Calculus practice test

1. MATERIAL DE REPASO EXAMEN III (algunas soluciones)
MATE3049
Instrucciones: Debe mostrar todo su trabajo. Resuelva todos los problemas. Se permite
el uso de calculadora científica.
I. Llena los siguientes blancos
a) Los puntos críticos de = 2
− 3
− 12 + 24 (clasificar en singular o
estacionario). Singulares no tiene, Estacionarios en x= -1, x =2
b) Los puntos críticos de =
− 9 (clasificar en singular o
estacionario).Singular en x =0, estacionarios en = −
, = +
c) Determina de quinta derivada de = 2 + 1 
d) Determina la cuarta derivada de =
 256
e) Determina la n-esima derivada de = 2 + 3
±
$
$
= −1%
$
$
f) Determina la n-esima derivada de =
 3n
II.Calcular y simplificar f´(x) usando reglas de derivadas
a. f(x) = 2
2
4 ln 2
e x
x
  
 f´(x) = -2/x2
-4
b. f(x)= 2 4
(3 2)
x  (2x-3)3

)
2
12
11
(
)
2
3
(
)
3
2
(
6
)
( 2
3
2
2





 x
x
x
x
x
f
c. f(x)=
1
3
)
5
(
)
3
4
(
ln
3
2


x
x
x
 f´(x)= 8/(4x+3)+3/x – 3/(3x+1)
d. f(x)= x2
25x+3
 f´(x) = x25x+3
(2+5x ln(2))
e. f(x)=
1
3 1
x
x


 2
4
( )
(3 1)
f x
x
 

f. f(x)= 4
log(3 9)
x 
 f´(x) = 12x3
/(ln(10)(3x4
+9))
g. f(x) = 2
2
3
4 log
x x
x
  + 3
 f´(x) = -6/x3
- 4 + 1/(xln(2))+ln(3) 3
h. f(x)= 2
2 4
x 
 f´( x) = (2x)/(2x2
+4)1/2
i. f(x)= 3
ln(4 9)
x 
 f´ (x) = (12x2
)/(4x3
+9)
j. f(x)= 4 3
x
xe 
 =
4 + 1
k. f(x)= 4
( 3) (3 1)
x x
 
 f´(x) = (x+3)3
(15x+13)
l. f(x)=
'

= −
2
+ 23
− 2 − 2
1 − 2
m. f(x)=
2 x
e
x

=
2 − 1
2
III. Determina la segunda derivada de
( = 3 − 3
+ 2
− 3  = 36
− 18 + 4
b) = 5
−
*
+ +,*  = 5
-
5. −
/
−
01 *
c) =
'
 =
'

2. d) = 1 + 2
1 − 3  = −89 + 2
e) =
 = 4
+ 1
f) = ln 1 + 2
 =
'
IV. Determina el valor máximo absoluto y mínimo absoluto de:
a) 7
9
3
)
( 2
3



 x
x
x
x
f en [-4,2] máx: f(-3)=20; mín : f(1)=-12
b) 1
)
5
)(
1
(
)
( 3



 x
x
x
f en [0,3] máx: f(0)=126; mín : f(2) = -26
c) )
2
(
)
( 3
/
1

 x
x
x
f en [-1, 1] máx: f(-1)=3; mín : f(0.5) = -1.19
d)
2
2
)
( 2


x
x
f en [-2,1] máx: f(0)=1; mín : f(-2) = 0.3333
V. Aplicaciones
1. La función de costo y la ecuación de precio- demanda para la producción de radios (por
mes) están dadas, respectivamente, por:
6000
0
30
200
60
72000
)
(






x
x
p
x
x
C
Donde x es el número de radios que se pueden vender a un precio $p por radio y C(x) es el
costo total (en dólares) para la producción de x radio. Determina lo siguiente para cada mes:
A) El ingreso máximo R(3000) = I(3000) = $300,000
B) La ganancia máxima, el nivel de producción donde esta ocurre y el precio que la
compañía debe cobrar por cada radio para tener la ganancia máxima.



 $75,000; 2100; $130
C) Si el gobierno ha añadido un impuesto de $ 5 por cada radio producido y tomando en
cuenta este costo adicional, determina la cantidad de radios que la compañía debe fabricar
cada semana afín de maximizar la ganancia mensual y ¿Cuál es la ganancia mensual?
¿Cuánto debe cobrar por los radios para que la ganancia sea máxima?
. 


$64687.50; 2025; $132.50
2. Un corral rectangular se quiere construir que tenga un área de 800 pies cuadrados. La
cerca a lo largo de tres lados será hecha de un material que cuesta $ 6 por pie.
El material para el cuarto lado cuesta $18 por pie. Halla las dimensiones del rectángulo
que te permita construir el corral más económico. 


 20 pies por 40 pies (lado más
corto es el más caro)
3. En una fábrica de contenedores, el costo total en producir x contenedores por día está
dado por C(x) = 0.1x2
+ 10x + 4000 dólares. ¿Cuántos contenedores se deben fabricar
para minimizar el costo promedio? 


 200 contenedores
4. Un fabricante ha estado vendiendo 1000 televisores de pantalla plana a la semana a $450.
Un estudio de mercado indica que, por cada $10 de descuento ofrecido al comprador, el
número de televisores vendidos se incrementara en 100 por semana.
a) Encuentre el precio como función de televisores vendidos. 4 = 556 − 6. 86
b) ¿Que tan grande debe ser el descuento que ofrezca la compañía al comprador a fin de
maximizar sus ingresos? 


 $175
c) Si la función costo semanal es C(x) = 68 000 + 150x, ¿cómo debería el fabricante
establecer el tamaño de la rebaja, a fin de maximizar sus ganancias? 


 $100
5. Un granjero planea cercar un pastizal rectangular adyacente a un río. El pastizal debe
contener 180,000 m 2
para proporcionar suficiente pastura para el rebaño. ¿Qué
dimensiones requeriría la cantidad mínima de cercado si no es necesario vallar a lo largo
del río?  600 metros por 300 metros
6. Eres dueño de una fábrica que hace alternadores para autos, y la producción es parcialmente
automatizada por el uso de robots. Los costos operativos diarios son $100 por trabajador y
$16 por robot. Con el fin de cumplir con el plazo de producción, la fábrica estima que los
números de trabajadores y robots deben satisfacer la condición xy = 100,000, donde x es el
número de trabajadores e y es el número de robots. Suponiendo que la fábrica quiere
cumplir con el plazo de producción a un costo diario mínimo C, ¿cuántos trabajadores y
cuántos robots debe utilizar?



 40 trabajadores y 250 robots

3. 7. Según estudios de mercado, la cantidad de papel higiénico por caja que se pueden vender
por semana a un precio p dólares está dada por
9 = 100 − 4
, 0 ≤ 4 ≤ 100
Si el costo de producción por caja es de $30, determina el precio a fin de que ganancia
semanal sea la mayor posible. Determina la ganancia máxima. $160/3, $50.81
8. Eres copropietario de una planta de ensamblaje de autos tiene una fórmula de producción
de Cobb-Douglas:
9 = /.
/.
donde q es la cantidad de autos que se puede producir por año, x número de trabajadores e y
el presupuesto operacional diario ( $). El costo operacional anual promedio es de $20,000 por
empleado más el costo operacional de $365y. Suponiendo que tu compañía produce 1000
autos a un costo mínimo, ¿cuántos trabajadores se deben contratar?
 71 trabajadores
9. Una compañía que produce relojes de buceo ha establecido que, en promedio, un nuevo
empleado puede armar N (t) relojes de buceo por día después de t días de trabajo en el
trabajo-entrenamiento, según dado por
= =
//?
?@
≥ 0
(A) Encuentra los interceptos.  (0,0)
(B) ¿Dónde N (t) es creciente? ¿Decreciente? (solo) Creciente en B ≥ 6
(C) ¿Dónde está la gráfica de N cóncava hacia arriba? ¿Hacia abajo?  solo cóncava hacia
abajo en B ≥ 6
(D) Describir comportamiento cerca de los puntos donde no se está definida la función (si
aplica). Indicar la(s) ecuaciones de la(s) asíntota(s) vertical(es) (si tiene). (aunque t = -9
es una asíntota vertical, está fuera del dominio B ≥ 6) Describir comportamiento de la
función al infinito. Indicar ecuación de la(s) asíntotas horizontales. (si tiene)
Cuando B → ∞,N(t) → 866
(E) Dibuje un gráfico de N.
10. Las ventas semanales de chinas rojas ( difícil de conseguir) de Honolulu están dadas
por q = 1000 - 20p. Calcular la elasticidad precio de la demanda cuando el precio es
de $ 30 por china. (Interpreta tu respuesta). Además, calcule el precio que da un
ingreso semanal máximo, y encuentra este ingreso máximo
E=1.5, precio $25, ingreso $12500
11. La curva de demanda de los consumidores para dumbbells del profesor Silver
Schwarzenegger es dada por q = (100 - 2p)2
, donde p es el precio por dumbbells, y
q es la demanda en ventas semanales. Encuentre el precio Profesor Schwarzenegger
debe cobrar por sus dumbbells con el fin de maximizar ingresos. $16.67
VI. Para cada una de las funciones dadas:
1 =
− 18
+ 81
2 = 4
−
3 = 2*/
− 5 /
4 =
'
5 =

4. Contesta lo siguiente:
a) Determina f´(x) y f´´(x)
b) Determina los intercepto en x y y (si tiene)
c) Determina los extremos relativos y absolutos (si tiene). Indicar los intervalos donde la
función es creciente y donde la función es decreciente.
d) Determina los puntos de inflexión (si tiene). Indicar los intervalos donde la función es
cóncava hacia arriba y donde la función es cóncava hacia arriba.
e) Describir comportamiento cerca de los puntos donde no se está definida la función ( si
aplica) . Indicar la(s) ecuaciones de la(s) asíntota(s) vertical(es) (si tiene).
f) Describir comportamiento de la función al infinito. Indicar ecuación de la(s) asíntotas
horizontales. (si tiene)
g) Usa los pasos b)- f) para trazar una gráfica de f(x)
Para 2) f(x) = 4 x^3-x^4 3)f(x)=2x5/3-5x4/3
a) 2
1
3
2
x
12
x
24
(x)
f
x
4
x
12
)
x
(
f







a) ´ =
/
G
G
− 2, ´´ =
/
G
'
@/
a) Intercepto en x  (0,0) y (4,0)
intercepto en y  (0,0)
b) Intercepto en x  (0,0) y (125/8,0)
intercepto en y  (0,0)
b) Mínimo relativo no tiene
Máximo relativo (absoluto) en x = 3
Crece en ( -∞,0) y ( 0,3)
Decrece en (3, +∞)
c) Mínimo relativo en x =8
Máximo relativo (absoluto) en x = 0
Crece en ( -∞,0) y ( 8,∞)
Decrece en (0, 8)
d) cóncava hacia arriba en : (0,2)
cóncava hacia abajo en : (-∞,0) y (2,∞)
punto de inflexión en x =0, x =2
d) cóncava hacia arriba en : (1,∞)
cóncava hacia abajo en : (-∞,0) y (0,1)
punto de inflexión en x = 1
e) asíntota vertical no tiene e) asíntota vertical no tiene
f) asíntota horizontal no tiene.
Comportamiento al infinito
lim
→'J
4
− = −∞,
lim
→J
4
− = −∞
f) asíntota horizontal no tiene.
Comportamiento al infinito
lim
→'J
-2*/
− 5 /
. = −∞,
lim
→J
2
*
− 5 = ∞
g)

5. 4) f(x) = (x +1)/(x-1) 5) f(x) = 2x/(1+x^2)
a)
1)^3
-
4/(x







(x)
f
2
)^
1
x
/(
2
)
x
(
f
a) 3
2
2
2
2
2
)
1
x
/(
)
3
x
(
x
4
(x)
f
)
1
x
/(
)
1
x
(
x
2
)
x
(
f










b) Intercepto en x: (-1,0)
intercepto en y : (0,-1)
b) Intercepto en x : (0,0)
intercepto en y : (0,0)
c)mínimo relativo no tiene
máximo relativo no tiene
crece NA
decrece en : (-∞,1) y (1,∞)
c)mínimo relativo (absoluto) : en x = -1
máximo relativo (absoluto) : en x = 1
crece en : (-1,1)
decrece en : (∞,-1) y (1,∞)
d) cóncava hacia arriba en : (1,∞)
cóncava hacia abajo en : (-∞,1)
punto de inflexión no tiene
d) cóncava hacia arriba en : (- 1.73, 0) y
(1.73, ∞)
cóncava hacia abajo en : ( - ∞ , -1.73) y
(0 , 1.73)
punto de inflexión en x = -1.73, x=0 y
x =1.73
e) asíntota vertical en x =1
lim
→K
L
+ 1
− 1
M = −∞ lim
→N
L
+ 1
− 1
M = +∞
e) asíntota vertical no tiene
f) asíntota horizontal en y = 1,
Comportamiento al infinito
lim
→'J
L
+ 1
− 1
M = 1 , lim
→J
L
+ 1
− 1
M = 1
f) asíntota horizontal en y =0,
Comportamiento al infinito
lim
→'J
L
2
1 +
M = 0,
lim
→J
L
2
1 +
M = 0
g) g)