1. Ángulo negativo
El ángulo negativo mide menos de 0º.
Los ángulos negativo s giran en el sentido horario , es decir, en el
sentido en que se mueven las a gujas de un reloj.
Un ángulo negativo lo podemos transformar en un ángulo
positivo sumándole 360º.
-α = 360° - α
Razones trigonométricas del ángulo negativo

2. ANGULOS POSITIVOS
Si tenemos dentro de un circulo el eje de coordenadas
cartesianas (x.y) este circulo queda dividido de 4 partes, este
circulo lo llamamos circulo trigonométrico y de allí se forma n
todos los ángulos existentes.
Ahora bien si partimos desde la derecha del eje x en sentido
contrario de las agujas del reloj todos lo ángulos formados serán
positivos, estos angulos que se forman son infinitos.

3. SISTEMA SEXAGESIMAL
Con el nombre grado sexagesimal o grado uno se hace referencia a una determinada medida
del ángulo, que es además la resultante de la división del ángulo recto en noventa partes
iguales. Es decir, el ángulo recto va a medir, entonces, noventa grados. En cuanto al sistema
de medición sexagesimal propiamente dicho, se trata de un método de numeración
posicional, cuya base es de sesenta.
En lo que respecta al origen de este sistema, el mismo surgió en la Babilonia antigua y
luego fue adoptado por los árabes en el califato omeya. Debido a que la cifra sesenta tiene
una amplia cantidad de divisores, como es el caso de 1, 2, 3, 10, 20, 60, entre otros, es
mucho más fácil realizar el cálculo mediante las fracciones, además del hecho de que 60 es
el número más ínfimo divisible del uno al seis. Si lo comparamos con otros sistemas de
numeración, el de medición sexagesimal no es empleado con demasiada frecuencia en el
mundo de la computación ni tampoco en la lógica. Sin embargo, como ya hemos
adelantado, sí aparece frecuentemente en la medición de los ángulos (es decir, en la
trigonometría) junto con el uso en distintas coordinadas de la geometría. Como también se
ha señalado, la unidad básica del sistema de medición sexagesimal es el grado. De esta
forma, una circunferencia se divide siempre en 360 grados. Todas las divisiones sucesivas
del grado van a dar cabida a los minutos de arco y también a los segundos de arco.
Es por eso que es posible encontrar el sistema
sexagesimal en el proceso de medición del tiempo. O sea, en un día caben veinticuatro
horas, en una hora sesenta minutos y en un minuto sesenta segundos. Las unidades
consideradas como menores a los segundos se miden necesariamente con otro sistema: el
decimal.
En lo que respecta a los números del sistema de medición sexagesimal, los mismos tienen
que ser expresados mediante el seguimiento de un convenio. Según este convenio, se tienen
que emplear los números del sistema decimal que van desde el cero al cincuenta y nueve,
pero separados de dos en dos mediante el uso de las comas. Para señalar la llamada “coma
decimal” se tiene que emplear un punto más la coma sexagesimal. El sistema de medición
sexagesimal de ángulos, si volvemos al tema, implica la división de la circunferencia en

4. seis partes que tengan sesenta grados cada una, con lo cual siempre va a obtenerse un
completo giro de 360º. En la física, por ejemplo, se emplea este sistema cuando se quiere
realizar un cálculo del camino desarrollado por una partícula – en trayectoria de carácter
circular -, con lo cual el sistema era de gran ayuda porque el mismo no se relacionaba
matemáticamente con el arco que describe el cuerpo cuando éste comienza a realizar sus
movimientos.
Con el tiempo se logró generar otro sistema de
importancia, el circular, donde la medida del ángulo se obtenía cuando se dividía el arco
junto con el radio de toda la circunferencia. Se trata de un método de ángulo llano – ya que
se divide el arco por el radio de la circunferencia – de 3, 14 (es decir, el valor de “p”). Por
eso cuando se efectúa un giro completo, que es lo que mismo que inferir que se trata del
giro de dos ángulos llanos, el mismo va a medir 2p.
Historia del sistema sexagesimal
Su origen es similar al del sistema decimal, es decir, tenemos que remontarnos a una forma
de enumerar en la cual se empleaban los dedos de las manos. En zonas sumamente
antiguas, por ejemplo, se contaba mediante un señalamiento con el dedo pulgar de la mano
derecha cada una de las falanges de los dedos que restaban de esa misma mano, y se
comenzaba siempre por el meñique.
De esta forma, se podía contar hasta doce. Para lograr cifras superiores a la mencionada, se
debía levantar un dedo de la mano izquierda que estaba libre hasta que se llegue a
completar las sesenta unidades. De esta manera, el sesenta fue considerado un número que
representaba la redondez, lo armónico. Por eso se lo ha tomado como referencia común en
las transacciones y en las medidas, el tema que nos ocupa.
Similar fue el caso de la cifra doce, que se contaba con la mano derecha, lo cual explica el
por qué del emparentar al sistema sexagesimal con el duodecimal, siendo el segundo una
natural evolución del primero. Con esto llegamos a la conclusión de que como si se tratara
de una herencia de los matemáticos y los astrónomos de Babilonia, por ejemplo, con el
sistema de medición sexagesimal se miden el tiempo y también los ángulos.

5. Como paso un sistema sexagesimal a circular?
Una equivalencia entre ambos sistemas es que 180° (sexagesimal) es igual a PI Radianes
(3,14...) (sistema circular). Entonces puedes plantear reglas de 3 simples para calcular lo
que buscas. Por ejemplo:
Pasar 60° a circular:
180°--------- PI radianes
60°----------- x = (60°.PI) / 180°
En casos como éste, puede optar entre hacer la división y obtener un resultado en número
decimal, o simplificar la fracción y que te quede como "una fracción de PI", lo que alguna
vez habrás visto por allí, que a los ángulos se los llama: PI/2; PI/4 ; 3/2 PI; etc.
Te muestro cómo hacer en el ejemplo precedente:
(60°. PI) / 180° = PI/3
Porque si simplificas 60/180 te dá 1/3.
Si no simplificabas, te quedaba como un número decimal (a PI lo tomas como 3,14):
(60° . 3,14) / 180° = 1,0467
ARCO COMO SECCION DE UNA CIRCUNFERENCIA
Definición de arco
Un arco de circunferencia es cada una de las
partes en que una cuerda divide a la
circunferencia.
Se suele vincular a cada cuerda el menor arco
que delimita.

6. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las
letras de los puntos extremos del arco.
Las letras se escriben en sentido antihorario, es
decir, en contra de las agujas del reloj.
Longitud de un arco de circunferencia
Ejemplos
Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un
ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo
descrito en su balanceo es el máximo.
Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7
millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?
1 milla = 1 852 m

7. LONGITUD DE ARCO
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la
medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque
fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la
fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Métodos modernos
Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que
son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por
la ecuación:
(1)
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de
t como e , la longitud del arco desde el punto hasta el
punto se calcula mediante:
(2)
Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo
polar están relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el
intervalo , toma la forma:
(3)
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar
métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de
una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie.
Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral
logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.
AREA DE UN SECTOR CIRCULAR
Sector circular

8. Sector circular de ángulo θ.
Se denomina sector circular a la porción de círculo
comprendida entre un arco de circunferencia y sus
respectivos radios delimitadores.
Área
El área de un sector circular depende de dos parámetros, el segmento-radio y el ángulo
central, y está dada por la siguiente fórmula:
Donde es el radio de la circunferencia y el ángulo que subtiende el arco de
circunferencia, expresado en radianes.
O también:
Donde corresponde al ángulo en grados sexagesimales.