Dokumen tersebut membahas tentang ruang vektor dimensi 2 dan 3. Ruang vektor dimensi 2 dan 3 merupakan himpunan titik yang terdiri dari pasangan dan tripel bilangan riil yang masing-masing mewakili koordinat x dan y, serta x, y dan z. Ruang vektor ini memiliki sistem koordinat kartesius untuk menggambarkan letak titik-titiknya. Vektor merupakan besaran fisis yang memiliki nilai dan arah, yang dapat

1. VEKTOR DI RUANG DIMENSI 2 DAN 3
Setiap objek pembicaraan dalam matematika memiliki ruang himpunan di mana objek itu
berasal. Di dalamnya terdapat aturan-aturan yang berlaku yang dipenuhi oleh setiap
anggotanya. Misalnya, semua bilangan nyata tergabung dalam sebuah himpunan
bilangan yang dinamakan himpunan bilangan real (ℝ). Semua sifat-sifat dan aturan
perhitungan bilangan real berlaku bagi semua himpunan anggotanya, seperti pada
bilangan rasional, irasional, bulat, pecahan, dan lain- lain.
Sebelum membahas lebih jauh mengenai vektor, akan diperkenalkan tentang konsep
ruang, mulai dari dimensi terkecil hingga dimensi yang digeneralisasi, sebagai ruang-n.
1. Ruang Dimensi-n
Himpunan bilangan nyata (real) biasanya digambarkan ke dalam sebuah gambar
sederhana yang disebut garis bilangan. Garis bilangan dapat dianggap sebagai grafik
sederhana yang menyatakan letak suatu bilangan, di mana bilangan yang lebih besar
berada di sebelah kanan bilangan yang lebih kecil.
Karena garis bilangan hanya memiliki satu dimensi yaitu panjang, maka himpunan
bilangan real dapat dinyatakan sebagai ruang berdimensi-1. Meskipun kata „ruang‟
menunjukkan suatu tempat berdimensi-3, namun dalam matematika „ruang‟
mempunyai makna tersendiri. Berdasarkan definisinya, ruang dalam matematika
merupakan himpunan dari objek-objek yang memiliki sifat yang sama dan memenuhi
semua aturan yang berlaku dalam ruang tersebut.
Definisi Ruang-1 atau 𝑅 1
Ruang dimensi-1 atau ruang-1 (𝑅 1 ) adalah himpunan semua bilangan real (ℝ).
Himpunan bilangan real dapat digambarkan oleh garis bilangan real :
Bil. Rasional & irasional
-3 -2 -1 0 1 2 3
Bulat Negatif Nol Bulat Positif
Jadi, garis bilangan berfungsi untuk menunjukkan letak suatu titik pada s uatu garis
berdasarkan besarnya. Gagasan ini memunculkan gagasan berikutnya bahwa suatu
titik dapat berada pada suatu bidang ataupun ruang. Pada pertengahan abad ke-17
lahirlah konsep ruang dimensi-2 dan dimensi-3, yang kemudian pada akhir abad ke-19
para ahli matematika dan fisika memperluas gagasannya hingga ruang dimensi-n.
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 29

2. Definisi Ruang-2 atau 𝑅 2
Ruang dimensi-2 atau ruang-2 (𝑅 2 ) adalah himpunan pasangan bilangan berurutan
(𝑥, 𝑦), di mana x dan y adalah bilangan-bilangan real. Pasangan bilangan (𝑥, 𝑦)
dinamakan titik (point) dalam 𝑅 2 , misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦). Bilangan x
dan y disebut koordinat dari titik P.
Untuk menggambarkan titik-titik di 𝑅 2 secara geometris, koordinat x dan y dianggap
berada pada dua garis bilangan yang berbeda yang membentuk suatu sistem koordinat.
Garis bilangan tersebut dinamakan sumbu koordinat. Sumbu koordinat tersebut
digambarkan saling tegak lurus dan membentuk suatu sistem yang disebut sistem
koordinat siku-siku. Pada 𝑅 2 sistem ini dinamakan sistem koordinat-xy atau sistem
koordinat kartesius (Cartesian system) yang dibangun oleh :
 Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (x, 0).
 Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, y).
Suatu titik yang berada tepat di kedua sumbu dinamakan titik asal (origin point) ditulis
O(0, 0). Titik ini adalah titik di mana sumbu x dan y saling berpotongan.
y
x
O
Definisi Ruang-3 atau 𝑅 3
Ruang dimensi-3 atau ruang-3 (𝑅 3 ) adalah himpunan tripel bilangan berurutan
(𝑥, 𝑦, 𝑧), di mana x, y, dan z adalah bilangan-bilangan real. Tripel bilangan (𝑥, 𝑦, 𝑧)
dinamakan titik (point) dalam 𝑅 3 , misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧). Bilangan
x, y, dan z, disebut koordinat dari titik P.
Seperti halnya 𝑅 2 , 𝑅 3 memiliki sistem koordinat siku-siku yaitu sistem koordinat-xyz,
dengan titik asal 𝑂 0, 0, 0 , yang dibangun oleh :
 Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat
(𝑥, 0, 0).
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 30

3.  Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat
(0, 𝑦, 0).
 Sumbu z (z-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat
(0, 0, 𝑧).
Menjelang akhir abad 19, para matematikawan dan fisikawan mulai menemukan
gagasan bahwa dimensi tidak hanya terbatas pada dimensi-3 dengan tripel
bilangannya, tetapi juga kuadrupel sebagai titik pada ruang dimensi-4, kuintupel pada
ruang dimensi-5, dan seterusnya. Hal ini menghasilkan generalisasi untuk ruang
dimensi-n.
Definisi tupel -n-berurutan
Jika n adalah sebuah bilangan positif, maka tupel-n-berurutan (ordered-n-tuple)
adalah sebuah urutan n buah bilangan real (𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 ).
Definisi Ruang-n atau 𝑅 𝑛
Ruang dimensi-n atau ruang-n (𝑅 𝑛 ) adalah himpunan semua tupel-n-berurutan
(𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 ), dengan 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , dan 𝑎 𝑛 adalah bilangan-bilangan real. Tupel-n
bilangan 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 dinamakan titik (point) dalam 𝑅 𝑛 , misal suatu titik P dapat
ditulis 𝑃(𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 ). Bilangan 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , dan 𝑎 𝑛 disebut koordinat dari P.
Jelas bahwa ruang dimensi-n dengan n > 3 tidak dapat divisualisasikan secara
geometris, namun penemuan ini sangat berguna dalam pekerjaan analitik dan numerik,
karena tidak sedikit permasalahan nyata tidak dapat divisualisasikan dengan grafis
namun memerlukan penalaran dan penyelesaian secara matematis.
𝑅 𝑛 yang merupakan generalisasi dari 𝑅 1 , 𝑅 2 , dan 𝑅 3 , menyebabkan sifat-sifat dan
aturan-aturan di dalamnya adalah sama, perbedaannya hanya terletak pada ukuran atau
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 31

4. banyak komponen yang akan dihitung. Walaupun bab ini hanya menyajikan definisi,
teorema, atau sifat-sifat dalam 𝑅 2 dan 𝑅 3 , tetapi semuanya akan berlaku untuk 𝑅 𝑛 ,
setelah dimodifikasi sesuai dimensinya. Seperti definisi jarak antar dua titik dalam 𝑅 2
dan 𝑅 3 berikut yang dapat digeneralisasi untuk 𝑅 𝑛 .
Definisi Jarak Dua Titik
Jarak antara dua titik 𝐴(𝑥 1 , 𝑦1 ) dan 𝐵(𝑥 2 , 𝑦2 ) di 𝑅 2 didefinisikan oleh :
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥 1 2+ 𝑦2 −𝑦1 2
Jarak antara dua titik 𝐴(𝑥 1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) dan 𝐵(𝑥 2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) di 𝑅 3 didefinisikan oleh :
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 −𝑦1 2 + 𝑧2 −𝑧1 2
2. Titik dan Garis
Pada bagian sebelumnya telah dibahas pengertian titik pada 𝑅 2 dan 𝑅 3 serta 𝑅 𝑛
secara umum. Definisi titik ini sama untuk semua rua ng, yang berbeda hanyalah
kedudukannya di dalam masing- masing ruang tersebut. Dua titik atau lebih jika
dihubungkan akan membentuk garis, kumpulan garis-garis akan menjadi bidang, dan
kumpulan bidang-bidang akan menjadi ruang.
Geometri adalah cabang matematika yang khusus mempelajari titik, garis, dan bidang.
Mengenai garis, geometri hanya terbatas pada kuantitas dan kedudukan, seperti
panjang garis atau besar sudut antara dua garis, tetapi tidak pada arahnya serta
kedudukannya dalam suatu bidang atau ruang. Ilmu vektor merupakan cabang dari
matematika yang mempelajari ruas garis berarah yang dinamakan vektor.
3. Vektor
Banyak kuantitas fisis, seperti luas, panjang, massa, suhu, dan lainnya, dapat
dijelaskan secara lengkap hanya dari besarnya, misalnya 50 kg, 100 m, 30 ℃, dll.
Kuantitas fisis ini dinamakan skalar. Dalam matematika, skalar mengacu pada semua
bilangan yang bersifat konstan.
Namun, ada kuantitas fisis lain yang tidak hanya memiliki besar/nilai tapi juga arah,
seperti kecepatan, gaya, pergeseran, dan lain- lain. Kuantitas fisis ini dalam fisika
maupun matematika dinamakan vektor. Dalam matematika, ilmu vektor menjadi salah
satu cabang ilmu yang semakin luas perkembangannya serta penerapannya, dan tidak
terbatas pada mempelajari besaran-besaran yang memiliki nilai dan arah tetapi sebagai
suatu besaran yang memiliki banyak komponen yang membentuk satu kesatuan dari
besaran itu sendiri.
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 32

5. Notasi Vektor
Vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil tebal (a), atau diberi tanda panah di
atasnya (𝑎), atau tanda garis bawah ( 𝑎 ).
Definisi Vektor
Sebuah vektor a dengan komponen-n (berdimensi-n) di dalam 𝑅 𝑛 adalah suatu aturan
tupel-n dari bilangan-bilangan yang ditulis sebagai baris (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ) atau sebagai
𝑎1
𝑎2
kolom ⋮ , dengan 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 adalah bilangan-bilangan real dan dinamakan
𝑎𝑛
komponen dari vektor a.
𝑎1
Dengan demikian, di 𝑅 2 vektor dapat ditulis : 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 ) atau 𝐚 = 𝑎2 , dan di 𝑅
3
𝑎1
vektor dapat ditulis : 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) atau 𝐚 = 𝑎2 . Pada bagian berikutnya, vektor
𝑎3
akan sering disajikan dalam bentuk baris (vektor baris).
Berdasarkan definisi titik dan vektor, simbol (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ) mempunyai dua tafsiran
geometrik yang berbeda, yaitu sebagai titik dalam hal 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 adalah koordinat,
dan sebagai vektor dalam hal 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 adalah komponen.
Arti Geometrik Vektor
Secara geometris, vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah atau panah. Arah
panah menentukan arah vektor dan panjangnya menyatakan besar vektor. Ekor panah
dinamakan titik awal (initial point) dan ujung panah dinamakan titik ujung/terminal
(terminal point).
Titik ujung
a
Titik awal
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor. Misal pada 𝑅 2 ,
vektor 𝐯 = (2, 3) berarti dari titik awal bergerak 2 satuan ke kanan, kemudian 3
satuan ke atas. Pada 𝑅 3 , misalkan sebuah vektor 𝐯 = 3, 4, −2 berarti dari titik awal
bergerak 2 satuan ke depan (x-positif), 4 satuan ke kanan (y-positif), dan 2 satuan ke
bawah (z- negatif).
Definisi berikut dapat memperjelas tafsiran geometrik vektor.
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 33

6. Definisi Vektor Posisi
Vektor posisi dari 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ) adalah suatu vektor yang titik awalnya adalah titik
asal O dan titik ujungnya adalah A, dan ditulis 𝑂𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ).
Berdasarkan definisi ini dapat dibuktikan bahwa, dari sebuah titik dapat dibuat tepat
satu buah vektor posisi. Dengan kata lain setiap titik dalam ruang memiliki vektor
posisi yang berbeda-beda.
Jika vektor v dengan titik awal A dan titik ujung B, maka v dapat ditulis sebagai : 𝐴𝐵 .
Komponen-komponen dari 𝐴𝐵 akan dijelaskan setelah mempelajari aritmetika vektor.
Definisi Vektor-Vektor Ekuivalen
Vektor- vektor ekuivalen adalah vektor- vektor yang memiliki panjang dan arah yang
sama.
Vektor- vektor ekuivalen dianggap sebagai vektor yang sama meskipun kedudukannya
berbeda-beda. Jika v dan w ekuivalen maka dapat dituliskan v = w.
Contoh 1 :
Keempat ruas garis berarah di atas berawal di suatu titik tertentu yang kemudian
digerakkan 2 satuan ke kiri dan 5 satuan ke atas. Keempatnya dinamakan vektor dan
−2
dapat dinotasikan oleh 𝐯 = −2, 5 = . Keempat ruas garis berarah di atas
5
dinamakan representasi dari vektor v. ∎
Definisi Vektor Nol
Vektor nol adalah vektor yang semua komponennya adalah nol, dan ditulis
𝟎 = (0, 0, 0).
Dengan demikian vektor nol adalah vektor yang tidak mempunyai panjang dan arah.
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 34

7. Definisi Negatif Vektor
Negatif dari vektor v, atau –v didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besar
yang sama dengan v, namun arahnya berlawanan dengan v.
Definisi Vektor satuan/unit (Unit Vectors)
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya adalah 1.
Definisi Vektor Basis/Satuan Standar (Standard Unit Vectors)
Vektor satuan baku adalah vektor yang mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang
sumbu-sumbu koordinat.
Untuk 𝑅 2 , vektor satuan baku ditulis : i = 1, 0 dan j = 0, 1 .
Untuk 𝑅 3 , vektor satuan baku ditulis : i = 1, 0, 0 , j = 0, 1, 0 , dan k = 0, 0, 1 .
Dengan demikian setiap vektor v = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) di 𝑅 3 dapat ditulis
v= 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 = 𝑣1 1, 0, 0 + 𝑣2 0, 1, 0 + 𝑣3 0, 0, 1 = 𝑣1 𝐢 + 𝑣2 𝐣 + 𝑣3 𝐤
Contoh 2 :
Nyatakan v = 2, −3, 4 dalam vektor basis.
Penyelesaian :
𝐯 = 2, −3, 4 = 2 1, 0, 0 + −3 0, 1, 0 + 4 0, 0, 1 = 2𝐢 − 3𝐣 + 4𝐤 ∎
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 35

8. 4. Aritmetika Vektor
Pada bagian ini, definisi serta teorema yang diberikan hanya untuk vektor-vektor di
𝑅 3 , sedangkan interpretasi geometris sedapatnya diberikan dalam 𝑅 3 , namun
kebanyakan dalam 𝑅 2 . Hal ini bertujuan hanya untuk mempermudah pemahaman
analitik dan geometrik. Secara konsep, teoretis, dan numeris, semua definisi, teorema,
dan rumus-rumus dapat dengan mudah dimodifikasi sesuai dimensi yang diinginkan.
Definisi Penjumlahan Vektor
Diberikan vektor 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan 𝐛 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) vektor- vektor di 𝑅 3 , maka
penjumlahan a dan b didefinisikan oleh
𝐚 + 𝐛 = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 )
Secara geometris, penjumlahan a + b dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan aturan
segitiga (triangle law) dan aturan jajar genjang (parallelogram law). Aturan segitiga
dilakukan dengan menghubungkan titik awal b dengan titik ujung a, kemudian
menghubungkan titik awal a dan titik ujung b sebagai (a + b). Sedangkan aturan jajar
genjang dilakukan dengan menghubungkan kedua titik asal a dan b, sehingga a dan b
membentuk jajaran genjang. Diagonal yang dibuat dari titik awal kedua vektor akan
menjadi (a + b). Seperti ilustrasi berikut :
𝒂+ 𝒃 𝒃
𝒂
Contoh 3 :
Misalkan 𝐮 = 1, 2, 3 , 𝐯 = 2, −3, 1 , dan 𝐰 = (3, 2, −1) vektor- vektor di 𝑅 3 , maka
𝐮 + 𝐯 + 𝐰 = (1 + 2 + 3, 2 + −3 + 2, 3 + 1 + −1 = 6, 1, 3 ∎
Definisi Pengurangan Vektor
Diberikan vektor 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan 𝐛 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), maka pengurangan a oleh b
didefinisikan oleh :
𝐚 − 𝐛 = 𝐚 + −𝐛 = [ 𝑎1 + (−𝑏1 , 𝑎2 + (−𝑏2 ), 𝑎3 + (−𝑏3 )]
= ( 𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 , 𝑎3 − 𝑏3 )
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 36

9. Seperti halnya pada penjumlahan vektor, secara geometris pengurangan vektor dapat
dilakukan dengan aturan segitiga ataupun jajar genjang seperti ilustrasi berikut.
Contoh 4 :
Misalkan 𝐮 = 1, 2, 3 , 𝐯 = 2, −3, 1 , dan 𝐰 = (3, 2, −1) vektor- vektor di 𝑅 3 , maka
𝐮 − 𝐯 − 𝐰 = (1 − 2 − 3, 2 − −3 − 2, 3 − 1 − −1 = −4, 3, 3 ∎
Berdasarkan definisi ini, komponen-komponen dari vektor yang titik awalnya bukan
titik asal, misal 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan titik ujung 𝐵(𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), sehingga 𝐚 = 𝑂𝐴 =
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 dan 𝐛 = 𝑂𝐵 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 adalah :
𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 – 𝑂𝐴 = 𝐛 – 𝐚 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 − 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3
= (𝑏1 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑎2 , 𝑏3 − 𝑎3 )
Contoh 5 :
Vektor dengan titik awal dan titik ujung berturut-turut 𝑃1 2, −7, 0 dan 𝑃2 (1, −3, −5)
adalah 𝑃1 𝑃2 = 1 − 2, −3 − −7 , −5 − 0 = −1, 4, −5 ∎
Dengan memisalkan semua koordinat ada di sumbu-sumbu positif, vektor 𝐴𝐵 di 𝑅 3 ,
dengan koordinat 𝐴 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 dan 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), dapat digambarkan sebagai berikut.
Sehingga 𝐴𝐵 = (𝑥 2 − 𝑥 1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 ).
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 37

10. Definisi Perkalian Skalar-Vektor
Jika 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) adalah vektor tak- nol dan k adalah bilangan real tak-nol, maka
hasil kali kv didefinisikan oleh
𝑘𝐯 = 𝑘 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 = (𝑘𝑣1 , 𝑘𝑣2 , 𝑘𝑣3 )
Secara geometris, hasil kali kv adalah vektor yang panjangnya k kali panjang v, yang
arahnya sama dengan v jika k > 0, dan berlawanan arah dengan v jika k < 0.
Contoh 6 :
1
Misalkan suatu vektor di 𝑅 2 , 𝐚 = (2, 4). Hitunglah 3𝐚, 𝐚, dan − 2𝐚, dan gambarkan
2
keempat vektor tersebut ke dalam satu sistem koordinat.
Penyelesaian :
Berdasarkan definisi perkalian skalar-vektor, maka
1
3𝐚 = 6, 12 ; 𝐚 = 1, 2 ; −2𝐚 = (−4, −8)
2
∎
Norma/Panjang Vektor
Panjang suatu garis dapat diperoleh dengan menggunakan aturan Phytagoras. Karena
vektor adalah ruas garis berarah, maka panjang vektor, baik di 𝑅 2 maupun 𝑅 3 dapat
diperoleh dengan rumus yang sama.
Definisi Norma Vektor
Norma atau panjang vektor 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) didefinisikan oleh :
𝐯 = 𝑣1 2 + 𝑣2 2 + 𝑣3 2
Berdasarkan definisi di atas, jika 𝐯 = 0 maka 𝐯 = 𝟎. Dan, jika v vektor satuan,
maka 𝐯 = 1, begitu pula dengan vektor basis 𝐢 = 1, 𝐣 = 1, dan 𝐤 = 1.
Contoh 7 :
Misalkan 𝐚 = (3, −5, 10) maka 𝐚 = 9 + 25 + 100 = 134 ∎
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 38

11. Teorema : Aturan Dasar Aritmetika Vektor
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor di 𝑅 2 atau 𝑅 3 , dan k serta l adalah skalar
(bilangan real), maka hubungan berikut akan berlaku,
a. u+v=v+ u
b. (u + v) + w = u + (v + w)
c. u+0=0+ u= u
d. u + (-u) = 0
e. k( lu ) = ( kl )u
f. k(u + v) = ku + kv
g. (k + l)u = ku + lu
h. 1u = u
5. Perkalian Titik / Perkalian Dalam (Dot Product/Inner Product)
Definisi pertama dari perkalian titik dua vektor adalah menggunakan sifat-sifat
geometrisnya, yaitu norma kedua vektor dan besar sudut di antara keduanya, dengan
asumsi titik-titik awalnya berimpit.
Definisi 1
Jika u dan v adalah vektor-vektor di 𝑅 2 dan 𝑅 3 , dan 𝜃 adalah sudut di antara u dan v,
maka perkalian titik (dot product) atau perkalian dalam Euclidis (Euclidean inner
product) 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh
𝐮 𝐯 cos 𝜃 ; jika 𝐮 ≠ 𝟎 dan 𝐯 ≠ 𝟎
𝐮∙ 𝐯=
0 ; jika 𝐮 = 𝟎 atau 𝐯 = 𝟎
Pekalian ini juga dinamakan perkalian skalar (scalar product) karena hasil perkalian
titik dua vektor akan menghasilkan skalar (bilangan real). Dari definisi jelas bahwa
norma vektor u dan v serta nilai cosinus sebarang sudut di antara keduanya adalah
bilangan real, sehingga hasil kali ketiganya adalah bilangan real. Jika salah satu atau
kedua vektor merupakan vektor nol, maka hasilnya adalah nol.
a
𝐚
b
𝜽
𝐛
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 39

12. Contoh 8 :
Misalkan 𝐮 = 0, 0, 1 dan 𝐯 = (0, 2, 2) sedangkan sudut di antaranya adalah 45°,
1
maka 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 𝐯 cos 45° = 02 + 02 + 12 02 + 22 + 22 =2∎
2
Definisi ke-dua dari perkalian titik dua vektor adalah menggunakan komponen-
komponen dari masing- masing vektor.
Definisi 2
Jika 𝐮 = (𝑢 1 , 𝑢 2 ) dan 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 ) adalah vektor di 𝑅 2 , maka perkalian titik/perkalian
dalam 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh :
𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑢 1 𝑣1 + 𝑢 2 𝑣2
Jika 𝐮 = (𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 ) dan 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) adalah vektor di 𝑅 3 , maka perkalian titik
𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh :
𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑢 1 𝑣1 + 𝑢 2 𝑣2 + 𝑢 3 𝑣3
Contoh 9 :
Misalkan 𝐚 = 0, 3, −7 dan 𝐛 = (2, 3, 1) maka 𝐚 ∙ 𝐛 = 0.2 + 3.3 + −7 . 1 = 2 ∎
Kedua definisi ini saling berkaitan karena salah satu definisi diperoleh dari definisi
yang lain. Dalam beberapa buku, salah satu definisi dituliskan sebagai “definisi”,
kemudian definisi yang lainnya dituliskan sebagai “teorema” yang diturunkan dari
definisi sebelumnya. Biasanya kedua definisi digabungkan untuk mencari besar sudut
di antara u dan v jika komponen u dan v diketahui.
Contoh 10 :
Misalkan 𝐮 = (2, −1, 1) dan 𝐯 = (1, 1, 2), Hitunglah 𝐮 ∙ 𝐯 dan tentukan sudut di
antara keduanya.
Penyelesaian :
𝐮 = 22 + (−1)2 + 12 = 6 ; 𝐯 = 12 + 12 + 22 = 6 ; dan
𝐮 ∙ 𝐯 = 2.1 + −1 . 1 + 1.2 = 3
sehingga,
𝐮∙ 𝐯 3 1 1
𝐮∙ 𝐯 = 𝐮 𝐯 cos 𝜃 ⇔ cos 𝜃 = = = ⇔ 𝜃 = arccos = 60° ∎
𝐮 𝐯 6 6 2 2
Teorema : Sudut Antara Dua Vektor
Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, dan 𝜃 adalah besar sudut di antara kedua
vektor tersebut, maka
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 40

13. 𝜃 lancip (0° < 𝜃 < 90°) jika dan hanya jika 𝐮∙ 𝐯 > 0
𝜃 tumpul (90° < 𝜃 < 180°) jika dan hanya jika 𝐮∙ 𝐯 < 0
𝜃 siku-siku (𝜃 = 90°) jika dan hanya jika 𝐮∙ 𝐯 = 0
Dua vektor yang membentuk sudut siku-siku dinamakan ortogonal (tegak lurus).
Teorema : Sifat-sifat Perkalian Titik
Jika u, v, dan w adalah vektor- vektor di 𝑅 2 atau 𝑅 3 dan k adalah skalar, maka
a. 𝐮∙ 𝐯 = 𝐯∙ 𝐮
b. 𝐮∙ 𝐯+ 𝐰 = 𝐮∙ 𝐯+ 𝐮 ∙ 𝐰
c. 𝑘 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑘𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 ∙ (𝑘𝐯)
d. 𝐯 ∙ 𝐯 > 0 jika 𝐯 ≠ 𝟎 dan 𝐯 ∙ 𝐯 = 0 jika 𝐯 = 𝟎
6. Proyeksi
Dua vektor yang titik asalnya berimpit dapat menghasilkan vektor lain yang
dinamakan vektor proyeksi. Perhatikan ilustrasi berikut.
Misalkan a dan b berimpit di titik asalnya. Jika dari titik ujung b ditarik garis menuju
a sedemikian sehingga tegak lurus a (diproyeksikan terhadap a), maka vektor yang
dapat dibuat dengan titik asal yang sama dan berujung di titik di mana b
diproyeksikan pada a dinamakan vektor proyeksi b terhadap a. Vektor ini disebut juga
proyeksi ortogonal b pada a.
Dengan cara yang sama dapat diperoleh vektor proyeksi a terhadap b.
Notasi Vektor Proyeksi
Vektor proyeksi b terhadap a dinotasikan proy 𝐚 𝐛
Vektor proyeksi a terhadap b dinotasikan dengan proy 𝐚 𝐛
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 41

14. Teorema : Proyeksi Ortogonal
Jika u dan v adalah vektor di 𝑅 2 atau 𝑅 3 dan keduanya bukan vektor nol, maka
𝐚∙ 𝐛 𝐚∙ 𝐛
proy 𝐚 𝐛 = 𝐚 dan proy 𝐛 𝐚 = 𝐛
𝐚 2 𝐛 2
Sedangkan panjang dari vektor-vektor proyeksi tersebut adalah
𝐚∙ 𝐛 𝐚∙ 𝐛
proy 𝐚 𝐛 = dan proy 𝐛 𝐚 =
𝐚 𝐛
Contoh 11 :
Jika 𝐚 = (1, 0, −2) dan 𝐛 = (2, 1, −1) , tentukan vektor proyeksi a pada b.
2
Penyelesaian : 𝐚 ∙ 𝐛 = 4 dan 𝐛 = 6 maka proyeksi ortogonal a pada b adalah
𝐚∙ 𝐛 4 4 2 2
proy 𝐛 𝐚 = 2
𝐛 = 2, 1, −1 = , ,− ∎
𝐛 6 3 3 3
7. Perkalian Silang (Cross Product)
Berikut akan diperkenalkan sebuah operasi antar vektor dalam 𝑅 3 . Jika perkalian titik
akan menghasilkan skalar/bilangan, maka perkalian silang akan menghasilkan vektor.
Dan jika proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor la in akan menghasilkan
vektor baru yang berimpit dengan vektor tersebut, maka perkalian silang dua vektor
akan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut.
Definisi Perkalian Silang
Jika 𝐮 = (𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 ) dan 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) adalah vektor di 𝑅 3 , maka perkalian silang
𝐮 × 𝐯 didefinisikan oleh
𝐮 × 𝐯 = (𝑢 2 𝑣3 − 𝑢 3 𝑣2 , 𝑢 3 𝑣1 − 𝑢 1 𝑣3 , 𝑢 1 𝑣2 − 𝑢 2 𝑣1 )
atau dalam notasi determinan
𝑢2 𝑢3 𝑢 𝑢3 𝑢 𝑢2
𝐮× 𝐯= 𝑣2 𝑣3 , − 𝑣1 𝑣3 , 𝑣1 𝑣2
1 1
Rumus di atas dapat dibuat pola yang mudah diingat. Bentuklah matriks 2 × 3 :
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
Komponen pertama dari 𝐮 × 𝐯 adalah determinan matriks tersebut setelah kolom
pertama dicoret, komponen ke-2 adalah negatif dari determinan matriks setelah kolom
ke-2 dicoret, dan komponen ke-3 adalah determinan matriks setelah kolom ke-3
dicoret.
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 42

15. Contoh 12 :
Misalkan 𝐮 = (1, 2, −2) dan 𝐯 = (3, 0, 1), maka
1 2 −2
3 0 1
2 −2 1 −2 1 2
𝐮× 𝐯 = ,− , = 2, −7, −6 ∎
0 1 3 1 3 0
Secara geometris, perkalian silang 𝐮 × 𝐯 dapat diinterpretasikn oleh gambar berikut,
Arah 𝐮 × 𝐯 dapat ditentukan dengan “aturan tangan kanan” (right hand rule).
Misalkan 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, dan anggaplah u terotasi sejauh sudut 𝜃
menuju v (sehingga berimpit dengan v). Jika jari-jari tangan kanan menunjukkan arah
rotasi u maka ibu jari menunjukkan arah 𝐮 × 𝐯.
Dengan menggunakan definisi ataupun dengan mempraktekkan aturan ini, dapat
diperoleh hasil- hasil berikut :
𝐢× 𝐢= 𝐣× 𝐣= 𝐤× 𝐤= 𝟎
𝐢× 𝐣= 𝐤, 𝐣× 𝐤= 𝐢, 𝐤× 𝐢= 𝐣
𝐣 × 𝐢 = −𝐤 , 𝐤 × 𝐣 = −𝐢 , 𝐢 × 𝐤 = −𝐣
Diagram berikut dapat membantu untuk mengingat hasil perkalian di atas.
i
k j
Perkalian silang 𝐮 × 𝐯 dapat dinyatakan secara simbolis dalam bentuk determinan
3×3 :
𝐢 𝐣 𝐤 𝑢 𝑢3 𝑢1 𝑢3 𝑢1 𝑢2
𝐮 × 𝐯 = 𝑢1 𝑢2 𝑢3 = 𝑣 2
2 𝑣3 𝐢 − 𝑣1 𝑣3 𝐣 + 𝑣1 𝑣2 𝐤
𝑣1 𝑣2 𝑣3
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 43

16. Contoh 13 :
Contoh 11 dapat dikejakan dengan cara :
𝐢 𝐣 𝐤
2 −2 1 −2 1 2
𝐮× 𝐯 = 1 2 −2 = 𝐢− 𝐣+ 𝐤 = 2𝐢 − 7𝐣 − 6𝐤 ∎
0 1 3 1 3 0
3 0 1
Teorema : Hubungan Perkalian Silang dan Perkalian titik
Jika u dan v adalah vektor di 𝑅 3 , maka :
a. 𝐮 ∙ 𝐮× 𝐯 = 0 ( 𝐮 × 𝐯 ortogonal ke u )
b. 𝐯∙ 𝐮× 𝐯 = 0 ( 𝐮 × 𝐯 ortogonal ke u )
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
c. 𝐮× 𝐯 = 𝐮 𝐯 − 𝐮∙ 𝐯 (Identitas Lagrange/Lagrange Identity)
Teorema : Sifat-Sifat Perkalian Silang
Jika u, v, dan w dalah sebarang vektor di 𝑅 3 ddan k adalah sebarang skalar, maka :
a. 𝐮× 𝐯=− 𝐯× 𝐮
b. 𝐮 × 𝐯 + 𝐰 = 𝐮 × 𝐯 + (𝐮 × 𝐰)
c. 𝐮 + 𝐯 × 𝐰 = 𝐮 × 𝐰 + (𝐯 × 𝐰)
d. 𝑘 𝐮× 𝐯 = 𝑘𝐮 × 𝐯 = 𝐮 × (𝑘𝐯)
e. 𝐮× 𝟎= 𝟎× 𝐮= 𝟎
f. 𝐮× 𝐮= 𝟎
𝑢1 𝑢2 𝑢3
g. 𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 = 𝐮 × 𝐯 ∙ 𝐰 = 𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝑤1 𝑤2 𝑤3
Berdasarkan teorema-teorema sebelumnya, dapat diturunkan teorema berikut.
Teorema : Aplikasi Geometri Perkalian Silang
Jika u, v, dan w vektor- vektor di 𝑅 3 dengan titik asal yang sama, maka
a. Jika 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, maka 𝐮× 𝐯 = 𝐮 𝐯 sin 𝜃
b. Norma dari 𝐮 × 𝐯 sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v,
atau Luas jajar genjang = 𝐮× 𝐯
c. Volume bangun yang dibentuk oleh ketiganya adalah 𝑎𝑏𝑠[𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 ].
Contoh 14 :
a, b, dan c adalah sebarang vektor di 𝑅 3 yang berimpit di titik awalnya. Jika
ketiganya dihubungkan akan membentuk suatu bangun dimensi-3 (parallelpiped).
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 44

17. Luas masing- masing sisinya adalah :
𝐚× 𝐛 , 𝐛× 𝐜 , 𝐚× 𝐜
Sedangkan volume bangun tersebut adalah :
𝑎𝑏𝑠(𝐚 ∙ 𝐛 × 𝐜 )
Rumus volume di atas biasanya digunakan untuk mengetahui apakah ketiga vektor
berada pada bidang yang sama. Jika volume yang dihitung bernilai nol, maka
ketiganya berada pada bidang yang sama, dan sebaliknya jika volumenya tidak sama
dengan nol. Fungsi abs(absolute)/mutlak berguna untuk mempositifkan hasil akhir
perhitungan volume.
Contoh 15 :
Tentukan apakah ketiga vektor 𝐚 = (1, 4, −7), 𝐛 = (2, −1, 4), dan 𝐜 = (0, −9, 18)
terletak pada satu bidang di 𝑅 3 atau tidak.
Penyelesaian :
1 4 −7 1 4
𝐚∙ 𝐛× 𝐜 = 2 −1 4 2 −1
0 −9 18 0 −9
= 1 −1 18 + 4 4 0 + −7 2 −9 —
{ 7 −1 0 + 1 4 −9 + 4 2 18 }
= −18 + 126 − 144 + 36
=0
Jadi, ketiga vektor tersebut terletak pada satu bidang di 𝑅 3 ∎
Contoh 16 :
Carilah luas segitiga yang dibentuk oleh 𝑃1 2, 2, 0 , 𝑃2 −1, 0, 2 , dan 𝑃3 (0, 4, 3) .
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 45

18. Penyelesaian : z
𝑃2 −1, 0, 2 𝑃3 (0, 4, 3)
y
𝑃1 2, 2, 0
x
Luas segitiga tersebut adalah ½ luas jajaran genjang yang dibentuk 𝑃1 𝑃2 dan 𝑃1 𝑃3, di
mana
𝑃1 𝑃2 = −1, 0, 2 − 2, 2, 0 = (−3, −2, 2)
𝑃1 𝑃3 = 0, 4, 3 − 2, 2, 0 = (−2, 2, 3)
𝑃1 𝑃2 × 𝑃1 𝑃3 = (−10, 5, −10)
1 1 1
Sehingga Luas segitiga = 𝑃1 𝑃2 × 𝑃1 𝑃3 = 15 = 7 2 ∎
2 2
Latihan I
1. Carilah komponen vektor yang mempunyai titik awal 𝑃1 dan titik ujung 𝑃2.
a. 𝑃1 3, 5 ; 𝑃2 (2, 8)
b. 𝑃1 7, −2 ; 𝑃2 (0, 0)
c. 𝑃1 6, 5, 8 ; 𝑃2 (8, −7, 3)
d. 𝑃1 0, 0, 0 ; 𝑃2 (−8, 7, 4)
2. Misalkan 𝐮 = 1, − 2, 3 , 𝐯 = 2, −3, 1 dan 𝐰 = (3, 2, −1). Carilah komponen-
komponen dari :
a. u – w
b. 7v + 3w
c. –w + v
d. 3(u – 7v)
e. – 3v – 8w
f. 2v – (u + w)
3. Carilah vektor dengan titik awal 𝑃(2, −1, 4) yang mempunyai arah yang sama dengan
𝐯 = (7, 6, −3).
4. Carilah vektor yang berlawanan arah dengan 𝐯 = (−2, 4, −1) yang mempunyai titik
terminal di 𝑄(2, 0, −7).
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 46

19. 5. Misalkan 𝑃(2, 3, −2) dan 𝑄(7, −4, 1).
a. Carilah titik tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Q.
b. Carilah titik pada segmen garis 𝑃𝑄 sehingga dari P ke titik itu adalah ¾ dari 𝑃𝑄.
Latihan II
1. Hitunglah norma/panjang v jika
a. 𝐯 = (3, 4)
b. 𝐯 = (−1, 7)
c. 𝐯 = (0, −3)
d. 𝐯 = (1, 1, 1)
e. 𝐯 = (−8, 7, 4)
f. 𝐯 = (9, 0, 0)
2. Hitunglah jarak di antara A dan B.
a. 𝐴 2, 3 , 𝐵(4, 6)
b. 𝐴 −2, 7 , 𝐵(0, −3)
c. 𝐴 8, −4, 2 , 𝐵(−6, −1, 0)
d. 𝐴 1, 1, 1 , 𝐵(6, −7, 3)
3. Misalkan 𝐮 = 1, −3, 2 , 𝐯 = 1, 1, 0 dan 𝐰 = (2, 2, −4). Carilah :
a. 𝐮+ 𝐯
b. 𝐮 + 𝐯
c. −2𝐮 + 2 𝐮
d. 3𝐮 − 5𝐯 + 𝐰
1
e. 𝐰
𝐰
1
f. 𝐰
𝐰
4. Carilah semua skalar k sehingga 𝑘𝐯 = 3, di mana 𝐯 = 1, 2, 4 .
Latihan III
1. Carilah 𝐮 ∙ 𝐯 untuk :
a. 𝐮 = 1, 2 , 𝐯 = 6, −8
b. 𝐮 = −7, −3 , 𝐯 = 0, 1
c. 𝐮 = 1, −3, 7 , 𝐯 = 8, −2, −2
d. 𝐮 = −3, 1, 2 , 𝐯 = 4, 2, −5
2. Tentukan apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul, atau keduanya ortogonal.
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 47

20. a. 𝐮 = 7, 3, 5 , 𝐯 = −8, 4, 2
b. 𝐮 = 6, 1, 3 , 𝐯 = 4, 0, −6
c. 𝐮 = 1, 1, 1 , 𝐯 = −1, 0, 0
d. 𝐮 = 4, 1, 6 , 𝐯 = −3, 0, 2
3. Carilah proyeksi ortogonal u pada a, jika :
a. 𝐮 = 2, 1 , 𝐚 = −3, 2
b. 𝐮 = 2, 6 , 𝐚 = −9, 3
c. 𝐮 = −7, 1, 3 , 𝐚 = 5, 0, 1
d. 𝐮 = 0, 0, 1 , 𝐚 = 8, 3, 4
4. Carilah 𝑝𝑟𝑜𝑦 𝐚 𝐮 , jika :
a. 𝐮 = 2, −1 , 𝐚 = 3, 4
b. 𝐮 = 4, 5 , 𝐚 = 1, −2
c. 𝐮 = 2, −1, 3 , 𝐚 = 1, 2, 2
d. 𝐮 = 4, −1, 7 , 𝐚 = 2, 3, −6
5. Misalkan 𝐮 = 1, 2 , 𝐯 = 4, −2 , dan 𝐰 = (6, 0). Carilah :
a. 𝐮 ∙ 7𝐯 + 𝐰
b. 𝐮∙ 𝐰 𝐰
c. 𝐮 𝐯∙ 𝐰
d. 𝐮 𝐯 ∙ 𝐰
Latihan IV
1. Misal 𝐮 = 2, −1, 3 , 𝐯 = 0, 1, 7 , dan 𝐰 = (1, 4, 5). Nyatakan dalam vektor basis :
a. 𝐯 × 𝐰
b. 𝐮 × (𝐯 × 𝐰)
c. 𝐮× 𝐯 × 𝐰
d. (𝐮 × 𝐯) × (𝐯 × 𝐰)
e. 𝐮 × (𝐯 − 2𝐰)
f. 𝐮 × 𝐯 − 2𝐰)
2. Carilah vektor yang ortogonal terhadap u dan v.
a. 𝐮 = −7, 3, 1 , 𝐯 = 2, 0, 4
b. 𝐮 = −1, −1, −1 , 𝐯 = 2, 0, 2
3. Carilah luas segitiga yang mempunyai titik sudut P, Q, dan R.
a. 𝑃 1, 5, −2 𝑄 0, 0, 0 𝑅 3, 5, 1
b. 𝑃 2, 0, −3 𝑄 1, 4, 5 𝑅(7, 2, 9)
Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 48