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ECUACIONES DIFERENCIALES.
= ( ) establece la dependencia funcional entre los valores tomados
por y los valores asignados independientemente a .
Por ejemplo = es la relación existente entre el área de un círculo y
su radio . Si se asume el radio como variable independiente queda
definida el área como = ( ).
= ( ) permite calcular el espacio recorrido por un móvil en un
intervalo de tiempo cuando el móvil se desplaza a velocidad constante.
Las anteriores son modelos o formulas que proporcionan relaciones
entre variables. Sin embargo, cuando se estudian fenómenos de ciencias
naturales o económicos, puede ser más fácil y medir la relación
existente entre las variaciones de las variables, antes que la relación
entre las propias variables.
Ejemplo: Ley de Enfriamiento de Newton
= k(T − T )
: Rapidez con la cual cambia la temperatura del cuerpo
: Temperatura del cuerpo
: Temperatura ambiente
: Constante del cuerpo
Para analizar el fenómeno y predecir valores de para diferentes
valores de , implica establecer y resolver la ecuación planteada.
Ecuaciones como esta se denominan ecuaciones diferenciales.
Ecuación Diferencial: es una ecuación cuya incógnita es una función
en la cual aparece al menos una derivada de la función.
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Ejemplos:
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a:
1. Tipo.
2. Orden.
3. Linealidad.
1. Tipo: a. Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO)
b. Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales (EDP)
EDO: Sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables
dependientes respecto a una variable independiente.
Ejemplo:
+ 10 = − + + 6 = 0
EDP: Sólo contiene derivadas parciales de una o más variables
dependientes respecto a dos o más variables independientes.
Ejemplos:
= − =
3. 3
2do
orden 1er
orden
2. Orden: El orden de una ecuación diferencial (EDO o EDP) es el de
la derivada de mayor orden en la ecuación.
Ejemplo:
+5 − 4 =
Por lo tanto la EDO es de segundo orden
Identificar el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales:
A. ′
= 2
B. + − 15 = 0
C. ′′′
− ′′
+ 4 =
D. − 1 =
3. Linealidad:
Una ecuación diferencial es lineal cuando cumple las siguientes
dos condiciones:
a. La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer
grado.
b. Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente .
Nota: El grado de una ecuación diferencial es el máximo
exponente cual esté elevada la derivada de orden mayor.
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NO SON LINEALES
Ejemplo:
′′
− 3 ′
+ 2 =
′
+ ( ) = ( )
′′′
+ 3 ′′
+ ′
= 0
La segunda EDO es de grado y la tercera EDO tiene un
coeficiente que no depende de y es de segundo grado.
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL: Resolver una
ecuación diferencial es hallar una función tal, que al sustituirla en dicha
ecuación diferencial la transforma en una identidad. Una función con
esta propiedad se denomina una solución de la ecuación diferencial.
Ejemplo: Comprobar que = + 2 es solución de + = 0
Se deriva dos veces la función y cada derivada se sustituye en la EDO.
Si se cumple la igualdad la función es solución de la EDO.
′
= − ′′
=
Ahora se sustituyen estas derivadas en la EDO:
+ − = 0 0 = 0
Las soluciones de una ecuación diferencial se divide en explicita e
implícita.
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Explicita: Es una función o relación ∅( ) que satisface a una ecuación
diferencial y en su estructura la variable dependiente se expresa tan
solo en términos de la(s) variable(s) independiente(s) y constante(s).
Ejemplo: ∅( ) = 2x
Implícita: Es una función ó relación ( , ) = 0 que satisface a una
ecuación diferencial y que involucra en su estructura tanto variables
dependientes como independientes.
Ejemplo: + − 3 = 0
EJERCICIOS:
Comprobar que la función y = f(x) es solución de la ecuación diferencial
en cada caso.
1. xy′
+ y = cosx y =
2. + y = 0 y = c sin x + c cos x
3. = xy y =
4. xy′
+ y = 0 y =
5. y + y′
+ y′′
= (1 + c + c ) y = e
6. xy′
= y ln y y = e ⁄
7. y′′
+ y = 0 y = sin 2x + cos 2x
8. yy′
= x y = √1 + x
6. 6
9. y′
= y + sin x y = e −
10. y′
+ √1 − 3x = 1 y = x + (1 − 3x)
11. y+y′
= y′′
+ y′′′
y = e + e
12. y′
− 4xyy′
+ 8y = 0 y = (x − 1)
13. = 24ax + 4b y = ax bx + cx + 1
CLASIFICACION DE LAS EDO PRIMER GRADO, PRIMER ORDEN.
1) Variables Separadas.
2) Reducibles a Variables Separadas.
3) Homogéneas.
4) Reducibles a Homogéneas.
5) Exactas
6) Factor Integrante.
7) Lineales: Bernoulli y Ricatti.
7. 7
I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARADAS.
Se pueden escribir de la forma ( ) = ( ) y se resuelve integrando
ambos lados de la ecuación, obteniéndose la ecuación ( ) = ( ) + ;
que sería la solución general de la EDO.
Ejemplo:
dy
dx
=
x
y
; ydy = xdx ; ydy = xdx ;
y
2
=
x
2
+ C ; y = x + C
Ejemplo:
dy
dx
= y ;
dy
y
= dx ;
dy
y
= dx ; ln y = x + C ; y = e ; y = e ∗ e ; y = Ce
= es la solución general explicita que representa una familia de
curvas que son solución de la EDO.
Si se quiere obtener una curva de todas ellas se necesita un punto
( , ) prefijado, es decir, que se cumpla la condición ( ) = la cual
se denomina condición inicial del problema.
Y
C=1
C=2
C=3
X
0
8. 8
Se puede tener un valor de C si se tiene ( , ): = ; =
Es decir; que = es una solución particular del problema.
Ejemplo:
Hallar la solución particular de = en el punto (0,0)
dy
dx
= a ∗ a ;
dy
a
= a dx = a dy = a dx
−
a
ln a
=
a
ln a
+ C ; → −a = a + C ∗ ln a ; a + a = C
Cumpliendo la condición (0) = 0 → = 2
− = 2 es la solución particular
II. ECUACIONES DIFERENCIABLES REDUCIBLES A VARIABLES
SEPARADAS:
Son EDO que se pueden escribir de la forma = f(ax + by + c) donde
a ≠ 0 y b ≠ 0.
Se reduce a variables separadas haciendo el cambio U = ax + by + c
y derivándolo respecto a la variable independiente = a + b
se despeja = − a
Luego se sustituye en la EDO el cambio de variable y este despeje,
quedando una EDO de variables separadas.
NOTA: Existe una excepción, sólo una de las variables puede tener
exponente 2.
9. 9
Ejemplos:
1) y = −2(2x + 3y) ; = −2(2x + 3y)
Haciendo el cambio de variable: U = 2x + 3y
Y derivándolo respecto a x: = 2 + 3
Despejando: = − 2
Ahora se sustituye el cambio de variable y el despeje en la EDO:
1
3
dU
dx
− 2 = −2U ;
dU
dx
− 2 = −6U ;
dU
dx
= −6U + 2
dU
dx
= −6 U −
1
3
;
dU
U −
1
3
= −6 dx;
1
2
1
√3
ln
U −
1
√3
U +
1
√3
= −6x + C
2) = ; U = x + y + 1 ; = 1 + ; = − 1
dU
dx
− 1 =
1
U
;
dU
dx
=
1 + U
U
;
U
U + 1
dU = dx ; 1 −
1
U + 1
dU = dx
U − ln|U + 1| = x + C ; x + y + 1 − ln|x + y + 2| = x + C
10. 10
3) = (x + y + 1) ; U = x + y + 1 ; = 1 + ; = − 1
− 1 = U ; = U + 1 ; ∫ = ∫ dx ; arctag(U) = x + C
4) = tag (x + y) ; U = x + y ; = 1 + ; = − 1
− 1 = tag (U) ; = tag (U) + 1 ; = sec (U) ; ∫ ( )
= ∫ dx
∫ cos U dU = ∫ dx Recordar que: cos x =
∫(1 + cos2U)dU = ∫ dx ; U + sin 2U = x + C
5) = 2 + y − 2x + 3 ; U = y − 2x + 3 ; = − 2 ; = + 2
+ 2 = 2 + √U ; ∫ √
= ∫ dx ; − √U = x + C
6) = (8x + 2y + 1) ; U = 8x + 2y + 1 ; = 8 + 2 ; = − 8
− 8 = U ; = 2U + 8 ; = 2(U + 4) ; ∫ = 2 ∫ dx
= arctag = 2x + C
arctag(x + y + 1) = x + C
1
2
(x + y) +
1
4
sin(2x + 2y) = x + C
