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数学史简介
- 1. 数学史简介 www.ao s h u .m y
- 3. 第一章：史前数学史 • 自然现象：天文，地理 • 生产力的发展 • 私有思想，私有制 • 人类智慧的发展 • 神的旨意 • 史前数学主要是对数的认识 • 这种认识跨越几万年，直到 1 8 世纪
- 4. “ 匹配” 导致自然数的产生 • 族长或者酋长的工作 • 古希腊荷马史诗的传说：波吕斐摩斯被 刺瞎后的牧羊生活 • 罗素（英国数学家， 1 872 ~ 1 970) 说“不 知要经过多少年，人类才发现一对锦鸡 和两天同含一个数字二。”抽象对于古人 实在是太难了
- 5. 记数法 • 艰难的过程 • 限制中国数学深入的瓶颈 • 印度阿拉伯数字
- 6. 中国数学记数法：
- 7. 进位制： • 史上曾经有过二进制，五进制，十进制， 十二进制，十六进制，六十进制。 • 汉字一二三四五六七八九十对十进制的贡 献 • 长期运用后留下二进制十进制 • 据推测五进制十进制与人的手指个数有关
- 8. 现代澳大利亚托列斯峡群岛上一 些部落仍用二进制： 一 = 乌拉勃，二 = 阿柯扎 他们把三表为：阿柯扎乌拉勃 那么：阿柯扎阿柯扎＝？ 阿柯扎阿柯扎乌拉勃＝ ? 阿柯扎阿柯扎阿柯扎 = ?
- 9. “0” 不是印度人或阿拉伯人的发 明 • “0” 太重要了，一无所有为零 • 零是自然数 • 据考证“ 0” 首次出现在柬埔寨＆苏门答 腊的碑文上 • 进位制是人类共同财产
- 10. 位值制： • 1 1 236635 中的 3 代表多少？ • 拉普拉斯（法国数学家， 1 749 ～ 1 827 ）说 “ 用十个记号来表示一切数，每个数不但有绝对的值，而 且还有位置的值，这种出自印度的巧妙方法，是一个深远而重要 的思想。今天看来是如此简单，以至于我们忽视了它的真正伟绩 ，但恰恰是它的简单性对一切计算都提供了极大的方便，才使我 们的算术在一切有用的发明中列在首位。而当我们想到它竟然逃 过了古代最伟大的阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时， 我们更感到这成就的伟大。”
- 11. 自然数与整数的诞生 分数与小数的诞生 小数点的诞生是后来很久以后的事了，公元 635 年， 3.1 41 5927 记成三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七 忽公元 1 593 年由德国克拉维斯给出，现代记法诞生。 负数的诞生：中国西汉出现 （元前 200 年），用赤筹表示。 欧洲 1 5 才世纪出现
- 12. 四大文明古国：中国 • 公元前二十七世纪黄帝时代就开始了数 学研究 • 数学发达至少有 4000 年 • 成就：分数、正负数、勾股定理、圆周 率、剩余定理、杨辉三角等等 • 由于中国文字的限制，数学理论的表叙 以及推导都极为困难，导致数学理论在 中国发展受到制约 • 中国长期重文轻理导致数学以及科学的 落后 • 政治原因，农业大国
- 13. 四大文明古国：印度 • 印度有 3500 至 4000 年 • 最大成就是印度数码，十进制 • 五世纪后“ 零” 的符号在印度出现 • 与占星术，宗教，农业关系密切 • 方法与结果用树皮树叶记载，大多失散 • 用晦涩的诗歌表述，难于理解 • 知道勾股定理，三角学并计算出 2 ≈ 1.414215686, π ≈ 10 ≈ 3.162
- 14. 四大文明古国：埃及 • 光辉灿烂的文明 • 影响较大的：金字塔，纸草书，古文字 • 尼罗河贯穿全景 • 治理尼罗河河水泛滥，他们研究天文发现：河 水上涨与清晨天狼星升起的日子一样，间隔 365 天，确立现代公历的基础 • 重新测定河岸的土地，几何特别发达 • 没有上升为理论，直到公元前 4 世纪后，希腊 人入侵为止
- 15. 四大文明古国：巴比伦 • 数学泥板的发现 • 上面有：帐单，收据，票据，大量数学 用表，达到古代数学的最高的理论水平 • 1 847 年开始解读数学泥板， 1 920 年才 有详尽的注解，巴比伦文明被世人了解 • 60 位进制，面积体积的计算，方程组的 求解，级数求和，勾股数，二次方程
- 16. 四大文明古国与河流 • 中国：黄河，长江 • 埃及：尼罗河 • 巴比伦：底格里斯河，幼发拉底河 • 印度：恒河，印度河
- 17. 其他发达古国 • 希腊从公元前 6 世纪至公元 4 世纪，达 1000 年 • 阿拉伯数学发达仅限于 8 至 13 世纪，有 500 年 • 欧洲国家数学发达是在 10 世纪以后的事 • 日本则迟至 17 世纪以后。
- 18. 无理数的出现 与第一次数学危机 • 无理数就像岔路口的路标，沿不同方向 均可发现它的存在。 • 中国沿一个方向来到它的面前竟然视而 不见 • 古希腊沿另外一个方向来到它的面前却 有意躲避
- 19. 中国与无理数 • 《九章算术》第四章说“ 若开之不尽者，为不 可开，当以面命之” • 我们不知“ 当以面命之” 所云为何，但可以确定 ，那时中国人一来到这个路标下了。 • 刘徽在计算平方根的近似值时离无限不循环已 近在咫尺，但他说“ 不足言之” 竟然放弃了。 • “ 重算法轻算理” 是中国古代的风气使中国与无 理数失之交臂，令人惋惜。
- 20. 古希腊与无理数 • 学派众多，最有名的是毕达哥拉斯学派 （元前 580~ 元前 500 ）柏拉图学派 （元前 430 －－元前 349 ） • 毕达哥拉斯学派是兼有政治，宗教，哲 学的团体，“万物皆数”（读三声）为其 哲学基础和理论出发点。 • 毕氏提出了著名的毕达哥拉斯定理。
- 21. 伟大的毕达哥拉斯 • 毕达哥拉斯：古希腊数学家，公元前 580 至公元前 497 ，青年的他游历许多 地方，并到埃及印度留学。他深入民间 收集点点滴滴的数学知识，最后学有所 成并形成一个学派，史称毕达哥拉斯学 派，对数学，天文学有巨大贡献。毕达 哥拉斯学派认为任何数都可以表达成二 个整数的商，即任意数都是可以度量的 。
- 22. 万物皆数 • 他们把线段的长度看作是线段锁包含的原子数 目，因而任意两条线段长度之比就是它们各自 原子数之比。 • 由此观点出发，毕氏研究了音乐美术天文地理 。 • 应用在数学上，从埃及的黄金三角形（各边之 比为 3 ： 4 ： 5 ）发现 5 ： 1 2 ： 1 3 ， 8 ： 1 5 ： 1 7 ，这就是中国说的“勾股定理” • 它们只相信直角三角形的三边之比都应该是整 数比
- 23. 大约公元前５世纪，不可通约量的发现 －－－－ 毕达哥拉斯悖论 • 毕氏的学生、学者希帕索斯发现直角三角形直 角边都取 1 ，则斜边就不可度量，与毕氏理论 产生矛盾 • 毕氏也发现不可通约量的存在 • 学派进入两难境地，学派内部所有成员立誓保 密，因而无理数有个诨号“不可说”（ Alo g o n ) • 希帕索斯说了，学派就此开始瓦解。 • 学派解决矛盾的方法是把希帕索斯抛进大海。 希帕索斯的发现引发了第一次数学危机。
- 24. 无理数： 古代数学家前进的方向 • 欧道克斯（希腊，元前 408 ～前 355 ） 数与量的分离：连续与离散。 • 存在与否困扰科学家哲学家 • 在迷雾中度过漫长而黑暗的中世纪，迎 来“文艺复兴”的繁荣时期（公元 1 400 ～ 1 600 ）无理数终于被人们慢慢接受 • 疑惑仍然存在“即乐意又心存疑虑” • 直到 1 9 世纪实数理论的建立才完全消除
- 25. 谁推开了虚数的“ 大门” • 1 2 世纪，印度数学家婆什伽罗说：“正数的平 方是正数，负数的平方是正数 ，因此一个正数 的平方根是两个，一个正数，一个负数。负数 没有平方根”。 • 他太肯定了！“负数没有平方根”遏制了后人的 探索欲望。 400 年来，数学家都采取了回避态 度。 • 1 545 年卡丹的 − 2229 让人莫名其妙（后面 专门谈他）
- 26. 大师的困惑与无知 • 卡丹（意大利数学家，医生，算命先生 1 501 ～ 1 576 ）到达大门，不敢敲门。 • 欧拉彻底否认：他说“ 一切形如 − 1 , − 的数学 2 式都是不可能有的，这类数 纯属虚构” • 伟大的笛卡儿 ( 法国数学家， 1 596 ～ 1 650 ）创 立直角坐标系，给出理论武器。 • 200 年后即 1 8 世纪，挪威的测绘员威赛尔，巴 黎的会计师阿尔干完美解释。
- 27. 从一维到二维 • 600 年的艰辛 • 众多杰出数学家束手无策，历史罕见 • 思维定势所限：现实中没有，传统数学中它不 合理 • 条件所限：不能从一维跳到二维，笛卡儿还未 出生，平面坐标不知为何物，费尔玛无人认识 ，点的坐标，有序对是天方夜谈，解析几何还 在数学的摇篮中睡觉
- 28. 第二章：几何学代数学的发展 • 先有几何还是先有代数？ • 一个领域的繁荣昌盛不外乎下列几个原因： 1 有重大理论问题出现。 2 有现实问题急需解决。 3 出现伟大人物。 • 代数与几何都有非常辉煌的时光。 • 代数必讲数论及方程，几何必讲欧几里德德 《原本》。 • 几何狂飚：突破欧几里德几何，非欧几何。
- 29. 数论与方程：第二次抽象 • 数的崇拜与禁忌：“ 1 生 2 ， 2 生 3 ， 3 生万物” 所以 1 最神圣， 7 ， 8 为吉祥数。 4 ， 1 3 为一 些民族的禁忌 • 中国人崇拜“ 9” ：故宫大门纵横九颗铜星，皇帝 九龙袍，九龙壁，“九九归一，侄极而返” • “60” 是古巴比伦人与毕达哥拉斯心中的神 • 数的文化：奇为女，偶为男，“一帆风顺，双喜临 门，三阳开泰，四通八达，五彩缤纷，六根清洁 ，八面玲珑，九霄云外，十全十美”“一波三折， 两败俱伤，三长两短，四面楚歌，五内俱焚，六 神无主，七上八下，九死一生，十恶不赦”
- 30. 数论与方程：第二次抽象 • 整除理论：最古老的问题，中国剩余定理 • 地道的业余数学家费尔玛：从地方官员到数学家 ， 30 岁学习数学，既是解析几何的发明者（与 笛卡儿同享）又是概率论的开创者（与帕斯卡同 享），不同寻常的经历，不可思议，令人感慨万 千 • 费马玛（法国数学家， 1 601 - 1 665) 与数论： 看起来简单，作起来难之又难，是数论的魅力所 在，使人“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”， 始作俑者费尔玛。 • 现代数论的先驱＆创始人
- 31. 费尔玛猜想 • 丢番图（古希腊公元 246 ～ 330 ）名著 《算术》，代数学之母 • 《算术》是费尔玛的枕边之物 • 猜想：当n > 2时, x n + y n = z n没有正整数解 • 从 1 7 世纪到 20 世纪，历时 300 多年， 直到 1 994 ， 41 岁得英国数学家怀尔斯 解决
- 32. 高斯 ( 德国数学家， 1 777 ～ 1 855) 与数论 • 现代数论统一理论的创建者 • 20 岁决定献身数学，最终成为最伟大的 数学家之一 • 1 801 年结束费尔玛数论，开创纯理论数 论研究 • 追随者：戴德金，狄利克雷，刘维尔， 闵可夫斯基，创建：代数数论，解析数 论，超越数论，几何数论
- 33. 哥德巴赫猜想与陈景润 • 1 742 年，德国哥德巴赫老师发现“大于 2 的偶数 ，可以表示为两个素数之和” • 求教欧拉：欧拉说“虽然我不能证明它，但我确信 它完全正确” • 1 900 年希尔伯特（德国数学家， 1 862 ～ 1 943 ）把它列为 23 个世纪难题，称为“皇冠上的 明珠” • 1 966 年中国人陈景润（ 1 933 ～ 1 996 ）证明“ 1 ＋ 2” ， 1 973 年发表，离摘取明珠咫尺之遥 • 陈氏定理被誉为“光辉顶点”
- 34. 方程的历史 • 方程的产生：在中国，在日本，在印度 • 花拉子模（阿拉伯人，公元 780 ～ 850 ）第一 次给出未知量，但他称其为“硬币”“东西”“根” • 代数“ Alg e b ra” 源于花氏的书中“还原”一词 • 古希腊的不定方程，丢番图，费尔玛与不定方程 • 印度的不定方程，追求全部整数解，他们的 阿 耶波多，婆罗摩岌多，婆什伽罗都有著述
- 35. 方程的发展 • 符号化：从丢番图开始到 1 589 年的韦达 • 从一元到二元：古希腊数学家海伦的著 作，中国《九章算术》均有记述 • 海伦：有一正方形知其面积与周长之和 为 896 尺，求其一边 • 《九章算术》：今有邑城方不知大小， 各开中门。出北门 20 步有木，出南门 1 4 步折而西行 1 775 见木。问邑方几何 ？
- 36. 符号化的形式 海伦： x + 4 x = 896 2 2 《九章算术》： x ＋34 x＝71000
- 37. 一元二次方程的解法 • 花拉子模的几何解法 • 中国的“开带从平方法” • 古希腊的配方法：公元 1 00 年海伦～ 200 年丢番图完成 • 佛兰西斯韦达（法国数学家，法学家， 外交家，国王参谋长， 1 540 －－ 1 603 ）：根与系数的关系
- 38. 一元三次方程的公式解 • 人们寻找象一元二次方程那样的公式解 • 当时认为它比圆化方还难 • 1 6 世纪，意大利的波罗拉学派的弗罗 （ 1 465 ～ 1 562 ）得出+ px = q x3 的解。但是未公布 • 30 岁的尼科拉方丹纳（意大利布雷西亚 青年， 1 500 ～ 1 557 ）绰号“塔塔利亚” （结巴）：给出一元三次方程的公式解
- 39. 数学史上第一次数学竞赛 • 塔塔利亚解决的问题： x + 3x = 5 3 2 x + 6 x + 8 x = 1000 3 2 • 他未公布答案，引来波罗拉学派的愤怒 • 塔塔利亚与波罗拉决定举行竞赛，塔塔 利亚胜出，这是有史记载的第一次数学 竞赛
- 40. 塔塔利亚，卡丹，费拉里的恩恩怨怨 • 卡丹： ( 雄辩家，博物学家，几何家，代数家， 天文学家，星象学家，医学家，外科专家，道学 家，语言学家 ) 拜倒在塔塔利亚面前 • 1 539 年求教与塔氏 , 并同意保密，得到手稿 • 卡丹的仆人费拉里的成就：一元四次方程的解法 • 1 545 年卡丹发表《大衍术》（ Ars Mag n a) 公开 塔氏费氏成果，引发数学史的第一次公案 • 事情远未结束：五次以及五次以上的方程呢？
- 41. 初等几何 • 起源：无意识的几何阶段，埃及金字塔 （元前 2900 ），尼罗河岸边的土地界限 丈量 • 几何的发展：经验几何的产生，中国埃 及巴比伦印度 • 论证几何的哲学基础的出现：公理及严 谨的逻辑推理，古希腊哲学的发展让严 谨深深扎根于心灵深处。
- 42. 数学圣经《几何原本》 （ E le m e n ts ) • 欧几里德（希腊数学家，元前 330 ～前 275 ）的几何原本堪称集合论证的光辉典范， 影响曾经可比圣经 • 1 607 年明朝翻译到中国 • 在全世界使用至今 • 《原本》共 1 3 篇，包罗初等几何，初等数论 ，几何代数 • 所有初等几何的书都是抄录《原本》或者是抄 录那些抄录《原本》的书的书
- 43. 几何度量（面积体积 ) • 欧道克斯的变量，绕开无理数使丈量得以进行 • 多边形的面积：毕氏的直接因数法，欧几里德 “转化”法，比如：等底等高的两个三角形面积 相同 • 阿基米德（希腊数学家，元前 287 ～前 21 2 ）对曲边形面积的研究；离微积分咫尺之 遥 • 祖冲之（南北朝政府官员，公元 429 ～ 500 ）：曾经的世界第一，保持 1 000 多年。 圆周率的计算思想比圆周率本身还重要 , 他也 靠近了微积分，是中国古代最具现代数学思想 的人
- 44. 伟大的阿基米德 • 意大利西西里岛的叙古拉（当时受希腊 统治）是他的故乡，他是当时最伟大的 天文学家，力学家，数学家，是人类科 学的第一坐高峰，超过高斯牛顿 • 杠杆与重心理论，流体力学 • 73 岁在叙古拉参加抵御罗马入侵，担任 最高军事顾问，研究出大量的武器 • 元前 21 2 被罗马士兵所杀
- 45. 就此完成初等数学内容的创立 • 1 7 世纪前，数学已是掺天大树 • 研究不变的量，几何代数是其中心内容 • 三角，对数，数列已经建立理论 • 构成现在小学中学学习的数学知识 • 这时的数学仍有许多困境与迷惑 • 数学等待更伟大的理论与更伟大的人物
- 46. 第三章：变量数学 • 数学发展的第三个时期 • 最具代表性的人物是法国人笛卡儿 • 笛卡儿是一座高高的山峰，屹立在初等数 学的尽头，高等数学的开头，他是分水岭 • 标志性的概念是变量，它成为数学的中心 内容 • 标志性的工作是微积分的诞生与成熟
- 47. 建议大家阅读的图书 • 《数学哲学》张景中著 • 《古今数学思想》克莱因著 • 《现代西方哲学之父 : 笛卡儿》 • 《数学思想发展简史》袁小明等著
- 48. 数学的天空中群星闪耀 • 从公元 1 600 年－－公元 1 820 年数学发 展的黄金时代 • 数学研究变数以及变数之间的关系 • 运动进入数学，辩证法进入数学 • 笛卡儿与费尔玛用代数方法解决几何问 题，创立解析几何 • 莱布尼兹（德国数学家，哲学家，物理 学家 1 646 － 1 71 6 ）提出函数的一般概 念
- 49. 数学的星空群星闪耀 • 牛顿（英国物理学家，数学家 1642 － 1727 ）与莱布尼兹共同创立微积分的原 理 • 他们及其学生们发展了数学分析为物理 学天文学光学提供强有力的工具 • 成功预言 1759 年哈雷慧星回归 • 发展了偏微分方程，概率统计，变分学
- 50. 解析几何 • 17 世纪最重要的成就之一 • 标志变量时代的开始 • 可追溯到埃及罗马人的活动：他们在测 绘地形时，借助坐标确定位置 • 希腊人阿波罗尼斯从圆锥曲线导出它的 丰富的圆锥曲线几何学（与笛卡儿的非 常相似）
- 51. 背景 • 1 6 世纪欧洲文艺复兴带来的科学，经济的全面 发展 • 天文学力学航海的迫切需要 • 初等数学已经成熟：伟大人物已经出现：笛卡儿 ，费尔玛，开普勒 , 伽利略等等 • 试验数学的方法，运动的观点要求必须有新的理 论方法来研究几何 • 东方的数学书籍传入西方，引发用代数解决几何 问题，改变了西方用几何解决代数问题的观念
- 52. 几何代数融合为一体 • 1 591 年韦达的《分析学引论》确立符号代数 ，成为变量数学产生的前提 • 坐标系的发明 • 对几何与代数之间一一对应关系的认识 • 函数 y= f(x) 的坐标图示法 • 笛卡儿与费尔玛用代数法研究几何，把代数方 程与曲线曲面等联系起来，变量进入数学。改 变了数学的性质，具有伟大的意义
- 53. • 费尔玛与解析几何 • 费尔玛生平：法学家，官员，语言 学家，数学家 • 笛卡儿与解析几何 • 笛卡儿生平：哲学家，物理学家，心理 学家，数学家，旅游家，军人
- 54. 微积分 • 名称的由来：牛顿莱布尼兹约翰贝努里差的计 算“ c alc u lu s d iffe re n tialis ”, 和的计 算“ c alc u lu s s u m m ato riu s ”, 演化 为“ d iffe re tial c alc u lu s ”( 微分学）“ in te g ral c alc u lu s ” （积分学）河称“微积分”英文 为“ c alc u lu s ” • 洛必达 1 696 年的《无穷小分析》是第一本微 积分著作使微积分又叫“分析” • 1 859 年（清咸丰 9 年）微积分传入中国，当 时的数学家李善兰把它翻译为微积分，可能取 于“不辨积微之为量，讵晓百亿于大千”
- 55. 人类历史上的最伟大创举 • 变量数学时期， 1 7 世纪后期由牛顿莱布 尼兹创立的微积分是最主要的成就 • 微积分的诞生是全部数学史上，也是人 类历史上最伟大最有影响的创举 • 微积分导致后来一切科学和技术领域的 革命 • 离开微积分，人类将停顿前进的步伐
- 56. 微积分产生的背景 • 从埃及尼罗河沿岸每年丈量土地开始，人们就 在寻求一种计算不规则图形面积的方法 • 众多科学家意识到其中有个“ 幽灵” 说不清道不 明，其代表人物：阿基米德，芝诺，欧道克斯 ，庄子，刘徽 • 许多迫切待解决的问题摆在数学家面前：描述 处理运动？曲线的切线？曲线的长度？曲面的 面积？曲面围成的多面体的体积？极大极小问 题？等等
- 57. 无穷小分割是主要方法 • 无穷小分割求和： • 关于切线：笛卡儿与费尔玛认为是两个交点重 合时的割线。罗伯瓦等认为是描绘曲线的运动 在这点的方向 • 众多数学家加入到这场争论中，拉开流数术和 微分法的序幕 • 费尔玛是出去牛顿莱布尼兹外做得最多的人， 他走到大门口，但没有进入。主要是他没有它 的理论与求积的关系
- 58. 牛顿与莱布尼兹各自独立发明微积分 • 牛顿与微积分 • 莱布尼兹与微积分 • 英德之间的历史公案
- 60. 无穷小是零吗？ 第二次数学危机 • 研究下列问题： 1 当n趋于无限大时，它是多少？ n • 1 734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发 表《分析学家或者向一个不信正教数学 家的进言》，矛头指向微积分的基础 - - 无穷小的问题，提出了贝克莱悖论。引 发第二次数学危机
- 61. d x 为逝去量的“灵魂” 他指出：牛顿在求 x n 的导 数时，采取了先给 x 以增量０，应 用二项式（ x+ 0 ） n ，从中减去 x n 以求得增量，并除以０以求出 x n 的增量与 x 的增量之比，然后又让 ０消逝，这样得出增量的最终比。
- 62. “ 幽灵” 即为极限的概念 这里牛顿做了违反矛盾律的手 续：先设 x 有增量，又令增量为零， 也即假设 x 没有增量。 " 他认为无穷 小 d x 既等于零又不等于零，召之即 来，挥之即去，这是荒谬， "d x 为逝 去量的灵魂 " 。无穷小量究竟是不是 零？无穷小及其分析是否合理？
- 63. “ 幽灵” 即为极限的概念 • 由此而引起了数学界甚至哲学界长达一 个半世纪的争论。 • 直到 1 9 世纪 20 年代，一些数学家才比 较关注于微积分的严格基础。 • 波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等 人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德 金和康托的工作结束，中间经历了半个 多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分 析奠定了严格的基础：极限理论
- 64. 代数学进一步发展 • 三百多年弄不清楚的问题：五次五次以上的方 程的公式解 • 法国数学家拉各朗日称这一问题是在“向人类 的智慧挑战”。 • 1 770 年拉格朗日分析了二次、三次、四次方 程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概 念，并且还看出预解式和方程的各个根在排列 置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解 一般五次方程的代数方法可能不存在。
- 65. 不幸的挪威数学家阿贝尔 • 此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的 理论，给出了高于四次的一般代数方程 不存在代数解的证明。 • 阿贝尔简介： • （阿贝尔： Ab e l,1 802.8~ 1 829.5 ）任何一部 数学家词典中的第一人，是十九世纪最伟大的 数学家之一，是挪威空前绝后的最伟大的学者。 … … 后人整理他的遗著花了 1 50 年。
- 66. 27 岁他离开人世 • 阿贝尔率先解决了这个引人瞩目的难题。可是 ，由于阿贝尔生前只是个默默无闻的“小人物” ，他的发明创造竞没有引起数学界的重视。 • 在失望、劳累、贫困的打击下，阿贝尔不满 27 岁就离开了人间，使他未能彻底解决这个难题。 比如说：为什么有的特殊高次方程能用根式解 呢 ? 如何精确地判断这些方程呢？ • 他死后第二天，伦敦大学校长的特使，手持校 长的邀请函来到挪威师范学院寻找阿贝尔
- 67. 殒落的新星 • 1 832 年 5 月 30 日清晨，法国巴黎郊外进行了 — 场决斗。枪声响后，一个青年摇摇晃晃地倒 下了。第二天一早，他就匆匆离开了人间，死 时还不到 21 岁。死前这个青年沉痛地说： “ 请原谅我不是为国牺牲。我是为一些微不足道 的事而死的。” • 这个因决斗而死去的青年，就是近代数学的 奠基人之一、历史上最华轻的著名数学家伽罗 华。 • 1 81 1 年 1 0 月 25 日，伽罗华出生在法国巴黎 附近的一个小镇上。
- 68. 更加不幸的法国数学家伽罗华 • 伽罗华（ 1 81 1 .1 0.25 ~ 1 832.5.30 ） 浪漫的法国人一直为他们早逝的划时代的、 人类有史以来最聪明的、思想最深刻的、最倒 霉的数学家感到自责。… … 他留下了 1 00 页数 学文稿，被发展成一门艰深、应用广泛的学 科 - - - - 抽象代数或称群论。
- 69. 经常被老师斥为笨蛋 • 小时候，伽罗华并末表现出特殊的数学 才能，相反，他 1 2 岁进入巴黎的一所公 文中学后，还经常被老师斥为笨蛋。 • 伽罗华当然不是笨蛋，他性格偏执，对 学校死板的教育方式很不适应，渐渐地 ，他对很多课程都失去了兴趣，学习成 绩一直很一般。
- 70. 伽罗华遇到了数学教师里沙 • 在中学的第三年，伽罗华遇到了数学教 师里沙。里沙老师非常善于启发学生思 维，他把全副精力都倾注在学生身上， 还常常利用业余时间去大学听课，向学 生传授新知识。很快，伽罗华就对数学 产生了极大的兴趣。他在里沙老师的指 导下，迅速学完了学校的数学课程，自 学了许名数学大师的著作。
- 71. 他盯上了著名的世界数学难题 • 不久，伽罗华的眼睛盯上了：高次方程的求根 公式问题。 • 1 6 世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人 ，发现了三次方程的求根公式。这个公式公布 后没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方 程的求根公式。当时，数学家们非常乐观，以 为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至 更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了 几百年，谁也找不出一个这样的求根公式。
- 72. 站在巨人阿贝尔的肩膀上面 • 这样的求根公式究竟有没有呢 ? 在伽罗 华刚上中学不久，年轻的挪威数学家阿 贝尔已经作出了回答：“没有。”阿贝尔 从理论上予以证明，无论怎样用加、减 、乘、除以及开方运算，无论将方程的 系数怎样排列，它都决不可能是一般五 次方程的求根公式。
- 73. 伽罗华向世纪难题发起了挑战 • 1 828 年，也就是阿贝尔去世的前一年，伽罗华也向这 个数学难题发起了挑战。 • 他自信找到了彻底解决的方法，便将自己的观点写成 论文，寄给法国巴黎科学院。 • 负责审查伽罗华论文的是柯西和泊松，他们都是当时 世界上第一流的数学家。柯西不相信一个中学生能够 解决这样著名的难题，顺手把论文扔在一边，不久就 丢失了； 两年后，伽罗华再次将论文送交巴黎科学院。 这次， 负责审查伽罗华论文的是傅立叶。不巧，也就 是在这一 年，这位年迈的著名数学家去世了。伽罗华 的论文再一次 给丢失了。
- 74. 他考进了巴黎高等师范学校 • 伽罗华的论文一再被丢失的情况，使他很气愤。 • 这时，他已考进了巴黎高等师范学校；并得知了 阿贝尔去世的消息，同时又发现，阿贝尔的许多 结论，他已经在被丢失的论文中提出过。 • 在 1 831 年，伽罗华向巴黎科学院送交了第三篇 论文，题目是《关于用根式解方程的可解性条 件》。 这一次，著名数学家泊松仔细审查了伽罗 华的论文。
- 75. 年迈的泊松感到难于理解 • 由于论文中出现了“代换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几 个月后，他将论文退还给伽罗华；嘱咐 写一份详尽的阐述送来，可是，伽罗华 已经没有时间了。 • 在大学里，伽罗华由于积极参加资产阶 级革命活动，被学校开除了。
- 76. 伽罗华预感到死亡即将来临 • 1 831 年 5 月和 7 月，他又因参加游行示威活动两 次被捕入狱，遭受路易 - - 菲利浦王朝的迫害，直 到 1 832 年 4 月 29 日，由于监狱里流行传染病， 伽罗华才得以出狱。 • 枷罗华恢复自由不到一个月，爱上一个女人，并因 此被迫与一个军官决斗。 • 决斗前夕 , 伽罗华预感到死亡即将来临，他匆忙将 数学研究心得扼要地写在一张字条上，并附以自己 的论文手稿，请他的朋友交给当时的大数学家们。
- 77. 他坚信自己的理论正确 • 伽罗华自豪地写道：“你可以公开请求雅 可比或者高斯，不是对这些东西的正确 性，而是对它的重要性表示意见。” • 我希望，今后能有人认识这些东西的奥妙，并 作出恰当的解释。 • 1 846 年 法国数学家刘维尔首先“认识到这些 东西的奥妙”将它们发表在自已主办的刊物上 ，并撰写序言热情向数学界推荐。
- 78. 高斯关于正多边形作图的定理变 成了明显的推论或者简单的习题 。 • 1 870 年，法国数学家约劳当根据伽罗华根据 伽罗华的思想，写出了一部重要的数学著作 《抽象代数学》，人们这才认识到伽罗华的伟 大。 • 应用伽罗华理论，不仅高次方程求根公式问题 得到了彻底的解决，而且阿贝尔定理、古希腊 三大几何作图难题、高斯关于正多边形作图的 定理等著名的数学难题，都变成了明显的推论 或者简单的练习题。
- 79. 数学真理显示了强大的威力 • 数学真理显示了强大的威力。更重要的是，伽罗 华理论的出现，改变了代数学的面貌。从这时起 ，方程论已经不是代数学的全部内容了，它渐渐 转向了研究代数结构本身，并不断地向各个数学 领域渗透。到 1 9 世纪末期，伽罗华开创的数学 研究，形成了一门重要的数学分支 - - - 近世代 数学。 • 这时，伽罗华已经去世多年了。他生前没 有享受到他应当享有的巨大荣誉。
- 80. 假如伽罗华长寿（我们畅想） • 假如伽罗华没有遇见那个姑娘 • 假如他能够长寿，数学的今天也许没有 这样复杂 • 如果他能够活到高斯那样的岁数，它与 高斯谁更伟大 • 也许，伽罗华会成为最伟大的科学家， 并与阿基米德，牛顿，爱因斯坦齐名
- 81. 数学王子高斯：最聪明、最多才、最长寿的数学家 • 近代数学的重要的奠基者，也是历史上最伟大 的数学家之一 • 1 777 年 4 月 30 日，高斯生于德国的布伦兹维 克城。这位罕见的数学奇才，用他辉煌的数学 成就和异常敏捷的数学思维能力，给后世留下 了许许多多近乎神话的传说。 • 高斯的祖父是农民，父亲是个泥瓦匠，由于生 活很贫困；压根儿就没打算送高斯去上学
- 82. 天分改变人生 • 惊人的数学天赋，使父亲改变了主意 • 1 0 岁让他的老师惊讶得说不出话来 • 数学老师激动地向学校报告了这件事， 还买了最好一本数学书送给高斯
- 83. 公爵夫人感到不可思议 • 公爵认为这个天才少年是布伦兹克城 的骄傲，决定资助他上大学深造 • 1 795 年 1 8 岁的高斯进入著名的哥廷 根大学 • 哥廷根大学因为高斯而享誉世界
- 84. 高斯的成就 • 1 796 年 3 月 20 日，他用直尺圆规作出正 1 7 边形（古希腊人提出 2000 年而未能解决的著 名难题） • 就在这一天，高斯决定毕生致力于数学研究， 这时高斯已是轰动欧洲的新闻人物了 • 同年，高斯告诉人们什么样的正多边形能用直 尺和圆规作出，什么样的正多边形不能用直尺 与圆规作出，比如正 7 、正 1 1 边形就作不出 ，正 257 、正 65537 边形就能用直尺与圆规 作出
- 85. 高斯的成就 • 同年，高斯发现了椭圆函数的双周期性 ，有使他获得巨大的荣誉 • 1 799 年，高斯证明代数基本定理：一个 牛顿、拉格朗日等大批数学家没有证明 的数学结论。这也是高斯的博士论文。 • 22 岁，高斯成为一代数学宗师。 • 年轻的高斯风靡了整个国际数学界，被 认为是一个“能从九霄云外的高度掌握星 空和深奥数学的天才”被荣为“数学王子”
- 86. 高斯的成就 • 1 81 6 年高斯就知道欧几里得的“第五公理” 可以突破，他得到了一个崭新的几何学“非 欧几何”但他慑于宗教势力，未能发表他的 论文，从而，失去了在近现代数学上又一 个重大的贡献 • 高斯在天文上的贡献。（哥廷根大学天文 台台长） • 高斯的墓碑上刻着正 1 7 棱柱，以此纪念 伟大的高斯
- 87. 数学的主要成就 • 变量数学时代逐步形成：解析几何、高等 代数、微积分 • 它们构成现在大学理科非数学专业的必修 课 • 这一时期数学发展的动力来源于欧洲资本 主义社会的发展，所以近代数学的成就几 乎都是在欧洲完成的 • 几个文明古国已经衰败，中国在变量数学 中几乎没有贡献
- 88. 变量数学德发展结果 • 行成下在大学数学最基础的三大门类课 程：《微积分》，《高等代数》，《高 等几何》 • 为数学进一步发展奠定基础：全面开始 了数学方方面面的研究工作 • 几何上，代数上积聚了重大突破的能量 • 数学进入自己的黄金时代
- 89. 第四章：近现代数学时期 • 第四阶段：近现代数学时期从 1 9 世纪 20 年代至今数学发展极为昌盛快速，成 为一棵根繁叶茂的参天大树，深入到人 类生活的各个领域。 • 从内容上看，它研究了最一般的数量关 系和空间形式，建立了抽象代数、拓扑 学、泛函分析、集合论、数理逻辑、概 率统计、图论、运筹学、模糊数学等等 学科，它们成为现在大学数学专业的主 要课程或成为计算机科学的基础数学知 识。
- 90. 迎来三件惊天动地的大事： • 1 8 世纪与 1 9 世纪之交，人们认为数学已经完 备，没有发展的余地了 • 数学宁静了一段时间，终于迎来了暴风骤雨 • 由俄国数学家罗巴契夫斯基提出了与传统的欧 几里得几何不同的几何理论，（它否定了欧氏 几何的平行公理）引发了一场数学革命，被称 为数学狂飙 • 经过近百年的发展，数学和人类迎来三件惊天 动地的大事
- 91. 爱因斯坦、电子计算机、空间技术： • 源于爱因斯坦的数学推导 E = C 2 M(C 为光 速， M 为物质的质量， E 为能量 ) 而掌 握的原子能 • 源于数学和电子学的电子计算机 • 源于数学与天文、工业的空间技术，将 人类带入一个全新时代 • 源于数学的边缘学科纷纷诞生，从数学 中分出的计算机科学成为二十世纪末二 十一世纪最活跃、最赚钱的科学技术。
- 92. 今天的数学： • 数学发展至今，有众多门类，包罗万象，多姿 多彩，一般分为纯碎数学和应用数学。纯碎数 学的是不考虑实际问题，依靠人类的思维抽象 、推导出的理论，应用数学是数学与科学技术 之间的桥梁。 • 第二次世界大战直接导致了数学向思维科学的 发展，创立了运筹学、信息论、控制论等；也 导致了数学参与社会生活的方式，建立数学模 型，求解，给出最佳方案
- 93. 今天的数学： • 现代数学有三个特性：数学对象的空前 广泛和深入、数学内容不断分化和综合 ；计算机深入数学，产生巨大而深远的 影响，促使数学对人类产生更大的作用 ，大大提高了生产力 • 数学渗透到几乎所有的科学领域，扮演 了最重要的工具这个角色。
- 94. 数学的分类： • 数学是什么？ • 数学的分类：纯粹数学（基础数学）、 应用数学 • 数学的最显著的特征： 1 高度的抽象性 2 体系的严谨性 3 广泛的应用性 4 计算的精确性 5 严密的逻辑推理 • 现代科学有“数学化”的趋势
- 95. 三大核心领域 • 到目前为止，数学王国中有 1 00 多个分 支，但若按研究的内容基本上可分为三 大核心领域及其边缘和交叉学科。研究 数的部分，属于代数学范畴，研究形的 部分属于几何学的范畴，沟通形与数的 部分，属于分析学的范畴。它们构成了 整个数学的本体与核心，在它们周围， 数学与其它科学互相渗透形成众多学科 。
- 96. 数学的地位 • 人类几千年发展起来的知识形成三大门 类：数学科学，自然科学，社会科学 • 而数学是这些学科的基础，它总是处在百 科全书的第一卷的地位 • 在现代经济学，计算机，物理学，以及一 切要进行定量分析的领域里数学及其重要 • 甚至在思维决策方面，数学也非常重要
- 98. 第五章：数学的学习方法 • 从本质上讲，数学是研究数和形的科 学，它源于人类的生产实践活动，又 经过人脑的抽象思维，形成了数学理 论 • 从开始数学就有自身的特点：清晰的 概念、严谨的逻辑推理、准确的计算 ，高度的抽象，广泛的应用性。它们 决定了学习数学的难度
Hinweis der Redaktion
- 比如：祖冲之的圆周率的计算方法，就没有发展成极限理论，哲学家老子认识到了无限分割，他说 “ 一尺之槌，日取其半，万世不竭也 ” 。但只点到为止没有发展为微分概念。再比如，勾 3 股 4 弦 5 没有发展为勾股定理等等。
- 韦达：把所有空闲时间花在数学研究上，可以连续几天几夜不睡觉。数学狂人。
- 祖冲之：圆周率 3.1415926< π<3.1415927, 人们怀疑来自刘徽的割圆术，刘在祖之前
- 代数符号化，三次四次方程已被解出。负根虚根也被认识三角学成为独立学科
- 翻译为微积分说明李善兰对概念内容的深刻理解和对汉语的高深造诣。其实他本人的研究已接近发现微积分，只是还未等他想清楚，西方的微积分就传入中国
- 这一个漫长的日子里，代数学的发展进入低谷，前面谈到了卡丹的《大衍术》中给出了三次、四次方程的求解公式，引起人们猜测五次及其以上的方程也可能有公式解，从而大量的数学家开始了寻找工作，他们努力了几百年，仍然没有找到求解公式。但是他们的工作为代数学成为现代数学的主要分支并为计算机提供了一个坚实的数学基础，为二十世纪计算机的诞生作好了准备。最终解决方程解的问题归功于阿贝尔和伽罗华，他们的工作一方面解决了方程有公式解的条件，他们得出一般五次和五次以上的方程没有公式解，另一方面他们又发展出了代数学的新时代。做出了伟大贡献。
- 古希腊三大作图难题：
- 1 相传在高斯 3 岁那年， 有天晚上，高斯的父亲在小油灯下计算一天的工钱，由于要分钱给一起干活伪其他人，算了很久才算完，正当他准备收起帐本时，一直坐在旁边玩耍的小高斯却说：“爸爸，您算错了。” 望着小高斯一本正经的样子，父亲半信半疑地核对了一遍账目，发现刚才果然算错了。 2 有一天；数学老师为了让学生们整个上午都有事干，给他们布置了一道练习题，要他们把从 1 到 l00 的各个整
- 遇见贵人：有一次，高斯边走路边看书，结果闻入了布伦兹维克公爵的花园，公爵夫人在盘问高斯时，发现这个小孩竟能弄的弄懂书中的许多深奥的道理，感到不可思议，赶紧告诉公爵。公爵亲自考察了高斯，也很惊奇，认为这个天才少年是布伦兹克城的骄傲，决定资助他上大学深造
- 后来，德国数学家赫尔梅斯教授用了十年终于作出了正 65537 边形。据说他关于作图方法的纸可以装满一提箱。
- 10 多年后，数学家亚若什、罗巴切夫斯基独自发表了非欧几何的论文，掀起一场天翻地覆的革命
- 它解放了数学家被禁锢在欧几里得几何上的思想 , 为数学开辟了新的道路，而且成为后来相对论产生的前奏和准备。从那时开始数学有了质的变换，更加抽象、更加广泛、更加深入；
- 比如中国的人口理论源于宋健模型，汽车时代的预测源于社会经济发展的模型。