Bonjour Analyse Convexe : Topologie des ensembles convexes Cours d'analyse convexe dans le cadre du master : Mathématiques et Applications de la FST de Settat - Université Hassan 1er. Vidéos : Vidéo 1/4 : https://youtu.be/0MqRgDPqw9Q Vidéo 2/4 : https://youtu.be/l_MEUdYiwGY Vidéo 3/4 : https://youtu.be/PI3VwzLfqF8 Vidéo 3/4 : https://youtu.be/kPD0mkgcMWw Cordialement Pr JAOUAD DABOUNOU FST DE SETTAT UNIVERSITE HASSAN 1er

1. Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS
Topologie des ensembles convexes
Proposition : Soit A un ensemble convexe de R
n
, l’intérieur de A, A
o
, et la fermeture de A, A̅, sont
convexes.
Démonstration : (Exercice)
Proposition : Soit A convexe de R
n
, x A
o
, intérieur de A et yA. Alors [x , y[ A
o
.
Démonstration : x A
o
, intérieur de A, donc il existe >0 tel que la boule B(x , )A. Soit ]0 ,
1[ et x = x+(1-)y. Nous allons démontrer que x A
o
. On considère la boule
B(x , ), nous allons montrer que B(x , )A. Soit z B(x , ), on pose
z = x +
1

(z - x)
z a été construit de façon à avoir z B(x , ). En effet, ||z - x|| = ||z - x||< , donc ||z - x||<.
A étant convexe, on a z+(1-)yA. Alors x + (z - x) + (1-) yA. Ce qui permet d’avoir
z A car x = x+(1-)y. Ainsi B(x , )A. Il s’ensuit que x Ȧ pour ]0 , 1[. Donc on a
finalement : [x , y[ Ȧ .
Proposition : Soit A convexe de R
n
, x A
o
, intérieur de A et yA. Alors [x , y[ A
o
.

2. Analyse Convexe 2 Jaouad DABOUNOU-FSTS
Démonstration : x A
o
, intérieur de A, donc il existe >0 tel que la boule B(x , )A. Soit ]0 ,
1[ et y = x+(1-)y. Nous allons démontrer que y A
o
.
Comme yA alors pour tout >0, il existe zA tel que ||z - y||< .
On applique le résultat de la proposition précédente à x et z. Soit z = x + (1-)z, B(z , )  A.
Dans cette démonstration, nous allons proposer un choix adéquat de >0 pour que y B(z , ).
Quand z se rapproche de y, z se rapproche de y et la boule B(z , ) dont le rayon ne dépend pas
de z finit par contenir y.
On a y- z = (1 - )(y - z) et donc si on choisit  tel que :
0 < ρ <

(1- )
|| y- z|| = (1 - )|| y - z || < (1 - ) = .
Donc y B(z , )  A. Donc y A
o
.
Et ainsi [x , y[ A
o
.
Proposition : Soit A un ensemble convexe de R
n
avec A
o
, intérieur de A, non vide. Alors
A
o̅
=A̅ et A̅
o
=A
o
. A̅ étant la fermeture de A et A
o
l’intérieur de A.
Démonstration :
- Montrons que A
o̅
=A̅. On a A
o
 A donc A
o̅
 A̅. Reste à montrer que A̅ A
o̅
.
Soit xA̅. Comme A
o
≠, soit aA
o
. D’après une proposition précédente [a , x[ A
o
. Et on voit donc
facilement que xA
o̅
. Et ainsi A̅  A
o̅
.
Maintenant, on montre que A̅
o
=A
o
. On a A  A̅, donc A
o
 A̅
o
.

3. Analyse Convexe 3 Jaouad DABOUNOU-FSTS
Reste à montrer que A̅
o
 A
o
. Comme A
o
≠, soit aA
o
. Soit xA̅
o
, on suppose que x ≠ a. Donc il
existe >0 tel que B(x , )  A̅.
On pose
b = x+
ε
2
.
(x - a)
‖x - a‖
b est choisi de façon à ce qu’il soit dans B(x , ) et
que x [a , b].
Comme B(x , )  A̅, donc bA̅, et aA
o
. D’après
une proposition précédente [a , b[ A
o
.
Le fait que x [a , b] permet d’achever la démonstration : xA
o
et A̅
o
 A
o
.
Finalement A̅
o
=A
o
.
Définition: Soit A un ensemble non vide de de R
n
, on appelle enveloppe convexe fermée de A la
fermeture de l’enveloppe convexe de A : conv̅̅̅̅̅̅(A)
Proposition : Soit A un ensemble non vide de de R
n
, l’enveloppe convexe fermée de A est égale à
l’intersection de tous les convexes fermés contenant A.
Démonstration : Exercice