Punto z

Distribuzioni di frequenza

Barbara Zoli

lezioni di teoria e tecniche dei test - anno accademico 2007-2007 - Università Europea di Roma

VARIABILE

 Le grandezze misurabili possono essere
costanti o variabili
 Una variabile, nel campione o nella
popolazione in cui viene misurata,
assume una distribuzione
 La distribuzione viene rappresentata
graficamente

lezioni di teoria e tecniche dei test - anno accademico 2007-2007 - Università Europea d

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

Le frequenze delle
 variabili nominali o ordinali
possono essere rappresentate tramite
 GRAFICI A TORTA
 GRAFICI A BARRE
 ISTOGRAMMI
 POLIGONI DI FREQUENZA



 Sia nei grafici a barre che in quelli a torta
 Non vi è continuità tra le categorie
indicate
 E’ per questo che si adattano soprattutto
alle scale nominali


GRAFICI A TORTA

SINGLE
CONVIVENTI
SPOSATI
SEPARATI


GRAFICI A BARRE

7
6
5
4
3 profitto
2
1
0
INGL. - ITAL. - MATEM. - SCIEN.


ISTOGRAMMA

 La differenza con il diagramma a barre
sta nell’accostamento tra queste
 Ciò per indicare la natura quantitativa e
la continuità degli intervalli
 L’ampiezza delle barre rappresenta gli
intervalli, dovrebbero coincidere con gli
intervalli esatti superiore ed inferiore


ISTOGRAMMI

50
45
40
35
30
età 10-15
25
età 15,5-20
20 età 20,5-25
15
10
5
0
consapevolezza capacità comunicativa


ISTOGRAMMA

25

20

15 molto
abbastanza
poco
10 affatto

5

0


POLIGONI DI FREQUENZA

9
8
7
6
MATEMATICA
5
ITALIANO
4
3 INGLESE
2
1
0
1° 2° 3° 4°
Trim. Trim. Trim. Trim.


I quantili

Tra gli indici di posizione, si indicano con
la definizione generica di “quantili” gli
indici che mostrano in una distribuzione
di frequenza una posizione
Tale distribuzione può essere suddivisa in
modi diversi. Le modalità più usate sono:
 2 parti; il valore che divide in due la
frequenza è la mediana. Ciascuna parte
comprende il 50% dei dati


I quantili
 3 parti; ciascuna comprende il 33,33% dei dati.
Il nome dei due valori soglia è “terzili”
 4 parti; ciascuna comprende il 25% dei dati. Il
nome dei tre valori soglia è “quartili”
 10 parti; ciascuna comprende il 10% dei dati. Il
nome dei valori soglia è “decili”
 100 parti; ciascuna comprende l’1% dei dati. Il
nome dei valori soglia è “centili” o “percentili”


I quantili

Sono tutti indici di posizione, ma si
applicano in modo diverso a seconda
della scala di misura:
La mediana ed i quartili si utilizzano a
partire dalla scala ordinale
I decili ed i centili si usano
prevalentemente nelle scale ad intervallo
ed a rapporto


I quartili

120
100
frequenza

f ( x)
50

0 0
0 3.33 6.67 10 13.33 16.67 20
0
Q1 Q2x Q3 20



 La distribuzione continua può essere
rappresentata su un asse cartesiano
 Sull’asse x (ascisse) sono rappresentati i
valori della variabile
 Sull’asse y (ordinate) vengono riportate
le frequenze


Rappresentazioni grafiche: variabile
continua
distribuzione di variabile continua
1

0.67

f( x)

0.33

0
10 3.33 3.33 10
x


La distribuzione normale

La nota forma a campana della
distribuzione normale (o anche CURVA
DI GAUSS)
Comprende valori compresi tra
meno infinito (-∞)
e più infinito (+∞)


La distribuzione normale
 La MEDIA corrisponde al valore con la frequenza
massima > apice della curva
 La DEVIAZIONE STANDARD è un indice di
dispersione, che fornisce informazioni sull’omogeneità
dei dati intorno alla media (qualitativamente ci dice
quanto la curva è larga)
 Variando la MEDIA e la DEVIAZIONE STANDARD si
modifica l’andamento delle distribuzioni
 Quindi ci possono essere diverse DISTRIBUZIONI
tutte definibili come NORMALI


Curva normale
 La curva normale è caratterizzata da
una maggiore concentrazione di dati al
centro e da un assottigliamento degli
stessi verso gli estremi
 È una curva simmetrica
 La moda, la mediana e la media
coincidono
 L’area sottostante la curva viene
considerata pari a 1

CURVA NORMALE
STANDARDIZZATA
 Distribuzioni con diverse medie e
deviazioni standard possono essere
trasformate se si fa riferimento ad una
distribuzione standardizzata
 Un valore di una distribuzione può,
quindi, essere trasformato in un
punteggio standardizzato, detto punto z
 La distribuzione standardizzata ha
media 0 e deviazione standard 1


Svantaggi dei ranghi

 I ranghi centili non assicurano un
distanza costante tra i valori
 Infatti essi indicano la posizione di un
individuo, ma non l’esatta distanza con
gli altri
 Con i ranghi centili possiamo sapere se
un punteggio è superiore o inferiore, ma
non di quanto


Vantaggi dei punti standard
 Gli svantaggi appena elencati vengono
superati nella trasformazione in punti
standard
 I punteggi standard o punti z rispettano i
rapporti di distanza tra le misure
 vengono considerati come una scala ad
intervalli uguali, sui quali è possibile
operare statisticamente e
matematicamente


Punti z

Un punteggio z indica:
 la differenza tra un punteggio grezzo e
la media del gruppo,
 divisa per la deviazione standard

__
X −X
z =
DS


Esempi di calcolo di punteggi z
 Se una distribuzione ha media 35 e
deviazione standard 12
 Calcolare il punto z per un valore di 30

30 −35
z= =− ,41
0
12


Esempi di calcolo di punteggi z
 Se nella stessa distribuzione che ha media
35 e deviazione standard 12
 Si calcola il punto z per un valore di 45

45 − 35
z= = +0,83
12


L’area sotto la curva
 L’area sottostante la curva rappresenta il
numero totale di dati della distribuzione
 Nel caso ci si riferisca ai risultati di un test,
l’area rappresenta la gamma dei possibili
risultati,
 ma anche la probabilità di frequenza con cui
essi si presentano
 Poiché la curva dei valori z ha sempre lo
stesso andamento anche le percentuali di dati
che si trova tra diversi valori di z sarà sempre
uguale


Distribuzione normale con media 50
e standard deviation 15
1.1
1

f ( x) 0.5

0 2.15% 13.59% 34.13% 34.13% 13.59% 2.15%
− 0.1
5 20 35 50 65 80 95
5 x 95


Distribuzione z
1
1

0.5
f ( z)

2.15%
0
13.59% 34.13% 34.13% 13.59% 2.15%
− 0.1
3 2 1 0
−3 z


Punti z
 I punti z hanno, quindi, media 0 e deviazione
standard 1
 La seconda deviazione standard è 2 e
rappresenta la porzione tra la media e 2, etc.
 I numeri utilizzati all’interno dei punti z sono
positivi e negativi
 Si tratta, inoltre, di numeri decimali, essendo la
curva eguagliata al valore totale 1


Uso della tavola della distribuzione
normale
Pagina 118 del libro Petrabissi L., Santinello M., I test
psicologici
 Possiamo riferire i punteggi z calcolati
precedentemente alla tavola di distribuzione normale
standard
 Ciò permette di identificare sia la percentuale di
soggetti che si trovano tra la media e il punteggio
grezzo rilevato
 Sia la percentuale di soggetti tra i due punteggi
 Sia le percentuali dei soggetti che si trovano sopra il
punteggio più alto, e sotto il punteggio più basso


Esempi di punti z riferiti all’area della
curva
Riprendiamo il primo esempio di calcolo del punto z
-0,41
Leggiamo il valore della colonna “0”, che indica la
percentuale dei soggetti tra il punteggio z calcolato e
la media 0
Cerchiamo il valore z=0,4
Leggiamo che corrisponde a 0,1554, ossia ad una
percentuale di soggetti pari al 15,54% del totale
Naturalmente terremo presente che il valore è negativo e
che quindi si trova a sinistra della media


curva
il secondo esempio di calcolo del punto z
+0,83
Con la stessa procedura cerchiamo il valore
z=0,8
Leggiamo che corrisponde a 0,2881, ossia ad
una percentuale di soggetti pari al 28,81% del
totale
Terremo presente che in questo caso il valore è
positivo e che quindi si trova a destra della
media


curva
Qual è la frequenza totale di soggetti
compresi tra i due punteggi?
Si tratta di sommare le percentuali
ottenute in precedenza, a destra ed a
sinistra della media
15,54%+28,81%= 44,35%


curva
Qual è la percentuale di soggetti che
hanno ottenuto un punteggio superiore a
0,83?
Tra l’area totale positiva 0,5 e la
popolazione compresa tra la media 0 e
0,8 (=0,2881) la differenza è
0,5-0,2881=0,2119
Ossia il 21,19% dei casi cade sopra il
valore di partenza (punteggio grezzo 45)

curva
Qual è la percentuale di soggetti che hanno
ottenuto un punteggio inferiore a
-0,41?
Tra l’area totale negativa 0,5 e la popolazione
compresa tra la media 0 e
-0,4 (=0,1554) la differenza è
0,5-0,1554=0,3446
Ossia il 34,46% dei casi cade sotto il valore di
partenza (punteggio grezzo 30)


Le scale T, Stanine e QI

 Esistono altre scale, utilizzate in
psicometria per rendere più agevoli e più
evidenti i calcoli
 Ciò grazie al fatto di eliminare i segni
algebrici negativi e l’uso di decimali
 È possibile ottenere una nuova scala Y
utilizzando la seguente formula
Y = z x ds x media


La scala T e QI
 Le scale più usate sono due: la scala T e la
scala Stanine
 La scala T ha media 50 e deviazione standard
10
quindi un punto z = - 0, 41 si trasforma in:
-0,41 x 10 + 50 = 45,9
La misura del QI viene fatta normalmente con
riferimento alla media 100 ed alla deviazione
standard 15, pertanto, nell’esempio:
-0,41 x 15 + 100 = 93,85


La scala stanine
 La scala Stanine (standard-nine), è
costituita da un sistema di numeri che va
da 1 a 9.
 Ogni numero corrisponde ad una
porzione percentuale di curva normale:

% 4 7 12 17 20 17 12 7 4

Stanine 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Distribuzione asimmetriche

 Le distribuzioni asimmetriche non
discriminano allo stesso modo i punteggi
alti e quelli bassi
 Ad esempio, una distribuzione
asimmetrica negativa avrà poca capacità
discriminativa nei punteggi alti
 In una distribuzione normale l’indice di
asimmetria è uguale a zero


Asimmetrie

NORMALE
ASIMM. NEG.
ASIMM. POS.


Distribuzione standard
 I test si riferiscono spesso ai punti della
distribuzione standard, in termini di deviazioni
standard
 Ad esempio nei punti z
 i casi rientranti tra +1 o –1 d.s. vengono
considerati medi, accettabili
 Quelli a 2 d.s., casi più “caratteristici”
 a 3 d.s. e oltre, vengono considerati i casi più
estremi


Indicazioni per studiare

 Del libro di Petrabissi L., Santinello M., I
test psicologici: capitolo 6;
 Del libro di Mucciarelli G., et al., “Teoria
e pratica dei test: capitolo 2 (par.2.4, 2.5,
2.6, 2.7)


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