1. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
2. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
3. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
4. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Шестая лекция
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
10. Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939
– at the age of 13
11. Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939
– at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes
12. Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939
– at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes
Системы векторного сложения (systems of vector addition)
28. Проблема включения
ВХОД:
Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
ВОПРОС:
Верно ли, что каждый вектор, достижимый
из вектора A во второй системе, достижим из
вектора A также и в первой системе?
29. Проблема включения
ВХОД:
Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
ВОПРОС:
Верно ли, что каждый вектор, достижимый
из вектора A во второй системе, достижим из
вектора A также и в первой системе?
Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема
включения для систем векторного сложения неразрешима.
30. Проблема включения
ВХОД:
Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
ВОПРОС:
Верно ли, что каждый вектор, достижимый
из вектора A во второй системе, достижим из
вектора A также и в первой системе?
Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема
включения для систем векторного сложения неразрешима.
31. Проблема эквивалентности
ВХОД:
Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
ВОПРОС:
Верно ли, что каждый вектор, достижимый из
вектора A в одной из этих систем, достижим из
вектора A также и в другой системе?
32. Проблема эквивалентности
ВХОД:
Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
ВОПРОС:
Верно ли, что каждый вектор, достижимый из
вектора A в одной из этих систем, достижим из
вектора A также и в другой системе?
Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблема
эквивалентности для систем векторного сложения неразрешима.
34. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.
δj,k ∈ Z
∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
35. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.
δj,k ∈ Z
∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
36. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.
δj,k ∈ Z
∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
37. Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
38. Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A)
39. Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
40. Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
48. Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число.
49. Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина может находиться в одном
из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ;
50. Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина может находиться в одном
из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины
имеют вид
Si0 Ri1 . . . Ria
Sj0 Rj1 . . . Rjb
где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
51. Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина может находиться в одном
из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины
имеют вид
Si0 Ri1 . . . Ria
Sj0 Rj1 . . . Rjb
где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
Шахматная машина является недетерминированной!
52. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено
начальное состояние Sb
53. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено
начальное состояние Sb , заключительное состояние Se
54. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено
начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные
регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
55. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено
начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные
регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn
(∗)
где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.
56. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено
начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные
регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn
(∗)
где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.
Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию
F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
57. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено
начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные
регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn
(∗)
где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.
Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию
F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то
rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
58. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено
начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные
регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn
(∗)
где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.
Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию
F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то
rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле
r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1.
59. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено
начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные
регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn
(∗)
где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.
Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию
F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то
rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле
r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1.
3. Состояние Se не встречается в левых частях инструкций
машины.
72. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
73. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A .
74. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры
75. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр
76. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр,
Sb – начальное состояние
77. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр,
Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и
состояний превосходят m + 9.
78. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр,
Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и
состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции:
Sm+2
...
Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1
...
Sm+2
Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm
Sm+3
Sm+2
Sm+3
Sb ,
Обозначим полученную машину через K A
79. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр,
Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и
состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции:
Sm+2
...
Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1
...
Sm+2
Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm
Sm+3
Sm+2
Sm+3
Sb ,
Обозначим полученную машину через K A , её начальным
состоянием объявим Sm+2 .
80. Машина K
B
B(x1 , . . . , xm ) + 1 = B (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ).
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую B , Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр,
Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и
состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции:
Sm+2
...
Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1
...
Sm+2
Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm
Sm+3
Sm+2
Sm+3
Sb ,
Обозначим полученную машину через K
состоянием объявим Sm+2 .
B,
её начальным
82. Машина K
Добавим к машине K A следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri
St
83. Машина K
Добавим к машине K A следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri
St
2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss
St Rj
84. Машина K
Добавим к машине K A следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri
St
2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss
St Rj
3. для каждого состояния Sk машины KB :
Ss
Sk
85. Машина K
Добавим к машине K A следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri
St
2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss
St Rj
3. для каждого состояния Sk машины KB :
Ss
Sk
St
Ss
4.
86. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней
добавлены все регистры машины KA .
87. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней
добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
88. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней
добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
89. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней
добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
90. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней
добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
91. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней
добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
92. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней
добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
93. Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
94. Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A)
95. Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A)
K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒
⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
96. Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A)
K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒
⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
K(r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
100. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
101. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
Bn = b1 . . . bk . . . bn
if k ∈ M
otherwise
102. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
Bn = b1 . . . bk . . . bn
if k ∈ M
otherwise
103. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Bn = b1 . . . bk . . . bn
Alice
Bob
104. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Bn = b1 . . . bk . . . bn
Alice
Bn
Bob
105. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Bn = b1 . . . bk . . . bn
Alice
Bn
Bob
n bits
- Bn
106. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Bn = b1 . . . bk . . . bn
Alice
Bn
?
COMPRESSION
Bob
n bits
- Bn
107. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Bn = b1 . . . bk . . . bn
Alice
Bn
?
COMPRESSION
?
Cn
Bob
n bits
- Bn
108. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Bn = b1 . . . bk . . . bn
Alice
Bn
Bob
n bits
- Bn
?
COMPRESSION
?
Cn
Length(Cn ) bits
-C
n
109. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Bn = b1 . . . bk . . . bn
Alice
Bn
Bob
n bits
?
COMPRESSION
?
Cn
- Bn
DECOMPRESSION
Length(Cn ) bits
6
-C
n
110. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Bn = b1 . . . bk . . . bn
Alice
Bn
Bob
n bits
?
COMPRESSION
?
Cn
- Bn
6
DECOMPRESSION
Length(Cn ) bits
6
-C
n
111. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Bn = b1 . . . bk . . . bn
Alice
Bn
Bob
n bits
?
ZIP
?
Cn
- Bn
6
UNZIP
Length(Cn ) bits
6
-C
n
112. Archiving Diophantine Sets
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
B = b1 . . . bk . . .
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Bn = b1 . . . bk . . . bn
Alice
Bn
Bob
n bits
?
A−1
A
?
Cn
- Bn
6
Length(Cn ) bits
6
-C
n
113. Saving Constant Number of Bits
B = b1 . . . bk . . .
Alice
Bn
n bits
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
Cn
Length(Cn ) bits
6
-C
n
114. Saving Constant Number of Bits
B = b1 . . . bk . . .
WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k):
Alice
Bn
n bits
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
Cn
Length(Cn ) bits
6
-C
n
115. Saving Constant Number of Bits
B = b1 . . . bk . . .
WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k):
Cn = A(Bn )
Alice
Bn
n bits
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
Cn
Length(Cn ) bits
6
-C
n
116. Saving Constant Number of Bits
B = b1 . . . bk . . .
WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k):
if n ≤ k + 1
otherwise
Cn = A(Bn ) =
Alice
Bn
n bits
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
Cn
Length(Cn ) bits
6
-C
n
117. Saving Constant Number of Bits
B = b1 . . . bk . . .
WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k):
Cn = A(Bn ) =
Alice
Bn
0Bn
n bits
if n ≤ k + 1
otherwise
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
Cn
Length(Cn ) bits
6
-C
n
118. Saving Constant Number of Bits
B = b1 . . . bk . . .
WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k):
Cn = A(Bn ) =
Alice
Bn
0Bn
1bk+2 bk+3 . . . bn
n bits
if n ≤ k + 1
otherwise
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
Cn
Length(Cn ) bits
6
-C
n
119. Saving Constant Number of Bits
B = b1 . . . bk . . .
WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k):
0Bn
1bk+2 bk+3 . . . bn
Cn = A(Bn ) =
if n ≤ k + 1
otherwise
A−1 (0C ) = C
Alice
Bn
n bits
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
Cn
Length(Cn ) bits
6
-C
n
120. Saving Constant Number of Bits
B = b1 . . . bk . . .
WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k):
0Bn
1bk+2 bk+3 . . . bn
Cn = A(Bn ) =
if n ≤ k + 1
otherwise
A−1 (0C ) = C
A−1 (1C ) = b1 . . . bk+1 C
Alice
Bn
n bits
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
Cn
Length(Cn ) bits
6
-C
n
121. Case of Decidable M
Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn
Alice
Bn
bk =
n bits
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
Cn
Length(Cn ) bits
6
-C
n
122. Case of Decidable M
Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Cn = A(Bn )
Alice
Bn
n bits
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
Cn
Length(Cn ) bits
6
-C
n
123. Case of Decidable M
Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn
Cn = A(Bn )
Alice
Bn
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
= n = binary notation of n
˜
n bits
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
Cn
Length(Cn ) bits
6
-C
n
124. Case of Decidable M
Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn
Cn = A(Bn )
Alice
Bn
bk =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
= n = binary notation of n
˜
n bits
Bob
- Bn
6
?
A−1
A
?
n
˜
log(n) bits
6
- n
˜
125. Case of Diophantine M
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
Bn = b1 . . . bk . . . bn
Alice
Bn
ba =
?
Cn
if k ∈ M
otherwise
Bob
n bits
- Bn
6
A−1
A
?
1,
0
Length(Cn ) bits
6
-C
n
126. Case of Diophantine M
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
Bn = b1 . . . bk . . . bn
ba =
1,
0
if k ∈ M
otherwise
Cn = A(Bn )
Alice
Bn
Bob
n bits
?
A−1
A
?
Cn
- Bn
6
Length(Cn ) bits
6
-C
n
127. Case of Diophantine M
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
Bn = b1 . . . bk . . . bn
ba =
Cn = A(Bn )
1,
0
if k ∈ M
otherwise
= n qn
˜
where qn is the number of "1" in Bn and qn is the binary notation of
qn padded by leading zeros to the length of n.
Alice
Bn
Bob
n bits
?
A−1
A
?
Cn
- Bn
6
Length(Cn ) bits
6
-C
n
128. Case of Diophantine M
a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
Bn = b1 . . . bk . . . bn
ba =
Cn = A(Bn )
1,
0
if k ∈ M
otherwise
= n qn
˜
where qn is the number of "1" in Bn and qn is the binary notation of
qn padded by leading zeros to the length of n.
Alice
Bn
Bob
n bits
?
A−1
A
?
nqn
˜
- Bn
6
2 log(n) bits
6
- nq
˜
n
129. Computational Chaos in Number Theory
Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter
exponential Diophantine equation and considered the set of all values
of the parameter for which the equation has infinitely many solutions:
a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
130. Computational Chaos in Number Theory
Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter
exponential Diophantine equation and considered the set of all values
of the parameter for which the equation has infinitely many solutions:
a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
He proved that so called prefix-free Kolmogorov complexity (defined up
to an additive constant) of this set is equal to n.
131. Computational Chaos in Number Theory
Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter
exponential Diophantine equation and considered the set of all values
of the parameter for which the equation has infinitely many solutions:
a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
He proved that so called prefix-free Kolmogorov complexity (defined up
to an additive constant) of this set is equal to n.
Informally, one can say that the set M is completely chaotic.
132. More Computational Chaos in Number Theory
Toby Ord and Tien D. Kieu [2003] constructed another particular
one-parameter exponential Diophantine equation which for every value
of the parameter has only finitely many solutions and considered the
set of all values of the parameter for which the equation has even
number of solutions:
a ∈ M ⇐⇒ ∃even x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
133. More Computational Chaos in Number Theory
Toby Ord and Tien D. Kieu [2003] constructed another particular
one-parameter exponential Diophantine equation which for every value
of the parameter has only finitely many solutions and considered the
set of all values of the parameter for which the equation has even
number of solutions:
a ∈ M ⇐⇒ ∃even x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
They proved that the prefix-free Kolmogorov complexity of this set is
also equal to n (up to an additive constant).
134. Even More Computational Chaos in Number Theory
Theorem (Matiyasevich [2006]). Let U be a decidable infinite set
with infinite complement. WE CAN construct an exponential
Diophantine equation which for every value of the parameter has only
finitely many solutions and such that the prefix-free Kolmogorov
complexity of the set
a ∈ M ⇐⇒ ∃U x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
is equal to n (up to an additive constant).
136. Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого
порядка разрешима.
137. Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого
порядка разрешима.
Проблема унификации для исчисления предикатов третьего
порядка неразрешима.
138. Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого
порядка разрешима.
Проблема унификации для исчисления предикатов третьего
порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое
доказательство этого факта с использованием неразрешимости
диофантовых уравнений.
139. Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого
порядка разрешима.
Проблема унификации для исчисления предикатов третьего
порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое
доказательство этого факта с использованием неразрешимости
диофантовых уравнений.
W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблема
унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя
из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
141. Одна история
Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой
E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?
142. Одна история
Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой
E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?
A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость
одновременной жесткой E -унификации
143. Одна история
Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой
E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?
A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость
одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так
называемой проблемы монадической полуунификации (monadic
semi-unification problem).
144. Одна история
Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой
E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?
A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость
одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так
называемой проблемы монадической полуунификации (monadic
semi-unification problem).
Неразрешимость проблемы монадической полуунификации
установил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемы
унификации для исчисления предикатов второго порядка.
145. Одна история
Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой
E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?
A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость
одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так
называемой проблемы монадической полуунификации (monadic
semi-unification problem).
Неразрешимость проблемы монадической полуунификации
установил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемы
унификации для исчисления предикатов второго порядка.
W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблемы
унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя
из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
146. Одна история
Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой
E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?
A. Воронков и A. Дегтярев [1996] дали прямое доказательство
неразрешимость одновременной жесткой E -унификации на основе
неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
