Tema de Proporcionalidad para el nivel de 1º y 2º de ESO. Válido también para 4º ESO.

1. Relaciones de Proporcionalidad

4. La segunda unidad a mitad de precio.

5. Cuatro por el precio de tres.

6. 15% de descuento en todos los productos.

7. En este tema obtendrás los conocimientos necesarios para saber la oferta que más te interesa. A continuación pasamos revista, a modo de recordatorio, a una serie de situaciones reales que se resuelven con la proporcionalidad. También puedes recordar pinchando en la siguiente actividad: La proporcionalidad y el porcentaje

17. Repasa la teoría con el siguiente archivo interactivo:

21. 12.- Escalas y Proporcionalidad. Escalas en mapas y planos. Cuando trabajaste sobre proporcionalidad estudiaste cómo caracterizar las corresponden-cias de proporcionalidad directa. En este apartado vas a explorar otras aplicaciones de la proporcionalidad directa: la interpretación de planos y mapas mediante el análisis de la escala con que fueron hechos. La escala es la representación proporcional de los objetos. Todo mapa debe de indicar la escala a la que está hecho, ya que es la única manera de saber el tamaño de lo que se está representando. Existen dos maneras de representar la escala: (a) gráfica (con una barra dividida en tramos blancos y negros, en la que se indican las distancias), y (b) numérica (con una división del tipo 1:50.000), gracias a la cual podemos medir distancias y calcular matemáticamente la correspondencia exacta. Las escalas numéricas tipo 1:50.000 significan que una unidad en el mapa equivalen a 50.000 en la realidad. Estas unidades pueden ser de cualquier tipo, kilómetros, millas, metros cuadrados, etc. Así, un centímetro cuadrado en el mapa son 50.000 centímetros cuadrados en la realidad, o lo que es lo mismo 500 metros cuadrados; de la misma manera dos centímetros lineales en el mapa son 100.000 centímetros en la realidad (50.000 x 2), es decir 1000 metros, un kilómetro. En suma, para calcular la distancia real debemos medir la distancia en un mapa y multiplicarla por la escala. Para pasar de la distancia real a la representación sobre un mapa debemos dividir entre la escala. Siempre obtendremos resultados en las unidades en las que hayamos tomado las medidas. Si medimos en un mapa en centímetros obtendremos centímetros, y seguramente habrá que pasarlos a metros o kilómetros para hacernos una idea mejor de la realidad. Si medimos en la realidad en metros o kilómetros obtendremos metros o kilómetros, y habrá que pasarlos a centímetros o milímetros para dibujar sobre el mapa. Una vez que resuelvas el conjunto de actividades de la unidad vas a ser capaz de interpretar mapas y planos con mayores conocimientos acerca de lo que representan.

22. Ejemplo: En un plano elaborado en una escala de 1:100 ó , las medidas de la terraza son 2,4 cm y 0,85 cm ; entonces, las medidas reales se calculan de la siguiente manera: De donde 2,4 cm del plano equivalen a 240 cm de la realidad. Y 0,85 cm del plano equivalen a 85 cm de la realidad. En una escala (y puesto que es una división) cuanto mayor sea el denominador más pequeño será el mapa final que obtengamos. Así, para la misma superficie diremos que una escala es grande cuanto mayor sea el mapa que obtengamos, y pequeña cuanto menor sea ese mapa. De esta manera si queremos dibujar nuestro país y usamos una escala 1:1.000.000 necesitaremos una hoja más grande que si usamos una escala 1:5.000.000 Dependiendo de cuál sea la escala aparecen ante nuestros ojos diferentes motivos de estudio. A escala de 1:1.000 y 1:5.000 se pueden estudiar fenómenos de mucho detalle. Con escalas entre 1:5.000 y 1:20.000 podemos representar planos callejeros de ciudades. Entre 1:20.000 y 1:50.000 podemos estudiar comarcas y municipios. Entre 1:50.000 y 1:200.000 podemos estudiar provincias y regiones, y las carreteras. Entre 1:200.000 y 1:1.000.000 podemos ver las regiones y los países. A escalas inferiores a 1:1.000.000 podemos ver continentes y hasta el mundo entero. Ejercicio: En el libro "Los viajes de Gulliver", Gulliver va al país de los enanos, los habitantes de esta tierra miden 15 cm y Gulliver 180 cm, ¿cuál es la razón de proporcionalidad si: un dedal les sirve de cubo de agua, un vaso de piscina infantil, un planto hondo de palangana, un hilo de maroma, un pincel de escoba y un palillo de lanza? ¿Halla la razón de proporcionalidad de los habitantes del país si los enanos midieran 8 centrímetros? Dibuja cómo sería la mano de Gulliver y la de los enanos a escala.

23. En las actividades de este tema vas a trabajar sobre planos y mapas y vas a hacer cálculos sobre ellos. Para esta primera actividad vas a necesitar hojas blancas de papel sin renglones, regla o escuadra y algún instrumento para medir del tipo cinta métrica o metro de carpintero. Para la actividad 2, hojas de papel cuadriculado, hojas de papel transparente o de calcar. Vé a buscar los materiales. 1. Un plano a escala: Vas a trabajar sobre el plano de una escuela rural de Huelva. El aula más grande mide 4 m x 7 m; dentro de ella hay un escritorio, un armario, una biblioteca y 20 mesitas para los alumnos. Se pide: a) Hacer un plano de esa aula con sus muebles. 1. Dibujar en un papel un rectángulo de 4 cm x 7 cm. 2. Dentro de él ubicar los muebles. Si te hace falta, mide los muebles de tu aula para darte una idea de las proporciones. 3. Al finalizar el dibujo, revisar si las medidas del aula y de los muebles guardan relación con las medidas reales. b) En el punto (a) trabajaste sobre el plano de otra escuela; ahora vas a hacer el plano de tu aula con los muebles que en ella se encuentren.

24. 1. Busca una hoja de papel en blanco, que no tenga renglones. Toma las medidas que necesites, tanto del aula como de los muebles. Para que las proporciones se conserven en el dibujo, usa una escala como la siguiente, en la que cada metro de la realidad se representa por un segmento de 1 cm. 2. Ahora haz en otra hoja un plano diferente de tu aula usando otra escala, por ejemplo: 1 cm del dibujo representa a 25 cm de la realidad, como muestra la figura. c) Compara tu trabajo con el de tus compañeros. Conversa con ellos sobre el tamaño de hoja que necesitaste y pensad juntos por qué un plano es más grande que el otro. d) Resuelve en tu cuaderno estas cuestiones: 1. ¿En cuál de los dos planos de tu aula puedes dibujar los muebles con más detalle? 2. ¿Cuál es el ancho de tu aula en la realidad? ¿Y en el plano 1:100? ¿Y en el plano 1:25? 3. ¿Cuántas veces entra el ancho del plano más pequeño en el ancho del plano más grande? 4. Calculá la razón entre las medidas de seis segmentos del plano pequeño y las correspondientes del plano más grande. Si no te acuerdas cómo averiguarlo, vuelve a leer las características de una correspondencia directamente proporcional que viste anteriormente. 5. Esa razón que calculaste, ¿es una constante? ¿Podrías decir que hay una correspondencia directamente proporcional entre las medidas de los dibujos? ¿Por qué? Anota la respuesta. Seguramente observaste que entre las medidas de uno y otro plano hay una relación de proporcionalidad directa.

25. Para representar superficies o terrenos respetando las proporciones utilizamos escalas. • La escala gráfica se representa mediante un segmento graduado. • La escala numérica se expresa con una fracción. El numerador es la medida de una unidad en el dibujo (1 cm o 1 mm) y el denominador es la medida real sobre el terreno, con la condición de que las dos estén expresadas en la misma unidad. Por ejemplo, la escala 1:1.000.000 ( ) indica que si dos puntos del plano están a 1 cm de distancia, les corresponde en la realidad una distancia de 1.000.000 cm, o sea, 10 km. e) Observa este plano de un almacén, que fue dibujado con una escala 1:250, y resuelve las cuestiones que se plantean a continuación. 1.Haz los cálculos necesarios para completar en tu carpeta las siguientes expresiones. Si dispones de calculadora haz los cálculos con ella. • El largo del almacén es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • El ancho del almacén es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ¿Qué operación hiciste para completar el punto 1? 3. Compara tus resultados con los de algún compañero.

26. En la actividad 1 viste que entre las medidas representadas y las reales hay una relación de proporcionalidad directa. Las escalas gráficas y las escalas numéricas muestran esa relación. En esta segunda actividad vas a calcular distancias trabajando sobre mapas. 2. Mapas y escalas a) Haz los dibujos y escribe los cálculos necesarios para resolver las siguientes situaciones. 1. En el mapa de Argentina, mide en centímetros la distancia entre Santa Rosa y Córdoba, y usa la escala para calcular, aproximadamente, la distancia real entre esas dos ciudades.

27. 2. Calcula ahora a partir del mapa la distancia real entre otras dos ciudades. En lo posible elegir dos ciudades de las cuales puedas obtener datos para verificar si tu cálculo es correcto. 3. Usa el mapa de Argentina y calca sobre papel transparente el contorno de la provincia de La Pampa. Pega ese calco sobre papel cuadriculado. 4. Traza en tu cuaderno una cuadrícula ampliada en la que el lado de un cuadrado sea una vez y media el del papel cuadriculado, de tal modo que a cada cuadradito del papel le corresponda un cuadrado mayor en la trama ampliada. 5. Dibuja el mapa ampliado de dicha provincia, siguiendo el trazado, cuadro por cuadro, como se muestra en la figura para el mapa de Sudamérica. 6. Contesta respecto del mapa que realizaste: • ¿Cuál es la escala del mapa de Argentina sobre el que trabajaste? • ¿Cuál es la escala que usaste para hacer el mapa de La Pampa? 7. En el mapa ampliado de La Pampa, ubicar la ciudad llamada ”General Pico”. Toma las medidas que necesites y aplica la escala para calcular, aproximadamente, la distancia entre dicha ciudad y la capital de La Pampa. Anota la respuesta debajo del mapa.

28. b) La distancia real entre la ciudad de Buenos Aires y la de Ushuaia es de aproximadamente 3.496 km. Como recodarás, en matemáticas, la distancia entre dos puntos se mide sobre una línea recta. Representa en tu cuaderno la escala gráfica que corresponde al mapa de Argentina y escribe la escala numérica. c) Observa los siguientes mapas de la provincia de La Pampa y escribe en tu cuaderno la escala que les corresponda, indicando cada uno con un número para ordenarlos. Escalas a) 1:7.400.000 b) 1:11.000.000 c) 1:5.000.000 Esquema 2 Esquema 1 Esquema 3

29. A continuación se presentan dos enlaces clickeando sobre las imágenes con más ejercicios aclaratorios sobre escalas en planos y mapas.

46. Autoevaluación 1. En una canalización se pierden por fugas 96 litros de agua cada 15 minutos. ¿En cuánto tiempo se perderán 288 litros? 2. Doce personas realizan un trabajo en 30 días. ¿Cuánto tiempo tardarán en realizar el mismo trabajo 18 personas? 3. En una campaña publicitaria 10 personas reparten 5000 folletos en 12 días. ¿Cuánto tiempo tardarán 6 personas en repartir 2500 folletos? 4. Repartir 344 objetos de forma directamente proporcional a 10, 14 y 19. 5. Repartir 70 objetos de forma inversamente proporcional a 6 y 8. 6. A una reunión asisten 340 personas. De ellas, el 70 % son mujeres. ¿Cuántas mujeres hay en la reunión? 7. El 75 % de los árboles de un bosque son pinos. Sabiendo que hay 900 pinos, ¿cuántos árboles hay en el bosque? 8. El pasado curso había en el instituto 750 alumnos y este año ha aumentado un 12 %. ¿Cuántos alumnos hay ahora? 9. La población de mi pueblo ha pasado en un año de 2600 a 2678 habitantes. ¿Qué tanto por ciento ha aumentado? 10. El precio de una bicicleta era de 360 euros. En primer lugar se le aplica un aumento del 25% y después una rebaja del 15%. ¿Cuál es su precio final? Realiza el siguiente examen interactivo

47. Soluciones AUTOEVALUACIÓN 1. 45 minutos 2. 20 días 3. 10 días 4. 80, 112 y 152 objetos respectivamente 5. 40 y 30 objetos respectivamente 6. 238 mujeres 7. 1200 árboles 8. 840 alumnos 9. 3 % 10. 382,5 euros Clickea sobre la imagen para ver más problemas, y aquí para ver sus soluciones

48. REALIZA EL SIGUINETE TEST

49. 1.- En esta imágen se muestra un compás áureo que nos permite comprobar si las medidas de cualquier objeto están en proporción áurea. Haz click sobre la imágen y podrás ver un video que relaciona la proporción áurea con la belleza de los rostros de las personas. 2.- A continuación se expone un enlace en el que se explica como se hace el análisis armónico de los rostros de las personas con el compás áureo: Las Proporciones humanas COMPETENCIAS BÁSICAS Para construir un compás áureo debes respetar las medidas Te proponemos que construyas un compás áureo y compruebes si tus proporciones faciales se corresponden con la proporción áurea. Si así fuera, te podrás considerar una persona universalmente bella.

50. 3.- A continuación se expone un enlace de audio sobre la imágen de la derecha en el que el profesor Eduardo Punset entrevista al matemático Joseph (Joe) Dauben de la Universidad de Nueva York sobre como aprendimos a contar y el orígen de la matemática. Puedes leer el texto de la entrevista aquí . COMPETENCIAS BÁSICAS Mira este comic sobre proporcionalidad y escalas y diviertete un rato Lee este documento sobre El Hombre de Vitruvio y la proporción áurea Para saber más sobre la proporción áurea mira este video

51. MODELO DE EXAMEN