Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Die SlideShare-Präsentation wird heruntergeladen. ×
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Nächste SlideShare
Matrius i determinants
Matrius i determinants
Wird geladen in …3
×

Hier ansehen

1 von 66 Anzeige
Anzeige

Weitere Verwandte Inhalte

Diashows für Sie (20)

Anzeige

Weitere von David Caparrós (20)

Anzeige

Aktuellste (20)

Matrius

  1. 1. MATRIUS Matemàtiques 2n Batx CCSS davidc
  2. 2. Matriu numèrica : conjunt de nombres ordenats en forma de taula disposats en files i columnes 1.1 CONCEPTE DE MATRIU Files: sentit horitzontal Columnes: sentit vertical Cada nombre real es un element de matriu i quedat definit pel seu nombre de fila i de columna que ocupa Ordre o dimensió : ( nº de files, nº de columnes)
  3. 3. Matriu numèrica : conjunt de nombres ordenats en forma de taula disposats en files i columnes 1.1 CONCEPTE DE MATRIU Files: 3 files Columnes: 4 columnes Ordre: (3,4)
  4. 4. Matriu numèrica : conjunt de nombres ordenats en forma de taula disposats en files i columnes Files: 4 files Columnes: 2 columnes Ordre: (4,2) 1.1 CONCEPTE DE MATRIU
  5. 5. Exemple: Joan ,Anna i Elena han anat a una tenda i han comprat el següent: Joan ha comprat dos entrepans, un refresc i un pastís Anna ha comprat un entrepà, un refresc i un pastís Elena ha comprat un entrepà i un refresc 1.1 CONCEPTE DE MATRIU Files: Persones 3 files Columnes: Productes: 3 columnes Ordre: (3,3) Entrepans Refrescos Pastissos Joan 2 1 1 Anna 1 1 1 Elena 1 1 0
  6. 6. Exemple: Joan ,Anna i Elena han anat a una tenda i han comprat el següent: Joan ha comprat dos entrepans, un refresc i un pastís Anna ha comprat un entrepà, un refresc i un pastís Elena ha comprat un entrepà i un refresc 1.1 CONCEPTE DE MATRIU Files: Persones 3 files Columnes: Productes: 3 columnes Ordre: (3,3)       ÷ ÷ ÷  2 1 1 1 1 1 1 1 0
  7. 7. Dimensió de la matriu nm× 2ª columna 3ª fila              a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n .. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn = (aij ) 1.1 CONCEPTE DE MATRIU S’ anomena matriu d’ orden m×n a tot conjunt d’ elements aij disposats en m línees horizontales (files) i n verticals (columnes) de la forma:
  8. 8. S’anomena matriu d’ ordre m×n a tot conjunt d’ elements aij disposats en m línees horizontals (files) i n verticals (columnes) de la forma: Abreujadament se solen expressar en la forma A =(aij), amb i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Els subíndexs indiquen la posició de l’ element dintre de la matriu, el primer denota la fila ( i ) i el segon la columna ( j ). Per exemple l’ element a25 serà l’ element de la fila 2 i columna 5. L’ ordre és el nombre de files i columnes que té la matriu, es representa per m x n.                 nnnnn n n n aaaa aaaa aaaa aaaa      321 3333231 2232221 1131211 A = (ai,j)= 1.1 CONCEPTE DE MATRIU
  9. 9. 1.1 CONCEPTE DE MATRIU Exemple 1. Donada la matriu Indica: 1.L’ ordre 2.Els elements a11, a14, a32 3.Els termes de la segona columna 4.Els termes de la quarta fila
  10. 10. Exemple 1. Donada la matriu Indica: 1.L’ ordre : (3,4) 2.Els elements a11 = 2 , a14 = 5 , a32= 0 3.Els termes de la segona columna: -1, 1,0 4.Els termes de la quarta fila: no hi ha quarta fila 1.1 CONCEPTE DE MATRIU
  11. 11. Exemple 2. Escriu la matriu A d’ordre (3,2) tal que els seus elements de matriu venen donats per aij = 2i + j 1.1 CONCEPTE DE MATRIU
  12. 12. 1.2 TIPUS DE MATRIUS Matriu quadrada Matriu rectangular Matriu fila Matriu columna Matriu nul.la Matriu oposada Matriu transposada
  13. 13. 1.2 TIPUS DE MATRIUS Matriu quadrada matriu en que el nombre de files i de columnes coincideixen Ordre : ( n,n)       − − = 07 52 A 2x2 3x3 A = ( 7) 1x1
  14. 14. 1.2 TIPUS DE MATRIUS Matriu rectangular matriu en que el nombre de files i de columnes NO coincideixen Ordre : ( n,m) 2x3 4x1 B= 3x2
  15. 15. 1.2 TIPUS DE MATRIUS Matriu fila: matriu formada per una sola fila Ordre : ( 1,n) A = (1 3 5 7 9 ) A
  16. 16. 1.2 TIPUS DE MATRIUS Matriu columna matriu formada per una sola columna Ordre : ( n,1) B=
  17. 17. 1.2 TIPUS DE MATRIUS Matriu nul.la: matriu en la que tots els seus elements són nuls 33 000 000 000 O ×           = 23 00 00 00 O ×           =
  18. 18. 1.2 TIPUS DE MATRIUS Matriu oposada d’una matriu matriu que s’ obté canviant cadascun dels seus elements pel seu oposat
  19. 19. 1.2 TIPUS DE MATRIUS Matriu transposada d’una matriu matriu que s’ obté intercanviant files per columnes 2x3 3x2 4x4 4x4
  20. 20. Matriu triangular superior Matriu triangular inferior Matriu diagonal Matriu escalar Matriu unitat o identitat Matriu simètrica Matriu antisimètrica 1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES
  21. 21. Diagonals d’ una matriu quadrada matriu en que el nombre de files i de columnes coincideixen 1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES
  22. 22. Matriu triangular superior Matriu on tots els elements situats per sota de la diagonal principal són zeros. 1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES
  23. 23. Matriu triangular inferior Matriu on tots els elements situats per sobra de la diagonal principal són zeros. 1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES
  24. 24. Matriu diagonal Matriu que es a la vegada triangular superior i inferior Tots els seus elements són zero excepte els de la diagonal principal 1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES
  25. 25. Matriu escalar Matriu diagonal on tots els elements de la digonal principal són iguals 1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES
  26. 26. Matriu unitat o identitat Matriu escalar on tots els elements de la diagonal principal són 1 1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES
  27. 27. Matriu simètrica Matriu on els elements cumpleixen 1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES jiij aa = ⇒ A = AT
  28. 28. Matriu antisimètrica Matriu on els elements cumpleixen 1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES jiij -aa = ⇒ A = – AT
  29. 29. 1.4.1 Suma i diferència de matrius 1.4.2 Producte d’ una matriu per un nombre 1.4.4 Producte de matrius 1.4.5 Potència d’ una matriu quadrada 1.4 OPERACIONS AMB MATRIUS 1.4.3 Transposada d’una matriu
  30. 30. La suma de dos matrius A=(aij), B=(bij) de la mateixa dimensió, es una altra matriu S=(sij) de la mateixa dimensió que les matrius que es sumen i amb terme general S = (aij + bij). La suma de les matrius A i B s’ indica per A+B. Exemple: En canvi , no es poden sumar. La diferència de matrices A i B es representa per A–B, i es defineix com la suma de A amb l’ oposada de B : A–B = A + (–B) Per tant, per a poder sumar dos matrius han de tenir la mateixa dimensió. 1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS
  31. 31. Per a sumar dos matrius A i B 3x3 amb les mateixes dimensions es sumen els corresponents elements: si A = (aij) y B = (bij) llavors A + B = (aij + bij) A + B = (aij ) + (bij ) =        a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 +        b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 = =        a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14 a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34 = (aij + bij ) 1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS
  32. 32. 1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS
  33. 33. 1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS
  34. 34. • Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C • Conmutativa: A + B = B + A • Element neutre: A + 0 = 0 + A = A on 0 és la matriu nul.la. • Element oposat: A + (– A) = (– A) + A = 0 La matriu –A (oposada) s’ obté canviant de signe els elements de A. Siguin A, B i C tres matrius del mateix ordre es cumpleixen les següents propietats: 1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS Propietats de l’ addició de matrius.
  35. 35. • Conmutativa: A + B = B + A 1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS Propietats de l’ addició de matrius.
  36. 36. • Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS Propietats de l’ addició de matrius.
  37. 37. • Element neutre: A + 0 = 0 + A = A on 0 és la matriu nul.la. 1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS Propietats de l’ addició de matrius.
  38. 38. • Element oposat: A + (– A) = (– A) + A = 0 La matriu –A (oposada) s’ obté canviant de signe els elements de A. 1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS Propietats de l’ addició de matrius.
  39. 39. Per a multiplicar un nombre real per una matriu, es multipliquen cada un dels elements de la matriu per aquest nombre. Si A = (aij), llavors kA = (kaij) k . A = k . (aij) = k·        a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =        ka11 ka12 ka13 ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33 = (kaij) 1.4.2 PRODUCTE D’ UN NOMBRE PER UNA MATRIU Aquesta operació sempre es pot fer independentment de la dimensió de la matriu.No cal que sigui quadrada
  40. 40. 1.4.2 PRODUCTE D’ UN NOMBRE PER UNA MATRIU
  41. 41. 1.4.2 PRODUCTE D’ UN NOMBRE PER UNA MATRIU
  42. 42. • Distributiva I: k(A + B) = kA + kB • Distributiva II: (k + h)A = kA + hA • Element neutre: 1 · A = A • Associativa mixta: k(hA) = (kh)A Siguin A i B dos matrius del matei orden i k i h dos nombres reals es cumpleixen les propietats següents: PROPIETATS AMB LA SUMA I UN NOMBRE PER UNA MATRIU
  43. 43. • Distributiva I: k(A + B) = kA + kB PROPIETATS AMB LA SUMA I UN NOMBRE PER UNA MATRIU
  44. 44. PROPIETATS AMB LA SUMA I UN NOMBRE PER UNA MATRIU • Distributiva II: (k + h)A = kA + hA
  45. 45. PROPIETATS AMB LA SUMA I UN NOMBRE PER UNA MATRIU • Element neutre: 1 · A = A           − − =           − − • 092 360 543 092 360 543 1
  46. 46. PROPIETATS AMB LA SUMA I UN NOMBRE PER UNA MATRIU • Associativa mixta: k(hA) = (kh)A ( )          − =          −          − ⋅=          − ⋅          − ⋅⋅=                    − ⋅⋅ 1206 243630 24024 1206 243630 24024 201 465 404 6 603 121815 12012 2 201 465 404 32 201 465 404 32
  47. 47. 1.3 TRANSPOSADA D’UNA MATRIU Donada una matriu d’ ordre m x n, A = (aij), s’anomena matriu transposada de A, i es representa per At , a la matriu que s’ obté canviant les files per les columnas (o viceversa) en la matriu A. És a dir:
  48. 48. 1.3 TRANSPOSADA D’UNA MATRIU Exemple:Si A =         1 2 3 4 5 6 llavors At =        1 4 2 5 3 6 I. Per a la matriu A, (At )t = A II. Per a les matrius A i B, (A+ B)t = At + Bt III. Per a la matriu A i el nombre real k, (k . A)t = k . At IV. Per a les matrius A i B, (A. B)t = Bt . At V. Si A és una matriu simètrica, At = A Propietats de la matriu transposada:
  49. 49. Donades dos matrius A i B, el seu producte és altre matriu P els elements de la qual s’ obtenen multiplicant les files de A per les columnes de B (motiu pel qual han de coincidir). De manera más formal, els elements de P són de la forma: El nombre de columnes de A ha de coincidir amb el nombre de files de B. Si A té dimensió m x n i B dimensió n x p, la matriu P serà de ordre m x p, no es poden multiplicar perquè el nombre de columnes de la primera matriu (1) no coincideix amb el nombre de files de la segona matriu (2) Exemples: Pij = ∑ ai · bkj amb k=1,….n 1.4 PRODUCTE DE MATRIUS 3x1 2x3
  50. 50. 1.4 PRODUCTE DE MATRIUS (aij)m,n . (bij)n,p = Possible files columnes (cij)m,p El producte de matrius és possible quan coincideix el nombre de columnes d’ una matriu amb el nombre de files de l’ altre matriu.
  51. 51. 1.4 PRODUCTE DE MATRIUS El producte de la matriu A = (aij) =            a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n .. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn per la matriu B = (bij) =                 np3n2n1n p3333231 p2232221 p1131211 bbbb bbbb bbbb bbbb ...... .......... ...... ...... ...... és la matriu C = A · B, tal que l’element que ocupa la posició ij és: cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ... + ain . bnj
  52. 52. 1.4 PRODUCTE DE MATRIUS Exemple 1 : Ordre A : (1,3) Ordre B: (3,1) Ordre AB (1,1)
  53. 53. 1.4 PRODUCTE DE MATRIUS Exemple 2 : Ordre A : (3,3) Ordre B: (3,3) Ordre AB (3,3)
  54. 54. 1.4 PRODUCTE DE MATRIUS Exemples directes :
  55. 55. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS I. Propiedat associativa. Per a les matrius A de dimensió mxn, B de dimensió nxp i C de dimensió pxr. A . (B . C) = (A . B) . C
  56. 56. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS II. Propiedat distributiva per l’ esquerra. Per a les matrius A de dimensió mxn, B de dimensión nxr i C de dimensión nxr. A . (B + C) = A . B + A . C
  57. 57. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS III Propiedat distributiva per la dreta .Per a les matrius A de dimensión mxn, B de dimensión mxn i C de dimensión nxp. (A + B) . C = A . C + B . C
  58. 58. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS IV. Propietat conmutativa : NO s’acostuma a cumplir. • ABBA •≠•
  59. 59. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS IV. Propietat conmutativa : NO s’acostuma a cumplir. ABBA •≠•
  60. 60. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS IV. Propietat conmutativa : Només es cumpleix en dos casos 1) Si les dues matrius a multiplicar són diagonals quadrades del mateix ordre A           = 400 030 002 B          − = 200 030 001 BA          − =          − •           =• 800 090 002 200 030 001 400 030 002 AB          − =           •          − =• 800 090 002 400 030 002 200 030 001
  61. 61. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS IV. Propietat conmutativa : Només es cumpleix en dos casos 2) Si les dues matrius a multiplicar són quadrades del mateix ordre i una d’elles és la matriu identitat ( l’altra matriu pot ser qualsevol) A           −= 601 543 012 I           = 100 010 001 IA           −=           •           −=• 601 543 012 100 010 001 601 543 012 AI           −=           −•           =• 601 543 012 601 543 012 100 010 001
  62. 62. 1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADA Si A és una matriu quadrada, les potències de A, d’ exponent natural, es defineix com en el cas dels nombres naturals: l’ exponent indica el nombre de vegades que es multiplica la matriu per si mateixa An = A . A . ........... . A Exemple 1: A      − = 32 15 A2       − − =     − •     − =•= 114 227 32 15 32 15 AA B      − = 062 135 B2      − •     − =•= 062 135 062 135 BB 2x3 2x3 No es poden multiplicar!!!
  63. 63. 1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADA Exemple 2:       = 10 11 A       =            =⋅= 10 21 10 11 10 11 AAA2       =      ⋅      =⋅=⋅⋅⋅= 10 41 10 31 10 11 AAAAAAA 34       =            =⋅= 10 31 10 21 10 11 AAA 23       =      −       =⋅== 10 1 10 11 10 11 AAAAA 1- veces- nnn n n 
  64. 64. 1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADA Si A és una matriu quadrada diagonal n´hi ha prou en elevar els elements de la diagonal principal a l’exponent indicat A       = 50 02 A2       =      •      =•= 250 04 50 02 50 02 AA A2       =        =      = 250 04 50 02 50 02 2 22
  65. 65. 1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADA Si A és una matriu quadrada diagonal n´hi ha prou en elevar els elements de la diagonal principal a l’exponent indicat B           −= 300 010 002 B5           −=           −=           −= 24300 010 0032 300 0)1(0 002 300 010 002 5 5 55 B5 ...=••••= BBBBB MOLT LLARG!!
  66. 66. 1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADA Si A és una matriu quadrada diagonal n´hi ha prou en elevar els elements de la diagonal principal a l’exponent indicat C           −= 100 010 001 C13 C=           −=           −=           −= 100 010 001 100 0)1(0 001 100 010 001 13 13 1313 C78 I=           =           −=           −= 100 010 001 100 0)1(0 001 100 010 001 78 78 7878       = senarésnsiC parellésnsiI Cn .... ....

×