1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad “Fermín Toro”
Cabudare – Lara
Teoría de los errores.
Integrantes:
Edisson Adan C.I 23488760
Sección. SAIA B
Cabudare, Estado Lara 2015
2. Teoría de errores
Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define
como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va:
e = Vr – Va
Existen diferentes tipos errores, cada uno se puede expresar en forma
absoluta o en forma relativa.
Tipos de errores
Error de redondeo: Se originan al realizar los cálculos que todo método
numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas
las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los
cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que
permita el instrumento de cálculo que se este utilizando.
Existen dos tipos de errores de redondeo:
• Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se
pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.
• Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas
según el signo del número en particular: para números positivos, el
último dígito que se puede conservar en la localización de memoria
incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o
igual a 5. para números negativos, el último dígito que se puede
conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el
primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.
Error por truncamiento: Existen muchos procesos que requieren la ejecución
de un número infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un
determinado problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas
instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la
solución exacta que se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma.
Al error producido por la finalización prematura de un proceso se le denomina
error de truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones
3. es el desarrollo en serie de Taylor. Este es independiente de la manera de
realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.
Error numérico total: Se entiende como la suma de los errores de redondeo y
truncamiento introducidos en el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que
realiza para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando.
Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más
términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor
número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).
Errores humanos: Son los errores por negligencia o equivocación. Las
computadoras pueden dar números erróneos por su funcionamiento.
Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres. Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios
fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de la solución del
problema. Los errores humanos por negligencia son prácticamente inevitables
pero se pueden minimizar.
Error inherente: En muchas ocasiones, los datos con que se inician los
cálculos contienen un cierto error debido a que se han obtenido mediante la
medida experimental de una determinada magnitud física. Así por ejemplo, el
diámetro de la sección de una varilla de acero presentará un error según se
haya medido con una cinta métrica o con un pie de rey. A este tipo de error se
le denomina error inherente.
Error absoluto: Es la diferencia entre el valor exacto (un número
determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado:
Error absoluto = [exacto - calculado]
Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error
absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se
incrementan juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el
redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible que
una suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de
los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero también es demasiado
4. optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoque
realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están
estadísticamente distribuidos.
Error relativo: Es el error absoluto dividido entre un número positivo
adecuado. Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del
valor exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de
estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremos
Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]
El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en
especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que
los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera
uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los
números que se redondean. El denominador de la ecuación de arriba
compensa este efecto.
Una característica relacionada de error relativo es que los efectos de escalar
la variable (es decir, de multiplicarla por una constante distinta de cero,
incluyendo cambios en la unidad de medición) se cancelan. Una buena medida
del error debería ser "invariante de las escalas", de modo que al cambiar de
yardas a pulgadas, digamos, no debería amplificar el error aparente por 36,
como sucedería en la ecuación de arriba. Si bien las matemáticas puras se
inclinarían a utilizar el error absoluto, en general el error relativo se emplea en
las ciencias aplicadas.
Algunas veces conviene multiplicar el error relativo por 100 (por ciento) para
ponerlo en una base porcentual.
Propagación del error
Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema
son mas importantes de lo que aparentemente puede parecer.
Desafortunadamente, esto errores se propagan y amplifican al realizar
operaciones con dichos datos, hasta el punto de que puede suceder que el
5. resultado carezca de significado. Con el propósito de ilustrar esta situación,
seguidamente se calcula la diferencia entre los números:
a = 0.276435 b = 0.2756
Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por
aproximación y trabajando con tres dígitos de mantisa, los valores aproximados
a dichos números y el error relativo cometido es:
a = 0.276 error relativo= 1.57x10-3
b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3
Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia
entre los aproximados se obtiene:
a - b = 0:000835
a'- b'= 0.0
Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del
100%. Este ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el
error de redondeo de los datos se ha amplificado al realizar una única
operación, hasta generar un resultado carente de significado.
Calculo de la propagación de errores inherentes y de redondeo
utilizando la grafica de un proceso
Grafica de un proceso
Una grafica de un proceso es la representación de un algoritmo, con una
convención para identificar las flechas que aparecen en la grafica, de forma
que sea fácil determinar el error relativo total (propagación del inherente mas
propagación del de redondeo) en el resultado final
Ejemplo de diagrama para las operaciones elementales
8. Llamaremos a los errores relativos inherentes: , ,a b ci i i y a los errores
relativos de redondeo en cada suma 1 2yε ε .
Sabemos que 1 2yε µ ε µ≤ ≤
La grafica correspondiente es:
El error relativo total en n será:
1
b c
n
i b i c
er
b c
ε
+
= +
+
Y el error relativo final será:
2 1 2
n a a b c
y y
er n i a ai bi ci b c
er er
a n a b c a b c
ε ε ε
+ + + +
= + ⇒ = + +
+ + + + +
Si suponemos que r es una cota para los errores relativos inherentes,
obtenemos una cota para el error relativo total:
1y
a b c b c
er r
a b c a b c
µ
+ + +
≤ + + ÷ ÷+ + + +
9. El termino que multiplica a r se lo denomina condición del problema ( pC ) y
es el factor de amplificación de los errores relativos inherentes. La condición
del problema depende exclusivamente del problema numérico.
El termino que multiplica a µ se denomina termino de estabilidad ( eT ) y
depende del problema numérico y del algoritmo.
Estabilidad
Un algoritmo es numéricamente estable si y solo si:
Números de condición
Podría ocurrir que los resultados de un problema tengan poca precisión esto
puede deberse a dos cosas: el algoritmo puede no ser el mas conveniente en
ese caso se dice que el algoritmo esta mal condicionado o el algoritmo es
numéricamente inestable; o también puede ser consecuencia del problema
numérico mismo, es decir los resultados pueden ser muy sensibles a las
perturbaciones de los datos de entrada, independientemente del algoritmo
elegido, en ese caso diremos que el algoritmo es numéricamente inestable o
que el problema numérico es inestable.
Número de condición del problema
Supongamos que tenemos un problema numérico representado por:
( )
( )
( )
1
:
1, ,
n m
n
i
k
k ki
p
i
Y P X P R R
Definimos
P
X x
x
C i m
P X
=
= →
∂
∂
= =
∑
K
Y el número de condición del problema:
10. { } 1
max , 1, , ,
ti m
p p p pC C i m C C = = = L L
Definimos el vector de errores relativos inherentes:
( )
1
1
1
, , sup
, mod cot
, ,
n
i k
i
m
t
x x x x
n
i
y x
k k
i
y p x
t
y y y
y p x p
er er er y ongamos que er r
P
e X e
x
dividiendo tomando ulo y a ando resulta
er C er
Sea er er er resulta
er C er C r
=
= ≤
⇒
∂
=
∂
≤
=
≤ ≤
∑
L
L
Por lo tanto podemos decir que pC depende de los datos de entrada y es
una cota del cambio relativo que el resultado exacto del problema puede tener
si se producen perturbaciones relativas en los datos de entrada acotadas por r.
Número de condición del algoritmo.
Antes de hablar del numero de condición del algoritmo, supongamos que la
maquina opera con una unidad aritmético-lógica con 2t dígitos y luego
almacena en la memoria el resultado redondeado a t dígitos. De acuerdo a lo
visto anteriormente en el apartado ”Error relativo máximo de representación”
podemos escribir:
( ) ( ) ( )1fl x op y x op y ε ε µ= − ≤
Donde op representa una operación elemental y ε es el error relativo de
redondeo o representación de la operación ( )x op y
Simbolizamos por ( ) : n m
y A X R R= → al algoritmo para resolver el problema:
11. ( ) : n m
Y P X R R= → . Si no existieran errores de redondeo ocurriría:
( ) ( )A X P X= .
Pero nos interesa cuantificar la influencia de los errores de redondeo, por lo
tanto utilizaremos la notación ( )Y A X= para simbolizar el resultado
considerando solo los errores de redondeo.
Ver grafico
A(x) es el valor exacto calculado con el algoritmo A.
( )A X es el valor calculado con una máquina.
Sea ( )i iy A X= . Si el cálculo de ( )iA X implica L operaciones, efectuando un
análisis retrospectivo de errores tenemos:
( ),
1
1
L
i i i k k k
k
y y F X conε ε µ
=
= + ≤ ÷
∑
Llamamos a los ,i kF factores de amplificación.
Definimos
( ),
1
L
i i k
k
i i
a i
p
E F X
E
C
C
=
=
=
∑
Con estos valores definimos el número de condición del algoritmo como:
12. { } 1
max , 1, , ,
ti m
a a p pC C i m C C = = = L L
