1. 1
III. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS:
Una EDO de primer orden de la forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es homogénea si
M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
En general, una función es homogénea si es del mismo grado en cada uno de
sus términos.
Una función z = f(x, y) que tenga la propiedad z(tx, ty) = t (x, y) se denomina
homogénea de grado n.
Otra forma de identificar una EDO homogénea es si se puede expresar
dy
dx
= f
y
x
o
dx
dy
= f
x
y
Ejemplo:
z = x + xy + y es homogénea de segundo grado
z(tx, ty) = [(tx) + (tx)(ty) + (ty) ] = t x + t xy + t y
= t (x + xy + y )
Solución: se resuelve haciendo el siguiente cambio de variable:
y = u ∗ x → se deriva respecto a x;
dy
dx
= u + x
du
dx
(si N(x, y) es más sencilla)
x = v ∗ y → se deriva respecto a y;
dx
dy
= v + y
dv
dy
(si M(x, y) es más sencilla)
Luego se sustituye el cambio de variable y su derivada en la EDO dada,
obteniéndose una EDO de variables separadas.
Ejemplos:
1) (x + y)dx + (y − x)dy = 0 ; = −
( )
( )
;
y = u ∗ x ; = u + x ; u + x = − ; ; u + x = −
( )
( )
;
x
du
dx
= −
(1 + u)
(u − 1)
− u ; x
du
dx
=
−1 − u − u + u
u − 1
; x
du
dx
= −
(u + 1)
u − 1
;
u − 1
u + 1
du = −
dx
x
;
u
u + 1
du −
1
u + 1
du = −
dx
x

2. 2
=
1
2
ln(u + 1) − arctag(u) = − ln x + C ;
1
2
ln
y
x
+ 1 − arctag
y
x
= − ln x + C
1
2
ln
y + x
x
− arctag
y
x
= − ln x + C
2) y cos + x sin dx = x cos dy → =
y = u ∗ x ; u =
y
x
;
dy
dx
= u + x
du
dx
;
u + x
du
dx
=
[y cos(u) + x sin(u)]
x cos(u)
; u + x
du
dx
= u +
sin u
cos u
; x
du
dx
=
sin u
cos u
cos u
sin u
du =
dx
x
; ln|sin u| = ln x + ln C ; sin u = x ∗ C
sin
y
x
= x ∗ C
3) x(ln x − ln y)dy − ydx = 0 condición particular y(2) = 1
x(ln x − ln y)dy = ydx ;
dx
dy
=
x ln
x
y dy
y
; x = v ∗ y ; v =
x
y
;

3. 3
dx
dy
= v + y
dv
dy
v + y
dv
dy
= v ln v ; y
dv
dy
= v ln v − v ;
dv
v(ln v − 1)
=
dy
y
ln(ln v − 1) = ln y + ln C ; ln ln
x
y
− 1 = ln y + ln C
ln
x
y
− 1 = y ∗ C ; si y(2) = 1 ; ln(2) − 1 = C
ln
x
y
− 1 = y[ln(2) − 1]
4) xdx + (y − 2x)dy = 0 ; = −
y = u ∗ x ;
dy
dx
= u + x
du
dx
u + x
du
dx
= −
(u − 2u + 1)
u − 2
;
u − 2
u − 2u + 1
du = −
dx
x
;
u − 2
(u − 1)
du = −
dx
x
u − 2
(u − 1)
du =
A
u − 1
+
B
(u − 1)
; fracción simple: A = 1 y B = −1
du
u − 1
−
du
(u − 1)
= −
dx
x
; ln(u − 1) +
1
u − 1
= − ln x + C
ln − 1 +
1
− 1
= − ln +

4. 4
5) x + y = 2y ; =
y = u ∗ x ;
dy
dx
= u + x
du
dx
u + x
du
dx
=
2ux − x
ux
; x
du
dx
=
2u − 1
u
– u ; x
du
dx
=
2u − 1 − u
u
u
u − 2u + 1
du = −
dx
x
;
u
(u − 1)
du = −
dx
x
du
u − 1
−
du
(u − 1)
= −
dx
x
; ln(u − 1) +
1
u − 1
= − ln x + C
ln
y − x
x
+
x
y − x
= − ln x + C
6) 3x = 2x + y ; =
y = u ∗ x ;
dy
dx
= u + x
du
dx
u + x
du
dx
=
2x + u x
3x
; x
du
dx
=
2 + u
3
− u ; x
du
dx
=
2 + u − 3u
3
du
u − 3u + 2
=
dx
x
;
du
(u − 2)(u − 1)
=
dx
x
du
(u − 2)(u − 1)
=
A
(u − 2)
+
B
(u − 1)
; fracción simple: A = 1 y B = −1
ln(u − 2) − ln(u − 1) = ln x + ln C ;
u − 2
u − 1
= x ∗ C

5. 5
y
x − 2
y
x − 1
= x ∗ C ;
y − 2x
x
y − x
x
= x ∗ C ;
y − 2x
y − x
= x ∗ C
y − 2x = xyC − x C ; y − xyC = 2x − x C ; y(1 − cx) = 2x − x C
y =
2x − Cx
1 − Cx

6. 6
IV. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS:
Son EDO cuya expresión es la siguiente (ax + by + c)dx = (a x + b y + c )dy o
dy
dx
=
ax + by + c
a x + b y + c
dónde c y c son diferentes de cero
Se presentan dos casos:
a)
a b
a b
= 0 Rectas linealmente dependientes
Se hace el siguiente cambio de variable: u = ax + by
Y se deriva respecto a la variable independiente:
du
dx
= a + b
dy
dx
o
du
dy
= a
dx
dy
+ b
Se sustituye el cambio de variable y su derivada en la EDO,
obteniéndose una EDO de variables separadas.
b)
a b
a b
≠ 0 Rectas linealmente independientes
Se hace el siguiente cambio de variable: x = x + h ; y = y + k
Siendo h y k el punto de intersección de las rectas dadas, se sustituyen
en la EDO y se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Los valores de h y k hallados hacen que la EDO dada se convierta en una
EDO homogénea.
u =
y
x
; y = u ∗ x ;
dy
dx
= u + x
du
dx
v =
x
y
; x = v ∗ y ;
dx
dy
= v + y
dv
dy

7. 7
Ejemplos:
1) (2x − y)dx + (4x − 2y + 1)dy = 0
= ;
2 −1
−4 2
= 4 − 4 = 0 linealmente dependientes
dy
dx
=
2x − y
−2(2x − y) − 1
; u = 2x − y ;
du
dx
= 2 −
dy
dx
2 −
du
dx
=
u
−2u − 1
; 2 +
u
2u + 1
=
du
dx
;
4u + 2 + u
2u + 1
=
du
dx
du
dx
=
5u + 2
2u + 1
;
2u + 1
5u + 2
du = dx ;
2
5
du +
1
25
du
u + 2
5
= dx
2
5
u +
1
25
ln u + 2
5 = x + c ;
2
5
(2 − ) +
1
25
ln 2 − +
2
5
= +
2) (x − y + 1)dy − (x + y − 1)dx = 0
dy
dx
=
x + y − 1
x − y + 1
;
1 1
1 −1
= −1 − 1 = −2 ≠ 0 ; linealmente independientes
x = x + h ; y = y + k ;
dy
dx
=
x + h + y + k − 1
x + h − y − k + 1
sistema de ecuaciones:
dy
dx
=
x + y
x − y
; u =
y
x1
; y = u ∗ x ;
dy
dx
= u + x
du
dx
h + k − 1 = 0 ; h = 0
h − k + 1 = 0 ; k = 1

8. 8
u + x
du
dx
=
x + ux
x − ux
; x
du
dx
=
1 + u
1 − u
− u ; x
du
dx
=
1 + u − u + u
1 − u
1 − u
u + 1
du =
dx
x
;
du
u + 1
−
udu
u + 1
=
dx
x
arctag(u) −
1
2
ln(u + 1) = ln x + c
arctag
y
x
−
1
2
ln
y
x
+ 1 = ln x + c
− 1
−
1
2
ln
− 1
+ 1 = ln +