Tema1: Matrius Matemàtiques Batx Ciències Socials

1. MATRIUS
Matemàtiques 2n Batx CCSS
davidc

2. Matriu numèrica : conjunt de nombres ordenats en forma de taula disposats en files i
columnes
1.1 CONCEPTE DE MATRIU
Files: sentit horitzontal
Columnes: sentit vertical
Cada nombre real es un element de matriu i quedat definit pel seu nombre de fila i de columna
que ocupa
Ordre o dimensió : ( nº de files, nº de columnes)

3. Matriu numèrica : conjunt de nombres ordenats en forma de taula disposats en files i
columnes
1.1 CONCEPTE DE MATRIU
Files: 3 files
Columnes: 4 columnes
Ordre: (3,4)

4. Matriu numèrica : conjunt de nombres ordenats en forma de taula disposats en files i
columnes
Files: 4 files
Columnes: 2 columnes
Ordre: (4,2)
1.1 CONCEPTE DE MATRIU

5. Exemple: Joan ,Anna i Elena han anat a una tenda i han comprat el següent:
Joan ha comprat dos entrepans, un refresc i un pastís
Anna ha comprat un entrepà, un refresc i un pastís
Elena ha comprat un entrepà i un refresc
1.1 CONCEPTE DE MATRIU
Files: Persones 3 files
Columnes: Productes: 3 columnes
Ordre: (3,3)
Entrepans Refrescos Pastissos
Joan 2 1 1
Anna 1 1 1
Elena 1 1 0

6. Exemple: Joan ,Anna i Elena han anat a una tenda i han comprat el següent:
Joan ha comprat dos entrepans, un refresc i un pastís
Anna ha comprat un entrepà, un refresc i un pastís
Elena ha comprat un entrepà i un refresc
1.1 CONCEPTE DE MATRIU
Files: Persones 3 files
Columnes: Productes: 3 columnes
Ordre: (3,3)






÷
÷
÷

2 1 1
1 1 1
1 1 0

7. Dimensió de la matriu nm×
2ª columna
3ª fila













a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
= (aij )
1.1 CONCEPTE DE MATRIU
S’ anomena matriu d’ orden m×n a tot conjunt d’ elements aij disposats
en m línees horizontales (files) i n verticals (columnes) de la forma:

8. S’anomena matriu d’ ordre m×n a tot conjunt d’ elements aij disposats en m
línees horizontals (files) i n verticals (columnes) de la forma:
Abreujadament se solen expressar en la forma A =(aij), amb i =1, 2, ..., m,
j =1, 2, ..., n. Els subíndexs indiquen la posició de l’ element dintre de la
matriu, el primer denota la fila ( i ) i el segon la columna ( j ). Per exemple l’
element a25 serà l’ element de la fila 2 i columna 5.
L’ ordre és el nombre de files i columnes que té la matriu, es representa
per m x n.
















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
A = (ai,j)=
1.1 CONCEPTE DE MATRIU

9. 1.1 CONCEPTE DE MATRIU
Exemple 1. Donada la matriu
Indica:
1.L’ ordre
2.Els elements a11, a14, a32
3.Els termes de la segona columna
4.Els termes de la quarta fila

10. Exemple 1. Donada la matriu
Indica:
1.L’ ordre : (3,4)
2.Els elements a11 = 2 , a14 = 5 , a32= 0
3.Els termes de la segona columna: -1, 1,0
4.Els termes de la quarta fila: no hi ha quarta fila
1.1 CONCEPTE DE MATRIU

11. Exemple 2. Escriu la matriu A d’ordre (3,2) tal que els seus elements de matriu
venen donats per aij = 2i + j
1.1 CONCEPTE DE MATRIU

12. 1.2 TIPUS DE MATRIUS
Matriu quadrada
Matriu rectangular
Matriu fila
Matriu columna
Matriu nul.la
Matriu oposada
Matriu transposada

13. 1.2 TIPUS DE MATRIUS
Matriu quadrada
matriu en que el nombre de files i de columnes coincideixen
Ordre : ( n,n)






−
−
=
07
52
A
2x2
3x3
A = ( 7)
1x1

14. 1.2 TIPUS DE MATRIUS
Matriu rectangular
matriu en que el nombre de files i de columnes NO coincideixen
Ordre : ( n,m)
2x3
4x1
B=
3x2

15. 1.2 TIPUS DE MATRIUS
Matriu fila:
matriu formada per una sola fila
Ordre : ( 1,n)
A = (1 3 5 7 9 )
A

16. 1.2 TIPUS DE MATRIUS
Matriu columna
matriu formada per una sola columna
Ordre : ( n,1)
B=

17. 1.2 TIPUS DE MATRIUS
Matriu nul.la:
matriu en la que tots els seus elements són nuls
33
000
000
000
O
×










=
23
00
00
00
O
×










=

18. 1.2 TIPUS DE MATRIUS
Matriu oposada d’una matriu
matriu que s’ obté canviant cadascun dels seus elements pel seu oposat

19. 1.2 TIPUS DE MATRIUS
Matriu transposada d’una matriu
matriu que s’ obté intercanviant files per columnes
2x3
3x2
4x4 4x4

20. Matriu triangular superior
Matriu triangular inferior
Matriu diagonal
Matriu escalar
Matriu unitat o identitat
Matriu simètrica
Matriu antisimètrica
1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES

21. Diagonals d’ una matriu quadrada
matriu en que el nombre de files i de columnes coincideixen
1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES

22. Matriu triangular superior
Matriu on tots els elements situats per sota de la diagonal principal són zeros.
1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES

23. Matriu triangular inferior
Matriu on tots els elements situats per sobra de la diagonal principal són zeros.
1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES

24. Matriu diagonal
Matriu que es a la vegada triangular superior i inferior
Tots els seus elements són zero excepte els de la diagonal principal
1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES

25. Matriu escalar
Matriu diagonal on tots els elements de la digonal principal són iguals
1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES

26. Matriu unitat o identitat
Matriu escalar on tots els elements de la diagonal principal són 1
1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES

27. Matriu simètrica
Matriu on els elements cumpleixen
1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES
jiij aa = ⇒ A = AT

28. Matriu antisimètrica
Matriu on els elements cumpleixen
1.3 TIPUS DE MATRIUS QUADRADES
jiij -aa = ⇒ A = –
AT

29. 1.4.1 Suma i diferència de matrius
1.4.2 Producte d’ una matriu per un nombre
1.4.4 Producte de matrius
1.4.5 Potència d’ una matriu quadrada
1.4 OPERACIONS AMB MATRIUS
1.4.3 Transposada d’una matriu

30. La suma de dos matrius A=(aij), B=(bij) de la mateixa dimensió, es una altra matriu
S=(sij) de la mateixa dimensió que les matrius que es sumen i amb terme general S = (aij + bij).
La suma de les matrius A i B s’ indica per A+B.
Exemple:
En canvi , no es poden sumar.
La diferència de matrices A i B es representa per A–B, i es defineix com la suma de
A amb l’ oposada de B : A–B = A + (–B)
Per tant, per a poder sumar dos matrius han de tenir la mateixa dimensió.
1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS

31. Per a sumar dos matrius A i B 3x3 amb les mateixes dimensions es sumen els
corresponents elements: si A = (aij) y B = (bij) llavors A + B = (aij + bij)
A + B = (aij ) + (bij ) =







a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
+







b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
=
=







a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34
= (aij + bij )
1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS

32. 1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS

33. 1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS

34. • Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Conmutativa: A + B = B + A
• Element neutre: A + 0 = 0 + A = A on 0 és la matriu nul.la.
• Element oposat: A + (– A) = (– A) + A = 0
La matriu –A (oposada) s’ obté canviant de signe els elements de A.
Siguin A, B i C tres matrius del mateix ordre es cumpleixen les
següents propietats:
1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS
Propietats de l’ addició de matrius.

35. • Conmutativa: A + B = B + A
1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS
Propietats de l’ addició de matrius.

36. • Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS
Propietats de l’ addició de matrius.

37. • Element neutre: A + 0 = 0 + A = A on 0 és la matriu nul.la.
1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS
Propietats de l’ addició de matrius.

38. • Element oposat: A + (– A) = (– A) + A = 0
La matriu –A (oposada) s’ obté canviant de signe els elements de A.
1.4.1 SUMA I RESTA DE MATRIUS
Propietats de l’ addició de matrius.

39. Per a multiplicar un nombre real per una matriu, es multipliquen cada un dels
elements de la matriu per aquest nombre.
Si A = (aij), llavors kA = (kaij)
k . A = k . (aij) = k·







a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=







ka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23
ka31 ka32 ka33
= (kaij)
1.4.2 PRODUCTE D’ UN NOMBRE PER UNA MATRIU
Aquesta operació sempre es pot fer independentment de la dimensió
de la matriu.No cal que sigui quadrada

40. 1.4.2 PRODUCTE D’ UN NOMBRE PER UNA MATRIU

41. 1.4.2 PRODUCTE D’ UN NOMBRE PER UNA MATRIU

42. • Distributiva I: k(A + B) = kA + kB
• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA
• Element neutre: 1 · A = A
• Associativa mixta: k(hA) = (kh)A
Siguin A i B dos matrius del matei orden i k i h dos nombres reals es
cumpleixen les propietats següents:
PROPIETATS AMB LA SUMA I UN NOMBRE PER UNA MATRIU

43. • Distributiva I: k(A + B) = kA + kB
PROPIETATS AMB LA SUMA I UN NOMBRE PER UNA MATRIU

44. PROPIETATS AMB LA SUMA I UN NOMBRE PER UNA MATRIU
• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA

45. PROPIETATS AMB LA SUMA I UN NOMBRE PER UNA MATRIU
• Element neutre: 1 · A = A










−
−
=










−
−
•
092
360
543
092
360
543
1

46. PROPIETATS AMB LA SUMA I UN NOMBRE PER UNA MATRIU
• Associativa mixta: k(hA) = (kh)A
( )









−
=









−









−
⋅=









−
⋅









−
⋅⋅=



















−
⋅⋅
1206
243630
24024
1206
243630
24024
201
465
404
6
603
121815
12012
2
201
465
404
32
201
465
404
32

47. 1.3 TRANSPOSADA D’UNA MATRIU
Donada una matriu d’ ordre m x n, A = (aij), s’anomena matriu transposada de A, i es
representa per At
, a la matriu que s’ obté canviant les files per les columnas (o
viceversa) en la matriu A.
És a dir:

48. 1.3 TRANSPOSADA D’UNA MATRIU
Exemple:Si A =








1 2 3
4 5 6
llavors At
=







1 4
2 5
3 6
I. Per a la matriu A, (At
)t
= A
II. Per a les matrius A i B, (A+ B)t
= At
+ Bt
III. Per a la matriu A i el nombre real k, (k .
A)t
= k .
At
IV. Per a les matrius A i B, (A.
B)t
= Bt .
At
V. Si A és una matriu simètrica, At
= A
Propietats de la matriu transposada:

49. Donades dos matrius A i B, el seu producte és altre matriu P els elements de
la qual s’ obtenen multiplicant les files de A per les columnes de B (motiu
pel qual han de coincidir). De manera más formal, els elements de P són de la
forma:
El nombre de columnes de A ha de coincidir amb el nombre de files de B.
Si A té dimensió m x n i B dimensió n x p, la matriu P serà de ordre m x p,
no es poden multiplicar perquè
el nombre de columnes de la
primera matriu (1) no coincideix
amb el nombre de files de la
segona matriu (2)
Exemples:
Pij = ∑ ai · bkj amb k=1,….n
1.4 PRODUCTE DE MATRIUS
3x1 2x3

50. 1.4 PRODUCTE DE MATRIUS
(aij)m,n
.
(bij)n,p =
Possible
files
columnes
(cij)m,p
El producte de matrius és possible quan coincideix el nombre de columnes d’
una matriu amb el nombre de files de l’ altre matriu.

51. 1.4 PRODUCTE DE MATRIUS
El producte de la matriu
A = (aij) =











a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
per la matriu
B = (bij) =
















np3n2n1n
p3333231
p2232221
p1131211
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
......
..........
......
......
......
és la matriu C = A · B, tal que l’element que ocupa la posició ij és:
cij = ai1
.
b1j + ai2
.
b2j + ... + ain
.
bnj

52. 1.4 PRODUCTE DE MATRIUS
Exemple 1 :
Ordre A : (1,3)
Ordre B: (3,1)
Ordre AB (1,1)

53. 1.4 PRODUCTE DE MATRIUS
Exemple 2 :
Ordre A : (3,3)
Ordre B: (3,3)
Ordre AB (3,3)

54. 1.4 PRODUCTE DE MATRIUS
Exemples
directes :

55. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS
I. Propiedat associativa. Per a les matrius A de dimensió mxn, B de dimensió nxp i C de
dimensió pxr.
A .
(B .
C) = (A .
B) .
C

56. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS
II. Propiedat distributiva per l’ esquerra. Per a les matrius A de dimensió mxn,
B de dimensión nxr i C de dimensión nxr.
A .
(B + C) = A .
B + A .
C

57. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS
III Propiedat distributiva per la dreta .Per a les matrius A de dimensión mxn, B
de dimensión mxn i C de dimensión nxp.
(A + B) .
C = A .
C + B .
C

58. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS
IV. Propietat conmutativa : NO s’acostuma a cumplir.
•
ABBA •≠•

59. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS
IV. Propietat conmutativa : NO s’acostuma a cumplir.
ABBA •≠•

60. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS
IV. Propietat conmutativa : Només es cumpleix en dos casos
1) Si les dues matrius a multiplicar són diagonals quadrades del mateix ordre
A










=
400
030
002
B









−
=
200
030
001
BA









−
=









−
•










=•
800
090
002
200
030
001
400
030
002
AB









−
=










•









−
=•
800
090
002
400
030
002
200
030
001

61. PROPIETATS PRODUCTE DE MATRIUS
IV. Propietat conmutativa : Només es cumpleix en dos casos
2) Si les dues matrius a multiplicar són quadrades del mateix ordre i una d’elles és
la matriu identitat ( l’altra matriu pot ser qualsevol)
A










−=
601
543
012
I










=
100
010
001
IA










−=










•










−=•
601
543
012
100
010
001
601
543
012
AI










−=










−•










=•
601
543
012
601
543
012
100
010
001

62. 1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADA
Si A és una matriu quadrada, les potències de A, d’ exponent natural, es defineix com en el
cas dels nombres naturals: l’ exponent indica el nombre de vegades que es multiplica la
matriu per si mateixa
An
= A .
A .
........... .
A
Exemple 1:
A 




−
=
32
15 A2






−
−
=




−
•




−
=•=
114
227
32
15
32
15
AA
B 




−
=
062
135
B2





−
•




−
=•=
062
135
062
135
BB
2x3 2x3
No es poden
multiplicar!!!

63. 1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADA
Exemple 2: 





=
10
11
A






=











=⋅=
10
21
10
11
10
11
AAA2






=





⋅





=⋅=⋅⋅⋅=
10
41
10
31
10
11
AAAAAAA 34






=











=⋅=
10
31
10
21
10
11
AAA 23






=




 −






=⋅==
10
1
10
11
10
11
AAAAA 1-
veces-
nnn
n
n


64. 1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADA
Si A és una matriu quadrada diagonal n´hi ha prou en elevar els elements de la diagonal
principal a l’exponent indicat
A 





=
50
02
A2






=





•





=•=
250
04
50
02
50
02
AA
A2






=







=





=
250
04
50
02
50
02
2
22

65. 1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADA
Si A és una matriu quadrada diagonal n´hi ha prou en elevar els elements de la diagonal
principal a l’exponent indicat
B










−=
300
010
002
B5










−=










−=










−=
24300
010
0032
300
0)1(0
002
300
010
002
5
5
55
B5
...=••••= BBBBB MOLT LLARG!!

66. 1.5 POTÈNCIA D’UNA MATRIU QUADRADA
Si A és una matriu quadrada diagonal n´hi ha prou en elevar els elements de la diagonal
principal a l’exponent indicat
C










−=
100
010
001
C13
C=










−=










−=










−=
100
010
001
100
0)1(0
001
100
010
001
13
13
1313
C78
I=










=










−=










−=
100
010
001
100
0)1(0
001
100
010
001
78
78
7878






=
senarésnsiC
parellésnsiI
Cn
....
....