2. “ Não existem teoremas profundos , mas apenas teoremas que
não entendemos direito”.
( Goodman, Nicholas P. - The Mathematical
Intelligencer – vol.5, n° 3 , 1983).
3. 1) Introdução:
Este trabalho tem a finalidade de mostrar que é possível
adequar o ensino de Geometria( nivel fundamental ou nível médio)
com a utilização parcial de um software educativo. Para a análise de
equivalência entre paralelogramos será utilizado o programa Régua e
Compasso(versão 10.0).Este programa de Geometria Dinâmica de
origem alemã foi desenvolvido em linguagem Java . Por isso , é preciso
a incorporação de um ambiente Java antes de instalá-lo. A vantagem é
que é possível adquirí-los de forma gratuita na internet.
Ilustração 1: Ambiente de trabalho no programa Régua e
Compasso.
4. 2) Considerações teóricas.
É considerado um paralelogramo todo o quadrilátero que
possuir os lados opostos paralelos.
O valor real positivo que representa a medida de superfície
de um paralelogramo é denominado “ área desse paralelogramo”.
Dois paralelogramos são classificados como equivalentes se
possuírem formas diferentes mas conservarem o mesmo valor de área.
Isto é:
Área do paralelogramo (1) = Área do paralelogramo (2)
Ilustração 2 : Paralelogramos : quadrado ABCD (cinza), retângulo
EFGH ( vermelho), paralelogramo simples HIJL (azul), losango
KMNO (verde).
5. Eis as seguintes fórmulas das áreas dos seguintes
paralelogramos :
1° ) Área do retângulo = base x altura = B x h.
2°) Área do quadrado = lado x lado = L x L = L2 .
3° ) Área do paralelogramo simples = base x altura = B x h.
Diagonal maior x Diagonal menor D x d
4°) Área do losango = =
2 2
3) Metologia para a execução das duas tarefas
propostas:
Foi estabelecido o seguinte cronograma para a realização de
cada tarefa proposta:
• Foi dado pelo professor as dimensões do primeiro
paralelogramo.
• Pelos critérios de equivalência , foram calculadas com o auxílio
de uma calculadora as dimensões do segundo paralelogramo
( feito pelos alunos).
• Com o auxílio do programa Régua e Compasso, construiu-se o
processo gráfico para obtenção desse critério de equivalência
(feito pelos alunos).
• Com o auxílio do programa Régua e Compasso, construiu-se os
dois paralelogramos propostos e obteve-se valor da área das
duas figuras( valor das áreas calculado pelo programa).
6. Tarefa 1 : Construir um quadrado equivalente a um
retângulo dado.
• Dados fornecidos pelo professor para o retângulo : base = 4
unidades , altura = 1 unidade.
• Utilizando-se os critérios de equivalência ( feito pelos alunos):
Área do retângulo = Área do quadrado
Bxh = L2
Bxh =L
A média geométrica entre a base e altura do retângulo
resulta no lado do quadrado equivalente.
Substituindo -se os valores:
4x1 =L
4= L
2 = L.
Logo , o lado do quadrado equivalente terá 2 unidades.
• Passos para a obtenção do lado do quadrado( usando o
programa Régua e Compasso). Feito pelos alunos:
1°) Utilizando-se a função grelha , coloque os eixos perpendiculares e
a malha de pontos.
2°) Utilize o eixo horizontal: utilize a função segmento , marque o B e
posteriormente o ponto C tendo a distância de 4 unidades entre
eles( BC é a base do retângulo) . Os pontos B e C coincidirão com os
pontos do eixo.
3°) Utilizando a função segmento , clique no ponto C e marque o
ponto D a uma unidade de C. O segmento CD é a altura do retângulo.
4°) Você irá obter o segmento BD ( base + altura do retângulo).
5°) Usando a função ponto médio , clique nos pontos B e D e você
encontrará o ponto D ( ponto médio de BD).
7. 6°) Usando a função círculo, clique no ponto E ( centro da
circunferência) e posteriormente em D ( ponto da circunferência) ,
obtendo a circunferência que passa por D e centro E.
7°) Usando a função segmento, marque o ponto C e trace um
segmento perpendicular ao eixo horizontal( passando por C) até tocar
a circunferência construída. Marque o ponto F na circunferência.
Clique com o botão direito do segmento CF e constate que ele possui 2
unidades.
O segmento CF é o lado do quadrado equivalente procurado.
Ilustração 3 : Utilização do programa Régua e Compasso para
obtenção do lado do quadrado equivalente ( segmento CF).
• Construção dos paralelogramos equivalentes no Régua e
Compasso e verificação do valor numérico de sua área( feita
pelos alunos):
Traçando -se as linhas poligonais de cada figura e clicando na
função polígono, dê uma volta completa ao redor dos 4 vértices e será
observado o preenchimento da parte interna desta com uma cor. Para
o retângulo foi escolhido o preto, para o quadrado a cor vermelha.
Clicando-se na região interna do polígono com o botão direito do
8. mouse, constata-se que as duas figuras possuem a mesma área
( calculada pelo programa).
Ilustração 4 : Utilização do programa Régua e Compasso para
obtenção dos paralelogramos equivalentes ( retângulo ABCD e
quadrado CHGF).
9. Tarefa 2 : Construir um quadrado equivalente a um
losango dado.
• Dados fornecidos pelo professor para o losango : diagonal
maior = 4 unidades ; diagonal menor = 2 unidades.
• Utilizando-se os critérios de equivalência ( feito pelos
alunos):
Área do quadrado = Área do losango
Dxd
L2 =
2
d
L= Dx
2
Atribuindo os valores ( D = 4 unidades e d = 2 unidades):
2
L= 4x
2
L= 4
L = 2 unidades.
O lado do quadrado é determinado pela média geométrica entre a
medida da diagonal maior e a metade da diagonal menor.
• Passos para a obtenção do lado do quadrado( usando o
programa Régua e Compasso). Feito pelos alunos:
1°) Utilizando-se a função grelha , coloque os eixos perpendiculares e
a malha de pontos.
2°) Utilize o eixo horizontal: utilize a função segmento , marque o A e
posteriormente o ponto C tendo a distância de 4 unidades entre
10. eles( BC é a diagonal maior) . Os pontos A e C coincidirão com os
pontos do eixo.
3°) Utilizando a função segmento , clique no ponto C e marque o
ponto B a uma unidade de C. O segmento CB é a metade da diagonal
menor do losango ( 1 unidade).
4°) Você irá obter o segmento AB ( Diagonal maior mais a
metade da diagonal menor).
5°) Usando a função ponto médio , clique nos pontos A e B e você
encontrará o ponto O ( ponto médio de AB).
6°) Usando a função círculo, clique no ponto O ( centro da
circunferência) e posteriormente em B ( ponto da circunferência) ,
obtendo a circunferência que passa por B e centro O.
7°) Usando a função segmento, marque o ponto C e trace um
segmento perpendicular ao eixo horizontal( passando por C) até tocar
a circunferência construída. Marque o ponto F na circunferência.
Clique com o botão direito do segmento CF e constate que ele possui 2
unidades.
O segmento CF é o lado do quadrado equivalente procurado.
Ilustração 5: Utilização do programa Régua e Compasso para
obtenção do lado do quadrado equivalente ( segmento CF).
11. • Construção dos paralelogramos equivalentes no Régua e
Compasso e verificação do valor numérico de sua área( feita
pelos alunos):
Traçando -se as linhas poligonais de cada figura e clicando na
função polígono, dê uma volta completa ao redor dos 4 vértices e será
observado o preenchimento da parte interna desta com uma cor. Para
o losango foi escolhido o vermelho, para o quadrado a cor azul.
Clicando-se na região interna do polígono com o botão direito do
mouse, constata-se que as duas figuras possuem a mesma
área( calculada pelo programa).
Ilustração 6 : Utilização do programa Régua e Compasso para
obtenção dos paralelogramos equivalentes ( losango ABCE e
quadrado CHGF).
