1. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN.

2. ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM
Cho y = f(x) xác định trong (a, b) ∋ x0, xét tỷ số
∆f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
= =
∆x x − x0 ∆x
Nếu tỷ số trên có giới hạn hữu hạn khi x → x0
hay ∆x → 0 thì f có đạo hàm tại x0.
Đặt
∆f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim
x → x0 ∆x
( ∆x → 0)

3. ∆f ( x0 )
tan ϕ =
∆f(x0) αϕ ∆x
x → x0
tan α = f ′( x0 )
∆x
x0 x
f’(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong
(C): y = f(x) tại tiếp điểm M(x0, f(x0))

4. ∆f ( x0 )
Đạo hàm trái tại x0: ′
f− ( x0 ) = lim
−
x → x0 ∆x
( ∆x → 0− )
∆f ( x0 )
′
f+ ( x0 ) = lim
Đạo hàm phải tại x0: +
x → x0 ∆x
( ∆x → 0+ )
f có đạo hàm tại x0
′ ′
⇔ f− ( x0 ) = f+ ( x0 )

5. Cách tính đạo hàm
• Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công
thức đạo hàm sơ cấp và các quy tắc(tổng, hiệu,
tích, thương, hàm hợp).
• Nếu tại x0, biểu thức f ’ không xác định: tính bằng
định nghĩa.
• Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x0: tính
bằng định nghĩa.
• Nếu f(x) = u(x)v(x) hoặc f(x) là tích thương của
nhiều hàm: tính (lnf)’

6. Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra
x ln x
1 / f (x) = 2 tại x = 1
x ln x
f ′( x ) = 2 ln 2( x ln x )′
x ln x
=2 ln 2(ln x + 1)
f ′(1) = ln 2

7. 2 / f (x) = x tại x = 0
x, x ≥ 0
f (x) = 
− x , x < 0
f ( x ) − f (0) x − 0
=
x −0 x
0+ 1
x →
x→
0- −1
⇒f ’(0) không tồn tại

8.  x 2 sin 1 , x ≠ 0

3 / f (x) =  x
0,
 x =0
1 1
x≠0 f ′( x ) = 2 x sin − cos
x x
x =0 Tính bằng định nghĩa.

9. 2 1
f ( x ) − f (0) x sin − 0
= x
x −0 x
1 x→ 0
= x sin  0 →
x
⇒ f ′(0) = 0

10. x ,
2
x ≤1
4 / f (x) =  tại x = 1
2 x − 1, x >1
f ( x ) − f (1) 2
x −1
lim = lim =2
x →1− x −1 x →1− x −1
f ( x ) − f (1) 2x − 1 − 1
lim = lim =2
x →1+ x −1 x →1+ x −1
⇒ f ′(1) = 2

11. Đạo hàm và liên tục
f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0.
VD: tìm các hằng số a, b để f có đạo hàm tại x0
(Nên xét tính liên tục tại x0 trước)
a sin x + b cos x + 1, x < 0
f (x) = 
2 x + 1, x ≥ 0
Tìm a, b để f có đạo hàm tại x = 0

12. Đạo hàm hàm ngược
Cho y = f(x): (a, b)→(c, d) liên tục và tăng ngặt.
Khi đó tồn tại hàm ngược f −1: (c, d) → (a, b) liên
tục và tăng ngặt.
Nếu tồn tại f ’(x0) ≠ 0, xo ∈(a, b) thì tại y0 = f(x0), f −1
có đạo hàm và
−1 1
(f )′( y 0 ) =
f ′( x0 )
−1 1
Ta thường viết: (f )′ =
f′

13. Đạo hàm các hàm lượng giác ngược
 π π
• y = arcsinx, x ∈(-1, 1) ⇔ x = sin y, y ∈  − , 
 2 2
1 1 1 1
y ′( x ) = = = =
x ′( y ) cos y 2
1 − sin y 1− x 2
 π π
• y = arctanx, x∈R ⇔ x = tan y, y ∈  − , 
 2 2
1 1 1
y ′( x ) = = =
x ′( y ) 1 + tan 2 y 1 + x 2

14. Bảng công thức đạo hàm các hàm mới
1
( arcsin x ) ′ = 2 ( cosh x ) ′ = sinh x
1− x
( arccos x ) ′=− 1 ( sinh x ) ′ = cosh x
2
1− x 1
( tanh x ) ′ =
( arctan x ) ′= 1 2
cosh x
2
1+ x ′=− 1
( coth x )
( arccot ) ′=− 1 sinh x2
2
1+ x

15. Đạo hàm hàm cho theo tham số
 x = x (t )
Cho các hàm số : 
 y = y (t )
Nếu : * x = x(t) có hàm ngược t = t(x)
* x(t) và y(t) có đạo hàm, x’(t) ≠ 0
y ′( x ) = y ′(t ).t ′( x )
y ′(t )
y ′( x ) =
x ′(t )

16. Ví dụ
 x (t ) = t .et − 1 Tính y’(x) tại x = -1
Cho : 
 2
 y (t ) = t + t

y ′(t ) 2t + 1
y ′( x ) = = t
x ′(t ) e + t .e t
x = -1 ⇔ t.et – 1 = – 1 ⇔ t = 0
⇒ y ′(−1) = 1

17. ĐẠO HÀM CẤP CAO
Cho f(x) có đạo hàm cấp 1 trong lân cận x0, nếu f’
có đạo hàm tại x0, đặt
f ′′( x0 ) = ( f ′( x ) ) ′ x = x0
Có thể viết: f ′′( x ) = ( f ′( x ) ) ′
Tổng quát: đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo
hàm cấp (n – 1)
f (n ) f ( n −1) ( x ) ′
(x) =  

18. Ví dụ
1
Tìm đạo hàm cấp 2 của f tại x = 1: f ( x ) = arctan
x
 1 ′ 1 1 1 1
f ′( x ) =   2
=− 2 2 =− 2
x 1 x 1+ x 1+ x
1+   2
x x
 − 1 ′
f ′′( x ) = 
2x
2 =
 1+ x 
(1+ x )
2 2
1
⇒ f ′′(1) =
2

19. Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản
(a )
x (n )
=a x
( ln a ) n
(e )
x (n )
=e x
α  (n )
( ax + b ) α −n
= a α (α − 1)L (α − n + 1) ( ax + b )
n
 
(n ) n
 1  n a
  = (−1) n ! n +1
 ax + b  (ax + b)
n
(n ) n −1 a
[ ln(ax + b)] = (−1) (n − 1)!
(ax + b)n

20. Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản
(n )  ax + b + n π 
[ sin(ax + b)] = a sin 
n

 2
(n )  ax + b + n π 
[ cos(ax + b)] = a cos 
n

 2

21. Công thức đạo hàm cấp cao
(n )
Đạo hàm cấp cao ( f ± g) = f (n ) ± g (n )
của tổng hiệu:
Đạo hàm cấp cao n
của tích:
( f .g ) (n )
= ∑ Cn f (k )g (n −k )
k
k =0
(công thức Leibnitz)

22. Ví dụ
1. Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1.
2x − 3 5 1 1 1
f (x) = 2 = +
x −x−2 3 x +1 3 x − 2
7 7
(7) 5 (−1) 1 (−1)
f (x) = +
3 ( x + 1)8 3 ( x − 2)8
7 7
(7) 5 (−1) 1 (−1) 1 5 
f (1) = +
8 3 8
= −  8 + 1
3 (1 + 1) (1 − 2) 3 2 

23. 1. Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1.
2 2x
f ( x ) = ( x − x ).e
7
f (7)
(x) = ∑ k 2
C7 ( x − x) (k )
(e )
2 x (7 − k )
k =0
0 2
= C7 ( x (e )
− x) (0) 2 x (7) 1 2
+ C7 ( x − x) (1)
(e )
2 x (7 −1)
+L + C7 ( x − x ) ( e )
7 2 (7) 2 x (7 − 7)

24. = C7 ( x 2
0
(e )
− x) (0) 2 x (7)
+ C7 ( x 2
1
− x) (1)
(e )
2 x (7 −1)
+ L + C7 ( x − x ) ( e )
7 2 (7) 2 x (7 − 7)
2 7 2x 6 2x
= 1.( x − x ).2 e +7.(2 x − 1).2 e
7.6
+ ⋅ 2 ⋅ 25 ⋅ e 2 x +0
2
(7) 6 2
f (1) = 28.2 .e

25. Đạo hàm cấp cao của hàm tham số
 x = x (t ) y (t )
Cho các hàm số :  y ′( x ) =
 y = y (t ) x ′(t )
 y (t ) ′
′ =( y ′( x ) ) ′t  x ′(t )  t
 
y ′′( x ) = ( y ′( x ) ) x =
x ′(t ) x ′(t )
y ′′( x ) =
y ′′(t ) x ′(t ) − y ′(t ) x ′′(t )
(
y (n ) ( x ) =
y ( n −1)
(x))′
[ x′(t )] 3
x ′(t )
t

26. Ví dụ
Cho y(t) = t2 + 1, x(t) = t3 – t + 2, tính y”(t)
y ′(t ) 2t
y ′( x ) = = 2
x ′(t ) 3t − 1
 2t ′
( y ′( x ) ) ′t  2 
 3t − 1  t
y ′′( x ) = =
x ′(t ) 2
3t − 1
2
2(3t − 1) − 6t .2t
=
(3t 2 − 1)3
−2 − 6t
= 2
(3t − 1)3

27. Cách 2: y(t) = t2 + 1, x(t) = t3 – t + 2
y ′′(t ) x ′(t ) − y ′(t ) x ′′(t )
y ′′( x ) =
[ x′(t )] 3
2
2.(3t − 1) − 6t .2t −2 − 6t
= 2 3
= 2 3
(3t − 1) (3t − 1)

28. SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN
f khả vi tại xo nếu tồn tại một hằng số A sao cho
∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = A.( x − x0 ) + o ( x − x0 )
hay f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = A.∆x + o (∆x )
Khi đó đại lượng: dy = df ( x0 ) = A.∆x
gọi là vi phân của f tại xo

29. Ví dụ
Cho f(x) = x2 , chứng minh f khả vi và tìm df(1)
f ( x ) − f (1) = x 2 − 1
= ( x − 1)( x + 1)
= ( x − 1)( x − 1 + 2)
2
= 2( x − 1) + ( x − 1)
df(1) o(x – 1)

30. ∆y
M ( x0 , y 0 ) dy
= f ′( x0 )∆x
∆x
dx

31. Đạo hàm và vi phân
f khả vi tại xo ⇔ f có đạo hàm tại xo
df ( x0 ) = f ′( x0 ).∆x
Cách viết thông thường: df ( x0 ) = f ′( x0 ).dx
Cách viết khác của đạo hàm:
df ( x0 )
= f ′( x0 )
dx

32. Ví dụ
• Tìm vi phân của f(x) = xex tại x = 0
df (0) = f ′(0).dx
x
f ′( x ) = ( x + 1)e ⇒ f ′(0) = 1
⇒ df (0) = 1.dx = dx
1. Tìm vi phân của f(x) = xsinx
df ( x ) = f ′( x ).dx = ( sin x + x cos x ) dx

33. Các phép tính vi phân
d (c.f ) = cdf , c = const
d ( f ± g ) = df ± dg
d ( f .g ) = gdf + fdg
 f  gdf − fdg
d  = 2
 g g

34. Vi phân hàm hợp
Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập): dy = f ′( x )dx
Nếu x = x(t) , y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi
⇒ y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập):
y ′(t ) = [ f ( x (t ))] ′ = f ′( x ).x ′(t )
dy = y ′(t )dt = f ′( x ).x ′(t )dt = f ′( x )dx
Dù x là biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân
của y theo x không đổi.

35. Ví dụ áp dụng
Cho y = f(x) = sin(x2),
2. Tính dy theo dx
3. Với x = x(t) = arctan(t), tính dy theo dt tại t = 1
1. dy = y ′( x )dx = 2 x cos( x 2 )dx
2 2
2. y = sin( x ) = sin(arctan t )
( ) (
dy = y ′(t )dt = arctan 2 t ′ cos arctan 2 t dt)
= 2arctan t
1
1+ t2
( )
cos arctan 2 t dt

36. Cách khác: dùng vi phân hàm hợp
2
dy = y ′( x )dx = 2 x cos( x )dx ( dx = x′(t )dt )
= 2 x cos( x ).( arctan t ) ′ dt
2
2 1
= 2 x cos( x ) ⋅ 2
dt
1+ t
Tại t = 1, x = π/4
π π 2 
⇒ dy = cos   dt
4  16 

37. VI PHÂN CẤP CAO
1. Nếu x là biến độc lập: dx = ∆x : là hằng số
d y = d ( dy )
2
= d ( y ′dx ) = ( y ′′dx ) dx = y ′′dx 2
n (n ) n
d y =y dx
1. Nếu x = x(t): dx = x’dt : là hàm số
d y = d ( dy ) = d ( y ′dx ) = d ( y ′).dx + y ′d ( dx )
2
2
d y =y ′′dx 2 + y ′d 2 x

38. Ví dụ
Cho y = sin(x)
• Tính d2y theo dx.
• Nếu x = ch(t), tính d2y theo dt.
2
1. d y = y ′′( x )dx 2 = − sin xdx 2
2. y = sin ( cosh t )
2 2
d y = y ′′(t )dt
= cosh t cos ( cosh t ) − sinh 2 t sin ( cosh t )  dt 2
 

39. 2. d 2 y = y ′′( x )dx 2 + y ′( x )d 2 x
y ′( x ) = cos x , y ′′( x ) = − sin x
2 2 2
dx = sinh tdt ⇒ dx = sinh tdt
2 2
d x = cosh(t )dt
2 2 2 2
⇒ d y = − sin x.sinh tdt + cos x.cosh tdt
( 2
= − sin x.sinh t + cos x.cosh t dt ) 2

40. Tổng kết.
1. Tính đạo hàm cho 2 loại hàm số (y = f(x), tham
số).
2. Nếu x là biến độc lập: tính vi phân là tính đạo
hàm
3. Nếu x = x(t) (là hàm số):
• Vi phân cấp 1 : dy = y’(x)dx, sau đó khai triển
dx theo dt
• Vi phân cấp 2: d2y = y”dx2 + y’d2x
cuối cùng phải đưa về dt2(chỉ tính đến cấp 2)