Square869120 contest #2

IOI列車で行こう 2
Take the IOI Train 2
解説

問題概要
• I, Oからなる文字列 S が与えられる。
• 文字列 S の部分列のうち, 「IOIOI, IOIOIOIOIOIOIOIのような文字列」
の最大の長さを求めなさい。
• 1 ≦ |S| ≦ 10,000

部分点解法
• 先ほど説明した, 「IOIOIのような文字列」は, I, IOI, IOIOI, IOIOIOI,
IOIOIOIOI,... のようになる。
• そのような文字列をすべて判定することで, できるのではないか?

部分点解法
• S が T の部分列であるか判定する
1. ptr = 1 とする
2. Tの1文字目から|T|文字目まで:
3. S の ptr 文字目が今指しているTの文字と等しければ ptr を1加算する
4. ptr=|S|であれば部分列である
• その方法を使って, で判定できる
• 全体の計算量は

満点解法
• 部分点解法の方法では, |S|=10000 のときにTime Limit Exceededする場
合がある
• もっと高速化する方法はないか?

満点解法
• 実は, I, IOI, IOIOI, IOIOIOI,...と調べていく必要はない
• IOIOIOIOI,...IOIOIOIOI のような長さ |S| 以上の文字列 T を用意し, 4ページ
目の部分列であるか判定するアルゴリズムの最終的な ptr を利用することがで
きる
• ptr が 1 ⇒ 列車が編成できない
• ptr が偶数 ⇒ 長さ ptr-1 の列車が編成できる
• ptr が奇数 ⇒ 長さ ptr-2 の列車が編成できる
• 全体の計算量はなのでAcceptedします

結果 / Result
• IOI に行っている人やIOI代表選手を決める選考会に参加している人な
らば簡単に解けると思います
• A問題の解説を書いた人は上の条件に該当しないので解くのに10分くら
いかかりました
• IOI列車に乗ってIOIに行きたいけどあと3000問は解かなければあまり現
実的ではないと思いました

結果 / Result
• First Acceptance… sigma425 (2分1秒)
• 得点分布

問題概要
• 1以上n以下の整数を書き、それに対して以下の操作をq回行う。
• 書かれている全ての数に対して、a[i]で割り切れるのであればその
数をa[i]で割った数に書き換える。ただし、a[i]はi回目の操作におけ
る割る数である。
• 最終的に1が何個書かれているか、求めてください。
• ただし、aの入力はa[1]からはじまりa[q]で終わるものとして考えます。

問題概要
• 小課題1(25点)⇒1≦n≦1000000,1≦q≦24
• 小課題2(75点)⇒1≦n≦10^13,1≦q≦24
• どちらの小課題でも3≦a[i]≦50である。
• うさぎは2で割るのが嫌いなため、a[i]=2ではない。

例
• 例えば、n=10,q=3,a={3,4,6}のとき、
• 最終的な1は{1,3,4}からの3つになります。
割る数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 1 2 1 4 5 2 7 8 3 10
4 1 2 1 1 5 2 7 2 3 10
6 1 2 1 1 5 2 7 2 3 10

部分点解法(25点)
• 愚直に計算をします。
• 配列を使ってx[i]=iにまず初期化します。x[i]というのは、i番目
の数は今現在何なのかということを表します。
• q回の操作を以下のように行います。
• x[1]からx[n]まで順番に見ていきます。その数字がa[i ](i回目の
操作の場合)で割り切れたらその数字を1回だけa[i]で割ります。

• コードでは、if(x[j]%a[i]==0){x[j]/=a[i]}ということです。
• 4ページ目の表のように操作することをイメージすればわかりやすいで
しょう。
• 計算量は、各クエリにつきO(n),クエリがq個あるのでO(nq)となります。
n=1000000,q=24の場合2400万回となり、間に合います。
• しかし、小課題2ではn=10^13,q=24が最大だから、計算量は10^14回を超
えてしまいます。⇒TLEをします。

考察1
• Q≦24であることを利用できないか?
• 割れるなら「割る」、割れないなら「割らない」なので、Π(a[i]また
は1)※Πはi=1からQまでの範囲で、しか可能性がないので
は？
• 例えば、a[i]={3,4,6}のとき、以下の8通りしか可能性はない。
1*1*1=1,1*1*6=6,1*4*1=4,1*4*6=24,
• 3*1*1=3,3*1*6=18,3*4*1=24,3*4*6=72

考察1
• a[i]をいくつか選んだときの積であれば、その「選んだ場所」だ
け割り、それ以外の場所では割らないことになる。
• そうでない場合、どこで割っても1にならない。
• なぜなら、割るときは必ずa[i]以外で割ってはいけないからで
ある。また、a[i]を選んだ時の積の分だけ割れるので、それが
ある数Cと一致している場合のみC/積=1になるからである。
• ⇒考察は正しい

満点解法
• 考察より、2^q通りしか可能性はないことが分かった。
• ⇒これを全列挙できる!!
• まず、a[i]で割るか割らないかを0か1かで表される配列bのi番
目の要素に記録しておく。
• h=0から2^q-1のときまでループし、そのときのb[i]は
• b[i]={h/(2^(i-1))}%2となる。

満点解法
• そして、最初sum=1として、b[i]が1のときsumにa[i]をかけます。
(1≦i≦q)
• sumで最後1になるか試して、なれば答えに1を足します。
• そのようにすれば、どのa[i]を選ぶかを全通り、重なりがなく調
べることができる。JOI2007-08予選5:Osenbeiなどが解法として
は似ている。

満点解法
• 通り数が2^q通り、1つの数字から始めると1になるかを調べるクエリ
がO(q)だから、計算量はO(q*2^q)となる。
• q=24のとき、約400,000,000回の計算が必要となる。
• 制限時間が5secだから、定数倍が速いか普通だと、C++などの実
行速度の速い言語ではギリギリ通ります。
• ちなみに、この解法での私のコードの実行時間は2354msでした。
• しかし、定数倍が遅かったり、JAVAなどのやや実行速度の遅い言
語だと通らない。

考察2
• 完全な全列挙ではなく、後ろから考えて工夫して全探索できる
のではないか？
• ⇒Queueを使おう！
• Queueについては、
• http://www.cc.kyoto-su.ac.jp/~yamada/ap/queue.html
• を参照してください。

満点解法2
• まず、最初に2つの引数を持つQueueを用意し、第1引数を現時点
での数、第2引数を「何個目のクエリまで終わったか」とします。
• そして、Queueに(0,q)を入れます。その後、以下のループをQueue
の大きさが0になるまで続けます。
• Queueの先頭の第1引数をc1,第2引数をc2とします。
• c2=0となった時点で「全ての処理が終わっている」ので、ループか
ら抜けます。
• そのあと、Queueをポップします。

満点解法2
• 割ってc1になる場合
• c1*a[c2]がqを超えない場合、可能です。(その場合、Queueに
(c1*a[c2],c1-1)をプッシュします。
• c1*a[c2]は当然a[c2]で割り切れるので、前から考えると
…→a[c2]*c1→c1→…となります。
• 割らずにc1になる場合
• ｃ1がa[c2]で割り切れるとc1→c1/a[c2]に自動的になってしまうので、不
可能です。それ以外の場合、Queueに(c1,c2-1 )をプッシュします。

満点解法2
• 例えば、a={3,4,6},n=20,q=3のとき、Queueは次のように変化します。
• {(1,3)}⇒
• {(6,2),(1,2)}⇒
• {(24,1),(6,1),(4,1),(1,1)}⇒
• {(18,0),(6,0),(12,0),(4,0),(3,0),(1,0)}となります。
• よって、最終的に残っているのは5通りとなります。枝刈りをしているので、数の
重なりはないです。⇒答えはループから抜けたときのQueueのサイズとなります。
• グレーの部分は枝刈りされたものを示しています。

満点解法2
• 状態数は最大で2^(q+1)通り、各状態につきO(1)かかるので、
計算量は最大でO(2^(q+1))となります。
• q=24のとき、最大約3000万回の計算が必要ですが、満点解法
1よりは明らかに速いです。
• 私が書いたコードだと、35msで通りました。
• JOIでいう難易度5(満点解法2は6)くらいだと思います。

結果
• FirstAcceptance:sigma425(8分06秒)
• 得点分布

C問題
何通りの分割方法がある？

問題概要
• 整数nが与えられる。
• nを文字列に変換したものをSとする。
• Sをいくつかの部分に分割する。
• それを全て数字に変換するとき、和がD以内でなければならな
い。ただし、各数字は0から始まってもよい。
• 何通りの分割方法があるか、求めてください。

問題概要
• 小課題1(10点)
• 通り数は1通り以下である。
• 小課題2(30点)
• n≦10,000,000,000を満たす。
• 小課題3(60点)
• N≦10^100を満たす。

例
• 例えば、n=1355,D=50のとき、
• {1,3,5,5}:1+3+5+5=13
• {13,5,5}:13+5+5=23
• {1,35,5}:1+35+5=41
• の3通りの分け方が存在する。
• 答えは、1,000,000,007で割った余りで求めなければならない。

注意事項
• 小課題3では、n≦10^100と非常に大きいので、C++などでは
整数nを文字列として受け取らなければならない。
• JAVAやC#などでも、BigIntegerという巨大な整数を用いる型を
利用しなければならない。
• 64ビット型整数に収まる整数は最大約9*10^18である。

小課題1(10点)
• 小課題1では、通り数は0か1しかありません。
• 「通り数が1の場合」は、どれか1つの方法が存在するということです。
• 一番和が少なくてできる方法は、1桁ごとに分割するという方法です。
• なぜなら、最初すべて1桁ごとで、ある2つの隣り合った数字を合成
すると、10の位がa,1の位をbとすると、10a-a=9aだけ和が増えてしま
います。

小課題1(10点)
• ⇒よって、「各位の数字の和」が考えられる各数字の総和として最
小となります。
• 答えは0か1なので、「各位の数字の和」がD以下ならば「1」、Dを超
えていたら「0」となります。
• 各位の数字の和を求める方法は、整数をまず文字列に変換し、最
初の文字から順番に見ていきます。
• I文字目が「1」であれば1,「 2」であれば2…をsumに加算します。最
終的なsumの値が各位の数字の和となります。

小課題2(40点)
• 小課題1の方法では、答えが2通り以上の場合には対応できま
せん。なぜなら、1桁ずつ分割する方法でできる場合、少し2桁
以上の数字を入れても条件を満たす場合があるからです。
• 小課題2(30点)はn≦10^10までです。
• ⇒これを利用できないか?
• できます。

小課題2(40点)
• nはせいぜい10桁です。
• 切る場所(=桁と桁の間で分けるか)はTrueかFalseの2通りなので、
2^|n|でできます。
• 実際桁と桁の間は|n|-1個しかないので、2^|n|-1通りを調べ上げる
必要があります。
• 例えば、n=1355,場所={1,0,1}(1=True,0=False)のとき、1番上の位を
0桁目とするとき、0桁目と1桁目で分け、2桁目と3桁目で分けること
になります。⇒{1,35,5}の3数に分割されます。

小課題2(40点)
• i=0から2^(|n|-1)まで以下のような操作を繰り返しますが、i桁
目とi+1桁目の間を分けるかどうかを表す変数をb[j]とします。
• b[j]={i/(2^j)}%2(0≦j≦|n|-2)となります。
• 配列bの数値が分かれば、どのようにnが分割されているかもわ
かります。
• それが分かれば、分割されている各数字の総和を求めてそれ
がD以下であれば答えに1を加算します。

小課題2(40点)
• 例えば、D=50,n=1355で{1,35,5}と分割された場合その総和は41だから答えに1
を加算します。
• 計算量は調べ上げる通り数が2^((nの桁数)-1)通り、1つの分割状態につき
• O(nの桁数)かかるので、計算量はO((nの桁数)*2^((nの桁数)-1))となります。
• ここまででは、AOJ1237:Shredding Companyという問題によく似ています。
• n=9,999,999,999のとき、計算量は約5000回となります。
• しかし、n=10^100のとき、計算量は約10^32回となり、明らかにTLEします。

考察1
• D≦100,000であることを利用できないか?
• 1桁目から順に通り数を見ていきDPで解けないか?
• どこまで見終わったか、今までの和、通り数と3つの要素が分
かればできるのではないか?
•⇒DP(動的計画法)

満点解法
• 考察でも示しましたが、「どこまで見たか」「今までの和」「通り数」の3つの
要素が必要です。
• １つ目は|n|以下、2つ目はD以下、3つ目は10億7以下なのでdp[どこまで
見たか][今までの和]として通り数mod 1,000,000,007を格納するのが最適
です。
• メモリはint型10,000,000個だから足ります。
• まず、dp[0][0]=1とします。
• そして、次のページの操作をrep(i,1 ～n),rep(j,0 ～D)として繰り返します。

満点解法
• dp[i][j]の値を更新するとき、(最初にsum=0に初期化します。)
• まず、t=0とします。ループのたびにtに1を足します。
• 10^t*(i-t桁目の値)をsumに足します。
• sumがDを超えるかi-tが0未満になるとループから抜けます。
• dp[i][j]にdp[i-t][i-sum]を足します。これは、i-t桁目までを分割した時
の和がi-sumで、そのあと、t桁分分割せずに数字を「今までの総和」
に足し、そこで(i-1桁目とi桁目の間で)分割するを意味します。

満点解法
• そこで、１点注意事項があります。
• 0がいくつか続いた後に1がくると、一度に10^20とかいう巨大な数
が足されてしまう可能性があるので、i-t桁目が1以上でかつt≧7の
ときループから抜けるようにする必要があります。(オーバーフロー
には注意すること。)
• 結果は、Σdp[n][i](0≦i≦D)となります。
• n-1桁目(最後の桁)まで見終わるということは「全ての桁を見終わっ
た」=「それ以上足されない」ことを意味します。

満点解法
• 最後に1,000,000,007で割るのを忘れないようにしましょう。
• 計算量は、ループにO((nの桁数)D),一度にO(Dの桁数)くらいかかるので、計算
量はO((nの桁数)*D*(Dの桁数))と見積もれますが、0が続くケースの場合、
• 最大でO((nの桁数)^2*D)となります。定数が1/2くらいつくので制限時間5secな
ら間に合います。
• 工夫してdp[i][j]が1以上のときdp[i+t][j+sum]に足す方法でやれば、0が続く場合
でも対処できます。
• この場合、sumはi桁目からi+t桁目までの数字列を1つの数字として表したときの
値となります。

満点解法
• 想定解は約500msです。
• 工夫してdp[i+t][j+sum]の形でやった場合です。
• ちなみに、小課題1は難易度2,小課題2は難易度5,小課題3は
難易度6～7くらいだと思います。
• コンテストお疲れさまでした。

結果
• First Acceptance:piroz95(24分43秒)
• 得点分布

問題概要
• 整数nが与えられます。
• n以下の数字の中で約数の個数がが最大となる数の約数の個
数と、この約数の個数を持つ数の中で最小の整数を求めなさ
い。
• ただし、最初にクエリの数Qが与えられて、Q回だけ整数nが質
問されることになります。

問題概要
• 1≦q≦10,000を満たす。
• 小課題1(8点)…1≦n≦10,000を満たす。
• 小課題2(34点)…1≦n≦1,000,000,000を満たす。
• 小課題3(58点)…1≦n≦10^17を満たす。
• 小課題3では特に、オーバーフローに注意すること。

例
• 例えば、n=100の場合、
• 最大の約数は12個あります。
• 約数が12個の、100以下の整数は、60,72,84,90, 96があります
が、60の方が小さいので60の方を出力します。
• 答えは、12と60を空白区切りで出力することになります。(この
場合)

例
• ちなみに、約数が最大となる整数は、以下のように続きます。(高度合成数)
整数約数個数整数約数個数整数約数個数
1 1 48 10 840 32
2 2 60 12 1260 36
4 3 120 16 1680 40
6 4 180 18 2520 48
12 6 240 20 5040 60
24 8 360 24 7560 64
36 9 720 30 10080 72

小課題1(8点)
• 自明な探索解で解けます。
• n≦10,000と非常に少ないため、クエリごとに処理する必要はありま
せん。
• 最初にn=1,2,3,4…10000のとき約数が何個になるのかを記録した配
列をaとすると、
• a[i]=max(a[i-1],a[i])とします。
• そうすると、nが与えられたとき答えはO(1)で求めることができます。
答えはa[n]です。

小課題1(8点)
• 1つの数字の約数の個数を求めるのにO(n)、かつn個の数字に対してこ
れを求める必要があるので、計算量はO(n^2)となります。
• 小課題1でのnの最大は10,000なので、計算量は約1億回です。⇒時間
制限3secであれば間に合います。
• ちなみに、aは下表のようになります。
整数n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
もとのa[i] 1 2 1 3 2 4 2 4 3 4 2 6 2
答えのa[i] 1 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 6 6

考察1
• n≦1,000,000,000であれば、小課題1の解法であれば明らかに
TLEしてしまいます。
• また、配列をを1,000,000,000個も置くと、MLEしてしまうので、ク
エリごとに処理する必要があります。
• Q≦1,000なので、1クエリにつき可能な計算量は最大で約
300,000回です。

考察1
• ⇒約数を全て調べるひまがありません。
• ⇒問題は「約数を最大化しろ」なのでDFSでできるのでは？
• 素数を列挙し、掛けていきnを超えるまでつづけるのがいいの
では？
• 図は次のページを参照してください。

考察1
素因数の個数を {2,3,5,7} で表したものです。(n=30のとき)
{0,0,0,0}=1⇒ {1,0,0,0}=2 ⇒ {2,0,0,0}=4⇒ {3,0,0,0}=8 ⇒ {4,0,0,0}=16⇒ (これ以降は矢
印は省略)
{5,0,0,0}=32 {4,0,0,0}=16 {4,1,0,0}=48 {4,0,0,0}=16 {4,0,1,0}=80 {4,0,0,0}=16
{4,0,0,1}=112 {4,0,0,0}=16 {3,0,0,0}=8 {3,1,0,0}=24 {3,2,0,0}=72 {3,1,0,0}=24
{3,1,1,0}=120 {3,1,0,0}=24 {3,1,0,1}=168 {3,1,0,0}=24 {3,0,0,0}=8 {3,0,1,0}=40
{3,0,0,0}=8 {3,0,0,1}=56 {3,0,0,0}=8 {2,0,0,0}=4 {2,1,0,0}=12 {2,2,0,0}=36
のように続きます。

小課題1(8点)解法2
• このようにDFSでも解けます。
• 方法としては、
• 素数を{2,3,5,7,11,13…sqrt(n)}くらいまで列挙し、
• nを超えるまで掛け続ける。
• nを超えたら1手前に戻る。
• それでもすべての場合でダメな場合さらに1手前に戻る。
• 約数が最大のときの整数をmin,maxなどを使い求められる。
• 1ページ前を参考にすること。

• その場合、計算量的にはn≦10,000では間に合います。
• それに少し工夫を加えれば、小課題2が通ります。
• ※注意事項
• DFSは、スタックや再帰を使えば実装できます。

考察2
• 全探索する必要ないのでは?
• そもそも素因数3が0で5が1よりも3を1にした方が数が小さくなり
かつ約数の個数も変わらないのでこちらの方が得なのでは?
• ⇒一度素因数0の場所が現れたらそれ以降は0なのでは?
• ×{3,0,1,0,1…},〇{3,1,1,0,0…}

小課題2(42点)
• 考察2より、次のように全探索することができます。
• 素数を{2,3,5,7,11,13…47}まで列挙します。
• ただし、2*3*5*7*11*13*…*47≒6.14*10^17だから、47までしか
必要がないです。
• 考察1のようにDFSをしますが、個数0からではなく1から探索す
るようにします。

小課題2(42点)
• 状態遷移は下のようになります。
状態遷移 {2,3,5}= (数,約数) ⇒は省略します。 n=30
{0,0,0}=(1,1) {1,0,0}=(2,2) {2,0,0}=(4,3) {3,0,0}=(8,4) {4,0,0}=(16,5) {5,0,0}=(32,6)
{4,0,0}=(16,6) {4,1,0}=(48,10) {4,0,0}=(16,6) {3,0,0}=(8,4) {3,1,0}=(24,8) {3,2,0}=(72,12)
{3,1,0}=(24,8) {3,1,1}=(120,16) {3,1,0}=(24,8) {3,0,0}=(8,4) {2,0,0}=(4,3) {2,1,0}=(12,6)
{2,2,0}=(36,9) {2,1,0}=(12,6) {2,1,1}=(60,12) {2,1,0}=(12,6) {2,0,0}=(4,3) {1,0,0}=(2,2)
{1,1,0}=(6,4) {1,2,0}=(18,6) {1,3,0}=(54,8) {1,2,0}=(18,6) {1,2,1}=(90,12) {1,2,0}=(18,6)
{1,1,0}=(6,4) {1,1,1}=(30,8) {1,1,2}=(150,12) {1,1,1}=(30,8) {1,1,0}=(6,4) {1,0,0}=(2,2)

小課題2(42点)
• 計算量的にはそれで小課題2には通ります。
• しかし、小課題3では現実的な時間にはなりますが、TLEをして
しまいます。
• そこで、さらに考察をする必要があります。

考察3
• 小課題3では、今までの方法だとTLEします。
• 想定時間は約11secくらいです。
• よく見てみると、{2,3,5}={1,2,0}のようになっている場合があります。
• これを{2,1,0}にスライドした方が数は少なくなり、約数は同じなので
こちらの方が効率的
• ⇒{2,3,5,…}を昇順にソートさせたとき一番効率的

考察3
• つまり、a(2)≧a(3)≧a(5)≧a(7)≧…となるようにプログラムを組
めばよいと考えられます。
• ちなみに、a(n)とは、素数nで何回割れるかということです。
• このようにすれば、さらに時間が短くなります。

満点解法
• 考察3を利用します。
• 再帰またはDFSの、「何回掛けるか」の範囲を
• 1から「前の掛けた回数(1つ前の素数を何回掛けたか)」までにします。
• また、1回nを超えてしまったら、その次の素因数以降探索せずにもう1回
戻るという方法も使えます。(つまり合計2回もどるということ)
• 例えば、n=30のとき、次ページのようになります。
• {2,3,5}=(整数,約数)の形で表します。

満点解法
• 以下のようになります。
{0,0,0}=(1,1) {1,0,0}=(2,2) {2,0,0}=(4,3) {3,0,0}=(8,4) {4,0,0}=(16,5) {5,0,0}=(32,6)
{4,0,0}=(16,5) {3,0,0}=(8,4) {3,1,0}=(24,8) {3,2,0}=(72,12) {3,1,0}=(24,8) {3,0,0}=(8,4)
{2,0,0}=(4,3) {2,1,0}=(12,6) {2,2,0}=(36,9) {2,1,0}=(12,6) {2,0,0}=(4,3) {1,0,0}=(2,2)
{1,1,0}=(6,4) {1,1,1}=(30,8) {1,1,0}=(6,4) {1,0,0}=(2,2) {0,0,0}=(1,1)
これだけです。緑字は2回戻りの途中を表します。

満点解法
• このように、工夫をして計算量を減らすことができます。
• この場合、問題で問われているのは「約数の最大化」なので、
全てを調べ上げる必要はありません。
• このようなアルゴリズムを「ヒューリスティック探索」ともいいます。
• 想定解は約400msです。

参考問題
• JOI 2009-10予選6 「方向音痴のトナカイ」
• AOJ 0190 「11パズル」
• AOJ ALDS1_13_C 「15パズル」
• AOJ 1128 「square carpets」

結果
• First Acceptance:nuip(14分47秒)
• 得点分布

E問題
部分文字列 / Substrings
解説

問題概要
• 文字列 S が与えられる。 S の部分文字列の合計の文字数を求めなさい。
ただし, 重複するものは 1 通りだけをカウントする。
• 制約
• 1 ≦ |S| ≦ 100,000

問題概要
• S = "abc" のとき
• "a", "b", "c", "ab", "bc", "abc" の 6 個がある。合計は 10文字であ
る。よって, 答えは 10となる。
• S = "aaqqz" のとき
• "a", "q", "z", "aa", "aq", "qq", "qz", "aaq", "aqq", "qqz", "aaqq",
"aqqz", "aaqqz" の 13個があり, 合計で32文字である。

部分点解法 (15点)
• 部分文字列を全部探索し, 重複しているものを 1 回しかカウントしない。
• 部分文字列は合計で O(|S|^3) 文字あるので, これをソートすると全体の
計算量は O(|S|^3 log |S|) かかる。
• こんなに簡単に 12点が取れます。

• 部分文字列は合計で O(|S|^2) 個しかないので, 文字列を数値に変換す
ればソートに O(|S|^2 log|S|) しかかからない。
• そのようなアルゴリズムをハッシュという。(確率的だが, 99.9%くらい正確と
思っといたほうがいい)
• 長さ k の文字列の場合, の v
の値をハッシュ値とする。unsigned long long型で mod 2^64 を取るのが一
般的。
• 全体の計算量は O(|S|^ 3)

• Rolling-Hash という方法で S の部分文字列のうち長さ N のもののハッ
シュ値を O(|S|) で求めることができる。
• 分からない方は蟻本やインターネットのページを参考にしてください。
• 全体の計算量は O(|S|^2 log |S|)

Suffix Array, LCPについて
• Suffix Arrayとは?
• Suffix Arrayとは, 文字列 S の接尾辞をソートしたものである。接尾辞配
列 A[i] は (Sの文字数) - (ソートした時の i 番目の接尾辞の文字数) で
ある。
• 詳しくは蟻本やインターネットを参照。
• これはで求められる。

Suffix Array, LCPとは?
• たとえば, S = "E869120" のとき,
• 接尾辞配列は右のようになる。
• それを使って, LCPというものを
• O(|S|) で求められるようになる。
• LCPについては次ページで。
i Suffix A[i]
0 (空文字列) 7
1 0 6
2 120 4
3 20 5
4 69120 2
5 869120 1
6 9120 3
7 E869120 0

Suffix Array, LCPとは?
• Suffixをソートした時の i 番目の文字列をSuffix[i] とする。
• LCP[i] = (Suffix[i-1] と Suffix[i] の最初の何文字が同じか)
• LCPについても蟻本やインターネットに載っているので参考にしてくださ
い。

満点解法
• S = "AAQQZ" のとき
i Suffix LCP 重複している文字列重複していない文字列
1 AAQQZ 0 0個 A,AA, AAQ, AAQQ, AAQQZ
2 AQQZ 1 1個 (A) AQ, AQQ, AQQZ
3 QQZ 0 0個 Q, QQ, QQZ
4 QZ 1 1個 (Q) QZ
5 Z 0 0個 Z

満点解法
• S = "AAQQZ" のとき
• 同じになっている!
i Suffix LCP 重複している文字列重複していない文字列
1 AAQQZ 0 0個 A,AA, AAQ, AAQQ, AAQQZ
2 AQQZ 1 1個 (A) AQ, AQQ, AQQZ
3 QQZ 0 0個 Q, QQ, QQZ
4 QZ 1 1個 (Q) QZ
5 Z 0 0個 Z

満点解法
• それを利用して通すことができる
• 計算量は O(| S| log^2 |S|) なので間に合う

結果
• First Acceptance … climpet(6分51秒)
• 得点分布

問題概要
• 長さ a の数列がに初期化されて
いる。
• 次の操作を c 回行う。
• とする。
• 最終的なの値を mod 1,000,000,007 で求めなさい。

問題概要
• 制約
• 1 ≦ a ≦ 100,000
• 1 ≦ b ≦ 1,000,000,000
• 1 ≦ c ≦ 1,000,000,000

問題概要
• の時
• よって, 求める答えは58となります。
• 58って, 素晴らしい数ですね。 (rng_58, sky58のようなプロも使っている)
d[0] d[1] d[2] d[3]
最初 1 3 9 27
1回目終了後 1 4 13 40
2回目終了後 1 5 18 58

0点解法
• 問題文の通りそのままやる
• 1回の操作につきかかる
• a, b,c が 1,000であることを考えるとTime Limit Exceededしてしまう。

• 実は, d[i] を求める時にd[i-1] の値を利用できる
• (右辺は current )
• ⇒
• 計算量は O(ac)なので小課題1には通る

部分点解法(12点) の補足
• DP(Dynamic Programming ) でも解けます
• JOI2006-2007 予選 6問目「通学経路」のように DPしていくとできます
• 漸化式は dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1] のような感じですね
• この方法でも12点は取れます。

考察1
• でも, この問題には JOIの「通学経路」のように障害物はありません
• AtCoder Beginner Contest 034 C問題「経路」のような場合です
• 「経路」という問題は, 組み合わせ (nCr) を用いた解法で101点取れます
• そこで, H×W の経路の総数について考えてみましょう

考察1
• 縦に進む時をX, 横に進む時をYとする。
• そのとき, XがH個, YがW個あります。
• 経路の総数は, H+W個のなかからH個を選ぶので通りとなります。

考察1
• 次に, を O(n) で求める方法を紹介します。
• フェルマーの小定理を用いてということが分
かります。その解を「a の逆元 (mod inverse)」といいます。
• なので, n! を O(n) で求めて逆元をO(log n) で求めれば結
果として計算量は O(n) となります。

考察1
• この問題にも nCr を使うことができます。
• 9 という数字について考えると, 1×1の場合と同じ2通りの経路があり, 最終的な
答えに9×2=18 を足していることが分かります。
d[0] d[1] d[2] d[3]
最初 1 3 9 27
1回目終了後 1 4 13 40
2回目終了後 1 5 18 58

• 最初に説明した例の場合, 答えはであり, 58
となります。
• しかし, そのままでは nCr を求めるのにO(n) かかってしまいます。
• k! を 1 から n までメモ化することによってO(log n) で済みます。
• よって, 全体的な計算量は mod p のとき約 O(c + a log p) となります。
小課題2には通ります。

満点解法
• n が大きい場合の nCr をどのように求めるか?
• を使えばO(r) で求められます
• では, どのようにしてを求めるのか?
• 上の方法を利用すればで求められる。

満点解法
• であるから, その関係について
調べてみると,...

満点解法
• それを順番に求めていくと, O(a log p) ですべて求められます。
• よって, O(a log p) でこの問題を解くことができます。
• この問題は少し数学的な知識が必要かもしれませんが, 蟻本に載ってい
る程度なので解けなかった人はマスターしましょう。

nCr を利用する問題
• 以下, 私がお勧めする nCr を用いる問題です。
• ProjectEuler 015「Lattice Paths」
• AtCoder Beginner Contest 034 C問題「経路」
• AtCoder Beginner Contest 022 D問題「多重ループ」
• AOJ 2335 「10歳の動的計画」
• AOJ 2445「Minimum Cost Path」

結果
• First Acceptance… snuke(25分10秒)
• 得点分布

G問題
道とN個のAtcoder社

問題概要
• N個のAtcoder運送会社の工場が存在する。
• その座標は(xi,yi)である。(入力される。)
• 工場と工場を結ぶ道をできるだけ建設したいが、工場以外で
道と道は交差してはならない。
• 最大で何個の道を建設できるか求めなさい。

問題概要
• 小課題1(14点)…1≦n≦4を満たす。
• 小課題2(50点)…1≦n≦100を満たす。
• 小課題3(36点)…1≦n≦2,000を満たす。
• どの小課題でも、3工場は一直線上に並ばない。
• また、0≦xi,yi≦1,000,000,000である。

例
• n=4,座標={(0,0),(1,1),(0,1),(1,0)}のとき、
• 最大で5本の道を建設できる。

• 自明な探索解です。
• n≦4のとき、線は最大で6本しか引くことができません。
• よって、どことどこが結ばれているか、2^6通りを列挙する方法でで
きます。
• 結ばれている線に交差がない場合、
• maxn=max(線の本数,maxn)とします。
• 答えは、maxnの値になります。

• 貪欲でも解けます。
• まず、n=1のとき、道は0個建てられます。
• 次に、n=2のとき、道は1個建てられます。
• 次に、n=3のとき、3工場が三角形の形になるため、道は3個建てら
れます。
• 次に、n=4のとき、道が5個建てられる場合、6個建てられる場合の2
通りに分かれます。

• ある3点を選んで、残りの1つの点が3つの点からできる三角形
に囲まれる場合、道は6個建てられます。
• どのように3点を選んでも囲まれない場合、道は5個しか建てら
れません。
• 次のページの図を参照してください。

• 道が6本のとき/道が5本のとき(実際は工場は点として考える)

考察1
• 小課題2は、1≦n≦100です。
• 小課題1と比べて、nが一気に大きくなるので、到底全探索だと間に
合いません。
• 多項式時間で求めるとしても、O(n^4)程度またはそれ以下で求める
必要があります。
• ⇒解法としてはGreedyが考えられます。
• 辺の本数の最大を求めるのでDPではできにくいです。

考察1
• 三角形を作ります。
• 道をn*(n+1)/2通り列挙し、その時点で道が引けるならば道を
建て、引けないならば道を建てません。
• 証明としては、三角形の辺をつながるところにどのように移動し
たとしても、四角形を作ることはできないからです。
• ⇒道の数は四角形をなくし、三角形だけにしたときに最大

考察1の図
• 四角形がある図/三角形しかない図

考察1の図
• 辺の移動⇒新しく四角形は現れない

小課題2(64点)
• 考察1のようにやればよい
• ⇒{a,b}を結ぶ道は条件を満たすか(交点がないか)を求めるクエリとする
• {a,b}=0のとき結べない、1のとき結べるとする
• ⇒{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}…{1,n},{2,3},…{2,n},{3,4}…というように、全て
の辺を順に調べる
• この段階で{a,b}=0のときこの道は結ばない、{a,b}=1のとき結ぶ
• このような方法でやると、無駄な四角形の部分がなくなる

小課題2(64点)
• {a,b}を求めるのに最大でO(n^2)かかります。
• 実際は線分の数は大体nに比例し、平均で3nくらいになります。
• そして、{a,b}はn^2回呼び出すので、最大でO(n^4)となります。
n=100の場合、定数が(½)*(½)=(¼)くらいつくので、約2500万
回⇒間に合います。
• しかし、n=2000のときはTLEしてしまいます。

考察2
• どのような順序で調べてもよいが、線分の交差判定をしている時間
が無駄
• ⇒何が使えるか?
• 方法としては、外から順番に道を引いていくが、印をつけた点を除
く点集合のConvex_Hullの周りは全て道で囲むことができる
• そして、Convex_Hullになった点は印をつける
• これを繰り返していけば、最終的にすべての点に印がつく

考察2
• 以下のような図になる。(左⇒右)

考察2
• 前の図で、2つのConvex_Hullで囲まれた凸多角形の間にも辺
が結べる
• それに対して全探索をする場合、前よりは計算量は落とせるが
小課題3は通らない
• 2つの凸多角形の間に何本の点が引けるのかを高速に求めた
い

考察2
• これは以下のようになる。
• a頂点からなる凸多角形とb頂点からなる凸多角形の場合
• ただし、前者の方が外側とする。
• b=1のとき、a個の道が建てられる。
• b≧2のとき、a個の道が建てられる。
• 証明は、次のページを参照してください。

考察2の証明
• まず、b=1のときb側の頂点からa側の頂点に1つずつ道が引けるの
で、合計でa個道が引けます。
• そして、b≧2(a≧b)のとき、交点ができないようにa側の点から1つず
つ道を引くと、b個の四角形ができます。
• ただし、n角形は四角形n-3個分とします。
• 四角形1つにつき1本追加で道が引けるので、追加で道をb個建て
ることができます。よって、合計でa+b個の道を建てられます。
• a≦bのときもaとbを逆転すれば証明できます。

考察2の証明
• b=1のとき/b≧2のときは以下の図のようになります。

満点解法
• 考察2を利用して解けます。
• 解法としては、Convex_Hullを求めて、その点集合に印をつけ
ます。そのとき、sumに点集合の数を加算します。
• そして、このConvex_Hullが2つ目以降の場合、1つ前の
Convex_Hullの点集合と結べる道の数をsumに加算します。
• sumの最終的な値が答えとなります。

満点解法
• 考察2の証明の右のほうの図では、答えは4+3+7=14個となり
ます。
• 計算量は、Convex_Hullを求めるのに最大でO(n^2 logn)かかり、
sumに加算するのに最大でO(n)かかるため、計算量は最大で
O(n^2 logn)となります。
• n=2,000のとき、計算量は最大で約4,000万回⇒間に合います。
よって、合計100点が得られます。

満点解法
• この問題は、H問題と同じくらい、このsquare869120Contest#2
で1,2を争うくらい難しい問題だと思います。
• ちなみに、私は考えるのに2日間もかかってしまいました。
• 想定解は66msです。
• JOIの難易度表でいう難易度10くらいでしょう。

結果
• First Acceptance:DEGwer(18分07秒)
• 得点分布

はじめに
• square869120Contest #2 にご参加いただきありがとうございます。
• 私は解法を考えるのに 2 日かかりましたが, G問題はもっとかかりました。
• 問題を考えてから思ったんだけど, JAGAsia 2012 にも Counting 1's とい
う問題があったが, 全然違う問題である。そもそもJAGの方のCounting
1'sは難易度が高すぎます。

はじめに
• E869120, square1001の2人で合計20-30問くらい (約 10-15問ずつ) の
問題の候補を出しましたが, 2人で話し合って合計8問 (4+4) を厳選しま
した。そして, この8問を出すことにしました。
• 解法を考え終ってからいざ実装すると約40行で書けてしまって「えっ、こ
れが H 問題なのか?」と思いました。

問題概要
• 長さ N のビット列 a[0], a[1], a[2],...a[N-1] があり, 0 で初期化されている。クエ
リが Q 個与えられ, 次の 2 つの処理のどちらかを行う。
• Query 1: 区間 [l, r) のビットをすべて反転させる
• Query 2: 区間 [l, r) のビットが 1 であるものの個数を数える
• 制約
• 1≦N≦100,000
• 1≦Q≦100,000

問題概要
• N=8 , Q=4 のとき (入力例1)
i 0 1 2 3 4 5 6 7
a[i] 0 0 0 0 0 0 0 0

問題概要
• N=8 , Q=4 のとき (入力例1)
• Query 1: 区間 [3, 7) のビットを反転させる
i 0 1 2 3 4 5 6 7
a[i] 0 0 0 1 1 1 1 0

問題概要
• N=8 , Q=4 のとき (入力例1)
• Query 2: 区間 [2, 5) のビットが1のものの個数を求める ⇒ 2
i 0 1 2 3 4 5 6 7
a[i] 0 0 0 1 1 1 1 0

問題概要
• N=8 , Q=4 のとき (入力例1)
• Query 1: 区間 [2, 4) のビットを反転させる
i 0 1 2 3 4 5 6 7
a[i] 0 0 1 0 1 1 1 0

問題概要
• N=8 , Q=4 のとき (入力例1)
• Query 2: 区間 [1, 6) のビットが1のものの個数を求める ⇒3
1 0 1 2 3 4 5 6 7
a[i] 0 0 1 0 1 1 1 0

• 何も工夫をしないでやります。
• 1つのクエリに対して O(N) で処理します。
• 全体の計算量は O(NQ)
• ⇒これだけで 8 点もらえる !

• 制約
• 1≦N≦100,000
• 1≦Q≦100,000
• Query 2 は 1,000 個以内
• そのままでは Query 1 にO(N), Query2 にO(N) かかっているので間に
合わない
• Query1 の実行速度を速くするためにはどのような方法を使えばよいか?

• 次のようなクエリに置き換えることもできる
• Query 1: 区間 [l, r) に 1 加算する
• Query 2: 区間 [l, r) の中で 2 で割ると 1 余るようなものの数を求める
• 「いもす法」という方法を使うと Query1 が O(1) でできる

• 「いもす法」とは?
• Query 1: 区間 [l, r) に対してa[i] += x とする
• Query 2: a[0], a[1], ... a[n-1 ] の値を求める
• Query 1 を O(1 ) で, Query2 を O(n) ですることができる。

• Query 1: s[l] += x, s[r] -= x とする
• Query 2: a[i] = a[i-1] + s[i] である
• そのように, 累積和を応用するだけでそのようなクエリ処理ができる。
• ⇒Query 1 に O(1),Query 2 に O(N) かかる
• ⇒小課題 2 には通る

• 52 点をとれる解法が思いつかなかったので, 52点解法につての解説は
しません。
• 100 点解法はもちろんわかってますよ !

満点解法
• ここではまず, 「平方分割」という方法について説明する。
• 例として, 次のようなクエリを処理する問題を考えてみよう。
• 数列が 0で初期化されている
• Query 1: a[i] = x とする
• Query 2: 区間 [l, r) の最大値を求める
• 平方分割という方法を使えば, Query 1, Query2 ともにで求められ
る

満点解法
• N = 9 のとき
0
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0

満点解法
• Query 1: a[4] = 3 とする
3
0
0 0 0
3
0 3 0
0
0 0 0

満点解法
• Query 1: a[2] = 5とする
• ⇐ 5, 3, 0 の最大値は 5
• ⇑
• ⇐ 0, 0, 5 の最大値は 5
• ⇑
• ⇐ a[2] = 5 とする
5
5
0 0 5
3
0 3 0
0
0 0 0

満点解法
• Query 2: 区間 [2, 8) の最大値を求める
• ⇒ 赤い部分の最小値を求めればよい
5
5
0 0 5
3
0 3 0
0
0 0 0

満点解法
• そのようにすれば, Query1 をで終わらせることができる !
• 実際には, Query 1 には O(1) しかかかっていない

満点解法
• 各ノードに「ノードが示す区間に 1 が何個含まれているか」を記録する
ことができればよい
• 区間 [l, r) のビット列を反転させると, 1 の個数は (r–l) - 「区間 [l, r) の 1
の個数」となる
• では, 実際にやってみよう !
• まず, 最初は1つのノードが示す値について調べてみます。

満点解法
• Query 1: 区間 [2, 3) のビット列を反転させる
1
1
0 0 1
0
0 0 0
0
0 0 0

満点解法
4
1
0 0 1
3
0 0 0
0
0 0 0

満点解法
5
2
0 0 1
3
0 0 0
0
0 0 0

満点解法
4
2
0 0 1
2
1 0 0
0
0 0 0

満点解法
• ⇒青い部分が O(1) では 1, 3 のどちらになるのか分からない
4
2
0 0 1
2
1 1 0
0
0 0 0

満点解法
• 各ノードに「ノードが示す区間の 1 の個数」だけを配列に保存すると高
速に動作しない
• そこで方法を考えてみよう。
• ノードAを反転させるとき, ノード A の子の「ノードが示す区間の 1 の個
数」は「反転」する。
• このことを利用するべきではないか?

満点解法
• 各ノードに 2 つの値を記録すればよい
• 区間に含まれる 1 の個数 (完全ではない)
• 各ノードが何回反転されたか
• では, 実際にやってみよう !

満点解法
[1, 0]
[1, 0]
[0, 0] [0, 0] [1, 1]
[0, 0]
[0, 0] [0, 0] [0, 0]
[0, 0]
[0, 0] [0, 0] [0, 0]

満点解法
[4, 0]
[1, 0]
[0, 0] [0, 0] [1, 1]
[3, 1]
[0, 0] [0, 0] [0, 0]
[0, 0]
[0, 0] [0, 0] [0, 0]

満点解法
[3, 0]
[1, 0]
[0, 0] [0, 0] [1, 1]
[2, 1]
[1, 1] [0, 0] [0, 0]
[0, 0]
[0, 0] [0, 0] [0, 0]

満点解法
• 今 [2, 1] となっているノードに注目しよう。そのノードの子である [1, 1] と
なっているノードは, 0 から 1 になっている (1 加算されている) が, その
ノードは 1 減算されている。なぜなら, そのノードは 1 回反転されている
ため「1 から 0 になった」とみなしているからである。

満点解法
• Query 1 は, 各ノードに対して O(1) で処理できることが分かった。
• 次に, Query 2 についてやってみよう。

満点解法
• Query 2: 区間 [3, 6) の 1 の数を求める
• ⇒上のノードで全く反転されていないので, 2 である。
[3, 0]
[1, 0]
[0, 0] [0, 0] [1, 1]
[2, 1]
[1, 1] [0, 0] [0, 0]
[0, 0]
[0, 0] [0, 0] [0, 0]

満点解法
• Query 2: 区間 [4, 5) の 1 の数を求める
• ⇒青い部分が反転されていることを考えると, 求めるノードも反転されているの
で, 1-0=1 個である。
[3, 0]
[1, 0]
[0, 0] [0, 0] [1, 1]
[2, 1]
[1, 1] [0, 0] [0, 0]
[0, 0]
[0, 0] [0, 0] [0, 0]

満点解法
• 区間は, 程度のノードの集合としてあらわされる。
• N=9 で, 区間 [2, 7) を表すとき, [2, 3), [3, 6), [6, 7) に処理をしていけ
ばよい
• Query 2 の場合は, その合計を求めればよい

満点解法
• SegmentTreeを使って同様の処理をすることもできる
• 平方分割は, 3段になっていて, 1つのノードの子が √(n) 個ある。
• Segment Tree は, logn 段になっていて, 1つのノードの子が logn 個ある。
• 同じような方法で, Query1, Query2 を処理できる。

満点解法
• Segment Tree を使うと,
• Query 1 …
• Query 2 …
• n が大きくなると, SegmentTree の方が実行速度は速い。
• n = 100,000程度の時は, Segment Treeと平方分割がだいたい同じ速度
になる。

満点解法
• ちなみに, 私が最初に思い付いた解法がSegment Treeによる解法で, 実
装は本当に簡単でした。
• 平方分割による解法はコンテスト 5 日前に思い付きました。

結果
• First Acceptance … yosupo(5分13秒)
• 得点分布

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