lim (2.3)
∂x∂y h→0 k→0 hk
∂2f [f (x + h, y + k) − f (x, y + k)] − [f (x + h, y) − f (x, y)]
(x, y) = lim lim (2.4)
∂y∂x k→0 h→0 hk

Designemos o numerador das fraç˜es dos segundos membros de (2.3-2.4) por D(h, k). Aplicando
co
o teorema de Lagrange ` fun¸õ g(t) = f (x + t, y + k) − f (x + t, y) no intervalo [0, h] obtemos que
a ca


`
2.3. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR A PRIMEIRA

existe θ1 , 0 < θ1 < 1, tal que

∂f ∂f
D(h, k) = h (x + θ1 h, y + k) − (x + θ1 h, y) .
∂x ∂x

Uma segunda aplica¸õ do teorema de Lagrange permite obter que existe θ2 , 0 < θ2 < 1, tal que
ca

∂2f
D(h, k) = hk (x + θ1 h, y + θ2 k).
∂y∂x

Substitui¸õ em (2.3) e justifica¸õ de que ambos os limites iterados igualam lim(h,k)→(0,0) D(h, k)
ca ca
permitem obter a igualdade pretendida.

Problema 2.3.2 O ultimo passo da demonstra¸õ da Proposi¸õ 2.3.1 merece alguns coment´ri-
´ ca ca a
os. Por um lado θ1 e θ2 sõ fun¸˜es de h e k. Por outro a rela¸õ entre um limite e um limite
a co ca
iterado ´, em geral, mais complexa do que o leitor pode imaginar. Seja f : U ⊂ R2 → R e (x0 , y0 )
e
um ponto interior de U . Mostre que:

a) Pode existir lim(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) sem que exista limx→x0 limy→y0 f (x, y).

b) Se lim(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) e limx→x0 limy→y0 f (x, y) existirem entõ sõ iguais.
a a

´ o
Problema 2.3.3 E ´bvio da demonstra¸õ da Proposi¸õ 2.3.1 que a hip´tese f ∈ C 2 pode ser
ca ca o
aligeirada. Isto pode ser feito de v´rias formas. Formule e demonstre pelo menos dois resultados
a
deste tipo com hip´teses “m´
o ınimas” nõ equivalentes.
a

Exemplo 2.3.4 Seja f = 2xy. f ´ de classe C 2 uma vez que ´ um polin´mio, portanto temos a
e e o
seguinte igualdade
∂2f ∂2f
= =2
∂x∂y ∂y∂x

Exemplo 2.3.5 Se f ´ de classe C 3 tˆm-se as seguintes igualdades:
e e

∂3f ∂3f ∂3f
= =
∂x2 ∂y ∂x∂y∂x ∂y∂x2
e
∂3f ∂3f ∂3f
2 ∂x
= = .
∂y ∂y∂x∂y ∂x∂y 2

Exerc´ıcio 2.3.3 Calcule as derivadas de todas as ordens de f (x, y, z) = 2x3 z+xyz+x+z (observe
que s´ h´ um n´mero finito de derivadas nõ nulas. Porquˆ?).
o a u a e

O conceito de derivada dirigida de ordem superior ` primeira permite formalizar o enunciado da
a
f´rmula de Taylor de uma forma an´loga ao resultado j´ conhecido para fun¸˜es reais de vari´vel
o a a co a
real.

Defini¸õ 2.3.3 Seja f : U ⊂ Rn → R. As derivadas dirigidas de ordem superior ` primeira de
ca a
(1)
f num ponto x ∈ U segundo h definem-se recursivamente, se existirem, por Dh f (x) = Dh f (x)
e
(j) (j−1)
Dh f (x) = Dh (Dh f (x)), se j > 1.

Relembra-se que para fun¸˜es diferenci´veis, e em particular de classe C 1 , temos Dh f (x) =
co a
h · f (x).


CAP´ ´

Problema 2.3.4 Verifique que para fun¸˜es de classe C j num aberto o c´lculo da derivada diri-
co a
(j) j
gida Dh f corresponde a aplicar ` fun¸õ f o operador diferencial (h · ) e consequentemente
a ca
(j)
Dh f ´ um polin´mio homogńeo5 de grau j nas componentes do vector h. Se h = (h1 , h2 )
e o e
verifique que para n = 2 e j = 2 temos

(2) ∂2f ∂2f 2
2∂ f
Dh f = h2
1 2 + 2h1 h2 ∂x ∂x + h2 ∂x2 .
∂x1 1 2 2

Em geral obtenha
n n
(j) ∂j f
Dh f = ··· hi1 . . . h ij .
i1 =1 ij =1
∂xi1 . . . ∂xij

Note que existem termos “repetidos” na f´rmula anterior. Calcular o n´mero de repeti¸˜es ´
o u co e
um problema de c´lculo combinat´rio cuja solu¸õ no caso n = 2 ´ bem conhecida.
a o ca e

2.3.1 Exerc´
ıcio 2.3.4 Seja f : R2 → R definida por:
Exerc´

xy, se |y| > |x|,
f (x, y) =
0, caso contr´rio.
a

Mostre que:
∂2f ∂2f
(0, 0) = 0 (0, 0) = 1.
∂x∂y ∂y∂x
Explique porque ´ que isto nõ contradiz o teorema 2.3.1.
e a

ıcio 2.3.5 Seja f : R2 → R uma fun¸õ limitada (nõ necessariamente cont´
Exerc´ ca a ınua). Mostre
que
g(x, y) = x + y + (x2 + y 2 )f (x, y)
´ diferenci´vel na origem. Calcule a sua derivada. Dˆ um exemplo de uma fun¸õ f tal que g nõ
e a e ca a
seja cont´
ınua no complementar da origem.

Exerc´ıcio 2.3.6 Suponha f : Rn → Rn , f bijectiva, diferenci´vel e f −1 tamb´m diferenci´vel.
a e a
−1
Mostre que Df −1 (f (x)) = [Df (x)] . Use esta observa¸õ para, por exemplo, rededuzir a f´rmula
ca o
da derivada de arcsen.

o ıcios

2.3.4 O teorema 2.3.1 s´ se aplicaria se a fun¸õ f fosse de classe C 2 .
o ca
2.3.5 Use a defini¸õ de derivada para mostrar que g ´ diferenci´vel com derivada representada
ca e a
por g(0, 0) = (1, 1). Para a segunda parte um exemplo poss´ ´
ıvel e

1, se x ∈ Q,
f (x, y) =
0, caso contr´rio.
a

2.3.6 Observe que f (f −1 (x)) = x. Diferencie esta expressõ.
a d
dy (arcsen y) =√ 1
.
1−y 2

5 Um polin´mio P de grau k diz-se homogńeo se P (λx) = λk P (x) para todo o λ ∈ R.
o e


´
2.4. POLINOMIO DE TAYLOR

2.4 Polin´mio de Taylor
o
Tal como no caso de fun¸˜es reais de vari´vel real podemos construir aproxima¸˜es polinomiais de
co a co
fun¸˜es de classe C k .
co

Teorema 2.4.1 (Taylor)
Seja f : U ⊂ Rn → R uma fun¸õ de classe C k (U ) com U um aberto e x0 ∈ U . Para cada j ≤ k
ca
existe um polin´mio em n vari´veis de grau j, unico, Pj : Rn → R tal que
o a ´

f (x) − Pj (x)
lim j
= 0. (2.5)
x→x0 |x − x0 |

O polin´mio Pj ´ designado por polin´mio de Taylor de ordem j de f relativo ao ponto x0 e ´
o e o e
dado por
j
1 (l)
Pj (x) = f (x0 ) + D f (x0 ). (2.6)
l! x−x0
l=1

O erro Ej (x) da f´rmula de Taylor ´ dado por
o e

Ej (x) = f (x) − Pj (x).

Ideia da demonstra¸õ. Decorre do resultado j´ conhecido para n = 1 e do teorema de deriva¸õ
ca a ca
da fun¸õ composta por considera¸õ da fun¸õ auxiliar g : [0, 1] → R definida por g(t) = f (t(x −
ca ca ca
x0 ) + x0 ) em que x ∈ Br (x0 ) ⊂ U .

Problema 2.4.1 Use o problema 2.3.4 para obter a f´rmula de Taylor na forma:
o
k
1 ∂pf
f (x) = i i
(x0 ) (x1 − x01 )i1 . . . (xn − x0n )in + Ek (x − x0 ). (2.7)
p=0 i1 +...+in =p
p! ∂y11 . . . ∂ynn

O leitor ´ aconselhado a pensar no polin´mio de Taylor via a propriedade (2.5) e nõ simples-
e o a
mente como um polin´mio calcul´vel via (2.6) ou (2.7).
o a

Problema 2.4.2 Formule o Teorema de Taylor explicitando o resto da f´rmula de Taylor numa
o
forma an´loga a uma das conhecidas para fun¸˜es reais de vari´vel real.
a co a

Poder´ pensar-se que o c´lculo do polin´mio de Taylor para fun¸˜es de v´rias vari´veis e
a a o co a a
para uma ordem relativamente elevada ´ um pesadelo computacional. Nem sempre ser´ assim se
e a
tirarmos partido, quando poss´
ıvel, de resultados j´ conhecidos para fun¸˜es de uma vari´vel.
a co a
Frequentemente em vez de escrevermos o termo de erro Ek (x − y), escrevemos o( x − y k ),
com o mesmo significado.

Exemplo 2.4.1 Se f (x, y) = xy + sen x, a f´rmula de Taylor de segunda ordem em torno de
o
(π, 0) ´:
e

∂f ∂f 1 ∂2f
f (x, y) =f (π, 0) + (x − π) + y++ (x − π)2
∂x (π,0) ∂y (π,0) 2 ∂x2 (π,0)
∂2f 1 ∂2f
+ (x − π)y + y 2 + o( (x − π, y) 2 ),
∂x∂y (π,0) 2 ∂y 2 (π,0)

ou seja
f (x, y) = π − x + xy + o( (x − π, y) 2 ).


CAP´ ´

Exemplo 2.4.2 Se f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 entõ a sua expansõ em f´rmula de Taylor at´ `
a a o e a
segunda ordem, em torno de qualquer ponto, ´ x2 +2xy+y 2 . Com efeito, f (x, y)−x2 +2xy+y 2 = 0
e
pelo que (2.8) vale. Repare que isto evitou termos de calcular 5 derivadas!

Exerc´
ıcio 2.4.1 Calcule a f´rmula de Taylor at´ ` terceira ordem das seguintes fun¸˜es:
o ea co
1. f (x, y, z) = x + y 2 + z;
2. f (x, y, z) = 1 + x + y + z + xy + xz + yz + xyz;
3. f (x, y) = ex + xyz.

Exerc´ıcio 2.4.2 Mostre que a f´rmula de Taylor de ordem k para um polin´mio de grau k coincide
o o
com o polin´mio.
o

Exerc´ıcio 2.4.3 Demonstre a parte correspondente a unicidade do teorema de Taylor. [Suponha
que existe um polin´mio p(x) para o qual (2.8) vale. Mostre que se existisse outro polin´mio
o o
q(x) = p(x), de grau menor ou igual ao grau de p obter´
ıamos uma contradi¸õ.]
ca
Em certos casos podemos utilizar o conhecimento da expansõ em potˆncias de uma fun¸õ
a e ca
real de vari´vel real para calcularmos a expansõ em potˆncias de express˜es mais complicadas:
a a e o

Exemplo 2.4.3 Queremos calcular a expansõ de Taylor da fun¸õ sen(x2 + y 4 ) at´ ` ordem 6
a ca ea
em torno da origem. Sabemos que
t3
sen t = t − + o(|t|3 ).
6
Deste modo temos
(x2 + y 4 )3
sen(x2 + y 4 ) = x2 + y 4 − + o((x2 + y 4 )3 )
6
pelo que
x6
sen(x2 + y 4 ) = x2 + y 4 − + o( (x, y) 6 ),
6
em que na ultima igualdade tivemos em aten¸õ que (x2 + y 4 )3 = x6 + 3x4 y 4 + 3x2 y 8 + y 12 =
´ ca
x6 + o( (x, y) 6 ) e x2 + y 4 ≤ x2 + y 2 para (x, y) suficientemente pequeno.

Exemplo 2.4.4 Seja
g(x, y) = sen(x2 − y 2 ).
e suponhamos que pretendemos obter o polin´mio de Taylor de s´tima ordem de g relativo a (0, 0).
o e
Sabemos que o seno ´ uma fun¸õ inteira cuja s´rie de Taylor relativa a 0 (s´rie de Mac
e ca e e
Laurin) ´
e
λ3 λ5 k+1 λ
2k−1
sen λ = λ − + − · · · + (−1) + ...
3! 5! (2k − 1)!
Tal permite-nos ter um palpite `cerca do polin´mio de Taylor pretendido simplesmente por substi-
a o
tui¸õ formal de λ por x2 − y 2 na igualdade anterior e s´ considerando os termos de grau menor
ca o
ou igual a sete. Obtem-se um polin´mio
o
3
(x2 − y 2 )
Q(x, y) = (x2 − y 2 ) −
3!
Resta provar que efectivamente se trata do polin´mio de Taylor pretendido. Para tal usa-se a
o
caracteriza¸õ (2.5) do polin´mio de Taylor. De facto
ca o
λ3
sen λ − λ + 3!
lim =0
λ→0 λ4


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