Porques na-matematica-basica-4 (1)

Oswaldo K. Watanabe 2000 1
1
FRAÇÕES
Fração = partes do todo dividido em porções iguais = pedaço
Se a fração é a parte de um todo, que quantidade do todo ela representa?
A fração é escrita na forma
a
b
, onde a e b são normalmente números inteiros
com b0.
Nesta representação
a
b
, b que é chamado de denominador indica em quantas
partes o inteiro foi dividido e a que é chamado numerador, indica quantas partes
do inteiro estamos considerando.
Inteiro
quero 2/3 deste inteiro
inteiro dividido em três partes iguais
2 partes do inteiro dividido em três
O inteiro é uma caixa contendo 36 balas.
Quero 2/3 das balas.
Vamos dividir as balas em três partes iguais: 36 : 3 = 12  12 + 12 +12
Portanto duas partes são: 12 + 12 ou 2 . 12 ou 24
Exercícios:
1) Quanto é 2/7 de 343? 2) Quanto é 5/8 de 144? 3) Quanto é 5/9 de
820?
4) Quanto é 7/9 de 240? 5) Quanto é 5/6 de 340? 6) Quanto é 5/12
de 720?
Respostas:
1) 98 2) 90 3)4100/9 4)560/3 5) 675/2 6) 300

2
Definição: Frações equivalentes são aquelas que representam valores iguais
Exemplo:
2/3
4/6
Sejam a e b dois números inteiros, com b  0, para encontrarmos as frações equivalentes a
a / b, multiplicamos, a e b (numerador e o denominador da fração) por um mesmo número
Exemplos:
5
3
10
6
2
.
5
2
.
3

é equivalente
ou
15
9
3
.
5
3
.
3
 ou

3
Obs. Normalmente, representamos uma fração através da sua equivalente que possui os menores
numerais possíveis no numerador e no denominador. Este processo de encontrá-la chamamos de
simplificação.
Nos casos em que já temos as duas frações e queremos verificar se as mesmas são equivalentes e não
desejamos fazer o caminho inverso (caminho de volta ou operações inversas), podemos também usar a
propriedade fundamental das proporções,que diz:
Numa proporção, se duas razões são equivalentes, então o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios.
Na proporção a:b = c: d ou
d
c
b
a
 , a e d são os extremos e b e c são os meios.
Portanto, a. d = b.c
RAZÃO: é a relação ou quociente entre duas grandezas
QUOCIENTE: resultado de uma divisão
Obs: As frações também indicam uma divisão entre o numerador e o
denominador. Ao efetuarmos a divisão entre o numerador e o denominador,
obtemos como resultado, o número decimal equivalente à fração.
Símbolo da Razão:
a
b
(lê-se: razão de a para b)
Neste símbolo, que também pode ser a:b, a é o antecedente e b o conseqüente.
Exemplo:
20
12
4
.
5
4
.
3
 ou

4
Dividir 144 na razão de
7
5
.
Quando queremos dividir um valor numa determinada razão, devemos dividir este
valor pelo total das partes.
144:(5+7) = 144:12 = 12
12 é o valor de cada parte do todo. Logo, 5 partes é igual à 5.12 = 60 e 7.12 = 84.
Portanto as partes são: 60 e 84.
Mas se queremos saber quanto é a fração
7
5
.de 144, devemos dividir 144 por 7 e
o resultado multiplicar por 5.
144:7 = 20,571 aproximadamente
20,571.5 = 102,855
Toda fração é uma razãoentre uma partee o todo
Proporção: proporção é a equivalência entre duas razões
Símbolo
a
b
=
d
c
ou a:b = c:d, com b0 e d0.
Nesta proporção a e d são os extremos e b e c são os meios
Exemplos:
1) Se
3
5
6
10
    
310 56 30 30
. . (Verdade, portanto temos uma proporção)
2) Se
2
3
5
9
2 9 35 18 15
    
. . (Falso, logo a equivalência não existe, não é
uma proporção)
3) Se
8
12
2
3
83 12 2 24 24
    
. . (Verdade, portanto temos uma proporção)

5
EXERCÍCIOS:
I) Verifique se as frações são equivalentes, caso sejam equivalentes, coloque V e
caso contrário F:
1) 2/7 e 8/28 Resposta: V
2) 12/15 e 21/35 Resposta: F
3) 30/45 e 8/15 Resposta: F
4) 15/18 e 30/36 Resposta: V
5) 14/21 e 15/25 Resposta: F
6) 15/100 e 3/20 Resposta: V
7) 3/7 e 24/56 Resposta: V
8)14/35 e 40/100 Resposta: V
9)12/18 e 25/80 Resposta: F
10) 7/12 e 21/48 Resposta: F
11) 20/42 e 30/63 Resposta: V
12) 42/49 e 48/58 Resposta: F
13) 13/5 e 39/15 Resposta: V
14) 18/12 e 45/20 Resposta: F
II) Calcule o valor de x em cada proporção:
1)
10
6
5

x
2)
24
12
3

x
3) x

10
5
4)
6
3
1

x
5)
11
11 x
x

6)
x
x 18
8

7)
7
3
2
1


x
8)
54
45
3
1
2


x
x
9)
4
1
3


x
x
10)
1
3
4
2



x
x

6
PROBLEMAS
1) Se em uma receita de bolo para cada 3 xícaras de farinha de trigo usa-se 5 colheres de
sopa de açúcar, quantas colheres de açúcar são necessárias para 7 xícaras de farinha?
2) Um alpinista leva um dia para escalar 2/7 de uma montanha. Quantos dias este alpinista
levará para escalar outra montanha com o triplo da altura da primeira?
3) Um cachorro come ¾ de sua ração em 5 minutos. Quanto tempo 2 cachorros comerão a
ração inteira, supondo que os cães se alimentam na mesma rapidez?
OPERAÇÕES ENTRE FRAÇÕES
I) ADIÇÃO :
+
1 + 2 = 3
4 4 4
Quando duas ou mais frações têm denominadores iguais, temos partes de
tamanhos iguais e neste caso, para efetuarmos a soma, basta somarmos os
denominadores e conservar o denominador, pois o denominador só indica em
quantas partes o inteiro foi dividido.
1 + 1 = 5
2 3 6
Quando os denominadores das frações são diferentes, temos uma situação em
que queremos somar pedaços de tamanhos diferentes. Para podermos reduzi-las
em frações equivalentes de denominadores iguais, isto é representa-las através
de partes iguais.
Mas como fazê-lo?
=

7
Uma das técnicas para isto, é transformá-las em frações equivalentes com
denominadores iguais ao produto entre os denominadores destas frações.
1 . 2 + 1 . 3
3 . 2 2 . 3
2 + 3 = 5
6 6 6
Como é possível verificar na ilustração, com esta nova divisão, as partes
achuradas foram representadas através de outras frações equivalentes as
anteriores e assim foi possível representar a fração da solução.
Vejam que para podermos somar as frações foi necessário encontrar as frações
equivalentes às das parcelas que possuem o mesmo denominador.
Para facilitar a transformação das frações das parcelas em frações equivalentes
de denominadores iguais, podemos:
1) Encontrar o denominador comum
Este denominador comum poderá ser o próprio produto ou qualquer múltiplo
entre os denominadores das parcelas, e dentre eles, poderá ser também o
m.m.c. entre os denominadores das parcelas.
.
Exemplo:
12
11
24
22
24
4
18
24
4
24
18
6
*
4
4
*
1
6
*
4
6
*
3
6
1
4
3








 ndo
simplifica .
M.M.C.(a,b) ou m.m.c.(a,b) = menor múltiplo comum entre a e b.
Um múltiplo de um número é o resultado da multiplicação deste número por um número
inteiro.
Múltiplo comum entre a e b são aqueles que são múltiplos de ambos ao mesmo
tempo.
Exemplos:

8
a) múltiplos de 2 não negativos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
b) múltiplos de 3 não negativos: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 ...
c) múltiplos de 5 não negativos: 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
d) múltiplos de 6 não negativos: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ...
e) múltiplos de 2 e de 3: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ...
f) múltiplos de 2 e de 5: 0, 10, 20, 30, 40, 50, ...
g) múltiplos de 3 e de 5: 0, 15, 30, 45, 60, 75, ...
h) O menor múltiplo comum de 2 e de 3 não nulo é m.m.c.(2,3) = 6
i) O menor múltiplo comum de 2 e 5 não nulo é m.m.c.(2,5) = 10
j) O menor múltiplo comum de 3 e 5 não nulo é m.m.c.(3,5) = 15
k) O menor múltiplo comum de 2 e 6 não nulo é m.m.c.(2,6) = 6
Existe um método prático de encontrar o m.m.c. que consiste em fatorar os
números dos quais se quer obter.
Exemplo: m.m.c.(4,6) = 12, pois 4 - 6 2
2 - 3 2
1 - 3 3
1 - 1 2.2.3 = 12
2) Determinar os numeradores de cada fração equivalente.
Para se obter o novo numerador da fração equivalente, fazemos:
novo numerador = (novo denominador : antigo denominador) . antigo
numerador
Exemplo:
3 1 9 2 11
4 6 12 12 12
12 : 4 = 3 12 : 6 = 2
3 . 3 = 9 2 . 1 = 2
4 - 6 2
2 - 3 2
1 - 3 3
1 - 1 2.2.3 = 1
EXERCÍCIOS :
Efetue as operações e simplifique a fração resposta, se possível:
1) 2/5 + 1/6 = Resp. 17/30 2) 3/8 – ¼ = Resp. 1/8 3) 4/5 + 1/8 + 1/10 = Resp. 41/40
4) 3/8 + 2/5 – 2/9 = Resp. 199/360 5) 5/11 + 3/8 – ( 4/9 + 1/3 ) = Resp. 41/792
+ = + =

9
6) 4/8 + 5/10+3/2 – ( 5/12 + 6/12 – 9/18) = Resp. 7) 5/15 + 2/5 + 7/10 – ¾ = Resp. 41/60
8) 2/21 – 7/12 + 13/42 = Resp. –15/84 9) 15/32 – 17/24 = Resp. –23/96
10) 2/5 + ¾ - 7/8 – 1/6 = Resp. 13/120 11) ½ +1/3 + ¼ - 1/5 = Resp. 53/60
II) MULTIPLICAÇÃO
De um número por uma fração
Quando multiplicamos um número por uma fração, temos que interpreta-la
como uma repetição da fração numa soma, portanto basta multiplicar o
numerador pelo número.
Exemplos:
a) 2.
2
5
2
5
2
5
4
5
   , isto é:
2
1
2
5
2 2
15
4
5
.
.
.
 
b) 3.
1
8
1
8
1
8
1
8
3
8
    , isto é:
3
1
1
8
3
8
. 
2) De uma fração por outra fração:
Obs. Não tirar de foco, que multiplicar uma fração por outra fração é obter uma
fração da outra( um pedaço da outra) logo a tendência é a fração produto ser
menor, nos casos em que a primeira fração seja ordinária(menor que 1).
A multiplicação entre duas frações também pode ser escrita como uma fração
de uma outra fração e a sua operação é feita através da multiplicação entre os
numeradores e entre os denominadores.
Exemplos:
1) 1/2 de 3/5 =1/2 . 3/5 = 1 . 3 / 2 . 5 = 3 / 10

Oswaldo K. Watanabe 2000
10
10
Vejam na figura, que o resultado é a metade do original.
2)
2
3
3
5
. 
2
5
3)
1
2
3
5
20
dos das balas
. .
3
5
de 20 é
3
5
20
320
5
60
5
12
.
.
  
1
2
de 12 é
1
2
12
112
2
.
.
 =
12
2
6

Estas operações podem ser reduzidas a
1
2
3
5
20
1320
25
60
10
6
. .
. .
.
  
EXERCÍCIOS :
Determine a quantidade relativa a fração dada:
1) Quanto é 23/100 de 4500? Resposta: 1035

11
11
11) Quanto é ¾ de 50? Resposta: 37,5 ou 150/4 ou 75/2
14) Quanto é 7/12 de 54? Resposta: 31,5 ou 378/12 ou 189/6 ou 126/4 ou 63/2
15) Quanto é 7/8 de 36? Resposta: 31,5 ou 252/8 ou 126/4 ou 63/2.
Efetue as operações simplificando a fração resultado, o máximo possível:
1) (2/3).(3/4) = Resp. ½ 2) (3/5).(2/7).(4/3) = Resp. 8/35 3) (3/8).(5/7).(7/3) = Resp. 5/8
4) (12/15).(3/8).(5/9) = Resp. 1/6 5) 7.(5/9).(3/10) = Resp. 7/6 6) 5.(3/7) = Resp. 15/7
7) (3/5).10 = Resp. 6 8) (2/9).(3/8) = Resp. 1/12 9) (3/5).(4/7).(35/48) = Resp. ¼
10) 2.(2/7) + (3/4).(4/7) = Resp. 1 11) (2/5).3.(1/2) + (4/5).(3/8) = Resp. 9/10
12) 4.(3/7).(14/9) – 3.(1/5).(10/21) = Resp. 50/21 13) (3/4).2.(5/6) – 3.(1/6) = Resp. ¾
14) 5.(1/15).(6/7) + (1/2).(1/3) = Resp, 19/42 15) (3/5).(5/6).3 – 6.(2/9).(1/2) = Resp. 5/6
EXERCÍCIOS :
Efetue as operações indicadas:
1) 5.(3/7) = Resp. 15/7 2) (3/5).10 = Rersp. 30/5 ou 6 3) (2/9).(3/8) = Resp. 6/72
ou 1/12 4) (3/5).(4/7).(35/48) = Resp. ¼ 5) 2.(2/7) + (3/4).(4/7) = Resp. 1
6) (2/5).3.(1/2) + (4/5).(3/8) = Resp. 9/10
III) DIVISÃO
Obs. Ao dividirmos um número por uma fração, estamos querendo saber quantas vezes
esta fração cabe neste número ou quantas desta fração são necessárias para
compormos esse número.
A divisão entre dois números pode ser entendida como a multiplicação entre o
primeiro número e o inverso do segundo. Apesar de que devemos também entender
que quando escrevemos a : b, onde b não é zero, estamos perguntando ou querendo
saber quantas grupos de b são necessários para formar o a, ou quantos b cabem em a.
Logicamente, se b for maior que a, a : b terá um resultado menor que 1 ou seja a/b,
que poderá ser representado exatamente ou aproximadamente, dependendo de cada
caso, pelo número decimal que é o resultado da divisão (quociente) de a por b.

12
12
(o elemento inverso de um número num certo conjunto em relação a uma determinada
operação, é o elemento que operado com o seu direto tem como resultado o elemento
neutro desta operação no referido conjunto).
( elemento neutro de uma operação num conjunto, é o elemento que ao ser operado com
qualquer elemento do conjunto, tem como resultado este qualquer elemento).
Na adição de números reais, o elemento neutro é o zero, (para qualquer número x dos
números reais, x + 0 = 0 + x = x), na multiplicação, o elemento neutro é o 1, ( para
qualquer número x dos números reais, x.1 = 1.x = x)
Na adição de números reais, o inverso aditivo ou oposto ou simétrico de um número a é
o -a, pois a + (-a) = 0. E na multiplicação o inverso de a, a diferente de zero, é o
número 1/ a.
Exemplos:
1) o inverso aditivo ou oposto ou simétrico de 2 é o –2 e o do –2 é o 2.
2) o inverso multiplicativo ou simplesmente o inverso de 2 é ½ e o inverso de ½ é 2.
Número decimal é a representação de uma fração decimal(frações cujo denominador
são resultados de potência de 10) através de numerais com virgulas.
Exemplos:
1) 1/10 = 0,1 (é lido como um décimo); 2/10 = 0,2 (é lido como dois décimos).
2) 1/100 = 0,01 (é lido como um centésimo); 3/100 = 0,03 (é lido como três
centésimos); 37/100 = 0,37 (é lido como trinta e sete centésimos)
3) 1/1000 = 0,001 (é lido como um milésimo); 132/1000 = 0,132 (é lido como cento e
trinta e dois milésimos)
4) 1/10000 = 0,0001 ( é lido como um décimo milésimo); 23/10000 = 0,0023 ( é lido
como vinte e três décimos milésimos). E assim sucessivamente.
Como transformar uma fração qualquer em número decimal?
Para podermos transformar uma fração a/b em número decimal, basta efetuar a divisão
de a por b, divisão esta feita manualmente ou através de uma calculadora.
Como nem sempre é possível fazer esta representação exata porque nem sempre as
divisões são exatas, devemos ter uma regra de aproximação em conjunto com o
número de casas após a virgula que podemos considerar.(o número de casas após a
virgula depende do fenômeno e dos materiais de medidas envolvidos no problema a
ser estudado).

13
13
Exemplo: 2/7 de um metro, medido com uma régua comum escolar = 0,2857...~0,286
metros, pois na régua, só conseguimos observar com precisão até milímetros.
As operações entre números decimais, tem na:
Adição ( soma e subtração ) como característica principal, deixar virgula em baixo de
virgula nas operações realizadas na vertical. Exemplo: 2,0154 + 0,004376 =
2,019776, pois
2,0154
+ 0,004376
_________
2,019776
Na multiplicação, faz-se a operação normal com os números formados com os dígitos
significativos e o produto final deve ter o número de casas após a virgula igual a soma
do número de casas de cada um dos fatores que compõem a multiplicação, onde as
últimas casas devem ser o número que é o resultado da multiplicação feita
inicialmente.
Ex: 2,005x0,04 = 0,08020 2005x4 =8020
3 casas x 2 casas = resultado com 3 + 2 casas = 5 casas
Obs. Nesta operação, o resultado 0,08020 poderá ser representado por 0,082 pois, após
a virgula e após o último dígito significativo (diferente de zero) a colocação ou não de
zeros, não altera o número e na maioria dos casos, os zeros aparecem para indicar a
precisão das medidas que estamos usando.
Na divisão, se multiplicarmos o dividendo e o divisor por um acompanhado de tantos
zeros quantos forem as casas após a virgula do número que tem maior número de
casas após a virgula e efetuar a operação com os resultados.
Exemplo: 0,0125 : 0,00025. Vejam que o dividendo tem 4 casas após a virgula e o
divisor tem 5, portanto vamos multiplicar cada um por 100000
0,0125 x 100000 = (125/10000) x 100000 = 125 x 10 = 1250
0,00025 x 100000 = (25/100000) x 100000 = 25, logo:
0,0125 : 0,00025 = 1250 : 25 = 50.
Exemplos de divisão:
1) A metade de 6/7 é o mesmo que (6/7) / 2 = (6/7).(1/2) = 6/14 = 3/7
(figura)
2) A terça parte de 5/8 é o mesmo que (5/8) / 3 = (5/8).(1/3) = 5/24
(figura)
Obs. : Não se esqueçam que “metade de” é o mesmo que “½ de”. A “terça parte de” é o
mesmo que “1/3 de”. E que a metade é obtida dividindo-se o valor desejado por 2; a
terça parte é obtida dividindo-se o valor por 3.
3) Dividir 2/5 por 3/7 = (2/5)/(3/7) = (2/5).(7/3) = (2.7)/(5.3) = 14/15.
(figura)

14
14
Neste caso, podemos também entender como: “quantos 3/7 tem em 2/5., pois não
devemos esquecer que nos números inteiros, quando estamos dividindo 12 por 3,
também estamos verificando, quantos grupos de 3 tem em 12, ou quantos grupos de 3
elementos são necessários para se ter um total de 12 elementos.
3) Dividir 12/5 por 3/5 é o mesmo que verificar quantos 3/5 tem 12/5 que é o mesmo
que (12/5)/(3/5) = (12/5).(5/3) = 60/15 = 4.
(figura)
Obs. Vejam que nestes dois últimos exemplos, um tem como resultado uma fração e o
outro, um número inteiro. Isto significa que 3/7 é uma fração não inteira de 2/5,
enquanto que temos exatamente quatro 3/5 formando 12/5.(mostrar com figuras)
EXERCÍCIO:
Efetue as seguintes operações e simplifique a fração resposta o máximo possível:
1) 5 : (3/4) = Resp. 20/3 2) (5/6) : 5 = Resp. 1/6 3) (3/5) : (4/15) = Resp. 9/4
4) (10/9) : (20/21) = Resp. 7/6 5)  (3/5 + 2/3):( 2/5): (4/5) = Resp. 95/24
2/3 + (2/5):(6/10) : (1/3 + 2/5):(11/20) : 2.(1/3) + (4/7).(3/5) = Resp.315/424
Porcentagem, Regra de três Simples e compostas
Porcentagem = Por cento = em cada 100 = uma quantidade relativa a 100.
A porcentagem, é uma representação de uma parte com o todo onde sempre consideramos o
todo como 100, portanto podemos dizer que seria uma fração representada por uma fração
decimal(centesimal) equivalente. Logo, podemos fazer esta mudança de representação
usando as proporções, pois as frações (original) e (centesimal) são equivalentes.
Exemplo: 2/5 = 2 em cada 5, poderá ser representada pela equivalente 40/100 = 40 em cada
100.
A regra de três simples, nada mais é que um algoritmo usado para calcular a quarta
proporcional, isto é: Temos uma razão (composta de 2 numerais) e um valor da outra razão
equivalente e queremos calcular o outro valor desta segunda razão. E para tal, usamos a
propriedade fundamental das proporções: o produto entre os extremos é igual ao produto
entre os meios. (Na formação da proporção através de frações, nos dá a visão de
multiplicação em cruz)
Exemplo: 2/3 = 4/x . Como 2 e x são os extremos e 3 e 4 são os meios, temos 2.x = 3.4, ou
2x = 12, ou x = 6.

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15
Divisão proporcional
Nas divisões proporcionais, temos dois tipos:
I) Divisão diretamente proporcional.
Nesta divisão estamos estudando a divisão de um valor em cotas e quanto maior for a
quantidade de cotas, maior será o rateio da divisão. Vejamos uma situação onde a
divisão é diretamente proporcional.
Numa sociedade entre três amigos, André, Carlos e Luiz, as cotas de sociedade são 2, 4
e 5 respectivamente, ao dividirem um lucro de R$ 20900,00, diretamente proporcional
às cotas, André recebe x, Carlos y e Luiz z. Então temos:
5
4
2
z
y
x

 , com x + y + z = 20900. Vejam que o total de cotas é 2 + 4 + 5 = 11.
Se dividirmos 22000 por 11, saberemos de quanto é cada cota, isto é: 1900, logo:
André recebe 2x1900 = 3800
Carlos recebe 4x1900 = 7600 e
Luiz recebe 5x1900 = 9500.
Matematicamente, temos
5
4
2
5
4
2 






z
y
x
z
y
x
, mas 1900
11
20900
5
4
2





 z
y
x
que
significa:
1900
2

x
→ x = 3800, 1900
4

y
→ y = 7600 e 1900
5

z
→ z = 9500
II) Divisão inversamente proporcional.
Como o próprio nome diz, a divisão é inversamente proporcional. Na divisão de cotas,
quem tem mais cotas, tem o valor menor. No exemplo anterior, nesta divisão o valor a
receber multiplicado pela cota é constante, isto é 2x = 4y = 5z, pois na inversamente
proporcional a 2, 4 e 5, teremos diretamente proporcional ao inverso de cada quantidade de
cota.
5
1
4
1
2
1
5
1
4
1
2
1







z
y
x
z
y
x
que ao efetuarmos cada uma das divisões temos
1
5
.
1
4
.
1
2
. z
y
x 
 =
20
4
5
10 


 z
y
x
ou seja 2x = 4y = 5z =
19
)
.(
20 z
y
x 

.
Como x + y + z = 20900, ficamos com 2x = 4y = 5z =
19
418000
ou 22000, logo
2x = 22000 → x = 11000
4y = 22000 → y = 5500
5z = 22000 → z = 4400

16
16
Na prática, podemos achar as frações equivalentes a
2
1
,
4
1
e
5
1
que são
20
10
,
20
5
e
20
4
e
fazermos a divisão diretamente proporcional aos novos numeradores, isto é diretamente
proporcionais a 10, 5 e 4.
Neste caso seria como André tivesse 10 cotas, Carlos 5 e Luiz 4, num total de 19 cotas.
Ao dividirmos 20900 por 19, temos 1100, com isso,
André = 10x1100 = 11000
Carlos = 5x1100 = 5500 e
Luiz = 4x1100 = 4400.
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