ProofSummit2013 べらべらAbella
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Explanation of (a small portion of) Abella proof assistant in Japanese.
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ProofSummit2013 べらべらAbella
- 2. お前誰だよ • 3月に無事博士号を 取得した元学生 • パンダ –鶏付き • 通称chiguri • 今神奈川大学 御清聴誠に感謝しております！
- 5. 数日後 • 「ProofSummitで話せ？」 • 「Yes, Sir!」 9割くらい フィクションです 御清聴誠に感謝しております！
- 6. 二つの偶然が重なり • Abellaを話すことにした – ちまつりでAgda話すし –去年のCPPにも出てきたし –ちょっと使ったことあるし • 一応今も使ってる • うまく話せるか分からないけど 御清聴誠に感謝しております！
- 8. Abellaって？ • http://abella-prover.org/ • ミネソタ大・INRIA Saclay・ Ecole Polytechniqueで開発 –実装はOCaml（OPAMで入る） 御清聴誠に感謝しております！
- 9. Abellaの原理 • 論理型プログラミング言語と 論理による証明器 –二段階論理（two-level logic） –c.f. Coq/Agdaは関数型言語 » 構成的型理論とCurry-Howard対応って言わないとダメです？ 御清聴誠に感謝しております！
- 12. Specification Logic • λ-Prologのサブセット –もう少し詳しく言うと、 hereditary Harrop Formulaと lambda-tree syntax • だけどここでは説明しない –目的はそこじゃない –hereditary~は英語のwikipediaにある 御清聴誠に感謝しております！
- 13. Coqerから見たAbella • 論理型言語だけど、慣れれば 大したことない –少し覚えれば関数っぽく書ける • Coqで意味をPropで書くようなもの • 証明は慣れないが、そこはなん とかする –エラーメッセージもマニュアルもあま り親切じゃない 御清聴誠に感謝しております！
- 14. Abellaのソース構成 • xxx.sig –signature：型、コンストラクタ、 述語の型宣言 • xxx.mod –module：述語の推論規則 • xxx.thm –theorem：性質の証明 御清聴誠に感謝しております！
- 15. Abellaの型 • 型の宣言 –kind nat type. • コンストラクタの宣言 –type z nat. –type s nat -> nat. • 名称の最初は大文字不可 御清聴誠に感謝しております！
- 17. Abellaの述語 • 述語の型： 引数 -> 引数 -> ... -> o • oが命題を表す型 –o ≈ CoqにおけるProp • Reasoning logicではpropという型が –引数を与えると命題として使える 御清聴誠に感謝しております！
- 18. 例えばこんな • シグネチャ –type is_nat nat -> o. –type even nat -> bool -> o. • 推論 –is_nat z. –is_nat (s N) :- is_nat N. 御清聴誠に感謝しております！
- 20. 特徴1 • 高階抽象構文（HOAS）が 使える –Isabelleユーザは知ってるはず • Isabelle/HOLで使えるらしい –CoqやAgdaでは不可能 • Positivity conditionに引っかかる • Parametric HOASがあるにはあるが、あの 使いにくさときたら・・・ぶつぶつ 御清聴誠に感謝しております！
- 22. ラムダ計算を言語で 表現するとき • 変数どうしよう？ –頭の痛い問題の一つ –文字列？ –自然数？ • de Bruijn index？ • 束縛関係や置き換えの面倒く ささがエラーとつらみを誘う 御清聴誠に感謝しております！
- 23. ラムダ式の束縛 • λx. xを考えると、ほしいのは –λの後のxと後ろのxが関係する –置換するときは後ろのxが置き換え られる –画面出力？置いておいてください。 御清聴誠に感謝しております！
- 24. じゃあ • fun x : term => x –termはλ項とする –型はterm -> term • 何かλ項を与えるとそれがそのまま返っ てくる • 一応ラベルとしてコンストラク タを使用する –lam (fun x : term => x) 御清聴誠に感謝しております！
- 25. λ項の定義 • 適用 –app : term * term -> term • 抽象 –lam : (term -> term) -> term • 以上！ 御清聴誠に感謝しております！
- 29. お馬鹿なeven • even z t. • even (s N) B :- odd N B. • odd z f. • odd N B :- even (s N) B • 1より大きい自然数で推論不能 –お馬鹿なのはoddだけど 御清聴誠に感謝しております！
- 30. evenと何かの 乗算結果はeven • お馬鹿なevenでもこれが証明 できる –証明が変なのだが • 普通なら、「同じ値を二回足したら 偶数」などの補題が必要 • 0のケースしか出ない 御清聴誠に感謝しております！
- 32. つまり • even N tという仮定がある としたら、 –推論が終わって –判定がtとなる –そんなNだった • ということ –そうじゃないNなんて知らない 御清聴誠に感謝しております！
- 33. 全域性 • forall N, {is_nat N} -> exists B, {is_bool B} -> {even N B} – 「全ての入力（と思ってる変数）に対して出 力（と思ってる何か）が存在する」 • これだけでは必ず停止するとも一意になるとも 言っていないが – is_natに関する帰納法を用いて証明する • existsの位置を間違えると帰納法が使えないの で注意 • is_bool忘れたら証明が進まないのでさらに注意 御清聴誠に感謝しております！
- 35. 他にも • Reasoning Logicの側では nabla-quantifierという面白い ものも –常に「今まで出てきた値と異な る」ものを表す • Lispのgensymみたいなことができる 御清聴誠に感謝しております！
- 36. 2.0何が変わった？ • 高階仕様がサポートされたよ • 文脈依存の命題の証明が変わっ たよ • 日本語でおｋ（特に後者） • アナウンス英語ですけどね • 例がexamplesのどこかにある（だけ） らしいのだが始めて5分であきらめた 御清聴誠に感謝しております！
- 37. Abellaでやってること • 昔（といっても二年前）作っ た計算の合流性の証明 –HOAS便利すぐる –Complete Developmentという 手法を使おうとしているが・・・ • parallel betaの証明時に面倒なこと を回避 御清聴誠に感謝しております！