1) O documento apresenta noções básicas de probabilidade, incluindo definições de experimento determinístico, experimento aleatório, espaço amostral, evento, probabilidade e exemplos de cálculo de probabilidade.
2) São apresentados exercícios resolvidos de cálculo de probabilidade envolvendo extração de bolas de urnas e lançamento de dados.
3) Por fim, são propostos exercícios adicionais para praticar os conceitos apresentados.
Plano de aula Nova Escola períodos simples e composto parte 1.pptx
06 eac proj vest mat módulo 1 noções de probabilidade
1. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
Noções de Probabilidade Dividindo todos os membros da desigualdade
por n(U), vem:
Experimento determinístico 0 n( A ) n(U)
≤ ≤ ∴ 0 ≤ P( A ) ≤ 1
n(U) n(U) n(U)
Experimentos que ao serem realizados
repetidas vezes em condições consideradas idênticas,
apresentam resultados essencialmente idênticos são Probabilidade de Não Ocorrer Um Evento
denominados experimentos determinísticos.
Sendo A evento complementar do evento A do
espaço amostral U, temos:
Experimento aleatório
Experimentos que ao serem realizados P( A ) + P( A ) = 1
repetidas vezes em condições consideradas idênticas,
apresentam resultados diferentes, não sendo possível
portanto a previsão lógica dos resultados, são Exercícios Resolvidos
denominados experimentos aleatórios (ou casuais).
01) Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15.
Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a
Espaço Amostral probabilidade de ser sorteada uma bola com número
maior ou igual a 11?
É o conjunto de todos os resultados possíveis
de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço Espaço amostral U = {1,2,3,...,13,14,15}
amostral por U.
Evento requerido A = {11,12,13,14,15}
(Nºs maiores ou iguais a 11)
Evento
n(A) = 5
É qualquer subconjunto do espaço amostral. n(U) = 15
O conjunto Ø é chamado evento impossível.
O conjunto espaço amostral U é também um n( A) 5 1
evento, chamado de evento certo. p( A) = = = ≅ 33,3%
Os subconjuntos unitários de U são chamados n(U ) 15 3
eventos elementares ou eventos simples.
É certo que também podemos simplificar a idéia de
probabilidade quando as situações estudadas são
Espaço Amostral Eqüiprovável de fácil compreensão:
n º de casos favoráveis 5 1
O espaço amostral de um experimento aleatório p= = = ≅ 33,3%
é chamado eqüiprovável se todos os seus eventos
n º total de casos 15 3
elementares têm a mesma chance de ocorrer
02) Um dado é lançado e observa-se o número da face
Probabilidade voltada para cima. Qual a probabilidade desse número
ser:
Seja U um espaço amostral eqüiprovável e A 2 1
um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do a) menor que 3? p= = ≅ 33,3%
evento A o número P(A) tal que: 6 3
n( A ) 4 2
P( A ) = b) maior ou igual a 3? p = = ≅ 66,6%
n(U) 6 3
onde:
n(A) = número de elementos do evento A. 1 2
n(U) = número de elementos do espaço Observe que P(A) + P(B) = + =1
amostral U. 3 3
Ou seja, como P( A ) + P( A ) = 1 , temos que P( B) = P( A)
Como A é subconjunto de U, decorre que:
0 ≤ n(A) ≤ n(U)
2011
1
2. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
Probabilidade da união de eventos 12 8 4 16
p( A ∪ B) = + − = = 0,64 = 64%
25 25 25 25
Se A e B são eventos quaisquer de um
experimento aleatório do mesmo espaço amostral U, b) Qual a probabilidade do nº da bola sorteada ser
então: múltiplo de 5 ou de 7?
n( A U B) = n( A ) + n(B) − n( A I B) 5
Múltiplos de 5 > p ( A) =
25
Dividindo ambos os membros dessa igualdade 3
por n(U), temos: Múltiplos de 7 > p ( B ) =
25
n( A U B) n( A ) n(B) n( A I B)
= + −
n(U) n(U) n(U) n(U) Múltiplos de 5 e 7 > p( A ∩ B) = Ø
Onde concluímos que: 5 3 8
p( A ∪ B) = + = = 0,32 = 32%
P( A U B) = P( A ) + P(B) − P( A I B) 25 25 25
Pode ocorrer que os eventos A e B do Probabilidade Condicional
espaço amostral U não tenham elementos comuns.
Nesse caso, são chamados de eventos mutuamente Denomina-se probabilidade de B
exclusivos ( ou eventos disjuntos ). Quando isso condicionada a A a probabilidade de ocorrência do
ocorre, temos: evento B, sabendo que vai ocorrer ou que já ocorreu o
evento A. Representaremos esse caso por P( B | A )
A IB = { } ⇒ P(A I B) = 0 (lê-se probabilidade de B dado A ).
Logo, se A e B são eventos mutuamente
exclusivos, temos: U B
A
P( A U B) = P( A ) + P(B)
Resumindo:
p( A ∪ B ) = p ( A) + p( B) ⇔ A ∩ B = Ø A∩
ou B
p( A ∪ B ) = p ( A) + p( B) − p( A ∩ B ) ⇔ A ∩ B ≠ Ø Observe que, sabendo que o evento A ocorreu,
então os casos favoráveis à ocorrência do evento B
Exercício Resolvido: estão em A ∩ B.
Temos então:
03) Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25.
n( A I B)
Uma bola é extraída ao acaso. P(B | A ) =
n( A )
a) Qual a probabilidade de o nº da bola sorteada ser
múltiplo de 2 ou de 3? Dividindo numerador e denominador do
segundo membro da igualdade por n(U), temos:
12
Múltiplos de 2 > p ( A) = n( A I B)
25 n(U) P( A I B )
P(B | A ) = ==> P(B | A ) =
8 n( A ) P( A )
Múltiplos de 3> p( B ) =
25 n(U)
4 Logo:
Múltiplos de 2 e 3 > p( A ∩ B) =
25 P( A I B ) = P( A ) ⋅ P(B | A )
2011
2
3. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
Então, para a ocorrência ao mesmo tempo de 02) (UNI-RIO) – O dispositivo que aciona a abertura do
dois eventos, temos que a probabilidade de ocorrer A e cofre de uma joalheria apresenta um teclado com nove
B é igual à probabilidade de ocorrer A multiplicada pela teclas, sendo cinco algarismos (0,1,2,3,4) e quatro letras
probabilidade condicional de B dado A. (x,y,z,w). O segredo do cofre é uma seqüência de três
algarismos seguidos de duas letras. Qual a
Os eventos A e B são chamados eventos
probabilidade de uma pessoa, numa única tentativa, ao
independentes ou seja, a ocorrência de um evento não
acaso, abrir o cofre ?
depende da ocorrência do outro, quando vale a
igualdade:
(A) 1 / 7 200 (B) 1 / 1 500
P( A I B) = P( A ) ⋅ P(B) (C) 1 / 2 000 (D) 1 / 720
(E) 1 / 200
Exercícios Resolvidos
03) (UNIRIO-2000) Numa urna existem bolas de
04) Uma urna contém exatamente sete bolas: quatro plástico, todas do mesmo tamanho e peso, numeradas
azuis e três vermelhas. Retira-se ao acaso uma bola da de 2 a 21, inclusive e sem repetição. A probabilidade de
urna, registra-se sua cor e repõe-se a bola da urna. A se sortear um número primo ao pegarmos uma única
seguir, retira-se novamente uma bola da urna e registra- bola, aleatoriamente, é de:
se sua cor. Calcular a probabilidade de:
(A) 45% (B) 40% (C) 35%
a) sair uma bola azul e outra vermelha. (D) 30% (E) 25%
04) (UERJ-02) Em uma experiência de fecundação in
vitro, 4 óvulos humanos, quando incubados com 4
suspensões de espermatozóides, todos igualmente
Queremos que a primeira bola retirada seja azul e a viáveis, geraram 4 embriões, de acordo com a tabela
segunda seja vermelha. A probabilidade de a primeira abaixo.
bola ser azul é 4 , e a probabilidade de a segunda bola
7
sair vermelha é 3 . Assim, a probabilidade de obtermos
7
a sequência: A e V é P = 4 ⋅ 3 = 12
7 7 49
b) saírem duas bolas de cores diferentes. Observe os gráficos:
Temos duas sequências possíveis, com as respectivas
probabilidades:
A e V → P1 = 4 ⋅ 3 = 12 OU V e A → P2 = 3 ⋅ 4 = 12
7 7 49 7 7 49
Assim a probabilidade total é: P = P1 + P2 = 12 + 12 = 24 Considerando a experiência descrita, o gráfico que
49 49 49 indica as probabilidades de os 4 embriões serem do
sexo masculino é o de número:
Exercícios Propostos
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
01) Estudando Genética, os alunos da E.A. Corcovado
construíram o quadro ao lado, em que os quatro 05) (UERJ-06-2ºex) Com o intuito de separar o lixo para
eventos são prováveis. Qual a probabilidade de que fins de reciclagem, uma instituição colocou em suas
ocorra o evento aa (em que o filho de um casal híbrido dependências cinco lixeiras de diferentes cores, de
de olhos castanhos teria olhos azuis) ? acordo com o tipo de resíduo a que se destinam: vidro,
Masc Fem A a plástico, metal, papel e lixo orgânico.
A AA (castanho) Aa (castanho)
A Aa (castanho) aa (azul)
(A) 50% (B) 25% (C) 75%
(D) 10% (E) 20%
2011
3
4. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas 11) (UERJ)
uma embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra,
uma garrafa de vidro.
A probabilidade de que ele tenha usado corretamente
pelo menos uma lixeira é igual a:
(A) 25% (B) 30% (C) 35% (D) 40%
06) (OBMEP-05) Brasil e Argentina participam de um
campeonato internacional de futebol no qual competem
oito seleções. Na primeira rodada serão realizadas
quatro partidas, nas quais os adversários são
escolhidos por sorteio. Qual é a probabilidade de Brasil
e Argentina se enfrentarem na primeira rodada?
Protéticos e dentistas dizem que a procura por
(A) 1/8 (B) 1/7 (C) 1/6 dentes postiços não aumentou. Até declinou um
(D) 1/5 (E) 1/4 pouquinho. No Brasil, segundo a Associação Brasileira
de Odontologia (ABO), há 1,4 milhão de pessoas sem
07) (PM-05-1) Pedro brinca com um dado com seus nenhum dente na boca e 80% delas já usam dentadura.
amigos. Ele não gosta do número 3. Se Pedro lançar o Assunto encerrado.
dado duas vezes, a probabilidade de que o número 3 (Adaptado de Veja, outubro/97)
não apareça em nenhum dos lançamentos é de,
aproximadamente: Considere que a população seja de 160 milhões de
habitantes.
(A) 40% (B) 50% (C) 60% (D) 70% Escolhendo ao acaso um desses habitantes, a
probabilidade de que ele não possua nenhum dente na
08) (PM-04-2) Em certo quartel, a probabilidade de um
boca e use dentadura, de acordo com a ABO, é de:
soldado ser torcedor do Flamengo é 0,60 e de gostar de
praticar exercício de tiro é 0,70. As probabilidades
(A) 0,28%; (B) 0,56%; (C) 0,70%; (D) 0,80%.
mínima e máxima de um soldado deste quartel ser
torcedor do Flamengo e, simultaneamente, gostar de
praticar exercícios de tiro, são, respectivamente: 12) Numa urna contendo 5 bolas brancas e 10 bolas
pretas, cada vez que se retira uma delas procede-se da
(A) 10% e 60% (B) 20% e 60% seguinte maneira:
(C) 30% e 60% (D) 40% e 60% − Se a bola for branca: não se repõe esta bola,
porém acrescenta-se 6 outras bolas pretas;
09) (PM-04-2) Um comandante deseja premiar três dos
− Se a bola for preta: repõe-se esta bola
sete soldados mais qualificados de seu quartel,
juntamente com outras 5 bolas brancas.
adotando o critério de sorteio. Todos os soldados
qualificados têm nomes diferentes e João e Pedro estão A probabilidade da SEGUNDA bola retirada desta urna ser
entre eles. A probabilidade de João e Pedro serem dois branca, é:
dos nomes sorteados é de:
(A) 20% (B) 25% (C) 33,333...% (D) 40% (E) 50%
(A) 1/7 (B) 2/7 (C) 3/7 (D) 4/7
13) Uma urna A contém x bolas vermelhas e y bolas
10) (UERJ-99)
brancas. Uma urna B contém z bolas vermelhas e w
bolas brancas. Uma bola é retirada da urna A e
colocada na urna B e, então, uma bola é retirada da
urna B. A probabilidade desse última bola ser vermelha
é:
z +1 x+z
(O Dia, 25/08/98) (A) (B)
z + 1+ w x+y+z+w
Suponha haver uma probabilidade de 20% para uma
caixa de Microvlar ser falsificada. Em duas caixas, a 1 x + xz + zy 1 xy + xz + zy
(C) (D)
x + y z + w +1
probabilidade de pelo menos uma delas ser falsa é: x + y z + w +1
(A) 4 % (B) 16 % (C) 20 % (D) 36 %
2011
4
5. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
14) (Enem-2001) Uma empresa de alimentos imprimiu 16) (PUC-RIO-2010) Quatro moedas são lançadas
em suas embalagens um cartão de apostas do seguinte simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer
tipo:
coroa em uma só moeda?
1 2 1
(A) (B) (C)
8 9 4
1 3
(D) (E)
3 8
17) (PUC-RIO-2011) Jogamos três dados comuns
simultaneamente. Qual a probabilidade de que os três
números sorteados sejam distintos?
1 1 5
(A) (B) (C)
2 36 9
17 5
(D) (E)
36 17
18) (Enem-2001) Um município de 628 km² é atendido
por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B
alcançam um raio de 10km do município, conforme
mostra a figura:
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa
avaliar a probabilidade que um morador tem de,
Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de circulando livremente pelo município, encontrar-se na
futebol e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 área de alcance de pelo menos uma das emissoras.
espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de
um cliente ganhar o prêmio nunca seja igual a zero.
Essa probabilidade é de, aproximadamente,
Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e
duas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade (A) 20%. (B) 25%. (C) 30%.
de o cliente ganhar o prêmio é (D) 35%. (E) 40%.
(A)1/27. (B) 1/36. (C) 1/54. 19) (PUC-RIO-2011) Considere uma urna contendo
(D)1/72. (E) 1/108. vinte bolas numeradas de 1 a 20. Retiram-se três bolas
simultaneamente e de maneira aleatória de dentro desta
15) A figura abaixo representa um alvo de dardos, urna.
composto de três círculos concêntricos de raios r, 2r e
3r. Sabendo que um competidor acertou o alvo, qual é a) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 6?
a probabilidade dele ter acertado a parte clara do alvo? b) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 8?
c) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 15?
20) (PUC-RIO-2011) Considere uma urna contendo 5
bolas pretas e 5 bolas brancas. Retiram-se
simultaneamente e de maneira aleatória 3 bolas de
dentro desta urna.
a) Qual a probabilidade de que todas as bolas retiradas
sejam brancas?
(A) 1/3 (B) 1/2 (C) 1/4 b) Qual a probabilidade de que, entre as bolas retiradas,
(D) 1/9 (E) 4/9 duas bolas sejam brancas e uma bola seja preta?
2011
5
6. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
21) (ENEM-2010) O diretor de um colégio leu numa Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente,
revista que os pés das mulheres estavam aumentando. uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população
Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das dos países desenvolvidos, será um número mais próximo
mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não de
fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez 1 7 8
uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, (A) (B) (C)
2 20 25
obtendo o quadro a seguir:
1 3
(D) (E)
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que 5 25
ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela
calçar 38,0 é: 23) (ENEM-09) O controle de qualidade de uma
empresa fabricante de telefones celulares aponta que a
probabilidade de um aparelho de determinado modelo
apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja
acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um
cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da
loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
4 2
(A) 2 × (0,2%) . (B) 4 × (0,2%) .
2 2
1 1 2 (C) 6 × (0,2%) × (99,8%) . (D) 4 × (0,2%).
(A) (B) (C)
3 5 5
(E) 6 × (0,2%) × (99,8%).
5 5
(D) (E)
7 14 24) (ENEM-09) A população brasileira sabe, pelo menos
intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis
22) (ENEM-09) A população mundial está ficando mais dezenas da mega sena não é zero, mas é quase.
velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por
de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados essa loteria, especialmente quando o prêmio se
dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada
das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01,
pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
números da coluna da direita representam as faixas Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente
pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos,
R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar
número entre 10% e 15% da população total nos países
desenvolvidos. apenas cinco das seis dezenas da mega sena,
justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é
melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis
dezenas diferentes, que não tenham cinco números em
comum, do que uma única aposta com nove dezenas,
porque a probabilidade de acertar a quina no segundo
caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,
1 1
(A) 1 vez menor (B) 2 vezes menor
2 2
(C) 4 vezes menor (D) 9 vezes menor
(E) 14 vezes menor
25) (UERJ-2011 -1º ex qualif) Uma fábrica produz
sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e
laranja. Considere uma caixa com 12 garrafas desses
sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor.
Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a
probabilidade de que ambas contenham suco com o
mesmo sabor equivale a:
(A) 9,1% (B) 18,2%
Disponível em: www.economist.com.
Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
(C) 27,3% (D) 36,4%
2011
6
7. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
26) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Uma máquina contém 31) (UFF-2010-2ºF) Dois dados cúbicos não viciados,
pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, são jogados
sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na aleatoriamente e simultaneamente sobre uma mesa
máquina, uma bola é expelida ao acaso. plana. Se a soma dos valores sorteados(*) for um
Observe a ilustração: número par, Paulo ganha a partida. Se a soma for um
número ímpar, Lúcia ganha. Ao perder a primeira
partida, Lúcia diz que não irá mais jogar porque a regra
favorece Paulo. Seu argumento é o seguinte: dentre os
onze valores possíveis para a soma (os inteiros de 2 a
12), há seis números pares e apenas cinco números
ímpares. Logo, Paulo tem maior probabilidade de
Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o ganhar.
menor número de moedas a serem inseridas na
máquina corresponde a: a) Calcule a probabilidade de Lúcia ganhar uma partida.
Justifique sua resposta.
(A) 5 (B) 13 (C) 31 (D) 40
b) Use o item a para verificar se o argumento de Lúcia
27) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Inserindo-se 3 moedas, está correto.
uma de cada vez, a probabilidade de que a máquina (*) Valor sorteado é o número escrito na face do cubo
libere 3 bolas, sendo apenas duas delas brancas, é oposta à face que está apoiada na mesa.
aproximadamente de:
32) (PUC-2010 – 2ª f)
(A) 0,008 (B) 0,025 Considere o lançamento de três dados comuns.
(C) 0,040 (D) 0,072
a) Qual é a probabilidade de que a soma dos valores
28) (UFRJ-2004-PE) Manoel e Joaquim resolveram sorteados seja igual a 5?
disputar o seguinte jogo: uma bola será retirada ao
acaso de uma urna que contém 999 bolas idênticas, b) Qual é a probabilidade de que os três números
numeradas de 1 a 999. Se o número sorteado for par, sorteados sejam diferentes?
ganha Manoel; se for ímpar Joaquim ganha. Isto foi
resolvido após muita discussão, pois ambos queriam as 33) (UERJ-2011-2ª FASE) Para a realização de uma
pares. partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz
Se todas as bolas tem a mesma principal, que apita o jogo, e seus dois auxiliares, que
probabilidade de serem retiradas, identifique quem ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem
tem mais chances de ganhar o jogo. Justifique sua seja escolhido aleatoriamente em um grupo composto
resposta. de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa
escolha, um segundo sorteio aleatório é feito entre os
29) (UFRJ-98-PE) Duzentas bolas pretas e duzentas três para determinar qual deles será o juiz principal.
bolas brancas são distribuídas em duas urnas, de modo
que cada uma delas contenha cem bolas pretas e cem Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal.
bolas brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola de
cada urna. 34) (UERJ-2007-ESP) João recorta um círculo de papel
com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao
Determine a probabilidade de que as duas meio várias vezes, conforme ilustrado abaixo.
bolas retiradas sejam de cores distintas.
30) (UFRJ-2009) João criou uma senha de 4 algarismos
para o segredo de seu cofre. Mais tarde, quando foi
abrir o cofre, João percebeu que não lembrava mais
qual era a senha, mas sabia que os algarismos eram 1,
3, 8 e 9. Ele, então, resolveu escrever todos os números
possíveis formados pelos 4 algarismos e, em seguida,
tentar abrir o cofre sorteando ao acaso, um a um, os
números de sua lista, sem repetir números já testados.
a) Determine quantos números João escreveu.
b) Calcule a probabilidade de que ele abra o cofre na
12ª tentativa.
2011
7
8. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca
o número 1 nas duas extremidades da primeira dobra.
Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos
formados pelas dobras anteriores, João escreve a soma
dos números que estão nas extremidades de cada arco.
As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais
desse processo.
Uma criança rasgou algumas cartas desse baralho, e as
n cartas restantes, não rasgadas, foram guardadas
em uma caixa.
A tabela abaixo apresenta as probabilidades de retirar-
se dessa caixa, ao acaso, as seguintes cartas:
Calcule o valor de n.
36) (UERJ-2010-ESP) Uma criança guarda moedas
de R$ 1,00 e de R$ 0,50 em duas caixas, uma verde
e outra amarela. Na caixa amarela, há, exatamente,
A figura correspondente à etapa 3 foi colada em uma 12 moedas de R$ 1,00 e 15 moedas de R$ 0,50.
roleta, que após ser girada pode parar, ao acaso, em
apenas oito posições distintas. Uma seta indica o Admita que, após a transferência de n moedas de R$
número correspondente a cada posição, como ilustra a
1,00 da caixa verde para a amarela, a probabilidade
figura abaixo.
de se retirar ao acaso uma moeda de R$ 1,00 da
caixa amarela seja igual a 50%.
Calcule o valor de n.
37) (UFRJ-2010) Um ponto P é aleatoriamente
selecionado num retângulo S de dimensões 50 cm por
20 cm. Considere, a partir de S, as seguintes regiões:
Região A – retângulo de dimensões 15 cm por 4 cm
João girou a roleta duas vezes consecutivas e anotou com centro no centro de S e
os números indicados pela seta após cada parada.
Região B – círculo de raio 4 cm com centro no centro de
Calcule a probabilidade de a soma desses números S.
ser par.
Suponha que a probabilidade de que o ponto P
35) (UERJ-2009-ESP) pertença a uma região contida em S seja proporcional à
Os baralhos comuns são compostos de 52 cartas área da região.
divididas em quatro naipes, denominados copas, Determine a probabilidade de que P pertença
espadas, paus e ouros, com treze cartas distintas de simultaneamente às regiões A e B.
cada um deles.
Observe a figura que mostra um desses baralhos, no 38) (UFRJ-2011) Um ponto M é selecionado ao acaso
qual as cartas representadas pelas letras A, J, Q e K no interior de um círculo C de raio 2 e centro O. Em
são denominadas, respectivamente, ás, valete, dama e seguida, constrói-se um quadrado, também centrado em
rei. O, que tem M como ponto médio de um de seus lados.
Calcule a probabilidade de que o quadrado assim
construído esteja inteiramente contido no círculo C.
2011
8
9. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
39) (PUC-2010 – 2ª f) O diagrama abaixo mostra uma 40) (UNICAMP - 2002) Em Matemática, um número
sala do jogo Os Labirintos da Simetria. Isaac, o herói do natural a é chamado palíndromo se seus algarismos,
jogo, entra na sala por um portão no extremo esquerdo escritos em ordem inversa, produzem o mesmo número.
da sala e precisa sair pelo portão que está no extremo Por exemplo, 8, 22 e 373 são palíndromos. Pergunta-se:
direito da sala e que inicialmente está fechado.
a) Quantos números naturais palíndromos existem entre
1 e 9.999?
b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e
9.999, qual é a probabilidade de que esse número seja
No corredor entre os dois portões há sete cristais, cada palíndromo? Tal probabilidade é maior ou menor que
um com uma cor do arco íris: Vermelho, Laranja, 2%? Justifique sua resposta.
Amarelo, Verde, Azul, Índigo e Violeta. A cada partida
as posições dos cristais são sorteadas, com igual GABARITOS
probabilidade para cada uma das ordens possíveis.
Para que o portão de saída se abra, Isaac precisa tocar 01) B 02) C 03) B 04) A
os sete cristais exatamente na ordem acima. Na sala há
uma corrente de ar da esquerda para a direita. Assim, 05) C 06) B 07) D 08) C
Isaac pode mover-se facilmente da esquerda para a
direita, mas para mover-se da direita para a esquerda 09) A 10) D 11) C 12) D
ele precisa acionar as suas Hélices Mágicas. Cada vez
que ele aciona as Hélices ele gasta uma carga. Para 13) C 14) C 15) A 16) C
tocar um cristal, Isaac deve desligar as Hélices e se
depois de tocar um cristal ele precisar se mover 18) B 19) a) 1/1140 b) 1/570 c) 1/95
novamente para a esquerda ele precisará gastar outra
carga. 20) a) 1/12 b) 5/12 21) D 22) C
Assim, por exemplo, se num jogo a posição dos cristais 23) C 24) C 25) C 26) C
for:
27) B
Amarelo - Laranja - Índigo - Verde - Violeta - Vermelho –
Azul 28) Joaquim tem mais chances de ganhar o jogo, já que
há 500 bolas com números ímpares e 499 bolas com
então Isaac chegará gratuitamente ao cristal Vermelho, números pares.
gastará uma carga para voltar até Laranja e uma
segunda para voltar até Amarelo. Depois disso ele se 29) 50% 30) a) 24 b) 1/24
moverá gratuitamente até Verde e daí até Azul. Isaac
gastará uma terceira carga para voltar até Índigo e 31) a) 50% b) 50% 32) a) 1/36 b) 5/9
depois se moverá gratuitamente até Violeta e de lá para
o portão de saída, finalmente aberto. Neste exemplo, 33) 1/10 34) 5/8 35) n = 40
para passar pela sala, Isaac gastou três cargas.
16π + 24 3
Considerando agora uma sala com cristais em posições 36) n = 3 37) P = 38) ½
sorteadas, responda: 3000
39) a) 1/7! = 1/5040 b) 6/7! = 1/840 c) 120/7! = 1/42
a) Qual a probabilidade de que Isaac possa passar pela
sala sem gastar nenhuma carga? 40) a) 196 b) 1,96
b) Qual a probabilidade de que Isaac passe pela sala
gastando uma carga para ir de Vermelho até Laranja e
depois não precise gastar mais nenhuma outra carga?
c) Qual a probabilidade de que Isaac precise gastar
exatamente uma carga para passar pela sala?
2011
9
10. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
Algumas resoluções: Questão 30)
Questão 8) a) São 4 algarismos distintos. Tem-se que 4! = 24. João
escreveu 24 números.
Fla Tiro b)Solução da Banca:
Olhando-se uma lista qualquer dos 24 números
60 - x x 70 - x possíveis, observe que a probabilidade da senha correta
estar na n-ésima posição não depende de n. Deste
modo a probabilidade de João acertar na 12ª tentativa é
60 – x + x + 70 –x = 100 >> x = 30% igual à probabilidade de João acertar na primeira, que é
1/24
Como x ≥ 0 >> x ≤ 60% Solução mais simples:
Para que João acerte apenas na 12ª tentativa,
Questão 9) obrigatoriamente ele deve errar as onze tentativas
anteriores e acertar a 12ª, logo:
C 5,1 5 1 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 1
Resol: = = P= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
C 7 ,3 35 7 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
As cinco são : João Pedro __ ____ ____ ____ ____
1
P=
Questão 19) 24
Há C20,3 = 1140 maneiras de se retirarem 3 bolas da Questão 31)
urna.
a) O espaço amostral desse experimento é o conjunto
a) Soma igual a 6: 1 + 2 + 3 (somente um maneira). A, com 36 elementos:
Logo P(a) = 1/1140.
A = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2),
b) Soma igual a 8: 1 + 2 + 5 e 1 + 3 + 4 (duas (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3,
maneiras). Logo P (b) = 2/1140 = 1/570. 5), (3, 6),(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),(5, 1),
(5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6,
c) Soma igual a 15: 4), (6, 5), (6, 6) }.
1 + 2 + 12, 1 + 3 + 11, 1 + 4 + 10, 1 + 5 + 9, 1 + 6 + 8, 2
+ 3 + 10, 2 + 4 + 9, O evento “a soma dos valores sorteados é um número
2 + 5 + 8, 2 + 6 + 7, 3 + 4 + 8, 3 + 5 + 7, 4 + 5 + 6 (doze ímpar” é o conjunto E, com 18 elementos:
maneiras). Logo P (c) = 12/1140 = 1/95.
E = { (1, 2), (1, 4), (1, 6),(2, 1), (2, 3), (2, 5),(3, 2), (3, 4),
Questão 20) (3, 6),(4, 1), (4, 3), (4, 5),(5, 2), (5, 4), (5, 6),(6, 1), (6, 3),
Há C10,3 =120 maneiras de se retirarem 3 bolas da (6, 5) }.
urna.
Logo, a probabilidade de Lúcia ganhar é igual a 18/36 =
C 10 1
a) Tirar três bolas brancas: P (a ) = 5,3 = = 1/2 = 50%.
C10,3 120 12
b) O cálculo feito no item (a) mostra que Paulo e Lúcia
b) Tirar duas brancas e uma preta: têm a mesma probabilidade de ganhar uma partida.
C ⋅C 50 5 Questão 32)
P(b) = 5, 2 5,1 = = Temos no lançamento de três dados 63 possibilidades.
C10,3 120 12
a) O evento ter soma 5, tem casos : (1,2,2), (2,2,1) ,
Questão 29) Qualquer que seja a cor da bola retirada (1,2,1),(1,1,3),(1,3,1) e (3,1,1) então,
na primeira urna, a chance de se retirar uma bola de cor P= 6/216 = 1/36
diferente da segunda urna é de 100/200.
b) O evento ter todos os números diferentes, vale 6 × 5
Logo: P = ½ = 50% × 4. Logo, P = (6.5.4)/216 = 5/9
2011
10
11. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
Questão 33)
A = {x; a2 ; a3 ; a4 ; ...; a10}
9 ⋅8
C9, 2
= 2 ⋅1 =
36 3
1º sorteio: P( x) = =
C10,3 10 ⋅ 9 ⋅ 8 120 10
3 ⋅ 2 ⋅1
1 3 1 Observando-se o triângulo retângulo OLN, tem-se que o
P( xJUÍZ ) = ⋅ = ângulo LÔN mede 60º. Assim, a medida da área do
3 10 10
8π 2
setor circular OMN é cm e a área do triângulo OLN
Questão 34) 3
1 é 2 3 cm .
2
Probabilidade de ocorrer par e par ⇒ P1 =
16 Portanto, a medida da área da região C
Probabilidade de ocorrer ímpar e ímpar ⇒ P2 =
9 8π
16
é − 2 3 cm2 .
3
Probabilidade de ocorrer soma par ⇒ Logo, a medida da área de A∩ B é:
10 5
P1 + P2 = = 8π 2
16 8 16π − 4 3 − 2 3 cm
2
Questão 35) Como a medida da área de S é 1000 cm , tem-se que a
16π + 24 3
Número de cartas guardadas na caixa: n probabilidade solicitada é P = .
3000
Probabilidade de retirada de:
- um rei → P(R) = 0,075
- uma carta de copas → P(C) = 0,25 Questão 38)
- um carta de copas ou um rei → P(C ∩ R) = 0,3 A diagonal do quadrado inscrito é igual ao diâmetro do
- o rei de copas → P(R ∩ C) = P(R) + P(C) – P(R ∪ C) círculo C, ou seja, d = 4. A medida L do lado deste
2
quadrado é, por Pitágoras, 2L = 16 , ou seja, L = 2 2 .
1
P(R ∩ C) = 0,075 + 0,25 − 0,3 = 0,025 =
n
1 1
= ⇒ n = 40
n 40
Questão 36)
1 12 + n
= Para que o quadrado esteja inteiramente contido em C,
2 12 + n + 15 a distância de M ao centro de C deve ser menor do que
→ 12 + n + 15 = 2 (12 + n) → L
→ n + 27 = 24 + 2n → ou igual a . Ou seja, M pertence a um círculo CM de
→ 27 – 24 = 2n – n → 2
→ n=3 L
raio e mesmo centro C.
2
Questão 37)
Por hipótese, a probabilidade de que o ponto P pertença Então a probabilidade pedida é:
a uma região F, contida em S, é dada pela razão entre a
medida da área de F e a medida da área de S.
área (CM ) 2π 1
Assim, a probabilidade de que o ponto P pertença a p= = =
área ( A ∩ B) área (C ) 4π 2
ambas as regiões é dada por:
área ( S )
Seja C a região sombreada na figura abaixo. Então,a
área (A∩B) = 16π – 4 × área (C).
2011
11
12. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade
Questão 39)
a) Isto só ocorrerá se os cristais estiverem na ordem:
Vermelho - Laranja - Amarelo - Verde - Azul - Índigo -
Violeta
A probabilidade de isso ocorrer é 1/7! = 1/5040.
b) Isto ocorrerá se as cores:
Laranja - Amarelo - Verde - Azul - Índigo – Violeta
aparecerem nesta ordem da esquerda para a direita,
com Vermelho em qualquer posição exceto na primeira.
Há, assim, 6 configurações possíveis e a probabilidade
pedida é 6/7! = 1/840.
c) Para formar uma configuração deste tipo, devemos
7
primeiro selecionar um conjunto de posições (há 2 =
128 maneiras de fazer isso).
Primeiro preenchemos as posições do conjunto da
esquerda para a direita com as cores na ordem em que
Isaac deve tocá-las e depois preenchemos as posições
no complemento do conjunto. Isto só *não* funcionará
se as posições do conjunto estiverem todas à esquerda
das posições do complemento (pois neste caso Isaac
não gastaria nenhuma carga), ou seja, para os 8
conjuntos {}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, ..., {1,2,3,4,5,6,7}.
Assim há 128 - 8 = 120 configurações possíveis, e a
probabilidade pedida é 120/7! = 1/42.
Questão 40)
a) De 1 até 9.999, temos desde palíndromos de 1
algarismo até palíndromos de 4 algarismos.
Assim,
x x x x
ou ou ou
9 + 9 ⋅ 1 + 9 ⋅ 10 ⋅ 1 + 9 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 1 = 198
Considerando que “entre 1 e 9.999” não devam ser
incluídos os extremos, temos 196 palíndromos.
Resposta: 196
b) “Entre 1 e 9.999” temos 9.997 números.
Assim, a probabilidade pedida é:
196
P= ≈ 1,96 %
9.997
Nota: Se interpretássemos o “entre 1 e 9.999” com a
possibilidade da inclusão dos extremos, teríamos:
a) 198 palíndromos.
198 2
b) P = = ≈ 1,98 %.
9.999 101
2011
12