Engenharia Econômica: decisões de investimento

José
Alberto
Nascimento
de
Engenheiro e Mestre em Engenharia ae Produção
Gerente de Orçamento e Gustos da Siderúrgica Mendes Júnior S.A.
Professor do INEA-Instituto de Engenharia Econômica
em Belo Horizonte

Oliveira

Engenharia
Econômica:
Uma abordagem às
decisões de investimento

McGraw-Hill
São Paulo
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Capa: Marco Antonio de São Pedro

CIP - Brasil. Catalogação - na - Publicação
Câmara Brasileira do Livro, SP

Oliveira, José Alberto Nascimento de.
Engenharia econômica: uma abordagem às decisões de
investimento / José Alberto Nascimento de Oliveira. — São
Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982.

047e

Bibliografia^
1. Engenharia econômica 2. Investimentos - Análise
3. Matemática financeira I. Título.

82-1375

17. CDD-511.8
18.
-513.93
17. e 18.
-338.4762
17. e 18.
. -658.152
índices para catálogo sistemático:

1. Engenharia econômica 338.4762 (17. e 18.)
2. Investimentos: AnáÜse financeira: Administração de empresas
658.152 (17. e 18.)
3. Matemática financeira 511.8 (17.) 513.93 (18.)

Sumário

PÁG.
VIII

APRESENTAÇÃO
PREFÁCIO

X

CAPITULO 1 - INTRODUÇÃO
1.1
1.2

— Considerações preliminares
—Processo de comparação entre

alternativas

1
2

CAPITULO 2 - CONCEITOS FINANCEIROS ESSENCIAIS A ENGENHARIA
ECONÔMICA
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13

—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—

Conceito de juro
Regimes de capitalização
Conceito de valor do dinheiro no tempo
Juros compostos
Equivalência de capitais
Diagrama de fluxos de caixa
Montante e valor presente
Série uniforme de pagamentos
Série em gradiente uniforme
Taxas de juros efetiva e nominal
Resumo dos fatores de juros compostos
Problemas resolvidos
Problemas propostos

4
5
5
6
6
7
8
9
11
14
15
15
24

CAPITULO 3 - MÉTODOS PARA COMPARAÇÃO ENTRE ALTERNATIVAS
DE INVESTIMENTO
3.1 — Considerações preliminares . .
...
3.2 — Conceito de taxa mínima de atratívidade
3.3 — Método do valor presente líquido.
3.4 — Método do benefício líquido anual uniforme
3.5 --- Método do custo anual uniforme
3.6 — Método da taxa interna de retorno
3.7 — "Pay-back", um método incorreto de uso generalizado
3.8 — Considerações sobre outros métodos incorretos. .
3.9 — Problemas propostos

26
27
27
33
35
37
55
60
60

CAPITULO 4 - COMPARAÇÃO ENTRE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO
SOB CIRCUNSTÂNCIAS ESPECIFICAS
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

— Considerações preliminares
— Alternativas que resultam em fluxos de caixa com mais de uma
inversão de sinal
— Alternativas com diferentes horizontes de
planejaménto
— Existência de restrições financeiras
— Problemas propostos

65
66
75
80
83

CAPITULO 5 - CONTABILIDADE DE DEPRECIAÇÃO
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10

—
—
—
—
—
—
—
—
—
—

Conceito
de
depreciação
Método linear de depreciação
Método exponencial.
Método da soma dos dígitos
Método do fundo de renovação (''Sinking-Fund")
Método da soma inversa dos dígitos
Depreciação por produção
Depreciação conjunta
.
Depreciação numa conjuntura inflacionária
Problemas propostos

86
87
90
92
93
95
95
96
97
97

CAPITULO 6 - A INFLUÊNCIA DO IMPOSTO DE RENDA NA COMPARAÇÃO
ENTRE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5

—
—
—
—
—

Considerações preliminares
Análise de projetos apôs o Imposto de Renda
Projetos que envolvem lucro tributável negativo
Caso particular do método do custo anual uniforme.
Problemas
propostos

99
100
107
109
111

CAPÍTULO 7 - FINANCIAMENTO DE PROJETOS
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8

—
—
—
—
—
—
—
—

Considerações preliminares
Fontes de recursos para o financiamento de projetos
Ainda o problema da taxa mínima de atratividade
Financiamento com recursos próprios
Financiamento com composição mista de recursos
Financiamento com recursos de terceiros
Operações de "leasing"..
Problemas propostos

114
115
116
116
118
122
122
127

CAPÍTULO 8 - A A V A L I A Ç Ã O DE INVESTIMENTOS N U M A ECONOMIA
INFLACIONÁRIA
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8

—
—
—
—
—
—

A abordagem da inflação no estudo de investimentos
A inflação associada ao retorno do investimento
A influência dos infratores diferenciados
Projetos com financiamentos subsidiados..
Projetos apresentando necessidade de capital de giro
A questão da taxa de juros a ser utilizada para desconto de duplicatas
- Estudos em moeda corrente
— Problemas propostos

129
130
134
135
139
144
148
150

CAPITULO 9 - RISCO E INCERTEZA
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5

—
—
—
—
—

Os conceitos de risco e incerteza
Técnicas para análise de risco.
Análise de sensibilidade
Simulação de
Problemas propostos

risco

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS BIBLIOGRAFIA

APÊNDICE - TABELAS DE JUROS COMPOSTOS

152
153
153
157
164

Apresentação
Uma das decisões mais relevantes atualmente refere-se à questão da alocação
de recursos escassos através da sociedade. Dentro deste contexto, o investimento de
capital reveste-se de especial importância em função da característica de irreversibilidade que lhe é peculiar e das conseqüências futuras que produz, quer a nível empresarial, governamental e, mesmo, pessoal.
O reconhecimento deste fato despertou, nos últimos anos, um profundo interesse pelo estudo das técnicas e critérios que norteiam as decisões de investimento,
originando uma série de programas destinados ao ensino da matéria, tanto a nível
acadêmico como orientados ao preparo de profissionais envolvidos com questões
desta natureza.
Sem pretender esgotar o assunto, cuja abrangência ultrapassa as fronteiras
de um universo restrito, este texto foi escrito com a preocupação de contribuir para
a complementação da bibliografia existente, colocando ao alcance do leitor um
enfoque atual da clássica teoria de alocação do capital, ajustado ao contexto de um
ambiente econômico inflacionário e enriquecido por uma visão pessoal consolidada
ao longo dos anos no exercício de nossas atividades profissionais no âmbito empresarial e acadêmico.
Visando proporcionar maior flexibilidade ao estudo da matéria, o trabalho foi
subdividido em nove capítulos, que podem ser explorados em maior ou menor intensidade, em função de tempo disponível e do interesse de cada um. Assim, os dois
primeiros capítulos introduzem os conceitos e bases para a discussão dos assuntos a
serem tratados posteriormente, devendo constituir-se em leitura essencial aos iniciantes.
No Capítulo 3, são apresentados os métodos comumente utilizadas para a
comparação de alternativas de investimento e estabelecida uma crítica a alguns métodos deficientes, de uso generalizado, mas que podem conduzir a conclusões errôneas.

O Capitulo 4 representa uma extensão do anterior, abordando problemas específicos, tais como a questão dos fluxos de caixa, que apresentam mais de uma inversão de sinal, e a problemática da avaliação de projetos com vidas desiguais, podendo ser suprimido num curso de menor duração.
O Capítulo 5 trata do problema da contabilidade da depreciação, essencialmente, com vistas à elaboração de estudos econômicos de investimento e lança as
- bases necessárias à discussão da influência do imposto de renda na comparação de
propostas de investimento, no capítulo seguinte.
O Capítulo'7 trata do impacto produzido pelas fontes de recursos escolhidas
para financiar o empreendimento, constituindo-se um tópico importante do trabalho.
O problema da avaliação de investimentos numa conjuntura inflacionária, talvez a parte mais importante, deste livro, é discutido nò Capítulo 8. Aqui, este tema
tão atraente quanto complexo, é abordado de modo essencialmente pragmático,
procurando-se discutir apenas aspectos vitais do problema, evitando-se sempre o excesso de rigorismo conceituai em favor da simplicidade do modelo apresentado, com
vistas à operacionalização das proposições contidas.
A questão da análise do risco e incerteza, associada aos projetos de capital, é
tratada no Capítulo 9. Neste tópico é destacada a aplicação da simulação probabilística de risco, uma técnica de grande alcance prático, porém muito pouco difundida
em nosso País.
Obviamente, nenhuma obra desta natureza toma-se exeqüível sem a existência
de alguns colaboradores abnegados. Assim, gostaria de expressar o meu preito de gratidão para com aquelas pessoas que, de uma forma ou de outra, contribuíram para
que este trabalho chegasse ao seu final. Em primeiro lugar a minha esposa Maria
José, para quem os inúmeros fins de semana e feriados sacrificados, os quais por
absoluta falta de tempo fui obrigado a dedicar à elaboração deste trabalho, foram
apenas uma fonte inesgotável para a paciência e o estímulo que me reservou. Aos meus
amigos e colegas de trabalho, em especial a Carlos Eduardo Ramos Melloni, Marcos
Vülela Vieira, Ricardo Dias Pimenta e Robson Magalhães Pereira pelas sugestões e
conselhos dos quais freqüentemente me beneficiei. Este último também responsável
pelo desenvolvimento do programa e elaboração das tabelas de juros compostos em
computador, que se encontram como Anexo desta obra. Finalmente, aos meus exalunos dos cursos de pós-graduação mantidos pelo INEA-Instituto de Engenharia
Econômica e Administração, de Belo Horizonte, e à equipe administrativa desta Instituição, cuja convivência nos últimos quatro anos foi decisiva para que este livro
tomasse sua forma atual.

JOSÉ ALBERTO NASCIMENTO DE OLIVEIRA

Juiz de Fora, outubro de 1982

Prefácio
José Alberto Nascimento de Oliveira, brilhante e estudioso engenheiro, vem
brindar-nos com excelente e minucioso estudo sobre conceitos financeiros essenciais, métodos para comparação entre alternativas de investimento e elaborado trabalho voltado ao processo de tomada de decisões de investimento numa economia
de livre iniciativa.
O autor, adotando uma filosofia essencialmente prática, fundamentada em
sua própria experiência no trato da matéria a nível acadêmico e profissional, e sem
abandonar o rigor conceituai, expõe de modo conciso e objetivo toda a metodologia
tradicional relativa aos critérios de alocação de capital.
Assim, são discutidos, primeiramente, os conceitos financeiros básicos, essenciais aos iniciantes para á compreensão do tema. A seguir, são apresentados, exaustivamente, os métodos e técnicas usualmente utilizados na avaliação de alternativas
de investimento, e minuciosamente examinados, inclusive temas tais como a influência exercida pelo Imposto de Renda e pelos diversos tipos de financiamento sobre a rentabilidade dos projetos.
Fugindo à abordagem tradicional e, naturalmente, sem pretender esgotar o assunto, dado à sua profundidade e extensão, o autor formula interessante proposições de caráter eminentemente operacional acerca da sempre atual problemática de
avaliação de investimentos numa conjuntura inflacionária.
Tão meritória contribuição, que lhe deverá ter custado árduas e pertinazes
pesquisas sobre matéria tão árida quão complexa, veio preencher uma lacuna que
se vinha fazendo sentir no campo da Engenharia Econômica.
Louvo, sem restrições, o excelente trabalho do caro companheiro, e estou certo de que o mesmo alcançará todo o êxito de que é realmente merecedor.

José Carlos da Frota Nogueira
Diretor Financeiro da Siderúrgica Mendes Júnior

capítulo
Introdução
1.1

Considerações Preliminares

É consenso generalizado que o objetivo relevante de uma empresa, numa economia de livre iniciativa e em regime de concorrência, consiste na maximização dps
lucros de seus proprietários, a longo prazo.
A reconhecida necessidade de se buscar contínua e agressivamente resultados
eficazes para a consecução deste objetivo freqüentemente exige o desenvolvimento
de novos produtos, construção de outras fábricas, substituição de equipamentos
obsoletos, novos métodos de fabricação e comercialização, sistemas mais econômicos para a movimentação de materiais etc, incorporando de forma definitiva o
investimento como um fato da vida econômica da empresa.
Na vida real, entretanto, ocorre que a quantidade de recursos disponíveis para
a realização de inversões é insuficiente para atender a todas as oportunidades existentes. Esta escassez de recursos leva a administração a agir no sentido do decidir racionalmente quanto à sua alocaçâio naquelas alternativas de investimento mais interessantes.
* Genericamente o termo investimento pode ser definido como sendo "o ato de aplicação de
um determinado recurso em um uso, na expectativa de obtêr-se um benefício satisfatório
durante certo número de períodos futuros".

1

2

Introdução

Tomar tais decisões exclusivamente a partir de juízos de valor, experiência
anterior ou pura intuição tem sido muito freqüente. O elevado aporte de recursos
exigidos, associado à característica de irreversibilidade das decisões sobre investimentos, tem provocado, contudo, enganos de graves conseqüências devido a esta
abordagem incorreta. Este fato, aliado à crescente importância das decisões sobre
investimentos nas empresas modernas, gerou tendências mais recentes, que evoluíram no sentido de enfocar objetivamente estas decisões, por meio de métodos quantitativos de análise. '
A Engenharia Econômica é a técnica que possibilita quantificar monetariamente e avaliar economicamente aquelas alternativas, permitindo ao administrador
a posse do conjunto de elementos necessários à correta tomada de decisão.
Sucintamente pode-se definir a Engenharia Econômica como sendo o conjunto de princípios e técnicas necessárias à tomada de decisões sobre alternativas de investimento.
Embora tenham suas origens no texto clássico de Arthur M. Wellington, The

Economic Theory of Railway Location, publicado em 1887, as técnicas da Engenharia Econômica foram desenvolvidas e apuradas posteriormente na indústria e nos
órgãos governamentais, sendo que atualmente sua utilidade é evidenciada em atividades diversas além da engenharia, incluindo-se, entre estas, finanças, marketing,
produção e até mesmo muitas decisões pessoais sobre questões que envolvem a aplicação de capital. Justifica-se, contudo, a conservação da terminologia, pelo fato de
que, mesmo atualmente, grande parte dos problemas de investimento envolvem aspectos de natureza técnica, afins às diversas especialidades da engenharia.

1.2 Processo de Comparação entre Alternativas
O processo de comparação entre alternativas inicia-se na apresentação do conjunto de alternativas tecnicamente viáveis, incluindo-se, entre estas, a de "não fazer
nada". Subseqüentemente, estas opções são avaliadas e finalmente tem-se os elementos necessários à tomada de decisão com respeito a elas.
Inegavelmente representa uma impossibilidade comparar alternativas expressas em valores de diferentes espécies. A solução é exprimir as vantagens e desvantagens de cada uma delas através de um denominador comum, o que pode ser obtido
traduzindo-ãs a termos monetários. Neste processo as conseqüências comuns a todas as alternativas não necessitam ser consideradas, visto que, se incluídas, as afetariam igualmente. Neste caso, o procedimento de mensuração em unidades monetárias deve buscar quantificar apenas as diferenças futuras; as ocorrências passadas representam eventos comuns, sendo, portanto, irrelevantes.
Embora sejam estes os procedimentos básicos, em qualquer tentativa de quantificação monetária das alternativas existentes, verificar-se-á, invariavelmente, que
nem todos os fatores relevantes podem ser expressos em tais termos. A implementa-

Engenharia Econômica 3
ção de uma certa alternativa de investimento pode resultar numamelhoria do bemestar dos funcionários, melhoria da imagem da empresa òu pode, ainda, significar
uma garantia à sua sobrevivência.
Embora torne-se impossível quantificar monetariamente tais conseqüências,
estas deverão ser consideradas na fase de decisão, posteriormente à análise econômica. Se os resultados dos estudos indicarem grande superioridade de uma dada alternativa, os fatores irredutíveis terão pouca importância na escolha da solução mais
conveniente. Caso contrário estes assumirão importância vital, e a decisão final tenderá a basear-se nesses fatores.

Conceitos financeiros essenciais
à Engenharia Econômica
2.1

Conceito de Juro

Suponhamos que o Sr. Marcos dispõe de Cr$ 500.000,00 resultantes de um
prêmio obtido na última aposta da Loteria Esportiva. Evidentemente, nenhuma pessoa que apresente uma razoável dose de bom senso deixaria este dinheiro guardado
no cofre de sua casa, por existirem, no sistema econômico em que vivemos, inúmeras formas de aplicação deste capital. Estariam disponíveis alternativas tais como:
aplicação em caderneta de poupança, compra de ações ou, talvez, aquisição de
um apartamento para venda posterior.
Claramente, qualquer que seja a opção, estar-se-á assumindo uma expectativa
de ganho futuro, aliada a uma certa probabilidade de falha inerente ao empreendimento, que poderá resultar em ganhos aquém do esperado e até mesmo em prejuízo.
Suponhamos que o Sr. Marcos tenha optado pela alternativa de investir seu capital na aquisição de um apartamento em estágio de construção, para vendê-lo quando concluído, por considerar que, além do lucro satisfatório que lhe será proporcionado, as chances de ocorrência de um resultado desfavorável são reduzidas.

4

Engenharia Econômica . 5
Caso o leitor esteja interessado em tomar emprestado os Cr$ 500.000,00
pertencentes ao Sr. Marcos, para aplicá-los num negócio particular, evidentemente
terá de compensá-lo, remunerando o seu capital de forma a cobrir o ganho que este
estaria deixando de auferir na transação do apartamento e, eventualmente, oferecendo uma quota de rendimentos extras que assegurem o seu interesse em assumir
uma chance adicional de insucesso, associada a esta oportunidade de investimento.
O valor total a ser pago como remuneração do capital é denominado furo.
Em outras palavras, o juro pode ser entendido como a remuneração do capital
pelo seu uso alternativo. Uma parcela desta remuneração representa o quanto se deixou de ganhar pela não-utilização deste capital em outras oportunidades de investimento. A outra parcela é correspondente a uma compensação pelo risco do empreendimento.
Genericamente, todas as formas de remuneração de capital, sejam elas lucros,
dividendos, ou quaisquer outras, podem ser consideradas como um juro.
Na prática, o juro é expresso mediante uma taxa em relação a períodos de
tempo, sob a forma unitária ou percentual, simbolicamente representada pela letra
i A taxa diz-se unitária quando referida a uma unidade de capital, e percentual
quando referida a cem unidades. Assim, 0,12 é a expressão de uma taxa unitária,
significando que para cada unidade de capital são pagos doze centésimos de unidade de juros. Por outro lado, 12/100, comumente representado por 12%, expressa a
mesma taxa na base percentual, significando que cada cem unidades de capital rendem doze unidades de juros.

2.2

Regimes de Capitalização

O processo de formação de juros, denominado regime de capitalização, pode
ocorrer a juros simples ou a juros compostos.
No regime de capitalização a juros simples, somente o capital inicial, geralmente chamado de principal, rende juros. Quando se opera em regime de capitalização a juros compostos, os juros formados a cada período são incorporados ao principal, passando também a produzir juros.
Nos meios econômicos o emprego de juros simples é pouco freqüente. O reinvestimento dos juros é prática usual e a sua consideração na feitura de estudos econômicos deve ser levada em conta até mesmo por uma questão de realismo. Assim,
todo o desenvolvimento do presente texto ocorrerá consoante os princípios de capitalização a juros compostos.

2.3 Conceito de Valor do Dinheiro no Tempo
Outro conceito importante que deve estar sempre presente nas considerações
de um estudo econômico é o de valor do dinheiro no tempo.

6 Conceitos Financeiros Essenciais à Engenharia Econômica
A t í t u l o de i l u s t r a ç ã o , suponhamos que um determinado c i d a d ã o , disposto a
investir suas economias, encontra-se diante de duas alternativas, devendo decidir-se
por uma delas. A primeira representa u m a expectativa de lucro de C r $ 1.000,00 n o
final do ano; a segunda promete t a m b é m C r $ 1.000,00, p o r é m a p ó s dois anos.
Obviamente, a o p ç ã o deverá recair sobre a primeira alternativa, pois os
Cr $ 1.000,00 recebidos daqui há um ano poderiam ser investidos, transformando-se ao
final do segundo ano no valor original mais os juros ganhos durante o p e r í o d o de
aplicação.
Esta descrição demonstra que uma certa quantia em diferentes instantes de
tempo apresenta diferentes valores, o que significa dizer, em outras palavras, que
existe u m a variação do valor do dinheiro no tempo, decorrente da necessidade
de serem computados os juros que podem ser ganhos quando o dinheiro é recebido
antecipadamente, em relação à outra data.

2.4

Juros Compostos

O desenvolvimento da expressão matemática que permite quantificar o total
de juros resultantes da aplicação de um principal P a uma certa taxa de juros i, durante n períodos, é bastante elementar, como pode ser visto a seguir.
Ao final do primeiro período o juro será dado por:
1

1

J = P i = P + P i - P = P ( l +Í) - P= P[(l +Í) -1]
1

x

x

1

No fim do segundo período o juro J será dado por J + J ' , sendo J ' constituído por duas parcelas. A primeira são os juros devidos - P x i - pela aplicação do
principal por mais um período; a outra são os juros devidos — Jj x i — pela aplicação
de J durante o segundo período.
2

2

2

1

Assim, o juro total no final do segundo período será dado por:
J = Jj + J = J +Pxi + J xi = Pxi + Pxi + Pxixi= 2 Pxi + p x i
2

2

1

2

1

2

2

J = P + 2 P x i + P x i - P = P ( l +2xi + i - 1)
2

2

J =P

[(l+i) -l]

2

Generalizando para n períodos, o total de juros será:
n

J = P[(1+i) -1] (2.1)
2.5

Equivalência de Capitais

Conforme explicitado na conceituação de valor do dinheiro no tempo, um
dada quantia em diferentes instantes de tempo possui diferentes valores.

Um importante corolário desta assertiva é o conceito fundamental de equivaisto é: um total de dinheiro pode ser equivalente a um total diferente, em diferentes instantes de tempo, sb certas condições específicas.
-

lência,

Para ilustrar este conceito, considere-se um empréstimo de Cr$ 1.000,00, que
deve ser pago ao final de 3 anos juntamente com os juros acumulados. Supondo-se
uma taxa de juros associada ao empréstimo, de 10% ao ano, o total de juros devidos
será:
J =
3

Cr$ 1.000 x

3

[(1 + 0,1) - l]

= Cr$331

Isto significa que deverão ser pagos Cr$ 1331,00 ao final de 3 anos. Assim
pode-se dizer que Cr$ 1.000,00, hoje, são equivalentes a Cr$ 1.331,00 daqui a 3
anos, considerada uma taxa de juros de 10% ao ano. Significa o mesmo dizer que à
taxa de juros estabelecida é indiferente receber Cr$ 1.000,00 hoje ou Cr$ 1.331,00
após 3 anos.
Este conceito de equivalência entre capitais é particularmente importante em
estudos de Engenharia Econômica, devido ao fato das alternativas de investimento
freqüentemente envolverem recebimentos e desembolsos em diferentes instantes de
tempo, indistintamente denominados variações de caixa ou pagamentos.
2.6 Diagrama de Fluxos de Caixa
Conforme dito anteriormente, alternativas de investimento freqüentemente
envolvem variações de caixa em diferentes instantes de tempo. Uma forma clara de
expressar as conseqüências destas alternativas é a representação gráfica, conforme a
figura 1, através de diagramas de fluxos de caixa.

Cr$ 1.000
Figura 1 - Diagrama de fluxos de caixa.

No traçado do diagrama de fluxos de caixa, é convenção generalizada que o
eixo horizontal representa a escala de tempos, onde da esquerda para a direita em
ordem crescente são discriminados os períodos.

O número de períodos considerados no diagrama é definido como sendo o

horizonte de planejamento correspondente à alternativa analisada.
Os vetores orientados para cima identificam recebimentos representando valores positivos de caixa, enquanto aqueles orientados para baixo significam desembolsos, estando associados a valores negativos. Tais variações de caixa nem sempre
ocorrem fisicamente; muitas vezes representam apenas reduções de custos, cujo significado econômico é o mesmo de um recebimento.
Outra convenção estabelecida é a de que recebimentos e desembolsos ocorrem
somente em fins de períodos. Isto nada mais é do que uma hipótese simplificadora,
visto que na maioria das vezes as variações de caixa acontecem ao longo do tempo è
não apenas numa data fixa. Embora esta colocação possa, eventualmente, diminuir
a precisão dos resultados, isto não ocorrerá a ponto de afetar a sua confiabilidade. A
flexibilidade existente para a escolha da unidade de tempo mais adequada à caracterização dos períodos contorna esta conseqüência desfavorável decorrente da simplificação.

2.7

Montante e Valor Presente

Denomina-se montante de um principal P, aplicado a uma dada taxa de juros
i, durante n períodos de capitalização, à soma desse principal com os juros obtidos
ao fím do último período.
O montante pode ser expresso por:
M = P + Jn

Substituindo J por sua expressão matemática obtida em (2.1), tem-se:
n

n

M = P + P [(1 + i ) - 1]
n

M= P + P ( l + i 0 - P
M= P(l + i)
n

2.2)

é denominado fator de acumulação de capital de um pagamento simples, sendo representado por (P/M, i, n). Esta notação que será utilizada
O fator (1 + i)

n

para identificar todos os fatores introduzidos neste capítulo significa que dado P encontrar M, considerada uma taxa de juros i ao período, durante n períodos
O valor presente, também denominado valor atual, de certa quantia numa. data futura, é o valor equivalente à quantia em questão, na data zero, a uma dada taxa
de juros i Obviamente, o valor presente confunde-se com o principal que, se aplicado àquela taxa de juros, produzirá ná data estabelecida um montante no valor da
quantia considerada.

A expressão (2.2) pode ser transformada, permitindo escrever a fórmula do
valor presente como:

1

O fator (1+i) denominado fator de valor atual de um pagamento simples
e representado por (M/P, i, n).
2.8

Série Uniforme de Pagamentos

Denomina-se série uniforme de pagamentos a uma sucessão de recebimentos
ou desembolsos de mesmo valor, acontecendo a intervalos regulares de tempo, iguais
ao período.
Em estudos de Engenharia Econômica freqüentemente surge a necessidade de
se operar com séries que apresentam tais características. As economias anuais de
mão-de-obra, decorrentes da automatização de um processo produtivo, são um bom
exemplo deste tipo de ocorrência, cuja representação é feita conforme ilustração na
Figura 2.

Figura 2 — Série uniforme de pagamentos.

Para converter uma série uniforme de pagamentos U ao seu montante M, pode-se tomar cada valor de U obter o seu montante através da expressão (2.2), somando-os em seguida.
t

Logo:
n-1

M = U(l + í) + U(l + i) + U(l + i) + . . . + U(l + i) + U(1+ i) + U
M=U [(l + i )

n-2

n - 1

+(l +i )

n

n-3

-

2

+(l+i)

n - 3

2

2

+ . . . + (I+i) +(l+i)+l]

10

Conceitos Financeiros Essenciais à Engenharia Econômica

Observa-se que a expressão entre colchetes corresponde à soma dos termos de
uma progressão geométrica de número limitado de termos ide razão r = 1 + i. Como se sabe, a soma dos termos desta progressão é:

n

O fator

(1 + i ) - 1
i
é denominado fator de acumulação de capital de uma sé-

rie uniforme de pagamentos, sendo representado por (U/M, i, n).
O inverso da expressão (2.4) permite a obtenção de U a partir de M através da
seguinte fórmula:

i
O fator 1 + i) - 1 é denominado fator de formação de capital
série uniforme de pagamentos, sendo representado por (M/U, i, n).
n

de urna

Analogamente, pode-se chegar à expressão do valor presente da série uniforme
pelo somatório dos valores presentes de cada um dos pagamentos, fazendo-se uso da
expressão (2.3).
O valor presente de uma série uniforme de pagamentos será dado por:


2.9

Série em Gradiente Uniforme

Denomina-se série em gradiente uniforme a uma sucessão de pagamentos, G,
2G, 3 G , . . ., (n - 1)G que ocorrem nos períodos 2, 3, 4, . . ., n respectivamente,
conforme ilustrado na figura 3.
?

Embora seja pouco comum a ocorrência de variações de caixa, que expressam
conseqüências prospectivas de fenômenos econômicos, na forma exata de gradiente,

é freqüente a existência de casos que permitem ser representados com boa aproximação por meio deste tipo de série. Os custos de manutenção exemplificam adequadamente esta afirmativa, apresentando tendência crescente, em forma aproximada
de gradiente, à medida que se acentua o desgaste do equipamento.

A determinação do montante de uma série em gradiente uniforme pode ser
obtida desmembrando-a em várias séries uniformes de pagamentos iguais a G, e somando-se os respectivos montantes. Assim:

A expressão entre colchetes corresponde à soma dos termos de uma progressão geométrica de número limitado de termos, cuja razão é r = 1 + i. O desenvolvimento desta soma levará à expressão do fator de acumulação de capital de uma série
uniforme de pagamentos que, substituída na equação anterior, levará à relação de
equivalência entre o montante e o gradiente G, representada pela fórmula:

O fator

é denominado fator de acumulação de capital

de uma série em gradiente uniforme, sendo representado por (G/M, i, n).
A relação de equivalência entre uma série uniforme de pagamentos e uma em
gradiente uniforme pode ser obtida substituindo (2.8) em (2.5). Teremos então:

O fator

é denominado fator gradiente uniforme.

O valor atual da série em gradiente uniforme pode ser obtido pela transformação da série uniforme equivalente expressa em (2.9), na equação (2.6). Logo:

Simplificando ter-se-á, finalmente:

14 Conceitos Financeiros Essenciais â Engenharia Econômica
As expressões inversas, que proporcionam,a partir de M, U ou P, encontrar G
não serão aqui desenvolvidas em virtude de não serem utilizadas em estudos econômicos.

2.10 Taxas de Juros Efetiva e Nominal
Uma taxa de juros i relativa ao período p é. dita equivalente à outra taxa i
referente a um período p = p /k se um principal p, empregado a uma dessas taxas,
produzir ao fim de certo prazo o mesmo montante que resultaria caso estivesse aplicado a outra taxa.
e

e

e

Ao fim de certo tempo, correspondente a um período de aplicação à taxa i ,
este montante seria:
e

M = p(1+i )= p(1+i )
e

e

O emprego de p por este mesmo prazo, à taxa /, corresponderia a uma aplicação durante k períodos, produzindo o mesmo montante, cuja expressão seria:
k

M = P(1+i)

Igualando-se as duas expressões será obtida então a relação de equivalência entre essas taxas:

P(l+i ) = P(1+i)

k

e

ou
k

(l+i ) = (1+i)
e

logo

í

k

=(1+i)-1

e

(2.11)

A taxa ie é denominada taxa efetiva de capitalização# visto ser aquela cujo valor realmente proporciona a formação do montante M que seria obtido através de i
durante um certo prazo de aplicação.
Esta terminologia é convencionada universalmente, para diferenciar dã prática
freqüente de relacionar a taxa i, correspondente ao período p, à taxa i referente
ao período p através da expressão:
N

i = kxi
N

A taxa I é dita taxa nominal de capitalização, sendo usualmente referida como a taxa de juros em relação ao período p com capitalização ao período p. EmN

e

bora comumente citada em operações financeiras, não expressa a relação de equivalência real entre as taxas correspondentes aos períodos p ep.
e

Explicitando-se i em função de i em (2.12) e efetuando a substituição em
(2.11), tem-se a relação entre as taxas efetiva e nominal, conforme a expressão:
N

ie=(1+i /k)

k

N

-1

(2.13)

Quando k > 1, o valor da taxa nominal é sempre inferior ao da efetiva. Uma
taxa de juros i = 1% ao mês corresponde a uma taxa nominal anual i = 12% a.a.,
sendo a efetiva i = 12,68% a.a. O oposto ocorre quando k < 1; assim a uma taxa de
12% a.a. corresponde uma taxa nominal mensal de 1,0 a.m. É uma taxa efetiva de
0,949% a.m.
N

£

Em estudos de Engenharia Econômica é preferível utilizar taxas efetivas, tendo-se em vista ser aconselhável trabalhar sempre o mais próximo possível da realidade.

2.11 Resumo dos Fatores de Juros Compostos
O quadro I apresenta um resumo dos fatores de juros compostos, de muita
utilidade para a solução dos problemas propostos ao final deste capítulo, como para
a recapirulação daqueles leitores mais experientes no assunto.
Com a finalidade de simplificar cálculos, cada um desses fatores encorítra-se
tabulado no Apêndice, para diversos valores de i e n.
Em alguns casos, quando se opera com taxas de juros ou valores de n que não
constam das tabelas, será necessário efetuar interpolação.

2.12 Problemas Resolvidos

Exemplo 1
Uma letra de câmbio no valor de CrS 10.000,00 foi adquirida hoje, rendendo
3,5% ao mês. Devendo o resgate ocorrer após 6 meses, quanto deverá ser pago ao
seu portador naquela data?
Solução:
O problema consiste na determinação do montante proveniente da aplicação
de CrS 10.000,00, rendendo 3,5% ao mês, durante 6 meses, conforme indicado no
diagrama de fluxos de caixa à pág. 17.


P= Cr$ 10.000,00
n

M= P(l + i) = Px(P/M,i,n)
M= Cr$ 10.000 x (P/M, 3,5%, 6)
Da tabela de juros para i = 3,5 e n = 6, tem-se:
(P/M, 3,5%, 6)=' 1,2293
Logo:
M= Cr$ 10.000 x 1,2293
ou
M= Cr$ 12.293

Exemplo 2
Certo cidadão, proprietário de um automóvel, decidiu estabelecer com suas
economias um fundo para renovação de veículos. Basicamente este fundo se constituiria da realização de depósitos trimestrais iguais, na Caderneta de Poupança, de
forma a produzir um montante que possibilite a compra de um carro novo à vista,
ao fim de dois anos.
Estimando-se o valor do carro novo em CrS 100.000,00 na época de sua aquisição, e que o veículo usado poderá cobrir parte desta quantia, avaliado em
Cr $ 40.000,00, pergunta-se qual deveria ser o valor dos depósitos trimestrais. Acreditase que a Caderneta de Poupança deverá apresentar, nos próximos dois anos, uma
rentabilidade de 10% ao trimestre.
Solução:
Como o carro usado poderá entrar no negócio avaliado em Cr$ 40.000,00, os
depósitos deverão acumular um montante de Cr$ 60.000,00, correspondente à difefença a ser coberta.
O diagrama de fluxos de caixa, a seguir, expressa as conseqüências prospectivas
do fundo para renovação de veículos.


O problema em questão nada mais é do que a determinação da série uniforme
de pagamentos trimestrais efetuados à Caderneta de Poupança, que resulte um montante equivalente, de valor igual a Cr$ 60.000,00.
Logo:
U= Mx(M/U,i,n)
U= Cr$ 60.000 x (M/U, 10%, 8)
Para z = 10% e n = 8, extrai-se da tabela de juros:
(M/U, 10%, 8)= 0,0874
Então:
U= CrS 60.000 x 0,0874
U= Cr$ 5.244

Exemplo 3
O Sr. Roberto adquiriu um automóvel, financiando Cr$ 14.000,00, restituíveis em oito prestações mensais de Cr$ 2.097,48. Qual a taxa de juros mensal cobrada pela financeira?
Solução:


Este fator não se encontra tabelado. Os dois mais próximos são:
Para i F 4,0%

(U/P, i, 8) = 6,7327

Para i= 4,5%

(U/P, i, 8) - 6,5959

A taxa de juros cobrada situa-se entre 4,0% e 4,5%, devendo ser encontrada
por interpolação:
Logo:

20 Conceitos Financeiros Essenciais â Engenharia Econômica
Exemplo 4
Uma empresa apresenta a seguinte previsão de produção para os próximos cinco anos:

Uma melhoria de processo recentemente introduzida ocasionará uma redução
de perdas, resultando numa economia de matérias-primas de Cr$ 5,00 por unidade
produzida, proporcionando os seguintes incrementos anuais nos lucros:

Expressar os benefícios desta melhoria, em termos de valor presente, considerando-se que a empresa remunera o seu capital a juros de 12% ao ano.
Solução:
O diagrama de fluxos de caixa, resultante da melhoria de processo, expressa o
somatório de duas séries de pagamentos, uma uniforme e outra em gradiente, cuja
ilustração é feita a seguir:
O seu valor presente será, então, igual à soma dos valores presentes destas
duas séries de pagamentos.
Para a série uniforme será:
P = U x (U/P, 12%, 5)
u

P = Cr$ 500 x 3,6048
u

P = CrS 1.802
u

Engenharia Económica 21

Para a série em gradiente:
P = G x (G/P, 12%, 5)
G

P = Cr$ 50 x 6,3970
G

P = Cr$ 320
G

O valor presente será então igual a:
P

u

+ P

G

P= Cr$ 1.802 + CrS 320
P = Cr$ 2.122

Exemplo 5
Deduzir a expressão do valor presente de uma série uniforme de pagamentos,
infinita.
Solução:


Exemplo 6
A Abril-Tec Editora Ltda. propôs a seus antigos assinantes uma assinatura
anual de sua revista "Negócios em EXAME" a um preço de Cr$ 175,00 por 24
exemplares quinzenais. Sendo o preço, em bancas, Cr $ 12,00 por exemplar, qual a
taxa mensal de desconto concedida?
Solução:
As conseqüências econômicas prospectivas para um leitor que aceitar as condições propostas serão: desembolsar Cr$ 175,00 agora, para economizar quinzenalmente Cr$ 12,00 durante 24 quinzenas. O diagrama de fluxos de caixa a seguir expressa com clareza estas conseqüências.

A taxa quinzenal de desconto, concedida aos assinantes poderá então ser determinada da forma seguinte:
P=

Ux (U/P,i ,24)

Cr$ 175 = Cr$ 12 x (U/P, i, 24)
Donde:
Cr$ 175
(U/P, i, 24) =
Cr$ 12
(U/P, i, 24)= 14,5833
Consultando a tabela de juros encontra-se:
Para i = 4,0%
Parai- 4,5%
Interpolando, tem-se:

(U/P, i, 24) = 15,2469
:

(U/P,i, 24)= 14,4954

A taxa mensal equivalente será então:

2.13 Problemas Propostos

Problema 1
Quanto receberá uma pessoa ao resgatar hoje um título no valor de
Cr$ 12.000,00, cujo vencimento ocorrerá ao fim de 3 meses, se o banco cobra
uma taxa de 4% ao mês?

Problema 2
Qual o montante produzido por Gr$ 2.000,00 depositados anualmente a uma
taxa de 6% ao ano durante 5 anos?

Problema 3
0 Sr. Ângelo tomou emprestados CrS 50.000,00 a uma taxa de 3% ao mês,
com promessa de saldar o compromisso após 1 ano. Atualmente, decorridos sete
meses, foi procurado pelo seu credor, que lhe propôs a quitação por uma quantia de
Cr$ 65.000,00. Será vantajoso aceitar esta proposta?

Problema 4
No problema anterior, qual a taxa de juros que estaria sendo efetivamente paga, se a dívida fosse liquidada pelos CrS 65.000,00?

Problema 5
Certa empresa obteve um financiamento, cuja quitação da dívida deverá ocorrer em 10 parcelas anuais conforme o diagrama de fluxos de caixa a seguir. Sendo a
taxa de juros cobrada igual a 10% ao ano, deseja-se conhecer o valor do empréstimo
tomado.

Problema 6
Qual a taxa anual efetiva de juros, correspondente a um financiamento concedido a uma taxa nominal de 12% ao ano, com capitalização trimestral?

Problema 7
Çerta fírma comercial anunciou a venda de um tipo de aparelho de TV por
Crf 8.640,00 à vista, òu em 24 meses com prestações de Cr$ 626,15. Em outro
plano disponível, com o mesmo prazo do anterior, a primeira prestação é paga
após três meses. Sendo as taxas de juros cobradas iguais para ambas alternativas de
financiamento, qual deve ser o valor da prestação referente ao segundo plano?

Problema 8
Determinar o montante existente em um fundo de poupança após trinta e seis
meses, cónsiderando-se os depósitos efetuados mensalmente, sendo o primeiro de
Cr$ 3.000,00 e cada um dos subseqüentes acrescido de Cr$ 200,00 em relação ao
anterior. A taxa de remuneração do fundo é estimada em 42% ao ano com capitalização mensal.

Problema 9
Demonstrar que os fatores de recuperação de capital e de formação de capital
de uma série uniforme de pagamentos são relacionados pela expressão:
(P/U,i,n)= (M/U,i,n) + i

Problema 10
Demonstrar que o fator de acumulação de capital de uma série em gradiente
uniforme é igual ao produto entre o fator de valor atual desta série e o fator de acumulação de capital para um pagamento simples.

Métodos para comparação entre
alternativas de investimento
3.1


Inúmeros são os métodos utilizados para avaliar projetos de investimento, variando desde a pura intuição do empresário aos mais sofisticados modelos matemáticos desenvolvidos até os presentes dias.
•

-

Todavia, nem todas estas técnicas são fundamentadas em bases conceitualmente corretas, e, naturalmente, as orientações decorrentes da abordagem de um
dado problema através da aplicação de algumas delas podem confundir o responsável pela decisão, induzindo-o a erros danosos, cujas conseqüências podem apresentar-se extremamente graves em certas situações.
Despontam, contudo, neste conjunto de instrumentos decisoriais, três métodos para avaliação de investimentos, pertinentes à Engenharia Econômica, cujo rigor
conceituai redunda em sólidas orientações e, naturalmente, coerentes entre si, quando adequadamente utilizados. Estas técnicas são usualmente conhecidas como mé-

todo do valor presente liquido, método do beneficio líquido anual uniforme e método da taxa interna de retorno.

Engenharia Econômica 2 7
Estritanente falando, poderia ser evidenciado, ainda, um quarto critério seletivo de investimentos, o do custo anual uniforme, que nada mais é do.que uma derivação do método do benefício líquido anual uniforme, particularizado sob condições específicas.
A introdução das técnicas acima descritas será o objeto principal do presente
capítulo, cuja preocupação secundária será o esclarecimento, ao leitor, quanto a alguns métodos incorretos para avaliação de investimentos, de ampla utilização no
mundo empresarial.

3.2 Conceito de Taxa Mínima de Atratividade
Os métodos da Engenharia Econômica, sugeridos para efeito de avaliar méritos de alternativas para investimento, apresentam como principal característica o reconhecimento da variação do valor do dinheiro no tempo. Este fato evidencia a necessidade de se utilizar uma taxa de juros quando a sua análise for efetuada através
de algum deles. A questão de definir qual taxa a ser empregada pode ser respondida
por meio do seguinte exemplo:
Suponha-se que uma pessoa se encontre diante de uma oportunidade de investimento, para cuja concretização seja necessário tomar o dinheiro emprestado de algum banco. E evidente que os juros pagos representarão, sob seu ponto dé vista, um
ônus, que deve ser entendido como o custo da utilização deste capital.
Naturalmente, a pessoa somente estará disposta a investir se a expectativa de
ganhos, já deduzido o valor do investimento, for superior ao custo do capital. No
caso em pauta, se o montante de juros pagos corresponder a uma taxa de 40% ao
ano, obviamente que o custo do capital será expresso por este valor, e o investimento só será interessante se a taxa de rendimentos produzidos for superior a este.
Tal fato identifica o custo do capital como sendo a rentabilidade mínima aceitável para qualquer aplicação, caracterizando, então, uma base para aceitação ou rejeição de propostas de investimento. Esta taxa de juros, usualmente denominada taxa mínima de atratividade, deve ser portanto a utilizada, quando a análise do projeto for efetuada através dé algum dos métodos anteriormente propostos.

3.3

Método do Valor Presente Líquido
O método do valor presente líquido, também conhecido pela terminologia

método do valor atual líquido, caracteriza-se, essencialmente, pela transferência para o instante presente de todas as variações de caixa esperadas, descontadas à taxa
mínima de atratividade. Em outras palavras, seria o transporte para a data zero de
um diagrama de fluxos de caixa, de todos os recebimentos e desembolsos esperados,
descontados à taxa de juros considerada.

28

Métodos para comparação entre alternativas de investimento

Admitindo-se um diagrama de fluxos de caixa genérico, conforme o apresentado na figura 4, o valor presente líquido poderá ser expresso por:

Figura 4 - Diagrama de fluxos de caixa para um projeto de investimento genérico.

Onde P representa o valor presente líquido de uma série Xj de recebimentos e
desembolsos, descontados a uma dada taxa mínima de atratividade i, sendo o horizonte de planejamento do projeto igual a n períodos.
Um valor presente líquido positivo significa que o valor presente de todos os
fluxos de caixa positivos é maior que o correspondente às variações negativas de caixa. E óbvio, então, que um projeto, cujo valor presente líquido seja positivo, será
economicamente interessante à taxa de desconto considerada, tornando-se tanto
mais atrativo quanto maior for o seu valor presente líquido. Esta assertiva leva à
conclusão de que quando se compara alternativas, aquela de maior valor presente líquido deve ser a preferida sob o ponto de vista econômico.
Um valor presente líquido nulo significa que o projeto, embora à taxa de desconto considerada, não é desinteressante do ponto de vista econômico; produz um
retomo de valor apenas igual ao custo do capital, deixando de ser, assim, compensadora a sua implementação.

Finalmente, um valor presente líquido negativo indica que o projeto deve ser
rejeitado/ à taxa de desconto considerada, pelo fato de os benefícios financeiros
prospectivos não serem suficientes para assegurar sequer a recuperação do investimento realizado.
Os exercícios resolvidos subseqüentes exemplificam o uso do método do valor
presente líquido.

Exemplo 1
A gerência de uma fábrica está considerando a possibilidade de instalar uma nova máquina. A proposta de investimento envolve um gasto inicial de CrS l.Q.000,00,
objetivando uma redução de custo da ordem de CrS 2.000,00 por ano, durante os
próximos dez anos. Sendo a taxa mínima de atratividade para a empresa igual a
10% ao ano, deseja-se saber se é atrativo o investimento.
Solução:
O diagrama de fluxos de caixa a seguir expressa as conseqüências prospectivas
da realização do investimento na máquina.

Como o valor presente líquido de alternativa é positivo, a realização do investimento produzirá resultados economicamente interessantes para a empresa.

Exemplo 2
Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos
operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da
utilização de equipamentos velhos e obsoletos.

30 Métodos para comparação entre alternativas de investimento
Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram gerência duas soluções alternativas. A primeira, consistindo numa reforma gerada linha, exigindo investimentos estimados em CrS 10.000,00, cujo resultado será uma redução anual de
custos igual a CrS 2.000,00 durante dez anos, após os quais os equipamentos seriam
sucatados sem nenhum valor residual. A segunda proposição foi a aquisição de nova
linha de produção no valor de CrS 35.000,00 para substituir os equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a CrS 5.000,00. Esta alternativa
deverá proporcionar ganhos de CrS 4.700,00 por ano, apresentando ainda um valor
residual de CrS 10.705,00 após dez anos.
Sendo a taxa mínima de atratividade para a empresa igual a 8% ao ano, qual
das alternativas deve ser a preferida pela gerência?
Solução:
O diagrama de fluxos de caixa referente à alternativa de reforma é:

O valor presente líquido desta alternativa é:
P = - CrS 10.000 + Cr$ 2.000 x (U/P, 8 , 10)
%
r

P = - CrS 10.000 + CrS 2.000 x 6,7101
r

P = - C r S 10.000 + Cr$ 13.420
r

P = +Cr$ 3.420
r

Para a alternativa de comprar nova linha de produção, o correspondente diagrama de fluxos de caixa é:

O seu valor presente líquido é:
P = - C r $ 30.000 + Cr$ 4.700 x (U/P, 8 , 10) + Cr$ 10.705 x
%
c

x (M/P, 8%, 10)
P = - C r $ 30.000 + Cr$ 4.700 x 6,7101 + Cr$ 10.705 x 0,4632
c

P = - C r S 30.000 + Cr$ 31.537 + Cr$ 4.959 •
c

P = + Cr$ 6.496
c

De posse destes elementos, a gerência deve optar pela aquisição de nova linha
de produção, dado que seu valor presente líquido apresenta-se superior ao da opção
de reformar a linha.

Exemplo 3
A gerência de marketing de uma firma industrial está analisando quatro possibilidades para a localização de uma central de distribuição para seus produtos.
Cada alternativa exige diferentes investimentos devido ao preço do terreno,
custo de construção e tamanho do depósito necessário. Também são diferentes os
valores residuais e reduções anuais nos custos de distribuição.
Admitindo-se um período de utilização igual a 10 anos, foram efetuadas as seguintes estimativas:

-Cr$ -

Redução Anual
nos Custos de
Distribuição
-Cr$ -

A

28.000

4.600

24.000

B

34.000

5.600

28.000

C

38.000

6.200

31.000

D

44.000

7.200

35.000

Localização

Investimento
Necessário

Valor Residual
do Projeto
- Cr$ -

Sendo a taxa mínima de atratividade para a empresa de 15% ao ano, determinar qual a localização mais adequada.
Solução:
O valor presente líquido para cada alternativa de localização é:

Alternativa A
P = - C r $ 28.000 + Cr$ 4.600(U/P, 15%, 10) + CrJ 24.000
A

(M/P, 15%, 10)
P = - C r $ 28.000 + Cr$ 4.600 x 5,0188 + Cr$ 24.000 x 0,2472
A

P = - C r $ 28.000 + Cr$ 23.086 + CrS 5.933
A

P = +Cr$ 1.019
A

Alternativa B
P = - C r $ 34.000 + Cr} 5.600 (U/P, 15%, 10) + CrS 28.000
B

(M/P, 15%, 10)
P = - Cr$ 34.000 + Cr$ 5.600 x 5,0188 + Cr$ 28.000 x 0,2472
B

P = - C r $ 34.000 + Cr$ 28.105 + Cr$ 6.922
B

P = + C r $ 1.027
B

Alternativa C
P = - C r $ 38.000 + Cr$ 6.200 x (U/P, 15%, 10) + Cr$ 31.000 x
c

x (M/P, 15%, 10)
P = - C r $ 38.000 + Cr$ 6.200 x 5,0188 + CrS 31.000 x 0,2472
c

P = - C r $ 38.000 + Cr$ 31.117 + Cr$ 7.663
c

P = + Cr$ 780
c

Alternativa D
P = - C r $ 44.000 + CrS 7.200 x (U/P, 15%, 10) + CrS 35.000 x
D

x (M/P, 15%, 10)
P = - C r S 44.000 + CrS 7.200 x 5,0188 +• Cr$ 35.000 x 0,2472
D

P = - C r $ 44.000 + Cr$36.135 + Cr$ 8.652
D

P = + Cr$ 787
D

Como se observa, todas as alternativas apresentam um valor presente líquido
positivo, sendo portanto economicamente atrativas. Contudo, a alternativa B deve ser
a preferida, por ser aquela que resultará no maior valor presente líquido.

3.4

Método do Benefício Líquido Anual Uniforme

Este método caracteriza-se pela transformação de todos os fluxos de caixa do
projeto considerado, numa série uniforme de pagamentos equivalente, indicando
desta forma o valor do benefício líquido, por período, oferecido pela alternativa de
investimento.
Como, geralmente, em estudos de Engenharia Econômica a dimensão do período considerado possui magnitude anual, foi convencionada a adoção da terminologia método do beneficio líquido anual uniforme.
A expressão matemática do benefício líquido anual uniforme para um diagrama de fluxos de caixa, correspondente a um projeto de investimento genérico, pode
ser facilmente obtida, represe ntando-a como uma função do valor presente líquido.
A expressão (2.7), deduzida anteriormente no capítulo 2, permite escrever:

Reportando-nos à expressão (3.1), e lembrando que esta representa o valor
presente líquido de um diagrama de fluxos de caixa genérico, temos:

Substituindo esta expressão naquela que relaciona U Q P tem-se finalmente a
representação matemática genérica para o método do benefício líquido anual uniforme:

No tocante ao interesse econômico do projeto, são válidas as mesmas considerações efetuadas anteriormente para o caso do método do valor presente líquido.

Assim, um projeto só será atrativo se apresentar um benefício líquido anual uniforme
positivo, è, entre vários projetos,aquele de maior benefício líquido positivo será o
mais interessante,
0 problema resolvido a seguir ilustra o emprego do método do benefício líquido anual uniforme, enfatizando sua equivalência em relação ao do valor presente
líquido.

Exemplo 4
Determinar a localização mais interessante, economicamente, para a central
de distribuição, referida no problema 3 deste capítulo, fazendo uso do método do
benef ício 1 íquido anual uniforme.
Solução:
O benefício líquido anual uniforme para cada alternativa de localização é:

Alternativa A
U = - C r $ 28.000 x (P/U, 15%, 10) + Cr$ 4.600 + Cr$ 24.000
A

(M/U, 15%, 10)
U = - C r S 28.000 x .0,1993 + Cr$ 4.600 + Cr$ 24.000 x 0,0493
A

U = - CrS 5.580 + Cr$ 4.600 + Cr$ 1.183.
A

U = + Cr$ 203
A

AlternativaB
U = - C r $ 34.000 x (P/U, 15%, 10) + Cr$ 5.600 + Cr$ 28.000
B

(M/U, 15%, 10)

,

U = - C r $ 34.000 x 0,1993 +Cr$ 5.600 + Cr$ 28.000 x 0,0493
B

U = - C r $ 6.776 + Cr$ 5.600 + Cr$ 1.380
B

U = + Cr$ 204
B

Engenharia Econômica

35

Alternativa C
Uc= - C r $ 38.000 x (P/U, 15%, 10) + Cr$ 6.200 + Cr$ 31.000
(M/U, 15%, 10)
Uc= - Cr$ ,38.000 x 0,1993 + Cr$ 6.200 + Cr$ 31.000 x 0,0493
Uc= - C r $ 7.573 + Cr$ 6.200 + Cr$ 1.528
Uc =Cr$ 155

Alternativa D
U = -Cr$ 44.000 x (P/U, 15%, 10) + Cr$ 7.200 + Cr$ 35.000
(M/U, 15%, 10)
D

U = - C r $ 44.000 x 0,1993 + Cr$ 7.200 + Cr$ 35.000 x 0,0493
D

U = - C r $ 8.769 + Cr$ 7.200 + Cr$ 1,726
D

U = + Cr$ 157
D

Como a alternativa B é aquela que representa o maior benefício líquido anual
uniforme, deve ser a preferida sob o ponto de vista econômico. Esta conclusão é
idêntica à obtida anteriormente através da análise pelo método do valor presente líquido, o que demonstra a compatibilidade existente entre os dois métodos.
3.5

Método do Custo Anual Uniforme

Este critério seletivo entre alternativas de investimento, conforme frisado em
oportunidade anterior, é uma derivação do método do benefício líquido anual uniforme, particularizado para o caso de comparação entre alternativas em que ocorram apenas variações nos custos, mantendo-se iguais os benefícios para todas as alternativas em consideração.
Obviamente que, por se tratar de um método que envolve a avaliação de desembolsos, aquela alternativa que apresentar o menor custo anual uniforme deve
sempre ser a preferida, quando o critério de decisão for o econômico.
Esta particularização do método do benefício líquido anual uniforme é exemplificada através do exemplo 5, a seguir.

Exemplo 5
Uma firma de transformação mineral tem enfrentado sérios problemas de produtividade em sua planta industrial para concentração de minérios, comprometendo

o desempenho de todo o processo produtivo subseqüente. Estudos desenvolvidos
pelos engenheiros da empresa evidenciaram duas alternativas tecnicamente viáveis,
para solucionar o problema.
As estimativas efetuadas acerca de cada uma das opções técnicas são:

DISCRIMINAÇÃO

A

ALTERNATIVAS
B

Investimento Necessário

Cr$ 50.000,00

Cr$ 30.000,00

Custo Operacional Anual

Cr$ 13.000,00

Cr$ 18.800,00

Custo Anual Manutenção

Cr$ 2.000,00

Cr S 1.200,00

Valor Residual do Projeto

Cr$ 25.000,00

Cr$ 15.000,00

10 anos

10 anos

Vida Estimada

Sendo a taxa mínima de atratividade para a empresa igual a 20% ao ano, deseja-se saber qual a alternativa mais conveniente.
Solução:
O diagrama de fluxos de caixa para a alternativa A e seu respectivo custo
anual uniforme são:

U = - C r $ 50.000 x (P/U, 20%, 10) - Cr$ 15.000 + Cr$ 25.000
A

(M/U, 20%, 10)
U = - C r $ 50.000 x 0,2385 - Cr$ 15.000 + Cr$ 25.000 x 0,0385
A

U = - C r $ 11.925 - Cr$ 15.000 + Cr$ 963
A

U = - C r $ 25.962
A

Para a alternativa B, tem-se:

U = - Cr$ 30.000 x (P/U, 20%, 10) - Cr$ 20.000 + Cr$ 15.000
B

(M/U, 20%, 10)
U = - C r $ 30.000 x 0,2385 - Cr$ 20.000 + Cr$ 15.000 x 0,0385
B

U = - C r $ 7.155 - Cr$ 20.000 + Cr$ 578
B

U = - Cr$ 26.577
B

A alternativa A representa menor custo anual uniforme, portanto resulta na
opção mais conveniente para a empresa,

3.6

Método da T axa interna de retorno

Por definição, a taxa interna de retorno de um projeto é a taxa de juros para a
qual o valor presente das receitas torna-se igual ao dos desembolsos. Isto significa dizer que a taxa interna de retorno é aquela que torna nulo o valor presente líquido
do projeto.
Assim definido, a taxa interna de retorno é aquela que torna o valor dos lucros futuros equivalente ao dos gastos realizados com o projeto. Caracteriza, desta
forma, a taxa de remuneração do capital investido.
Reportando-nos novamente à figura 4, a expressão matemática da definição
acima pode ser escrita como:

Onde i representa a taxa interna de retorno de um projeto de investimento genérico.

Conforme se pode verificar sem muita dificuldade, o grau da equação (3.3)
dependerá exclusivamente do horizonte de planejamento correspondente ao projeto
que estiver sendo analisado.
Assim, freqüentemente surgirá a necessidade de se operar com equações de
grau j > 2, cuja solução algébrica apresenta-se extremamente complexa. O problema pode ser contornado resolvendo-se a equação por meio de tentativa e erro.
Em projetos como os vistos até o momento, que representam a grande freqüência de ocorrências no mundo dos negócios, após a realização do investimento
necessário, segue-se uma série de fluxos de caixa positivos. Nestes casos ocorre apenas uma única inversão de sinal entre as variações de caixa.
Sob tais condições, o valor presente líquido é uma função decrescente da taxa
de juros adotada para desconto, resultando numa única raiz real, que é a taxa interna de retorno procurada.
À aplicação do processo de tentativa e erro para a determinação do valor desta taxa consiste, então, na determinação de um valor presente líquido positivo e outro negativo, correspondente às duas taxas de juros tomadas arbitrariamente. A interpolação linear desses valores fornecerá finalmente a taxa de desconto desejada,
correspondente ao valor presente líquido nulo.
A determinação da taxa interna de retorno não encerra, porém, a questão da
aceitação ou rejeição de um projeto, já que esta por si só não fornece os elementos
necessários à tomada de decisão. É preciso compará-la com uma base, que é a taxa
mínima da atratividade. Obviamente só podem ser passíveis de aceitação, sob o ponto de vista econômico, aqueles projetos que ofereçam um retorno superior ao custo
do capital.
Este método é ilustrado de forma inequívoca por meio dos exemplos subseqüentes. Estes são úteis adicionalmente para demonstrar a equivalência do critério
da taxa de retorno aos demais critérios seletivos entre instrumentos, pertinentes à
Engenharia Econômica.

Exemplo 6
Uma firma industrial, desejando expandir sua capacidade produtiva, elaborou
um projeto de viabilidade, cujas conseqüências econômicas prospectivas foram
as discriminadas na Tabela à pág. 39.
Sendo a taxa mínima de atratividade para a empresa igual a 10% ao ano, que
recomendação deverá ser efetuada a respeito de sua expansão?
Solução:
Para iniciar o processo de solução através de tentativa e erro tomemos uma
taxa arbitrária de juros igual a 14%. O valor presente líquido do projeto, descontado
a esta taxa, é P = + Cr$ 603.


Como o valor presente é positivo, devemos arbitrar, uma segunda taxa superior
a 14%, já que o valor presente líquido é uma função decrescente à medida que a taxa de desconto é crescente.
Arbitrando então i = 15%, chega-se a um valor presente líquido P = -CrS 667.
A interpolação linear pode ser efetuada como segue:

Por semelhança de triângulos, tem-se a seguinte relação:

Como a taxa interna de retorno do projeto é superior à taxa mínima de atratividade, é recomendável que a empresa leve adiante seu plano de expansão da capacidade produtiva.

Exemplo 7
Determinar qual das alternativas deve ser preferida pela gerência para a redução de custos na linha de produção, referida no problema 2 deste capítulo, fazendo
uso do método da taxa interna de retorno. A taxa mínima de atratividade é igual a
8% ao ano.
Solução:
Conforme os dados daquele problema, o diagrama de fluxos de caixa referente à alternativa de reforma é:

Arbitrando-se uma taxa de desconto de 15%, o valor presente líquido da alte:
nativa é:

P = - C r $ 10.000 + CrS 2.000 x (U/P, 15%, 10)
r

P = - CrS 10.000 + CrS 2.000 x 5,0188
r

P = - C r $ 10.000 + Cr$ 10.038
r

P = +Cr$ 38
r


41

Como este valor é positivo, a próxima taxa a ser arbitrada deve ser maior que
15%. Assim, tomando-se i = 16%, tem-se que:
P = - C r $ 10.000 + CrS 2.000 x ( U / P , 16%, 10)
r

P = - CrS 10.000 + CrS 2.000 x4,8332
r

P = - C r $ 10.000 + Cr$ 9.666
r

P = - Cr$ 334
r

Interpolando tem-se:

+ C r $ 38

Para a alternativa de compra de nova linha de produção, o diagrama de fluxos
de caixa é:

Arbitrando-se uma taxa de desconto de 11%, o valor presente líquido da alternativa é:
P = - C r $ 30.000 + Cr$ 4.700 x (U/P, 11%, 10) + Cr$ 10.705 x
c

x (M/P, 11%, 10)
P = -Cr$ .30.000 + Cr$ 4.700 x 5,8892 +Cr$ .10.705 x 0,3522
c

P = - C r $ 30.000 + Cr$ 27.679 + Cr$ 3.770
c

P = +Cr$ 1.449
r

Arbitrando-se, então, i = 13%, tem-se o seguinte valor presente líquido para a
alternativa:
P = - C r $ 30.000 + Cr$ 4.700 x (U/P, 13%, 10) + Cr$.10.705 x
c

x (M/P, 13%, 10)
P = - C r $ 30.000 + Cr$ 4.700 x 5,4262 + Cr$ 10.705 x 0,2946
c

P = - C r $ 30.000 + Cr$ .25.503 + Cr$ 3.154
c

P = - Cr$ 1.343
c


Este resultado indica que a alternativa de reforma deve ser preferida pela gerência, visto apresentar uma taxa interna de retorno superior à da opção de comprar
uma nova linha de produção.
Esta orientação vai de encontro àquela fornecida quando foi utilizado o método do valor presente líquido. Isto, contudo, não quer dizer que exista incompatibilidade entre os dois métodos. Na realidade, o que ocorreu nada mais foi do que
uma utilização errônea do método da taxa interna de retorno, ensejando uma falsa
orientação quanto à decisão final.
Como se sabe,a premissa válida para a empresa é a de maximização dos seus
lucros absolutos, o que não deve, necessariamente, coincidir com a maximização
de sua rentabilidade.
O método do valor presente líquido expressa seus resultados em termos de lucro absoluto, o que não ocorre com o da taxa interna de retorno, cuja medida de
lucratividade é relativa; isto explica a taxa interna de retorno como uma medida'
de rentabilidade.
O diagrama de fluxos de caixa correspondente à alternativa de compra pode
ser expresso pela soma de dois outros, expressos a seguir, sendo o primeiro deles
igual ao da alternativa de reforma.

A alternativa de compra apresenta um valor presente líquido positivo de
Cr$ 6.496,00. 0 valor presente líquido para a alternativa de reforma é+Cr$ 3.420,00.
Obviamente o fluxo de caixa incremental deverá apresentar um valor presente líquido positivo de Cr$ 3.076,00= Cr$ 6.496,00 - Cr$ 3.420,00, conforme pode ser
verificado a seguir:

P (c - r) = - Cr$ 20.000 + Cr$ 2.700 x (U/P, 8 , 10) +
%
A

+ Cr$ 10.705 x ( M / P , 8%, 10)
P ( c - r ) = - C r $ 20.000 + Cr$ 2.700 x 6,7101 + Cr$ 10.705 x 0,4632
A

P ( c - r) = -Cr$ 20.000 + Cr$ 18.117 + Cr$ 4.959
A

P (c- r) = Cr$ 3.076
A

Obviamente, se o valor presente líquido do investimento incremental fosse negativo, a alternativa de compra se apresentaria inferior à de reforma.

O impasse surgido com relação ao emprego do método da taxa interna de retorno deve, então, ser controlado através de um raciocínio análogo. Assim, sempre
que a taxa interna de retorno do investimento incremental for superior à taxa mínima de atratividade, a alternativa de maior investimento deve ser aceita, pois em
tal caso o valor presente líquido do incremento será positivo, assegurando a superioridade da alternativa de maior Investimento.

Nestes termos, admitindo-se uma taxa de desconto igual a 10% para o investimento incremental, seu valor presente líquido será:
v

P(c - r)= Cr$ 20.000 + Cr$ 2.700 x ( U / P , 10%, 10) +
+ Cr$ 10.705 ( M / P , 10%, 10)
P (c - r) = - C r $ 20.000 + Cr$ 2.700 x 6,1446 + Cr$ 10.705 x 0,3855
P(c - r)= - C r $ 20.000 + Cr$ 16.590 + Cr$ 4.127
p(c-r)

= +Cr$ 717

Arbitrando outra taxa i = 11%, o valor presente líquido do investimento incremental será:

P (c - r)=Cr$20.000

+ Cr$ 2.700 x ( U / P , 11%, 10) +

+ Cr$ 10.705 x ( M / P , 11%, 10)
P (c - r)= - C r $ 20.000 + Cr$ 2.700 x 5,8892 + Cr$ 10.705 x 0,3522
P (c - r) = - Cr$ 20.000 + Cr$ 15.901 + Cr$ 3.770
P(c

- r))= - C r $ 329


Adotando-se a regra de decisão, observa-se que a taxa interna de retorno do
investimento incremental, (c - r) 10,7% ao ano superior à taxa mínima de
atratividade, i = 8% ao ano. Este resultado indica que a alternativa de maior investimento,no caso a de compra da nova linha de produção, deve ser a preferida, conforme orientação decorrente anteriormente do uso do método do valor presente líquido.
=

O simples fato de o retorno sobre o revestimento incremental ser superior à taxa mínima de atratividade não significa, entretanto, que o projeto de maior investimento também apresenta resultado semelhante.
Se dois projetos estiverem sendo avaliados pelo critério da taxa interna de retorno e o primeiro deles, de menor investimento, apresentar retorno insuficiente, a
análise incremental poderá indicar um resultado superior à taxa mínima requerida
sem que o segundo projeto seja atrativo. É essencial observar-se,portanto, que antes
de proceder à análise incremental, o analista deve assegurar-se de que a proposta de
menor investimento apresenta um retorno superior ao mínimo exigido.
Esta sutileza, que pode vir a confundir até mesmo alguns dos mais experimentados profissionais, encontra-se ilustrada no exemplo 8 a seguir.

Exemplo 8
Numa fábrica de bens de consumo de alta produção está sendo proposta uma
alteração no método de embalagem de produtos. Duas alternativas encontram-se em
consideração, sendo que em ambas será exigida a realização de investimentos na
compra de sistemas de transporte e manuseio automatizados.

A primeira alternativa exige um investimento inicial de Cr$ 6.000,00 e são esperadas reduções de custo da ordem de Cr $ 1.000,00/ano.
A segunda alternativa proporcionará a eliminação de um maior número de
operações manuais e deverá custar originalmente Cr$ 7.000,00, apresentando reduções de custo de Cr$ 1.200,00/ano.
A vida estimada para ambas as alternativas é de oito anos ao final dos quais
não haverá valor residual. O retorno mínimo aceitável pela gerência é de 9% ao ano.
Qual deverá ser a conclusão final do analista encarregado deste estudo?
Solução:
Denominando-se por A o projeto de menor investimento e B o de maior; o
fluxo de caixa A(B - A) para fins de análise incremental é:

A solução deste fluxo de caixa para taxas arbitradas em 11% e 12% respectivamente indica:


Como se observa, a taxa interna de retorno do fluxo de caixa incremental é
superior aos 9% requeridos .Assim, o projeto B deveria ser recomendado.
Entretanto, se antes de se efetuar a análise do incremento houvesse sido verificada a atratividade de cada um dos projetos, a conclusão seria diferente.
O projeto A apresenta o seguinte diagrama de fluxos de caixa:
Cr$ 1.000

A equação de seu valor presente líquido é:
P = - Cr$ 6.000 + Cr$ L000 (U/P,i,8)
A

48Métodos para comparação entre alternativas de investimento
Arbitrando-se uma taxa de desconto de 6%, tem-se:
P = - C r $ 6.000 + Cr$ 1.000 (U/P, 6%, 8)
A

P = - C r $ 6 . 0 0 0 + Cr $ 1.000* x 6,2098
A

P = - C r $ 6.000 + Cr$ 6.210
A

P =
A

+Cr$ 210

Para uma taxa de 7%, tem-se:
P = - C r $ 6.000 + Cr$ 1.000 (U/P, 7%, 8)
A

P = - C r $ 6.000 + Cr$ 1.000 x 5,9713 È Í
A

P = - C r $ 6.000 + Cr$ 5.971
A

P = - C r $ 29
A


31

Para o projeto B, tem-se:

Então:
P = - C r $ 7.000 + Cr$ 1.200 (U/P i, 8)
B

(

Arbitrando uma taxa de desconto de 7%, tem-se:

P

B

=Cr$

166

Para i = 8%:
P = - C r $ 7.000 + Cr$ 1.200 (U/P, 8%, 8)
B

P = - C r $ 7.000 + Cr$ 1.200 x 5,7466
B

P = - C r $ 7.000 + Cr$ 6.896
f i

P = - Cr$ 104
F
B

Por interpolação


Como se pode constatar, as taxas internas de retomo oferecidas por ambas as
alternativas propostas são inferiores à taxa mínima de atratividade da empresa que é
de 9% ao ano. Assim, ambos os projetos devem ser rejeitados, indicando uma decisão
que não pode ser recomendada pela simples análise incrementai.

Exemplo 9
Determinar a localização mais interessante, economicamente, para a central
de distribuição, referida no Problema 3 deste capítulo, fazendo uso do método da
taxa interna de retorno.
Solução:
Quando se compara várias alternativas, o critério adotado, após as alternativas
serem colocadas em ordem crescente de investimento, é o cálculo sucessivo da taxa
de retorno do investimento incremental em relação à alternativa anterior, tomandose o cuidado de eliminar aquelas opções cujo investimento incremental resultar num
retomo inferior à taxa mínima de atratividade.
As alternativas de investimento para a central de distribuição, colocadas em
ordem crescente, são:

Localização

Investimento
Necessário
Crí

Redução Anual nos
Custos de Distribuição
CrS

Valor Residual do
Projeto
Cr$

A

28.000

4.600

24.000

B

34.000

5.600

28.000

C

38.000

6.200

31000

D

44.000

7.200

35.000

O investimento incremental de B em relação a A pode ser representado no
diagrama de fluxos de caixa a seguir:


Arbitrando taxas de desconto tem-se:
Para i = 10%

P

A(B-A) Cr$1.687

Para i= 20%

P

A(B-A)= - Cr$ 1.162

=


Como esta taxa é superior à mínima de atratividade, cujo valor é de 15% ao
ano, a alternativa B deve ser preferida em relação a A.
A próxima etapa do processo decisório será a comparação entre as opções
CeB.
O diagrama de fluxos de caixa do investimento incremental de C em relação
a B é:


Arbitrando taxas de desconto, tem-se:
Para i = 10%
Para i= 20%

Como esta taxa é inferior à mínima de atratividade a alternativa C não deve
ser aceita, sendo B preferível também em relação a esta opção.
Finalmente, deve-se comparar B com D. O diagrama de fluxos de caixa do investimento incremental de D em relação a Bê:

Tomando-se taxas de desconto arbitrárias, tem-se:
Para i = 10%
Para i = 20%
Interpolando:

Como esta taxa é superior à mínima de atratividade, a alternativa D deve ser
preferida em relação à B e conseqüentemente entre as quatro alternativas existentes.
Este resultado, contudo, contradiz o obtido através dos métodos do valor presente líquido e do benefício líquido anual, nos problemas 3 e 4 respectivamente,
que indicam a alternativa B como a mais vantajosa.

O erro decorrente da utilização do método da taxa interna de retorno é resultado da interpolação linear. As taxas de desconto empregadas para interpolar encontram-se muito distanciadas entre si, proporcionando a obtenção de um resultado incorreto.
A figura 5 mostra o comportamento da função valor presente líquido do investimento incremental de D em relação a B, no intervalo correspondente às taxas
de desconto entre 10% e 20%.
Como se observa, o distanciamento entre as taxas proporcionou um erro de
interpolação, significativo.
i

P(Cr$)

10%
11%
12%
13%
14%
15
.%
16%
17%
18%
19%
20%

+ 2.530
+ 1.888
+ 1.294
+ 744
+ 234
240
680
-1.090
-1.472
- 1.829
- 2.162

Figura 5 - Valor presente líquido do investimento incremental, A (D - B).

Isto sugere que a taxa interna de retorno deva ser calculada cpm aproximação
de.-décimos.
Na realidade, a taxa interna de retorno do investimento incremental
relação a B situa-se entre 14% e 15%, conforme indica a figura 5. Disto resultado
valor menor que o da taxa mínima de atratividade, mostrando agora, corretamente,
a superioridade da alternativa B.
Este resultado é coerente com o obtido anteriormente através dos métodos do
valor presente líquido e benefício líquido anual uniforme, demonstrando novamente a equivalência dos três critérios de decisão pertinentes à Engenharia Econômica.

3.7

"Pay-Back", um Método Incorreto de Uso Generalizado

Muito embora as técnicas para análise de investimentos até agora apresentadas
sejam conceitualmente corretas, e realmente válidas para orientar decisões sobre
aplicações de capital, estas são freqüentemente marginalizadas nos meios empresariais. Em substituição, são utilizados o 'bom senso", a "experiência" e, quando
muito, alguns métodos rudimentares de análise.
Um desses métodos, largamente difundido, é o do pay-back, também conhecido pela terminologia de método do tempo de recuperação do investimento.
Em essência, este método consiste na determinação do número de períodos
necessários para recuperar o capital investido. Uma vez feito isso, a administração
da empresa decide sobre a aceitação do projeto com base em seus padrões de tempo
para recuperação de investimentos.
Exemplificando, suponha-se o seguinte projeto:

ANO
0
1
2
3

Fluxos de Caixa
Cr$
-60.000

Fluxos de Caixa
Acumulados
Cr$
- 60.000

+ 20.000

- 40.000

+ 20.000

- 20.000

+ 20.000

0

+ 20.000

4

+ 20.000
+ 40.000

5

+ 20.000

6

+ 20.000

+ 60.000

7

+ 20.000

+ 80.000

8

+ 20.000

+ 100.000

Como se observa na coluna de fluxos de caixa acumulados, o investimento estará integralmente recuperado após três anos. Isto significa dizer que, se o padrão de
tempo de recuperação for menor ou igual a três anos, o projeto deverá ser rejeitado;
caso contrário, aceito.
' Quando o método do tempo de recuperação do investimento for utilizado
para comparar alternativas, o período de recuperação deverá ser determinado para
cada uma delas, devendo ser selecionada aquela cujo investimento for recuperado
mais rapidamente. Caso nenhuma das alternativas apresente umpay-back inferior
ao padrão de aceitação, todas deverão ser rejeitadas.
Para ilustrar, suponha-se as seguintes alternativas em comparação:
PROJETO A
ANO

PROJETO B

Fluxos de
Caixa
-Cr$ -

Fluxos de Caixa
Acumulados
-Cr$-

Fluxos de
Caixa
-Cr$ -

Fluxos de Caixa
Acumulados
-Cr$ -

0

- 3.000

- 3.000

- 3.000

-3.000

1

+ 1.000

- 2.000

+ 1.500

-1.500

2

+ 1.000

-1.000

+ 1.500

0

3

+ 1.000

0

+ 1.000

+ 1.000

4

+ 1.000

n.ooo

+

+ 1.500

5

+ 1.000

+ 2.000

0

+ 1.500

6

+ 1.000

+3.000

0

+ 1.500

500

Como se observa nas colunas de fluxos de caixa acumulados, os tempos de recuperação do capital são três e dois anos respectivamente, para os projetos A e B.
De acordo com estes tempos, o projeto B é superior e, caso o padrão da empresa seja de três ou mais anos, esta alternativa deve ser selecionada; caso contrário, ambas
devem ser rejeitadas.
A ampla utilização do método do pay-back decorre principalmente da simplicidade dos cálculos e de seu fácil entendimento pelo empresário. Contudo, este critério apresenta certas deficiências que podem levar a decisões incorretas ou pouco
interessantes a médio e longo prazos.
Inicialmente, o método ignora as conseqüências além do período de recuperação, desprezando eventuais receitas e despesas produzidas além daquele período, e
o valor residual se houver algum. Como estas variáveis influem no retorno sobre o
investimento, sua não-consideração pode alterar a conclusão do estudo.
Também o método do tempo de recuperação do investimento não leva em
conta a variação do valor do dinheiro no tempo. Assim, poderão ocorrer casos em
que projetos desiguais do ponto de vista de rentabilidade apresentem o mesmopayback, tornando indiferente a escolha de qualquer um deles.

Estas considerações evidenciam ser desaconselhável o emprego do método do
tempo de recuperação do investimento como principal critério eletivo para aplicações de capital. Sua utilidade deverá se restringir ao fornecimento de informações
complementares sobre a velocidade de recuperação do desembolso efetuado, a qual
naturalmente apresenta-se correlacionada com o risco do empreendimento.
Os exemplos subseqüentes esclarecem as deficiências do método do pay-back,
em face das técnicas corretas de avaliação de investimentos.

Exemplo 10
Certa empresa está considerando duas alternativas de investimento para reduzir custos de produção. Os projetos em comparação apresentam as seguintes previsões de desembolsos e reduções de custo;

0

Projeto^
A
-Cr$B
-Cr$-

1

2

3

4

5

6

8

7

9

10

-10.000 4.000 3.000 3.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000
-10.000 4.000 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000

Verificar qual alternativa deverá ser a preferida, utilizando o método do payback e, posteriormente, o do valor presente líquido, descontado a uma taxa mínima
de atratividade de 8% ao ano.
Solução:
São os seguintes fluxos de caixa acumulados para ambos os projetos:

ANO

PROJETO A
-Cr$-

0
1
2
3

PROJETO B
-Cr$ -

10.000

-

.-

10.000

6.000

-

6.000

3.000

-

3.000

0

4

+

5

+ 4.000

2.000

0
.

+

3.000

+ 6.000

6

+

6.000

+

7

+

8.000

+ 12.000

9.000

8

+ 10.000

+ 15.000

9

+ 12.000

+ 18.000

10

+ 14.000

+ 21.000

Como se observa, o tempo de recuperação é igual a três anos para ambos os
projetos, significando dizer que é indiferente escolher qualquer um deles.
Pelo método do valor presente líquido, tem-se:

P = - C r $ 10.000 + Cr$ 2.000 (U/P, 8%, 10) + Cr$ 2.000
(M/P,8%,1) + Cr$ 1.000 (M/P, 8%, 2) + Cr$ 1.000 (M/P, 8%, 3)
P = - C r $ 10.000 + Cr$ 2.000 x 6,7101 + Cr$ 2.000 x 0,9259 +
A

+ Cr$ 1.000 x 0,8573 + Cr$ 1.000 x 0,7938
P = - C r $ 10.000 + Cr$ 13.420 + Cr$ 1.852 + Cr$ 857 + Cr$ 794
A

P = + Cr$ 6.923
A

P = - C r $ 10.000 + Cr$ 3.000 (U/P, 8%, 10) + Cr$ 1.000 x (M/P, 8%, 1)
B

P = - C r $ 10.000 + Cr$ 3.000 x 6,7101 + Cr$ 1.000 x 0,9259
B

P = - C r $ 10.000 + Cr$ 20.130 + Cr$ 926
B

P = +Cr$ 11.056
B

Estes valores indicam claramente que a alternativas deve ser a preferida. Poderse-ia ter chegado à mesma conclusão por uma simples inspeção nos diagramas de fluxos de caixa para ambas as alternativas. A incapacidade do método do pay-back para demonstrar a superioridade de B resultou exatamente porque este método ignora
inteiramente as conseqüências, além do período de recuperação.

Exemplo 11
Suponha-se que as alternativas do exemplo anterior apresentem os seguintes
diagramas de fluxos de caixa:

Ano
Projetas.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A
Cr$

-10.000 4.000 3.000 3.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000

B
Cr$

- 10.000 2.000 3.000 5.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000

Comparar as alternativas pelos métodos do pay-back e do valor presente líquido. Utilizar uma taxa mínima de atratividade de 8% ao ano, para descontar os fluxos de caixa ao valor presente.

Solução:
São os seguintes os fluxos de caixa acumulados para ambos os projetos:

ANO
0
1
2

PROJETO A

-

- PROJETO B
Cr$

10.000

-

6.000

-

3.000

10.000
8.000
5.000

3

0

4
5

+ 2.000
+ 4.000

6

+ 6.000

7

+ 8.000
+ 10.000

+ 10.000

9

12.000

+ 12.000

10

+ 14.000

+ 14.000

8

0

+ 2.000
4.000
+ 6.000
+ 8.000

Como se observa, o tempo de recuperação é igual a três anos para ambos os
projetos, significando dizer que é indiferente escolher qualquer um deles.
Pelo me'todo do valor presente líquido, tem-se:
P = -Cr$ 10.000 + Cr$ 2.000 x (U/P, 8%, 10) + Cr$ 2.000 (M/P, 8 , 1)
%
A

+ Cr$ 1.000 (M/P, 8%, 2) + Cr$ 1.000 (M/P, 8 , 3)
%

I

P = - C r $ 20.00Q + CrS 2.000 x 6,7101 + Cr$ 2.000 x 0,9259 +
A

+ 1.000 x 0,8573 + Cr$ 1.000 x 0,7938
P = - C r $ 10.000 + Cr$ 13.420 + Cr$ 1.852 + Cr$ 857 + Cr$ 794
A

P = +Cr$ 6.923
4

P = - C r $ 10.000 + Cr$ 2.000 x (U/P, 8 , 10) + Cr$ 1.000 (M/P, 8%, 2)
%
B

+ Cr$ 3.000 (M/P, 8%, 3)
P = -CrS 10.000+ Cr$ 2.000 x 6,7101 + Cr$ 1.000 x 0,8573 +
B

+ Cr$ 3.000 x 0,7938
P = - C r $ 10.000 + Cr$ 13.420 + Cr$ 857 + Cr$ 2.381
B

P = + Cr$ 6.658
B

A análise pelo método do valor presente líquido indica claramente que o projeto A é superior. A incapacidade do método do pay-back de evidenciar essa superioridade decorre do fato de este método desprezar a variação do valor do dinheiro
no tempo. Considerando-se que todas as conseqüências econômicas, após o período
de recuperação para ambos os projetos, são idênticas, pode-se facilmente concluir
que a vantagem de A em relação a B decorre exclusivamente do fato de que os fluxos de caixa positivos de maior valor, que ocorrem durante o período de recuperação, encontram-se menos afastados no tempo para o projeto A, resultando num
maior valor presente líquido para este projeto.
3.8 Considerações sobre outros Métodos Incorretos
Além do método do tempo de recuperação do capital, abordado no item 3.7,
outras técnicas incorretas para avaliação de investimentos são comumente utilizadas nos meios empresariais. Dentre estas podem ser citadas as mais freqüentes:
— Método da depreciação linear mais juros sobre o capital inicial.
— Método da depreciação linear mais juros médios.
— Método da taxa de retorno contábil.
Os dois primeiros métodos são utilizados para comparação de projetos sob o
ponto de vista de custos. Também são empregados na análise de benefícios, mas somente quando a série de recebimentos é uniforme ao longo das vidas dos projetos.
O método da depreciação linear mais juros sobre o capital inicial apresenta a
deficiência de considerar os custos anuais sempre superiores aos reais, calculados pejo método do custo anual uniforme equivalente. Opostamente, o método da depreciação linear mais juros médios subestima os custos, resultando também em, valores
incorretos.
O método da taxa de retorno contábil, como o próprio nome sugere, depende
de lucros contábeis, que naturalmente são função do critério de depreciação adotado. Assim, de acordo com este, a lucratividade pode ser melhorada ou piorada, afetando a taxa de retorno, cujo valor fica subordinado a manobras contábeis, inteiramente desvinculadas dos conceitos econômicos de taxa interna de retorno.
Considerações mais detalhadas sobre estes métodos incorretos provavelmente
fogem ao interesse da maioria dos leitores, deixando portanto de ser objeto do presente trabalho. Para os que desejam um tratamento mais extensivo sobre o assunto,
a'obra de Gerald A. Fleischer, referida na Bibliografia, oferece informações adicionais claras e de fácil entendimento.
3.9 Problemas Pr o postos

Problema 1
Numa análise das oportunidades para redução de custos efetuada pelo departamento de transporte de uma usina siderúrgica, foi detectada a possibilidade de

atingir-se tal objetivo, substituindo o uso de caminhões alugados para transporte de
produtos em processamento ná área de laminação, por conjuntos de tratores e carretas.
Se implementada a modificação, deverá haver uma redução anual de despesas
da ordem de CrS 350.000,00 correspondentes ao aluguel pago pelo uso de caminhões.
Um estudo de simulação realizado determinou a necessidade de adquirir-se
dois tratores e cinco carretas, totalizando um investimento de Cr$ 350.000,00.
Os custos de mão-de-obra, combustível e manutenção foram estimados em
CrS 200.000,00 no primeiro ano, aumentando anualmente CrS 5.000,00, devido à
elevação do custo de manutenção, proporcionado pelo desgaste dos veículos.
Considerando-se a taxa mínima de atratividade da empresa, iguala 8% ao ano,
verificar a viabilidade da proposição, levando-se em conta que a vida econômica estimada para os equipamentos foi de cinco anos com valor residual nulo. Utilizar o
método do valor presente líquido.

Problema 2
Resolver o Problema 1, utilizando o método do benefício líquido anual uniforme.

Problema 3
Resolver o Problema 1, utilizando o método da taxa interna de retomo. Grafar a função P = f(i) fazendo a taxa de juros variar de 1 % em 1% no intervalo entre
25% e 35% e comparar a solução gráfica com a algébrica.

Problema 4
Um fazendeiro está considerando a aquisição de um trator para trabalhar em
suas terras. Após uma pesquisa junto a fornecedores, selecionou duas marcas capazes de atender às suas necessidades. Sobre elas obteve as seguintes informações;

DISCRIMINAÇÃO

TRATOR X

TRATOR Y
Cr$ 35.000

Custo Inicial

Cr$ 50.000


Cr$ 5.000

Cr$ 7.000

Valor Residual

Cr$ 20.000

Cr$ 10.000

10 anos

10 anos

Vida Econômica

Se o custo do capital para o fazendeiro é de 10% ao ano, qual marca deve ser
escolhida?

Problema 5
A gerência de certa empresa está considerando a mecanização de seus serviços
de embalagem. Atualmente os produtos são acondicionados manualmente a um custo
anual de Cr$ 30.000,00. Dois tipos de equipamentos capazes de executar a mesma
função encontram-se disponíveis no mercado, apresentando as seguintes características:
DISCRIMINAÇÃO

EQUIPAMENTO A

EQUIPAMENTO B

Custo Inicial

Cr$ 100.000

Cr$ 70.000


Cr$ 12.000

Cr$ 15.000

Valor Residual

Cr$ 13.000

Cr$ 8.000

10 anos

10 anos

Vida Econômica

Sendo à taxa mínima de atratividade para a empresa igual a 12% ao ano, qual
equipamento deve ser o escolhido? Utilizar o método do valor presente líquido.

Problema 6
Resolver o problema 5, utilizando o método do benefício líquido anual uniforme.

Problema 7
Resolver o problema 5, utilizando o método da taxa interna de retorno.

Problema 8
Duas empilhadeiras estão sendo consideradas para movimentação de materiais
numa fábrica. Ambas possuem vida útil estimada em quatro anos. A empilhadeira A
exigirá um investimento de Cr$ 10.000,00, enquanto para B o investimento será de
Cr$ 6.000,00. Os custos operacionais também serão diferentes conforme pode ser
observado abaixo:

Custos Operacionais - Cr$/ano
ANO

Empilhadeira ,4

Empilhadeira B

1

7.500

8.000

2

7.600

8.150

3

7.700

8.300

4

7.800

8.450

As empilhadeiras A e B terão valores residuais iguais a Cr$ 1.500,00 e
Cr$ 1.600,00, respectivamente.

Sendo a taxa mínima de atratividade igual a 10% ao ano, pede-se decidir sobre
a alternativa mais econômica com base nos custos anuais uniformes.

Problema 9
Dois projetos alternativos estão disponíveis a um pequeno empresário, apresentando os seguintes fluxos de caixa:

ANO
0

PROJETO A
Cr$

PROJETO B
Cr$

-12.000

-15.000

1.500

9.500

2

2.500

3.500

3

8.000

1.000

4

1.000

1.000

5

500

5.000

6

1.000

1.000

7

3.000

1.000

8

5.000

8.000

Considerando-se que, o critério de decisão será o tempo de recuperação do capital investido, e que o empresário somente aceita projetos que apresentem payback menor ou igual a cinco anos, verificar se as alternativas são viáveis sob este
ponto de vista e indicar a mais atrativa.

Problema 10
Um das principais deficiências do método do pay-back é não considerar a variação do valor do dinheiro no tempo. Um refinamento deste método seria a determinação do pay-back com base nos valores presentes das variações de caixa ocorridas em cada período.

Utilizando os dados do exercício anterior e admitindo uma taxa mínima atrativa de retorno igual a 5%, grafar o valor presente líquido acumulado para cada alternativa e comparar sua conclusão com o resultado obtido anteriormente.

Problema 11
Um consultor, convidado a opinar sobre a decisão a ser tomada acerca dos
projetos alternativos descritos no problema 9, recomendou que fosse preferida a
alternativa B, contrária à conclusão a que se havia chegado anteriormente naquele
exercício. Utilizando qualquer um dos três métodos clássicos de análise de investimentos, forme suas próprias opiniões e tente explicar eventuais divergências. O custo do capital para ambos os projetos será de 6% ao ano.

3

capítulo
Comparação entre alternativas de
investimento sob circunstâncias
específicas
4.1


A análise de investimentos sob certas condições especiais exige a introdução
de hipóteses ou a formulação de raciocínio lógico que permitam a utilização dos mé¬
todos precedentes de uma forma racional.
No presente c a p í t u l o serão abordados aspectos relacionados às c o n d i ç õ e s sob
as quais o simples emprego das t é c n i c a s de análise de investimentos conduziria a decisões errôneas. Estas c o n d i ç õ e s surgem quando se .lida com fluxos de caixa não
convencionais, que apresentam mais de uma i n v e r s ã o de sinal; quando se compara
alternativas cujos horizontes temporais são desiguais, ou, ainda, em casos onde existem limitadas disponibilidades de recursos para financiar diversos projetos que po¬
dem ser implementados simultaneamente.

65

66

4.2

Comparação entre altern, de invest, sob circunstâncias especificas

Alternativas que Resultam em Fluxos de Caixa com mais de uma I n v e r s ã o de
Sinal

A t é o presente momento todas as alternativas de investimento consideradas
foram caracterizadas pela r e a l i z a ç ã o de um investimento resultando em b e n e f í c i o s
posteriores.
Uma q u e s t ã o interessante surge quando recebimentos e desembolsos se alteram ao longo do horizonte de planejamento considerado para o projeto. Alternati¬
vas desta natureza apresentam mais de uma inversão de sinal entre suas variações de
caixa.
Em termos a l g é b r i c o s , a regra de sinais de Descartes afirma que e x i s t i r ã o no
m á x i m o tantas raízes positivas, quantas forem as i n v e r s õ e s de sinal. Em confronto
com a d e f i n i ç ã o de taxa interna de retorno, isto significa que p o d e r ã o haver tantas
taxas internas de retorno quantas forem as i n v e r s õ e s de sinal.
Exemplificando, suponha-se uma empresa que, por r a z õ e s e s t r a t é g i c a s , tenha
decidido instalar um d e p ó s i t o de produtos acabados num centro g e o e c o n ô m i c o de
determinada r e g i ã o . A empresa contratou o aluguel de um g a l p ã o por quinze anos,
pagando anualmente Cr$ 120.000,00 e se comprometendo, adicionalmente, a realizar uma reforma estimada em Cr$ 300.000,00 após cinco anos. As reduções anuais
no custo de distribuição foram previstas em Cr$ 144.000,00.
Como pode ser observado na Figura 6, o diagrama de fluxos de caixa desta
o p e r a ç ã o apresenta duas i n v e r s õ e s de sinal na seqüência + , — ,+ .

Figura 6 — Diagrama de fluxos de caixa referente ao aluguel do g a l p ã o .

A representação gráfica, mostrada na figura 7, do valor presente l í q u i d o descontado para taxas de juros, variando de intervalo de 0% a 40%, mostra claramente
a e x i s t ê n c i a de duas taxas, 84% e 33,6% respectivamente, para as quais o valor pre¬
sente líquido do projeto é nulo.


67

Caso as reduções no custo de distribuição fossem estimadas em Cr$ 150.000,00
P (Cr$)
0
10
15
20
25
30
35
40

35

+ 60.000
+ 14.054
-

3.730
8.816
8.352

- 5.682
- 2.36.2
+
907
+ 3X34

40

Figura 7 — Representação gráfica do valor presente l í q u i d o para reduções de custo de
Cr$ 114.000,00/ano.

a curva da F i g u r a 7 se elevaria, resultando que nenhuma taxa de desconto utilizada
anularia o valor presente l í q u i d o , conforme é ilustrado na Figura 8.
S o l u ç õ e s deste tipo n ã o apresentam significado e c o n ô m i c o algum. Problemas
desta natureza devem ser resolvidos a partir de uma h i p ó t e s e formulada sobre a ori¬
gem dos recursos a serem utilizados para fazer face ao investimento futuro. Este ca¬
pital p o d e r á ser obtido:

P (Cr$)
0
5
10
15
20
25
30
35
40

+
+
+
+
+
+
+
+
+

150.000
76-332
41.906
26.268
19.701
17.474
17.247
17.860
18.738

Figura 8 - Representação gráfica do valor presente l í q u i d o para reduções de custo de
C r $ 150.000,00/ano.

68

Comparação entre altern, de invest, sob circunstâncias específicas
— Pelo reinvestimento, em geral sob forma de uma reserva, dos lucros que antecedem ao desembolso prospectivo.
— Pela r e a l i z a ç ã o de um e m p r é s t i m o a ser pago com os resultados futuros.
— Através da captação de recursos próprios, cujo capital será recuperado em
p e r í o d o s futuros.
— Por uma c o m p o s i ç ã o mista de recursos obtidos através das formas citadas.

Considerando-se sob um â n g u l o realista, o que provavelmente será feito em
cada caso específico, surgirão bases para a escolha da hipótese que deverá ser adotada. Qualquer que seja ela, o diagrama de fluxos de caixa original p o d e r á ser transformado em outro equivalente que apresente uma ú n i c a i n v e r s ã o de sinal.
Qualquer que seja o m é t o d o de avaliação empregado, a análise de m é r i t o s do
projeto deverá ser efetuada a partir de seu diagrama transformado, uma vez que este
refletirá, na sua forma final, as v a r i a ç õ e s de caixa associadas aos empreendimentos.
Exemplo 1
Uma empresa e s t á considerando a viabilidade de explorar uma jazida mineral
a c é u aberto, cuja vida ú t i l prevista é de 10 anos, durante os quais estima-se que serão auferidos lucros de Cr$ 90.000,00/ano.
O investimento inicial necessário é de Cr$ 500.000,00 e, após a exaustão, será
exigido um desembolso líquido adicional de CrS 300.000,00 destinado a restaurar
o terreno circunvizinho, por razões de segurança.
Sendo a taxa m í n i m a de atratividade da empresa igual a 12% ao ano, verificar
se o projeto é vantajoso.
Solução:
O diagrama de fluxos de caixa para o projeto é conforme a figura a seguir:

Observa-se que, para realizar o investimento final de Cr$ 300.000,00, deverá
ser constituída uma reserva, j á que este desembolso ocorrerá ao final dos dez anos
de exploração da jazida, época em que não mais existirá capacidade de geração de
recursos pelo projeto.

Engenharia

Econômica

69

Admitindo-se que esta reserva seja formada por uma quota anual que poderá
ser investida a uma taxa de 15% ao ano, deverá ser retirada de lucro anual uma
quantia tal que, capitalizada a 15% ao ano, produza, após dez anos, Cr$ 300.000,00.
Este valor será então:
C r $ 300.000 x ( M / U , 15%, 10) =
= C r $ 300.000 x 0,0493= C r $ 14.790/ano
O diagrama de fluxos de caixa do projeto se transformará então como segue:

Parai=

8%

P= + C r $ 4.667

Parai=

9%

P = - C r $ 17.325

Interpolando :

+ C r $ 4.667

• C r $ 17.325

70

Comparação entre altern. de invest, sob circunstâncias específicas

Logo, a taxa de retorno do projeto de m i n e r a ç ã o é inferior à taxa m í n i m a de
atratividade da empresa, não sendo então compensadora a realização deste, investimento.
Caso fosse utilizado o método do valor presente líquido ou do benefício líquido anual uniforme, a conclusão seria idêntica. Claramente a determinação destes
valores deve considerar o diagrama de fluxos de caixa transformado, que representa
as c o n s e q ü ê n c i a s e c o n ô m i c a s reais do projeto. Assim, o valor presente l í q u i d o é:
P= - C r $ 500.000 + C r $ 75,210 x ( U / P , 12%, 10)
P= - C r $ 500.000 + C r $ 75.210 x 5,6502
P= - C r $ 500.000 + C r $ 424.952
P= - C r $ 75.048
O benefício l í q u i d o anual uniforme é:
U= +Cr$ 75.210 - C r $ 500.000 x ( P / U , 12%, 10)
U= +Cr$ 75.210 - C r $ 500.000 x 0,1770
U= +Cr$ 75.210 - C r $ 88.500
U = - C r $ 13,290

Exemplo 2
Um projeto para p r o d u ç ã o de a l u m í n i o está sendo considerado para implantaç ã o . As estimativas realizadas são:

A região onde será instalada a fábrica oferece energia elétrica industrial na
t e n s ã o de 69 kV. Contudo, encontra-se em instalação uma nova rede na tensão de
138 k V , que substituirá a existente, cerca de cinco anos após o início de operação
da nova planta industrial.
Tendo-se em vista que naquela época será necessário substituir a subestação
rebaixadora de t e n s ã o do projeto original, foi estabelecido que a c o n c e s s i o n á r i a de
energia abrirá um c r é d i t o para financiar os novos equipamentos, por um prazo de
cinco anos, cobrando juros de 4% ao ano.

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