Mat potenciacao e radiciacao

Inclusão para a vida Matemática B

UNIDADE 1 RADICIAÇÃO

Definição
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
b é a raiz n-ésima de a, se bn = a.
POTENCIAÇÃO
Representação
Definição
n
a =b bn = a
Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Nomenclatura
Sendo a Rea 0em Z. Tem-se que:
n
Em a = b, temos:
am = a. a. a. a. a..... a.
m fatores n é o índice
a é o radicando
Casos Particulares b é a raiz

a0 = 1 para a 0 Condição de existência
a1 = a
Em a , se n for par, então é necessário que a
n
-n
1
a = n seja maior ou igual a zero.
a
n
Se n for ímpar então a sempre existe.
Propriedades
Propriedades
Se a e b são números reais e m e n, números inteiros,
tem-se: n a .n b n a.b

am.an = am + n na a
m n
a nb b
am n
an na m n am
(am)n = am.n
(a.b)n = an.bn n am n.p m.p
a
n
a an nma n.m a
b bn m
n
Potência de base 10
am an

Sabe-se que: 100 = 1 Racionalização de denominadores
101 = 10
102 = 100 Dada uma fração com denominador contendo radical,
103 = 1000 racionalizar o denominador é um processo no qual se
obtém uma fração equivalente a primeira sem, no entanto,
Então 10n = 100...........00 com o radical no denominador.
n zeros
n m
1º CASO: O denominador é do tipo a
1 Neste caso, multiplica-se numerador e denominador
Observe ainda que: 10-1 = = 0,1
10 pelo fator:
n
an m
.
1
10-2 = = 0,01 2º CASO: O denominador é do tipo a b
10 2 Neste caso, multiplica-se numerador e denominador
1 a b
10-3 = = 0,001 Pelo fator:
10 3
Então 10–n = 0,000.............001
n casas decimais

Pré-Vestibular da UFSC 1

Matemática B Inclusão para a Vida

Exercícios de Sala  4. Usando a definição, calcule o valor de cada uma das
raízes:
1. Calcule:
4 5 5
4 4 4
a) 625 b) 32 c) 0
a) 2 b) – 2 c) (– 2)
d) 17 e) 03 f) 2140 3 81 3
d) 1 e) f) 0,125
4 16
2
g) 3-2 h) 5. Racionalize:
3
5 6 2 5
a) b) c) d)
3
2. Transforme cada expressão em uma única potência de 2 3 5 3 2
base 3.
2 5
3 .3 Tarefa Complementar
a) 37 . 3-5 . 36 = b) =
3
3
6. O valor da expressão 100.(0,1)3 é equivalente a:
42 0,01
c) (34)2 = d) 3 =
a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 10
3. Calcule:
7. Assinale a soma dos números associados às proposições
a) 0,25 b) 0,01 corretas:

c)
3
125 d)
3
64 01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102
2 02. O valor da expressão 5.108. 4.10-2 é 2.107
4
e) 9 f) 50 32 2 2 242 04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n + (– 1)2n + 1 é
zero.
4. Racionalize: 08. A metade de 48 + 84 é 17.211

3 5 3 2 8. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064?
a) b) c) d)
5
2 5 2 5 3 1
2
1
2
2
3
1
2
8
3
a) b) c) d) e)
80 8 5 800 10
Tarefa Mínima
9. (FGV-SP) Qual o valor da expressão
1. Determine o valor das expressões: a.b 2 . a 1.b 2 . a.b 1
4 2
3 2
3 2 1 1
, quando a = 10 e b = 10
a) 34 b) – 34 c) (– 3)4 a .b. a .b . a .b
d) 1201 e) 080 f) 5000
3 a) 106 b) 10 2
c) 10 3
d) 10 9
e) 107
5
g) 4-2 h) i) 24 + 1201 + 03 + 40
2 10. (FGV-SP) Simplificando a
n 4 n 2 n 1
2 2 2
4 2 3 2 1 expressão n 2 n 1
temos:
( 2) (2 ) 2 3 2 2
j) k)
4 3 2
2
3 87 82 34
a) b) c) d)
2. Transforme cada expressão em uma única potência de 4 4 3 3
base 2.
2
(23 ) 2 .23 11. (Cesgranrio) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então
a) 25.23.27 b) (abc)12 vale:
4
3. Sendo A = 2100, obtenha: a) 9912 b) 9921/2 c) 9928
d) 9988 e) 9999
a) sucessor de A b) o dobro de A
c) quádruplo de A d) quadrado de A
e) metade de A f) raiz quadrada de A

12. Determine a soma dos números associados às proposições
corretas:

 
B e C são os ângulos agudos
01. A expressão 45 20 80 é
5 Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos
 
equivalente a 3 15 agudos são complementares, ou seja, B C = 90º
02. O valor de 2 2 2 2 4 é2 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
1 1

04. O valor de 8 3 16 2 é 4 SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre
o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
4 CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre
08. Racionalizando obtém-se 2 2
2 o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente
3 5 8 15 entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
16. A expressão é igual a
5 3 15 Sendo assim, temos que:

313 312
13. Calculando , acha-se:
25 : 23
a) 32 b) 34 c) 36
d) 38 e) n.d.a. b c b
sen = cos = tg =
a a c
1 1
14. (UEL-PR) A expressão 1é Observação:
2 2 2 2
equivalente a:
Se + = 90° tem-se que sen = cos
a) – 1 b) 2 –2 c) 2 +2 Tabela de arcos notáveis
d) 2 –1 e) 2 +1
Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas
alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos
15. (UEL-PR) Seja o número real retângulos congruentes.
500 3 20 2 2 5
x= . Escrevendo x na forma x = a
5 1
+b c , tem-se que a + b + c é igual a:
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9

Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal e
UNIDADE 2 obtemos dois triângulos retângulos isósceles.

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO

Considere o triângulo retângulo ABC

Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos:
____ ___
AC e AB são os catetos Em resumo, temos:
___
BC é a hipotenusa



c)

Exercícios de Sala  x
5

1. (FUVEST) Obter o valor de x na figura: 45°

2. Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada a
Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do
mundo. Atualmente a torre faz, na sua inclinação, um
ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima
da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de
comprimento. A que distância se encontra o ponto mais
alto da torre em relação ao solo?
2. No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é:

(dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)
a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a.
a) 55 metros b) 15 metros
c) 45 metros d) 42 metros
3. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de m e) 51 metros
rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na
outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos P1P2
= e BP2P1 = e que tg = 2 e tg = 4, a distância
entre as margens (em metros) é:

Tarefa Mínima 

1. Nas figuras abaixo, determinar o valor de x
a) 3. (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir
uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o
topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de
12
X
4 3 m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo,
30° em graus, que a rampa formará com o solo.

4. Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.
b)
Tarefa Complementar 
6

5. Com base na figura abaixo é correto afirmar:
60°
01. h = 2 m
X

02. h = 3m
04. a = (1 + 3 ) m
08. O triângulo ACD é isósceles


____
UNIDADE 3
16. O lado AC mede 6m

6. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e TEOREMA DOS CO-SENOS
paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado
na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado
sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois
posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. lados, menos duas vezes o produto das medidas destes
Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20 lados pelo co-seno do ângulo formado por eles.
= 0,93; tg 20º = 0,36)

7. Determine o valor de x e y na figura abaixo:

8. (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa
o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para
sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:

TEOREMA DOS SENOS

Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos
senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o
diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

a) b cos b) a cos c) a sen
d) b tg e) b sen

9. (UEPG-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B
___
localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste
momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e
leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes
dados, assinale o que for
correto.
___
01. AC = 10km
___ Exercícios de Sala 
02. AD = 2,5 km
____ 1. Determine o valor de x na figura abaixo:
04. BC = 5 3 km
ˆ
08. O ângulo BAD mede 60° 2. (FUVEST) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o
16. A velocidade média do barco é de 15km/h

10. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x
B

60°
ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o
30°
D C raio da circunferência que circunscreve o triângulo
A

AD = x DC= x - 38 BD = y 3. Determine o valor de x na figura abaixo

4. Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo
abaixo, é:



5. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e
6. O co-seno do maior ângulo de T é:

a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4
d) 2/3 e) 1/8


6. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC
medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o
Tarefa Mínima  ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:

1. Determine o valor de x na figura abaixo: a) ½ b) 2/3 c) 3/4
d) 4/5 e) 5/6

7. (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um
___
triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da
ˆ
circunferência. O ângulo B A C mede:

a) 15° b) 30°
2. (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75 2 cm. A c) 36° d) 45°
medida, em cm, do lado AB será: e) 60°

A 8. (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa
sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante,
quando o navio está em A, observa o farol L e mede o
ˆ
ângulo L A C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica
ˆ
o ângulo L B C = 75°. Quantas milhas separam o farol do
45° 30°
B C
ponto B?

3. O triângulo ABC está inscrito na circunferência de a) 2 2 b) 3
centro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine a c) 2 3 d) 3 2
soma dos números associados às proposições verdadeiras:
e) 4 2
A

75° 9. Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC = cm.
Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC.
O
60° 10. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD =
B C ˆ ˆ
3cm, AB = 2cm, A D C = 60° e A B C = 90°.
D

C

01. O triângulo ABC é equilátero
02. o raio da circunferência vale 2cm
___
04. AB = 2 2 cm
08. O comprimento da circunferência é 4 cm A B

O perímetro do quadrilátero, em cm, é:
4. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um
a) 11 b) 12 c) 13
paralelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam um d) 14 e) 15
ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em
centímetros, mede:

a) 4 b) 11 c) 3
d) 13 e) 4 2


UNIDADE 4 e 5 CICLO TRIGONOMÉTRICO

Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece
um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo
INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA trigonométrico.
TRIGONOMÉTRICA
Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes
ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA denominadas quadrantes.

Anti Horário Positivo
ORIENTAÇÃO
Horário Negativo

Arco de uma circunferência é cada uma das partes que
ficam divididas uma circunferência por dois quaisquer de
seus pontos.

ARCOS CÔNGRUOS

Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre
seus valores é um múltiplo de 360º.

Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110..........

Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e
diferem apenas no número de voltas.

A expressão x = 30º + 360º . k, com k Z, é denominada
expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira
determinação positiva.
A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que
possui vértice no centro da circunferência).
A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:
Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano.
+ k . 360º, com k Z.
Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo
Se um arco mede radianos, a expressão geral dos
1
comprimento é igual a do comprimento da arcos côngruos a ele é dada por:
360
circunferência. + k . 2 , com k Z.
Logo, a circunferência tem 360º.
Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos:
SENO e CO-SENO DE UM ARCO
1º = 60' 1'= 60''
DEFINIÇÃO
Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao
raio da circunferência onde está contido. Considere o arco que possui extremidades na origem do
Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos. ciclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde o
ângulo central .
Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e
radianos.

360º 2 rad
Portanto: 180º rad



OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é
Denomina-se sen a projeção do raio OM, pela possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos
extremidade M do arco sobre o eixo y. do 2º, 3º e 4º quadrantes.
Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eixo x.
Equações trigonométricas num intervalo dado:

Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as
funções Trigonométricas em seus membros.
São exemplos de equações trigonométricas:

1) sen x = 1

2. Sinais 2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0

Não é possível estabelecer um método para resolver todas
as equações trigonométricas, pois, existe uma infinidade
delas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos:

x a 2k (congruos)
sen x = sen a
x a 2k (suplementares)

TABELA

x a 2k (congruos)
cos x = cos a
x a 2k (suplementares)

Exercícios de Sala 

1. Expresse em radianos os seguintes arcos:
a) 300º b) 60º c) 12º

2. Um arco de 200° equivale em radianos a:

2 5 10
a) b) c) 4 d) e) 6
3 2 9
Note que: – 1 sen 1 e–1 cos 1



3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a a) 2 m 3
expressão geral dos arcos côngruos a: b) 1 m 4
c) -1 m 1
23 d) 2<m<3
a) 930º b) rad e) 0 m 1
6

4. Determine o valor de: 6. Resolver, no intervalo 0 x < 2 , as seguintes
equações:
a) sen 150°
b) cos 150° a) sen x = 1
c) sen 210° b) cos x = 0
d) cos 210° 1
e) sen 330° c) sen x =
2
f) cos 330°
2
d) cos x =
5. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5 2
admite solução.
7. Sabendo que 0 x < 2 , o conjunto solução da
a) -1 m 1 equação: sen 2 x 3sen x 4 = 0 é:
b) -2 m 5
c) 2 m 3 a) {90º}
d) 2<m<3 b) {-90º}
e) 1<m<2 c) {270º}
d) {180º}
Tarefa Mínima  e) {30º}

1. Obter a medida em graus dos seguintes arcos: Tarefa Complementar

2 8. (Mack-SP) A menor determinação positiva de 4900º é:
a)
3
a) 100° b) 140º c) 40º
d) 80º e) n.d.a.
b)
6 9. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco
de 1000º?

2. (UFMG) Transformando 7º30' em radianos, teremos: a) 270º b) 280º c) 290º
d) 300º e) 310º
a) /24
b) /25 10. (SANTO AMARO-SP) Às 9 horas e 10 minutos, o
c) /30 menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é:
d) 3 /25
e) 5 /32 a) 135º b) 140º c) 145º
d) 150º e) n.d.a.

3. Determine o valor da expressão 11. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteiros
de um relógio, às 23h45min, vale:
sen 90. cos 0 cos180.sen 270
sen 2 0 cos 2 180 a) 189º30' b) 277º30' c) 270º
d) 254º45' e) 277º50'
4. Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do:
12. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumir
a) 1º quadrante quando 37 2senx , é:
y
b) 2º quadrante 3
c) 3º quadrante
d) 4º quadrante 13. (UFPA) O menor valor positivo que satisfaz a equação
e) n.d.a. 2 sen x = 1 é:

5. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para: a) /6 b) /4 c) /3
d) /2 e) n.d.a.



14. (UM-SP) O menor valor positivo de x para o qual TABELA
1
9- cos x = é:
3
2
a) b) c) d) e)
6 4 3 2 3

15. Determinar o número de soluções da equação
2sen x cos x = sen x no intervalo 0 x<2 .

UNIDADE 6

RELAÇÕES FUNDAMENTAL DA
TRIGONOMETRIA

sen2 + cos2 = 1 (Relação Fundamental)

A relação acima também vale para arcos com
extremidades fora do primeiro quadrante.

Exemplos: sen230° + cos230° = 1
sen2130° + cos2130° = 1

Convém lembrar que se + = 90°, sen = cos .
Logo, vale também relações do tipo:

sen2 50° + sen2 40° = 1
sen 210° + sen2 80° = 1

TANGENTE DE UM ARCO
EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA
DEFINIÇÃO
tg x = tg a x a 2k
Associa-se a circunferência trigonométrica mais um eixo,
a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de
coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM
ao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes.

Exercícios de Sala

SINAIS 2
1. Sabendo que sen x = e que x , calcule
3 2
cos x:

2. (FCChagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x =
2 a 1 são verdadeiras para todo x real, se e somente
se:

a) a = 5 ou a = 1 b) a = -5 ou a = -1
c) a = 5 ou a = 1 d) a = 1
e) n.d.a.



3. Resolver no intervalo 0 x < 2 , a equação 10. No intervalo 0 x < 2 , a equação 3 tg2x + tg x = 0
2cos2x = – 3sen x possui quantas soluções?

4. Determina o valor de: a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a) tg 120° b) tg 210° c) tg 330°

5. Resolva no intervalo 0 x < 2 as seguintes equações: UNIDADE 7
3
a) tg x = b) tg2x – 1 = 0 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3

Tarefa Mínima sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental)

As demais Relações Trigonométricas com as condições de
1
1. No intervalo 3 x 2 se sen x = , calcule existência obedecidas são:
2 3
cos x. sen x cotg x = 1
tg x =
cos x tg x

2. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 0 x na
2 sec x = 1 cossec x = 1
equação: 1 cos2x + sen x = 0 é: cos x sen x

3. O valor de tg 315° + tg 225° é A partir da relação sen2 x + cos2 x = 1 podemos
estabelecer duas relações derivadas.
4. (UFSC) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x |
Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x temos:
5. Resolva as seguintes equações no intervalo 0 x < 2
1 + cotg2 x = cossec2 x
a) tg x = 3 E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x temos:

b) tg2x + tg x = 0 tg2 x + 1 = sec2 x

Tarefa Complementar Sinais das Funções Trigonométricas

6. Determine m de modo que se obtenham 1°Q 2°Q 3°Q 4°Q
seno e cossecante + +
simultaneamente, sen x = m e cos x = 3 3m cosseno e secante + +
tangente e cotangente + +

7. No intervalo 0 x < 2 , determine o número de
soluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x.

1. Determine o valor de:
8. (FURG-RS) O valor numérico da função f(x) = sen2x –
a) cossec 30° b) sec 30°
3
tg x + 2cos 3x para x = é:
4 c) cotg 30° d) cossec 210°

9. (PUC-RS) O valor numérico de e) sec 315° f) cotg 300°
x 3x
sen 2tg 4 3
2 4 para x = 2. Sendo sen = e 2 , calcular:
é: 5 2
3 cos x 3
a) cos b) tg c) cotg
a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0
d) sec e) cosec



Tarefa Mínima  32. Se sen x 0, então cosec x 0.
64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para
1. Determine o valor de: 5
0 x 2 é x= ou x = .
6 6
a) sec 60o b) cossec 150o c) cotg 315o

2. (Faap-SP)Se sen x = 3/5, com x 4º quadrante, 3
9. (UFSC) Dado sen x = ex 0 , calcule o
então tg x é: 5 2
valor numérico da expressão:
a) 3/4 b) 1/2 2 1
c) 4/5 d) 3/4 sec x cotgx cosecx tgx
e) 4/5 6 senx cosec2 x
3
3. ( UFSC ) Dados sen x = e x , determine
5 2 10. (FATEC) Se x e y são números reais tais que
o valor de: 32 tg x + 1 e x e xtg 4 x
y= , então:
4. ( FGV-SP ) Simplificando-se a expressão
sec x tg 2 x.sec x
sena tga coseca
, obtém-se: a) y = ex b) y = ex(1 + tg x)
cosa cotga seca
ex ex
c) y = d) y =
a) 0 b) sec2a cos x sec x
c) sen2a d) 1 e) n.d.a.
e) tg2a

Tarefa Complementar  UNIDADES 8 e 9
5. (UFSC)Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro
quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é: GEOMETRIA ANALÍTICA
ESTUDO DO PONTO
6. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão: O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos em
sen30  cos120  cosec150  cotg330  funções, é composto por duas retas x e y perpendiculares
sec300  tg60  cotg225  entre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixo
das abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas.
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões
7. (UFCE) Para todo x 1º quadrante, a expressão denominadas quadrantes numerados no sentido anti-
(sec x - tg x)(sec x + tg x) sen2x é igual a: horário.
a) cos2x b) 1 + sen2x
c) cos x - sen x d) sec x + cos x
e) n.d.a.

8. Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) correta(s).

01. A medida em radianos de um arco de 225º é
11π
rad.
6
02. A menor determinação positiva de um arco de A cada ponto do plano cartesiano está associado um par
1000° é 280°. ordenado (x, y).
04. Os valores de m, de modo que a expressão
sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3].

08. sen x > cos x para x .
4 4
3 3
16. Se tg x = e x , então o valor de
4 2
1
sen x – cos x é igual a .
5


Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo,
o número real xp é chamado abscissa do ponto e o número no eixo x tem-se:
real yp é chamado ordenada do ponto. xA xB
xM xA = xB xM xM
2
OBSERVAÇÕES no eixo y tem-se:
y A yB
Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua yM yA = yB yM yM
ordenada é nula. 2
P (xp, 0)
Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terão as
abscissa é nula. seguintes coordenadas:
P (0, yp)
Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes xA xB y A yB
M
ímpares, então suas coordenadas são iguais 2 2
xp = yp
Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO AS
pares, então suas coordenadas são simétricas. COORDENADAS DO VÉRTICE
xp = - yp
Considere o triângulo abaixo:
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
y
Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano yB B
cartesiano, a distância entre eles pode ser calculada em
função de suas coordenadas. Observe a figura abaixo:
yC C

yA A

xA xB xC x
Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e C
podemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por:

xA yA 1
1
A = . xB yB 1
O triângulo ABC é retângulo em C, então: 2
xC yC 1
AB 2 AC 2 BC 2

Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois OBSERVAÇÕES:
pontos:
xA yA 1
d AB xB xA 2
yB yA 2 O determinante xB yB
1 foi tomado em módulo,
xC y C 1
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO pois a área é indicada por um número positivo.

Considere um segmento AB de extremidades A(x A, yA) e xA yA 1
B(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio Se o determinante xB yB 1 for nulo, dizemos
M(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre as
coordenadas de A e B. xC y C 1
que os pontos estão alinhados.
Observe a figura:

1. Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine:
a) distância entre A e B

b) Ponto Médio do segmento AB



2. Sabe-se que o ponto P(a,2) é eqüidistante dos pontos 8. (PUC-SP) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor em
A(3,1) e B(2,4). Calcule a abscissa a do ponto P. módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo em
B é:
3. Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3);
C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triângulo 9. (UFJF-MG) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontos
ABC é: médios dos lados de um triângulo, quais são os seus
vértices?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 c) 7 a) (-1,2), (5,0), (7,4)
b) (2,2), (2,0), (4,4)
4. Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices de c) (1,1), (3,1), (5,5)
um triângulo ABC. Calcule a área desse triângulo. d) (3,1), (1,1), (3,5)

Tarefa Mínima  10. (UCP-RJ) A distância da origem do sistema
cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos
1. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa: (-2,-7) e (-4,1) é:

a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y. a) 3 b) 2 c) -3 d) 1 e) 3 2
b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x.
c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos 11. (Mack-SP) A área de um triângulo é 25/2 e os seus
quadrantes ímpares. vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser:
d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes
pares. a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 5
e) o ponto ( 3 + 1, 3 + 1) pertence à bissetriz dos
quadrantes pares. 12. A área do polígono, cujos vértices consecutivos são:
A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em
2. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) e unidades de área, é:
N(-1,7) do plano x0y vale:

3. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7) UNIDADE 10
é 10. O valor de y é:

a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 ESTUDO DA RETA
d) -1 ou 10 e) 2 ou 12
Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma
4. ( Cescea-SP ) O ponto do eixo das abscissas, equação. Com tal equação podemos determinar se um
eqüidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é: ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação
merecem destaque:
a) A(2,0) b) B(5,0) c) C(3,0) A Equação Geral
d) D(0,2) e) E(4,0) A Equação Reduzida

5. Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4, EQUAÇÃO GERAL DA RETA
7) e C(2, 1)
A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de
Tarefa Complementar  alinhamento de 3 pontos.
Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y).
6. (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2),
determine x sabendo que o ponto C é eqüidistante dos x y 1
pontos A e B. A, B e P estão alinhados se e só se: xA yA 1 0
xB yB 1

7. (FCC-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos x y 1
(1,3), (-2,-1) e (1, -2) é: Desenvolvendo xA yA 1 0 temos:
a) eqüilátero b) escaleno xB yB 1
c) isósceles d) retângulo
e) n.d.a. x . yA + xA . yB + y . xB yA . xB x . yB y . xA = 0

(yA yB) x + (xB xA) y + xAyB xByA = 0
a b c


Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo é igual a
Logo: ax + by + c = 0 equação geral da reta. 90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90º
não é definido.

2. Equação Reduzida da Reta

Pode-se obter a equação reduzida da reta se isolando na
equação geral y.
Veja: ax + by + c = 0
by = ax c

a c a c 4. Equação do Feixe de Retas
y substituindo por m e por n temos:
b b b b
Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado
y = mx + n Equação Reduzida da Reta um ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para
isso, usa-se a relação: y yo = m(x xo)
No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angular
da reta, e n o coeficiente linear da reta.

3. Coeficiente Angular e Linear da
Reta

Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m é
o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da
reta.
Vejamos, agora, o significado geométrico deles.

COEFICIENTE LINEAR Exercícios de Sala 

O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta 1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) e
o eixo y. B(4, 9), determine:

COEFICIENTE ANGULAR a) equação geral
b) equação reduzida
Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do c) coeficiente angular e linear da reta
ângulo , onde indica a inclinação da reta em relação ao
eixo x. 2. Determine o coeficiente angular das retas abaixo:
a) r: 2x + 3y + 1 = 0

b)

yB yA
m = tg ou m
xB xA

c)

CASOS PARTICULARES

Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo é igual a
0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0. 3. Determine a equação da reta representada pela figura
abaixo:




6. A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem
coeficiente angular 3.

7. Considere as retas r e s indicadas abaixo:

Tarefa Mínima 

1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e
B(2, - 3), determine:

a) equação geral
b) equação reduzida
c) coeficiente angular e linear da reta

2. Considere a reta r indicada pela figura abaixo
Determine a soma dos números associados às
proposições corretas:

01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0
02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0
04. o ponto de intersecção das retas r e s possui
coordenadas (2, 1)
08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3)

Assinale a soma dos números associados às 8. (UFSC) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0,
proposições corretas: e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo
ponto P(a,b). O valor de a + b é:
01. A equação da reta r é y = x – 1
02. o coeficiente linear da reta r é – 1
04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é 9. Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5,
45o 5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0.
08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3)
16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de
coordenadas (1,0)
10. (UFPR) No plano cartesiano os pontos A(1, -1),
B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um
3. Determine a equação da reta r indicada abaixo quadrado. É correto afirmar que:

01. a origen do sistema de coordenadas está no interior
do quadrado.
02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente
angular 1/2
04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a
diagonal BD do quadrado.
08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto
(0, -4)
16. o centro do quadrado é o ponto (1,3)
4. (FGV-SP) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à
reta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é: UNIDADE 11

a) 3 b) 3,25 c) 2 13
d) 2 e) 9 ESTUDO DA RETA

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETAS
5. (Fac. Moema-SP) O coeficiente linear e angular da
reta 2x 3y + 1 = 0 são, respectivamente: No plano cartesiano duas retas r e s podem ser:
Concorrentes
a) 2 e 3 b) 2/3 e 1
Paralelas
c) 2/3 e 1/3 d) 1/3 e 2/3
Coincidentes
e) n.d.a.


Considere as retas r e s de equações: Determinar:

r = m1x + n1 e s = m2x + n2 a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é
paralela à reta r.
Assim, podemos ter as seguintes situações: b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é
perpendicular à reta r.
PARALELAS DISTINTAS:
m1 = m2 2. Determine a distância do ponto A(2, 3) à reta r de
equação y = 2x + 5.
PARALELAS COINCIDENTES:
m1 = m2 e n1 = n2 3. (UFSC) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky
-5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s)
CONCORRENTES proposição(ões) VERDADEIRA(S).
m1 m2
01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto
CONCORRENTES E PERPENDICULARES: (1, -2) é 17.
m1 . m2 = 1 02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam
7
DISTÂNCIA DE PONTO À RETA no ponto 0 é 25/7.
5
Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c = 04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 .
0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela
08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s
expressão:
no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0.
16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta
r é 20.

Tarefa Mínima 

1. (UFRGS) As retas com equações respectivas 4x + 2y -
4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0:

a) são paralelas
b) são coincidentes
c) são concorrentes mas não perpendiculares.
d) interceptam-se no 1º quadrante e são
perpendiculares.
e) interceptam-se no 4º quadrante e são
perpendiculares.
Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta
r de equação 5x + 2y 6 = 0. 2. A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é
paralela à reta de equação 5x + y = 0 é:
5.4 2.3 6 20 a) 5x + y + 10 = 0 b) – 5x + y + 10 = 0
Resolução: d d d 4
4 2
3 2 5 c) 5x – y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0
e) – 5x + y – 10 = 0
Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades.
3. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e (s) ax +
3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale:
a) – 2 b) 2 c) – 6 d) 6 e) – 3
1. Considere a reta r indicada pela figura abaixo:
4. Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) e
C(4,1). A altura em relação à base BC mede:

5. (UEL-PR) A distância entre as retas de equações x - y
+ 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 2 se, e somente se:

a) k = 0 b) k = 4 c) k = 8
d) k = 0 ou k = 8 e) k = -4 ou k = 8




6. (UFSC) Dados os pontos A(1, 1), B( 1, 3) e C(2, 7),
determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao
lado BC.

7. (UFSC) De acordo com o gráfico abaixo, assinale
a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0).
3
02. o ponto C é (0, ).
2
04. a distância entre r e s é 3.
08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são,
1 1
respectivamente, , e –2.
2 2
16. a equação da reta t é y = –2x + 6.
32. a equação da reta horizontal que passa por A é
01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0. x = 0.
02. A reta s e a reta r são perpendiculares. 64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3.
04. As retas r e s se interceptam no ponto de

UNIDADE 12
4
abscissa .
5
08. A distância da origem do sistema de
2 GEOMETRIA ANALÍTICA
coordenadas cartesianas à reta r é de ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
2
unidades. DEFINIÇÃO
16. A área da região do plano limitada pelas retas r,
3 Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos de
s e pelo eixo das abscissas é igual a
10 um plano que se equidistam de um ponto C denominado
unidades de área. centro da circunferência. Essa distância é denominada raio
da circunferência.
8. (UFRGS) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) são
extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A
equação da reta suporte da outra diagonal é:
R
C
a) 2x - 3y - 1 = 0
b) 2x + 3y - 7 = 0
c) 3x + 2y - 8 = 0
d) 3x - 2y - 4 = 0
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
9. A medida da altura do trapézio cujos vértices são os
pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é:

10. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas
no gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x –
3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo
das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é
perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que:

Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um ponto
genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P
é o raio da circunferência.



Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes (x )2 + (y )2 = R2. Em relação a circunferência, o
formas: ponto P pode assumir as seguintes posições:

Equação Reduzida:

(x a)2 + (y b)2 = R2

Exemplo: Determine equação da circunferência de raio Para determinar a posição do ponto P em relação a
3 e centro C(2, 5): circunferência, substitui-se as coordenadas de P na
equação da circunferência. Assim, podemos ter:
Resolução: (x )2 + (y )2 = R2
(x 2) + (y 5) = 32
2 2 (xP )2 + (yP )2 R2 < 0 P interior à
Logo, a equação procurada é: (x 2)2 + (y 2
5) = 9 circunferência

CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir (xP )2 + (yP )2 R2 = 0 P pertence à
centro na origem então a equação circunferência
(x )2 + (y )2 = R2
fica reduzida a: x2 + y2 = R2 (xP )2 + (yP )2 R2 > 0 P exterior à
circunferência
Equação Geral:
Reta e Circunferência
A Equação Geral da circunferência é obtida
desenvolvendo a equação reduzida. Veja: Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma
circunferência (x )2 + (y )2 = R2 . Em relação à
(x a)2 + (y b)2 = R2 circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições:
x2 2ax + a2 + y2 2by + b2 = R2
x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 R2 = 0

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

onde: A= 2a; B = 2b; C = a2 + b2 R2

Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência
de raio 3 e centro C(2, 5)
Para determinar a posição da reta r em relação à
2 2 2 circunferência, substitui-se a equação da reta na equação
Resolução: (x ) + (y ) =R da circunferência. Assim, teremos uma equação do
(x 2)2 + (y 5)2 = 32 2º Grau. Então, se:
(x 2)2 + (y 5)2 = 9
x2 4x + 4 + y2 10y + 25 9=0 <0 reta externa (não existe ponto de intersecção)

Logo, a equação geral é x2 + y2 4x 10y + 20 = 0
=0 reta tangente (existe um ponto de intersecção)
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Vamos comparar a equação de uma circunferência com > 0 reta secante (existe dois pontos de
uma equação do 2º grau completa. intersecção)
x2 + y2 + Kxy + Ax + By + C = 0
Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são
Sendo assim, essa equação só irá representar a equação de obtidos por um sistema de equações.
uma circunferência se e só se:
Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes de
zero.
Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0. 1. Determinar a equação da circunferência na forma
A2 + B2 4AC > 0 reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos:

POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA a) C(4, 7) e R = 2 b) C(2, -3) e R = 5
c) C(3, 0) e R = 5 d) C(0, 3) e R = 5
Ponto e Reta e) C(0, 0) e R = 3

Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência



2. A soma das coordenadas do centro da circunferência de d) 3 e) n.d.a.
equação x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, é: Tarefa Complementar 
a) 4 b) 5 c) 6 6. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que a
d) 7 e) 8 equação x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 represente uma
circunferência, é:
3. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 -
2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6. a) 10 b) 12 c) 13
Determine a soma dos números associados à(s) d) 15 e) 16
proposição(ões) VERDADEIRA(S).
7. (UFRGS) O eixo das abscissas determina no círculo
01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da x2 + y2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento
circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente.
02. A circunferência C limita um círculo cuja área é 8. (FGV-SP) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na
8 . circunferência x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda de
04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar comprimento igual a:
que C e r são secantes.
08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio a) 3 b) 3 c) 2 3
2 é tangente externamente à circunferência C. d) 6 e) 2 2
16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode-
se afirmar que o ponto P é exterior à C. 9. Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que
a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência.
Tarefa Mínima 
a) 16 b) 4 c) 2
1. A equação da circunferência de centro C(-2,2) e d) 32 e) n.d.a.
tangente aos eixos coordenados é:
10. (UFSC) Considere a circunferência C:
a) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4 2 2
b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4 x 4 y 3 16 e a reta r: 4x + 3y 10 = 0.
c) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 2
d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 Assinale no cartão-resposta a soma dos números
e) (x + 2)2 – (y – 2)2 = 4 associados à(s) proposição(ões) correta(s).

2. (ACAFE-SC) A circunferência de equação x2 + y2 + 6x
– 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é: 01. r C = .
02. O centro de C é o ponto (3, 4).
a) 2 b) – 3 c) 3 04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas
d) – 2 e) – 1 em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um)
ponto.
08. A distância da reta r ao centro de C é menor do
3. O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 é
que 4.
um ponto localizado no:
16. A função y dada pela equação da reta r é
decrescente.
a) primeiro quadrante b) segundo quadrante
c) terceiro quadrante d) quarto quadrante
e) eixo x

4. (UECE) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é uma
circunferência que tem o segmento MN como um
diâmetro, então a equação de C1 é:

a) x2 + y2 - 12x - 2y + 27 = 0
b) x2 + y2 + 12x - 2y + 27 = 0
c) x2 + y2 + 12x + 2y + 27 = 0
d) x2 + y2 - 12x + 2y + 27 = 0

5. (PUC-SP) Seja a circunferência , de equação x2 + y2 -
4x = 0. Determinar a área da região limitada por .

a) 4 b) 2 c) 5



GABARITO
8) 03
Unidade 1 6) a) S = b) S = 9) a
1) a) 81 b) – 81 c) 81 d) 1 e) 0 2 10) e
1 h) 8 3 11) a
f) 1 g) i) 18 j) – 5 k)
16 125 , 12) 81
35/12
2 2
2) a) 215 b) 213 7 33 Unidade 10
3) a) 2100 + 1 b) 2101 c) 2 102
d) 2 200
e) c) S = , d) 1) a) 5x + y – 7 = 0 b) y = - 5x + 7
299 f) 250 6 18 c) – 5 e 7
4) a) 5 b) 2 c) 0 d) 1 e) 9/4 7 2) 23
f) – 0,5 , 3) y = x 3 - 2
3
4 4 4) c
5) a) 5 2 b) 2 3 c) 2 25 d)
2 5
7) c 5) d
8) c 6) y = 3x – 2
5( 3 2) 9) b 7) 07
6) e 10) c 8) 55
7) 15 11) b 9) 90
8) c 12) 13 10) 20
9) d 13) c
10) e 14) c Unidade 11
11) e 15) 04 1) c
12) 31 2) a
13) c Unidade 6 3) c
14) d 4) 5 2
15) e 2 2
1) 2
3 5) d
Unidade 2 2) 00 6) 04
1) a) 6 b) 3 c) 5 2 3) 00 7) 09
2) e 4) 01 8) d
3) 30° 4 9) 02
5) a) 4) , b)
10) 90
4) x = 2 y = 2 3 3 3
5) 14 3 7 Unidade 12
6) 180 m 0, , , 1) a
4 4
7) x = 100 3 y = 100 2) c
6) 01
8) e 9) 31 10) 57 3) a
7) 01
4) a
Unidade 3 8) 2 5) a
9) b 6) c
1) 4 2
10) d 7) 08
2) 75
8) c
3) 14 Unidade 7 9) a
4) d 1) a) 2 b) 2 c) – 1 10) 28
5) e 2) a
6) b 3) 25
7) b 4) e
8) a 5) 41
9) 2 7 6) 01
10) b 7) a
8) 86
Unidades 4 e 5 9) 12
1) a) 120° b) 30° 10) c
2) a
Unidades 8 e 9
3) 2
1) e
4) b
2) 13
5) a
3) e
4) e
5) 16
6) 08
7) c


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