Este documento describe el modelo de asignación para asignar trabajos (o trabajadores) a máquinas de manera óptima. El objetivo es minimizar los costos totales de asignación, sujeto a que cada trabajo y máquina reciba exactamente una asignación. Se presenta un ejemplo para asignar vicepresidentes a plantas de una empresa, y se utiliza el método húngaro para encontrar la solución óptima. Adicionalmente, se mencionan posibles variaciones al modelo básico de asignación.

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Situación:
Asignar m trabajos (o trabajadores) a n máquinas.
Un trabajo i (=1, 2, 3 ,...,m) cuando se asigna a la máquina
j (=1,2,....,n) incurre en un costo cij.
El objetivo es asignar los trabajos a las máquinas uno a uno
al menor costo.
La formulación de este problema puede considerarse como
un caso especial del modelo de transporte.
2.2 Modelo de Asignación

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Descripción
Los trabajos representan las “fuentes” y las máquinas los
“destinos”
La oferta disponible en cada fuente es 1 como también lo
es la demanda en cada destino.
cij es el costo de transportar (asignar) el trabajo i a la
máquina j
El costo puede representar también características de
competencia de cada trabajador

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Descripción
En el caso que un trabajo no deba ser asignado
(porque no cumple con los requisitos) a una máquina
(actividad) en particular, este costo debe tener un
valor alto (M)
En el caso de existir desequilibrio, esto es, más
trabajos que máquinas o más máquinas que trabajos,
hay que equilibrar con máquinas o trabajos figurados
(ficticios), logrando de esta forma que m = n

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Expresión matemática del modelo
0, si el i-ésimo trabajo no se asigna a la j-ésima máquina
1, si el i-ésimo trabajo se asigna a la j-ésima máquina
Xij =
Máquina
1 2 ….. n
C11 C12 ….. C1n
C21 C22 ….. C2n
….. ….. ….. …..
Cn1 Cn2 ….. Cnn
1
2
…..
n
Trabajo
1
1
…..
1
1 1 ….. 1

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Por lo tanto el modelo está dado por:
minimizar z = ∑∑= =
n
i
n
j
ijij xc
1 1
sujeto a 1
1
=∑=
n
j
ijx i=1,2, ...,n
1
1
=∑=
n
i
ijx j=1,2,..n
xij = 0 ó bien 1

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Ejemplo:
La gerencia general de RPG (ejemplo de transporte) con sede
en Bruselas, este año, como parte de su auditoría anual, decidió
que cada uno de sus cuatro vicepresidentes visite e inspeccione
cada una de sus plantas de ensamblaje durante las primeras dos
semanas de junio. Las plantas están ubicadas en Leipzig
(Alemania), Nancy (Francia, Lieja (Bélgica) y Tilburgo
(Holanda).
Para decidir a que vicepresidente enviar a una planta
determinada, se asignaron puntospuntos (costos) a cada uno de ellos
de acuerdo a su experiencia, habilidades lenguísticas, tiempo
que durará la inspección y otros. Estos datos se muestran en la
siguiente tabla:

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Ejemplo
PLANTA
Leipzig (1) Nancy(2) Lieja (3) Tilburgo(4)
Finanzas (F) (1) 24 10 21 11
Mercadotecnia(M) (2) 14 22 10 15
Operaciones (O) (3) 15 17 20 19
Personal(P) (4) 11 19 14 13
Plantear el modelo de PL

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Ejemplo: Modelo de PL
MIN Z = 24 X11 + 10 X12 + ... + 14 X43 + 13 X44
sujeto a:
a) Oferta X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
b) Demanda X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
c) No negatividad Xij >= 0 i=1,...,4, j=1,....,4

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Métodos de Solución
Existen varias formas de obtener la solución:
a) Listar todas las alternativas posibles con sus costos y seleccionar
la de menor costo (algoritmo exhaustivo)
b) Método Húngaro: método iterativo
a) Listar todas las alternativas:
¿Cuántas alternativas posibles existen?
- El primer trabajo se puede asignar de n formas formas posibles
- El segundo de n-1 formas
- El último sólo de 1 forma
En total existen n! formas de hacer la asignación completa

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Método Húngaro:
Paso 0: Construir la matriz de asignación
Para obtener la solución óptima cada nueva matriz de asignación
debe satisfacer:
Propiedad 1: Todos los números son no negativos
Propiedad 2: Cada fila y cada columna tiene al menos una celda con
un valor cero
Paso 1:
a) Reducción de filas:a) Reducción de filas: Restar el costo menor de cada fila a la fila
correspondiente y/o
b) Reducción de columnas:b) Reducción de columnas: Restar el costo menor de cada columna
a la columna correspondiente
Con esto se crea una nueva matriz con las propiedades 1 y 2

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Método Húngaro:
Paso 2: Determinar si la matriz es reducida (Prueba de Optimalidad).
Trazar el menor número de líneas rectas sobre las filas y columnas
para cubrir todos los ceros.
Si el número de rectas es igual al número de filas o columnas se dice
que esta matriz es reducida.
Si la matriz no es reducida pasar al paso 3, sino pasar al paso 4

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Método Húngaro:
Paso 3: Movimiento
De todas las celdas no cruzadas identifique una con el menor
valor y haga lo siguiente:
a) Restar el valor a cada celda no cruzada
b) Sumar el valor a cada celda de intersección de rectas
Volver al paso 2

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Método Húngaro:
Paso 4: Solución óptima (Asignación)
Primero se asigna a las que tengan sólo una alternativa, se van
marcando y así sucesivamente
Determinar el costo: Se suman todos los costos
correspondientes a las asignaciones (o sumar todos los pi y qj).
¿Qué valor se obtiene al sumar todos los valores que se restaron
en las reducciones de filas y columnas?

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Ejemplo: Aplique el método Húngaro al ejemplo
1 2 3 4 pi
F 24 10 21 11
M 14 22 10 15
O 15 17 20 19
P 11 19 14 13
qj
Paso 0: Matriz de Asignación
Nota: En negrita los menores de cada fila

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Paso 1: Reducción de filas y columnas
1 2 3 4 pi
F 14 0 11 1 10
M 4 12 0 5 10
O 0 2 5 4 15
P 0 8 3 2 11
qj 1
1 2 3 4 pi
F 14 0 11 0 10
M 4 12 0 4 10
O 0 2 5 3 15
P 0 8 3 1 11
qj 1
Filas
Columnas

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Paso 2: Determinar si la matriz es reducida
1 2 3 4 pi
F 14 0 11 0 10
M 4 12 0 4 10
O 0 2 5 3 15
P 0 8 3 1 11
qj 1
No es reducida: sólo tres rectas (para ser reducida deben ser 4)
Ir al paso 3

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Paso 3: Movimiento (Seleccionar el menor: restar a las
no tachadas, sumar a las intersecciones)
1 2 3 4 pi
F 14 0 11 0 10
M 4 12 0 4 10
O 0 2 5 3 15
P 0 8 3 1 11
qj 1
1 2 3 4 pi
F 15 0 12 0 10
M 4 11 0 3 10
O 0 1 5 2 15
P 0 7 3 0 11
qj 1 + 1
Volver al paso 2 !!

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Iteración paso 2:
1 2 3 4 pi
F 15 0 12 0 10
M 4 11 0 3 10
O 0 1 5 2 15
P 0 7 3 0 11
qj 1 + 1
Se tachan todos los ceros con cuatro rectas, por tanto es óptima
Ir al paso 4 !!

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Paso 4: Asignación
1 2 3 4 pi
F 15 0 12 0 10
M 4 11 0 3 10
O 0 1 5 2 15
P 0 7 3 0 11
qj 1 + 1
Costo = c12 + c23 + c31 +c44
= 10+10+15+13 = 48
∑∑ += ji qpCosto
=10 + 10 + 15 + 11 + 1 + 1 = 48
Ver Asignación RPG

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Modelo de Asignación: Otras consideraciones
El modelo de asignación de RPG es un modelo de minimización
en el cual el número de vicepresidentes es igual al número de
plantas, y todas las asignaciones posibles son aceptables.
Consideremos ahora modelos tipo asignación donde no todas las
condiciones anteriores se cumplen. En particular se considerarán
situaciones en las que:
1 Hay una desigualdad entre el número de “personas” por
asignar y el número de “destinos” que requieren personas
asignadas.
2 Hay un modelo de maximización
3 Existen asignaciones inaceptables