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03 105指考數學甲試卷定稿
1.
大學入學考試中心 105 學年度指定科目考試試題 數學甲 作答注意事項 考試時間:80 分鐘 作答方式:․選擇(填)題用
2B 鉛筆在「答案卡」上作答;更正時,應以橡皮擦擦拭, 切勿使用修正液(帶)。 ․非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答案卷」上作答;更正時,可以 使用修正液(帶)。 ․未依規定畫記答案卡,致機器掃描無法辨識答案;或未使用黑色墨水的筆 書寫答案卷,致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者,其後果由考生自 行承擔。 ․答案卷每人一張,不得要求增補。 選填題作答說明:選填題的題號是 A,B,C,……,而答案的格式每題可能不同,考生 必須依各題的格式填答,且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細 閱讀下面的例子。 例:若第 B 題的答案格式是 ,而依題意計算出來的答案是 8 3 ,則考生 必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 畫記,如: 例:若第 C 題的答案格式是 ,而答案是 7 50 時,則考生必須分別在答 案卡的第 20 列的 與第 21 列的 畫記,如: 3 7 8 20 21 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 18 19 1 2 84 5 6 73 9 0 20 21 1 2 3 4 5 6 87 9 0 1 2 3 4 5 6 7 9 08 18 19
2.
第 1 頁
105 年指考 共 7 頁 數 學 甲 - 1 - 第 壹 部 分 : 選 擇 題 ( 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 占 76 分 ) 一 、 單 選 題 ( 占 24 分 ) 說明:第 1 題至第 4 題,每題有 5 個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,請畫記 在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得 6 分;答錯、未作答或畫記 多於一個選項者,該題以零分計算。 1. 請 問 下 列 選 項 中 哪 一 個 數 值 a 會 使 得 x 的 方 程 式 log log log( )a x a x 有 兩 相 異 實 數 解 ? (1) 1a (2) 2a (3) 3a (4) 4a (5) 5a 2. 下 列 哪 一 個 選 項 的 數 值 最 接 近 cos(2.6 ) ? (1) sin(2.6 ) (2) tan(2.6 ) (3) cot(2.6 ) (4) sec(2.6 ) (5) csc(2.6 )
3.
105 年指考 第
2 頁 數 學 甲 共 7 頁 - 2 - 3. 假 設 三 角 形 ABC 的 三 邊 長 分 別 為 5AB 、 8BC 、 6AC 。 請 選 出 和 向 量 AB 的 內 積 為 最 大 的 選 項 。 (1) AC (2) CA (3) BC (4) CB (5) AB 4. 假 設 ,a b 皆 為 非 零 實 數 , 且 坐 標 平 面 上 二 次 函 數 2 y ax bx 與 一 次 函 數 y ax b 的 圖 形 相 切 。 請 選 出 切 點 所 在 位 置 為 下 列 哪 一 個 選 項 。 (1) 在 x 軸 上 (2) 在 y 軸 上 (3) 在 第 一 象 限 (4) 在 第 四 象 限 (5) 當 0a 時 , 在 第 一 象 限 ; 當 0a 時 , 在 第 四 象 限
4.
第 3 頁
105 年指考 共 7 頁 數 學 甲 - 3 - 二 、 多 選 題 ( 占 24 分 ) 說明:第 5 題至第 7 題,每題有 5 個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正確選項 畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定,所有選項均答對 者,得 8 分;答錯 1 個選項者,得 4.8 分;答錯 2 個選項者,得 1.6 分;答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。 5. 在 坐 標 空 間 中 , 點 (2,2,1)P 是 平 面 E 上 距 離 原 點 (0,0,0)O 最 近 的 點 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 向 量 v (1, 1,0) 為 平 面 E 的 法 向 量 (2) 點 P 也 是 平 面 E 上 距 離 點 (4,4,2) 最 近 的 點 (3) 點 (0,0,9) 在 平 面 E 上 (4) 點 (2,2, 8) 到 平 面 E 的 距 離 為 9 (5) 通 過 原 點 和 點 (2,2, 8) 的 直 線 與 平 面 E 會 相 交 6. 坐 標 平 面 上 一 矩 形 , 其 頂 點 分 別 為 (3, 2)A 、 (3,2)B 、 ( 3,2)C 、 ( 3, 2)D 。設 二 階 方 陣 M 為 在 坐 標 平 面 上 定 義 的 線 性 變 換,可 將 A映 射 到 B 且 將 B 映 射 到 C 。請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) M 定 義 的 線 性 變 換 是 鏡 射 變 換 (2) 3 3 3 3 2 2 2 2 M (3) M 定 義 的 線 性 變 換 將 C 映 射 到 D 且 將 D 映 射 到 A (4) M 的 行 列 式 值 為 1 (5) 3 M M
5.
105 年指考 第
4 頁 數 學 甲 共 7 頁 - 4 - 7. 在 實 數 線 上,動 點 A 從 原 點 開 始 往 正 向 移 動,動 點 B 從 8 的 位 置 開 始 往 負 向 移 動。 兩 個 動 點 每 一 秒 移 動 一 次 , 已 知 第 一 秒 A 、 B 移 動 的 距 離 分 別 為 1、 4 , 且 A 、 B 每 次 移 動 的 距 離 分 別 為 其 前 一 次 移 動 距 離 的 1 2 倍、 1 3 倍。令 nc 為 第 n 秒 時 A、 B 的 中 點 位 置 。 請 選 出 正 確 選 項 。 (1) 1 5 2 c (2) 2 1c c (3) 數 列 1n nc c 是 一 個 等 比 數 列 (4) lim 2n n c (5) 1000 2c 三 、 選 填 題 ( 占 28 分 ) 說明:1.第 A 至 D 題,將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列 號 (8–21)。 2.每題完全答對給 7 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。 A. 投 擲 一 枚 均 勻 銅 板 8次。在 最 初 兩 次 的 投 擲 中 曾 經 出 現 過 正 面 的 條 件 下,8次 投 擲 中 恰 好 出 現 3次 正 面 的 條 件 機 率 為 ○8 ○9 ○10 。( 化 成 最 簡 分 數 )
6.
第 5 頁
105 年指考 共 7 頁 數 學 甲 - 5 - B. 設 u = (1,2,3) 、 v = (1,0, 1) 、 w ( , , )x y z 為 空 間 中 三 個 向 量 , 且 向 量 w 與 向 量 u v 平 行 。 若 行 列 式 1 2 3 1 0 1 12 x y z , 則 w =( ○11 , ○12 ○13 , ○14 )。 C. 在 所 有 滿 足 3z z i 的 複 數 z 中 ( 其 中 z 為 z 的 共 軛 複 數 , 1i ), 7 8i z 的 最 小 值 為 ○15 ○16 ○17 。( 化 成 最 簡 分 數 )
7.
105 年指考 第
6 頁 數 學 甲 共 7 頁 - 6 - D. 一 圓 盤 分 成 標 有 數 字 0、1的 兩 區 域,且 圓 盤 上 有 一 可 轉 動 的 指 針。已 知 每 次 轉 動 指 針 後,前 後 兩 次 指 針 停 在 同 一 區 域 的 機 率 為 1 4 ,而 停 在 不 同 區 域 的 機 率 為 3 4 。遊 戲 規 則 為 連 續 轉 動 指 針 三 次,計 算 指 針 在 這 三 次 所 停 區 域 的 標 號 數 字 之 和 。 若 遊 戲 前 指 針 的 位 置 停 在 標 號 數 字 為 1 的 區 域 , 則 此 遊 戲 的 期 望 值 為 ○18 ○19 ○20 ○21 。( 化 成 最 簡 分 數 ) ─ ─ ─ ─ ─ 以下第貳部分的非選擇題,必須作答於答案卷 ─ ─ ─ ─ ─
8.
第 7 頁
105 年指考 共 7 頁 數 學 甲 - 7 - 第 貳 部 分 : 非 選 擇 題 ( 占 24 分 ) 說明:本部分共有二大題,答案必須寫在「答案卷」上,並於題號欄標明大題號(一、二) 與子題號((1)、(2)、……),同時必須寫出演算過程或理由,否則將予扣分甚至零 分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫,且不得使用鉛筆。每一子題配分 標於題末。 一 . 如 圖,已 知 圓 O 與 直 線 BC 、直 線 AC、直 線 AB 均 相 切,且 分 別 相 切 於 D、 E 、 F 。 又 4, 5, 6BC AC AB 。 (1) 假 設 BF x , 試 利 用 x 分 別 表 示 BD, CD以 及 AE , 並 求 出 x 之 值 。( 4分 ) (2) 若 將 AD 表 示 成 AB + AC , 則 , 之 值 為 何 ? ( 5分 ) 二. 設 三 次 實 係 數 多 項 式 ( )f x 的 最 高 次 項 係 數 為 a。已 知 在 0 3x 的 範 圍 中, ( )f x 的 最 大 值 12 發 生 在 0, 2x x 兩 處。另 一 多 項 式 ( )G x 滿 足 (0) 0G ,以 及 對 任 意 實 數 ,s r ( )s r , ( ) ( ) ( ) r s f t dt G r G s 恆 成 立,且 函 數 ( )y G x 在 1x 處 有( 相 對 )極 值。 (1) 試 描 繪 ( )y f x 在 0 3x 的 範 圍 中 可 能 的 圖 形,在 圖 上 標 示 (0, (0))f 、(2, (2))f , 並 由 此 說 明 a 為 正 或 負 。( 4分 ) (2) 試 求 方 程 式 ( ) 12 0f x 的 實 數 解 ( 如 有 重 根 須 標 示 ), 並 利 用 ( )y G x 在 1x 處 有 極 值 , 求 a 之 值 。( 5分 ) (3) 在 0 2x 的 範 圍 中 , 求 ( )G x 之 最 小 值 。( 6分 ) E FA B E O D C
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