1. KonsepDasarPeluang PertemuanKe-4 ------ SitiKomsiyah, M.Si

2. RuangContohdanKejadian RuangContoh/Sampeladalahsuatugugus yang memuatsemuahasil yang berbeda, yang mungkinterjadidarisuatupercobaan. Notasidariruangcontohadalahsebagaiberikut: S = {e1, e2, …, en}, n = banyaknyahasil n bisaterhinggaatautakterhingga Contoh: Melemparsebuahdadu : S={1,2,3,4,5,6} Melemparmatauang : S={M,B} Jeniskelaminbayi : S={L,W}

3. Ruangkejadianadalahanakgugusdariruangcontoh/sampel, yang memilikikarakteristiktertentu. Ruangkejadianbiasanyadinotasikandenganhurufkapital (A, B, …). Contoh: Sisimukamunculdaripelemparanduabuahmatauang: A = {MM, MB, BM} Munculnyasisiganjilpadadadupertamadaripelemparanduabuahdadu: B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 31, 32, …., 56}

4. PeluangKejadian Definisi: Misalsuatupercobaanmenyebabkanmunculnyasatuataulebihdarinhasil yang memilikikesempatan yang sama (equally likely). Dan n hasilitu, kejadian A munculsebanyakk kali, makapeluangkejadian A adalah Nilaipeluangkejadian A: 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(A) = [0,1] P(A) = 0 -> Kejadian yang mustahilterjadi P(A) = 1 -> Kejadian yang pastiterjadi

5. Contoh Tiga bola lampudipilihsecaraacakdari 12 bola lampu yang 4 diantaranyarusak. Carilahpeluangkejadianmunculnya: Tidakada bola lampu yang rusak Tepatsatu bola lampu yang rusak

6. Cara MenghitungUkuranRuangContoh/Sampel Penggandaan Pengandaandapatdigunakanjikasetiapkemungkinandibentukdarikomponen-komponen yang salingbebas. N(S) = n1 x n2 x … x n1 Contoh Melempar 3 buahmatauang N(S) = 2 x 2 x 2 = 8 Melempar 2 buahdadu N(S) = 6 x 6 = 36

7. AturanPenjumlahan Teorema Bila A dan B duakejadiansembarang, maka P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) ‒ P(A ⋂ B) Akibat 1 Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) ; P(A ⋂ B) = ∅ Akibat 2. Bila A1, A2, A3, …, An salingterpisah, maka P(A1 ⋃ A2 ⋃ A3 ⋃…⋃ An ) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An)

8. Contoh Dari 100 siswa yang diwisuda, 54 belajarmatematika, 69 belajarsejarah, 35 belajarmatematikadansejarah. Bilaseorangsiswadipilihsecaraacak, hitunglahpeluangnya: diabelajarmatematikaatausejarah; diatidakbelajarkeduanya; diabelajarsejarahtapitidakmatemaika

9. Contoh Soal 1. Misalkan A dan B adalahkejadian-kejadiandengannilai P(A) = 0.3, P(B) = 0.8, P(A∩B) = 0.2. Hitung : P(AUB), 2. DiketahuiP(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(AUB) = 0.44. Apakah A dan B independen? 3. DiketahuiP(A) = P(B) = p, P(AUB) = 0.7, P(A∩B) = 0.2 a. Tentukannilai p b. JikadiketahuiP(BUC) = 0.7, dankejadian B dan C salingbebas, makatentukannilai P(C)

10. ContohSoal 4. Misal A dan B adalahduakejadian yang salingbebas ( independen) dalamsuaturuangcontoh S. Diketahui P(A∩B) = 0,16 dan P(AUB) = 0,64. Tentukan P(A) dan P(B).

11. Contoh Soal

12. Permutasi Permutasimerupakankejadiandimanasusunanobjek yang terpilihdiperhatikan. Misalkanmemilihoranguntukmembentukkepengurusansuatuorganisasi, dimanajika Si A terpilihmenempatiposisiketuaberbedamaknanyadengan Si A terpilihmenempatiposisiwakilketua. Permutasitingkat r dari n unsur/objekdapatdirumuskansebagaiberikut: Contoh Dari 5 orangkandidatakandibentuksusunanpengurus (Ketua, Wakil, Bendahara) N(S) = P53= 5!/(5-3)! = 60

13. Kombinasi Kombinasimerupakankejadiandimanasusunanobjek yang terpilihtidakdiperhatikan. Misalkanmemilihsejumlahoranguntukmenempatisuatusejumlahkursitempatduduk, dimanasusunantempatduduktidakmenjadiperhatian. Kombinasitingkat r dari n unsur/objekdapatdirumuskansebagaiberikut: Contoh Dari 5 orangakandibentuktimcepattepat yang beranggotakan 3 orang. N(S) = C53 = 5!/(5-3)!3! = 10

14. PeluangKejadian Peluangadalahrasioantarabanyaknyakejadian yang diharapkandarisuatupercobaanjikapercobaantersebutpadakondisi yang sama. Peluangbiasanyadinotasikandengan P, misal P(A) peluangkejadian A. Beberapakaidahsebaranpeluang, yaitu: 0  p(xi)  1, untuki=1,2, …, n Jumlahpeluangseluruhkejadiandalamruangcontohadalah 1, p(A1+A2+…+Am) = p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2, …, Am merupakankejadian-kejadian yang terpisah.

15. Contoh: Sebuahdadudilempar, makaruangcontohnya: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6 jikasetiapsisiseimbangmakapeluangnya p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6 Sebuahkejadian yang diharapkanadalahsisi yang munculkurangatausamadenganempatmakaruangkejadiannya: A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4 Makapeluangkejadian A adalah: P(A) = 4/6 = 2/3

16. KejadianSalingBebas Kejadiansalingbebasadalahkejadian-kejadian yang tidaksalingmempengaruhi. Peluangdariduabuahkejadian yang salingbebasadalah: P(AB)=P(A).P(B) Contoh: Peluangbayiberjeniskelaminlaki-lakidiketahui 0.6. Jikajeniskelaminanakpertama (A) dankedua (B) salingbebas, berapapeluangjeniskelaminanakpertamadananakkedualaki-laki? P(A B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36

17. PeluangBersyarat Peluangbersyaratadalahpeluangsuatukejadian (A) jikakejadian lain (B) diketahuitelahterjadi. Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A/B), dimana: P(A/B) = P(AB) / P(B) Jikakejadian A dengan B salingbebasmaka, P(A/B)=P(A)

18. Peluang Bersyarat Syarat-syarat : 0   1 2. 3. 4. Utk Ai∩ Aj= jikai≠j

19. PartisidanPeluang Total Definisi : Jika B1, B2, …, Bnadalah subset-subset dari S dengankondisi : i. Bi∩Bj=  , untuki≠j ii. B1U B2U …U Bn= S maka B1, B2, …, Bndisebutpartisidari S S B2 B1 … Bn B3

20. Partisi dan Peluang Total S B2 B1 … Bn A B3 A = A ∩ S = A ∩ ( B1U B2U B3 U … U Bn) = (A ∩ B1) U (A ∩ B2) U … U (A ∩ Bn) P(A) = P(A ∩ B1) + P (A ∩ B2) + … + P (A ∩ Bn)

21. PartisidanPeluang Total P(A) = P(A ∩ B1) + P (A ∩ B2) + … + P (A ∩ Bn) TeoremaPeluang Total

22. Contoh: Dalamsebuahkotakberisi 2 bola merahdan 3 bola biru. Jikadiambilduabuah bola tanpapengembalian. Berapakahpeluang bola keduaberwarnamerah (A) jikapadapengambilanpertamadiketahuiberwarnabiru (B). P(A/B) = P(AB)/P(B) = (3/5)(2/4)/(3/5) = 2/4

23. Untukmengerjakankasusdiatas, dapatjugadilakukansebagaiberikut: Perhatikantabelkemungkinandisamping P(A/B)=(6/20)/(12/20)=1/2

25. Peristiwa A dapatditulissebagaigabunganduakejadian yang salinglepas danJadi: Denganmenggunakanprobabilitasbersyaratmaka : Solusi…

26. Diketahui: P(E)=0.9 P(E’)=0.1 P(A|E)=0.2 P(A|E’)=0/3 Sehingga: P(A)=P(E).P(A|E)+P(E’).P(A|E’) =(0.9).(0.2)+(0.2).(0.3) =0.21 Bilasuatusaatdiketahuiterjadiketidakstabilanaruslistrik, probabilitasjikasaatitualiranlistrikberasaldari generator adalah P(E’|A)=P(E’∩A)/P(A) =P(E’).P(A|E’)/P(A) =0.03/0.21 =0.143

27. TeoremaBayes Diberikan B1, B2, ... ,Bnpartisiruangsampel S. Andaikanterjadiperistiwa A; berapakahpeluangterjadinyaperistiwaBj? Denganmemakai def. peluangbersyaratdanteoremapeluang total, diperoleh InidisebutsebagaiTeoremaBayes atauAturanBayes, danadalah (salah satudari) persamaan paling bermanfaat dalamteoripeluangdanstatistik

28. Teorema Bayes Jika B1, B2, …, Bnadalahpartisidari S, dan A adalahsembarangkejadianpada S, makauntuksembarangnilai k = 1, 2, 3, …, n berlaku :

29. Contoh 1 Kota Bogor disebutkotahujankarenapeluangterjadinyahujan (H) cukupbesaryaitusebesar 0.6. Hal inimenyebabkanparamahasiswaharussiap-siapdenganmembawapayung (P). Peluangseorangmahasiswamembawapayungjikaharihujan 0.8, sedangkanjikatidakhujan 0.4. Makapeluanghariakanhujanjikadiketahuimahasiswamembawapayungadalah: P(H) = 0.6 P(TH) = 1-0.6=0.4 P(P/H) = 0.8 P(P/TH) = 0.4 Jadi,

30. Contoh 2 Suatu generator telekomunikasinirkabelmempunyai 3 pilihantempatuntukmembangunpemancarsinyalyaitudidaerahtengahkota, daerah kaki bukitdikotaitudanderahtepipantai, denganmasing-masingmempunyaipeluang 0.2; 0.3 dan 0.5. Bilapemancardibangunditengahkota, peluangterjadiganguansinyaladalah 0.05. Bilapemancardibangundikakibukit, peluangterjadinyaganguansinyaladalah 0.06.Bila pemancardibangunditepipantai, peluangganguansinyaladalah 0.08. 1).Berapakahpeluangterjadinyaganguansinyal? 2).Biladiketahuitelahterjadinyagangguanpadasinyal, berapapeluangbahwa operator tsbternyatatelahmembangunpemancarditepipantai?

31. solusi Deskripsi : A = Terjadiganguansinyal B1 = Pemancardibangunditengahkota B2 = ----------------------------di kaki bukit B3 = ----------------------------ditepipantai

32. Solusi… 1.Peluang terjadinyaganguansinyal P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =(0,2).(0.05)+(0.3)(0.06)+(0.5)(0.08) =0.001+0.018+0.04 =0.068 2. Diketahuitelahterjadiganguan pd sinyal, makapeluangbahwa operator ternyatatelahmembangunpemancarditepipantai >> Dapatdinyatakandgn: “Peluangbersyaratbahwa operator membangunpemancarditepipantaibiladiketahuitelahterjadiganguansinyal”:

33. ASSIGNMENT 04 1.Suatu perusahaanbesarmenggunakan 3 hotel sebagaitempatmenginapparalangganannya. Dari pengalaman yang laludiketahuibahwa 20% langganannyaditempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% kamar mandi di Hotel I tidakberfungsidenganbaik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapapeluangbahwa, a seorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik? b seseorang yang mendapatkamarmandi yang tidakbaikditempatkandi Hotel S?

34. 2. Pada suatu percobaan untuk meneliti pengaruh kebiasaan merokok terhadap kanker paru-paru, dikumpulkan data yang melibatkan 180 orang yang dijelaskan dalam tabel di bawah ini : Satu orang diambil secara acak dari kelompok ini, dan ternyata orang tersebut orang yang bukan perokok. Berapa peluang orang tersebut adalah penderita kanker paru-paru?

35. Soal 3 Suatuperusahaan TV mempunyaitigapabrik, yaitu A, B, dan C denganpersentaseproduksimasing-masingadalah 15%, 35%, dan 50%. Tiappabrikmenghasilkanproduk (TV) cacat, yaitumasing-masing 1% (A), 5% (B), dan 2% (C). Apabilasebuah TV diambilsecaraacakdarikeseluruhanproduk yang ada, berapakahbesarnyapeluangbahwa TV yang terpilihtersebutdalamkeadaancacat? Sebuah TV diambilsecaraacakdanditemukandalamkeadaancacat, brapakahpeluang TV yang cacattersebutberasaldariproduksipabik B?

36. SelamatBelajar..^^