台達電MOOCX 專案計畫 高三選修物理

1. 物理光學
雙狹縫干涉實驗的數學推導

2. 大綱
說明 亮紋與暗紋位置成像方程式
說明 光紋間距的方程式

3. 光源
S1
S2
濾光器
屏A
S
楊氏雙狹縫干涉實驗
屏B
楊格
濾光器 屏A狹縫S
線光源單頻光
抵達S1與S2的光，為同一波前同相
柱面波
S1與S2的光
同相、單頻

4. 干涉條紋位置方程式的數學推導
d：兩狹縫 S1、S2的間距
L：狹縫到光屏的距離
QO是S1S2的中垂線
光從分別從S1與S2出發，
在P點會合，
P是光屏上任一點。
y：OP的間距
S1
S2
d
L
P
Q O
屏B 光屏
y

5. L遠大於d，
S1P 、S2P 幾乎平行
S1
S2
d
L
P
Q O
屏B 光屏
y
d
θ
三角形視為
直角三角形
光自兩狹縫到Ｐ點的光程差
θ
θ
𝒅 𝒔𝒊𝒏𝜽
𝒅 𝒔𝒊𝒏𝜽
θ
≈ 𝒅 𝒕𝒂𝒏𝜽θ 極小
𝒔𝒊𝒏𝜽 ≈ 𝒕𝒂𝒏𝜽
= 𝒅 ∙
𝒚
𝑳
干涉條紋位置方程式的數學推導

6. 為什麼會看到亮紋
兩光波會合點，具備完全建設
性干涉，該點形成亮紋
屏B
S1
S2
屏B
Q O
S1
S2
O點
𝒅 𝒔𝒊𝒏𝜽 = ±𝒏𝝀
P
S1
S2
P點
𝝀

7. 兩光波會合點，具備完全破壞
性干涉，該點形成暗紋
屏B
S1
S2
屏B
Q O
P點
𝒅 𝒔𝒊𝒏𝜽 =±(𝒎 −
𝟏
𝟐
) 𝝀
PS1
S2
S1
S2
𝟏
𝟐
𝝀
𝟑
𝟐
𝝀
第一暗紋m=1
其他暗紋，依序類推
為什麼會看到暗紋

8. 由於
形成亮紋
所以
形成暗紋
所以
亮紋位置與暗位置
屏B
S1
S2
屏B
Q O
P
中央
亮紋
±𝒏𝝀
𝒅 𝒔𝒊𝒏𝜽 ≈ 𝒅 𝒕𝒂𝒏𝜽 = 𝒅 ∙
𝒚
𝑳
𝒅 𝒔𝒊𝒏𝜽 =±(𝒎 −
𝟏
𝟐
) 𝝀
𝒅 𝒔𝒊𝒏𝜽 =
𝒚亮 = ±𝒏
𝑳𝝀
𝒅
𝒚暗 = ±(𝒎 −
𝟏
𝟐
)
𝑳𝝀
𝒅

9. 雙狹縫干涉的總結
O
光屏
Δ𝑦
Δ𝑦
中央亮紋n= 0
第一亮紋n=-1
第一亮紋n=-1
第二亮紋n=-2
第二亮紋n=-2
第一暗紋m=-0
第二暗紋m=-1
第一暗紋m=-1
第二暗紋m=-2

10. 光紋間距的討論
雙狹縫干涉條紋是明暗均勻相間
兩相鄰的亮紋或暗紋間的距離為
𝚫𝐲 = 𝒏
𝑳𝝀
𝒅
− (𝒏 − 𝟏)
𝑳𝝀
𝒅
𝚫𝐲 = 𝒎 −
𝟏
𝟐
𝑳𝝀
𝒅
− [(𝒎 − 𝟏) −
𝟏
𝟐
]
𝑳𝝀
𝒅
𝚫𝐲 =
𝑳𝝀
𝒅
Δ𝑦
Δ𝑦

11. • 亮紋(暗紋)的間距 • 狹縫的寬度d 成反比
• 狹縫到屏幕的距離L 成正比
• 波長λ 成正比
𝚫𝐲 =
𝑳𝝀
𝒅
相同波長λ
不同的狹縫寬度d
不同的狹縫到屏幕的距離L
https://en.wikipedia.org/wiki/Interference_(wave_propagation
光紋間距的討論

12. • 亮紋(暗紋)的間距 • 狹縫的寬度d 成反比
• 狹縫到屏幕的距離L 成正比
• 波長λ 成正比
𝚫𝐲 =
𝑳𝝀
𝒅
相同的狹縫寬度d
相同的狹縫到屏幕的距離L
http://www.klxkc.com/wl/downDis.asp?id=4087
5
不同的波長λ
光紋間距的討論

13. 光的干涉-在生活中的應用
當入射光非單一色光時，干涉
條紋便會是彩色的。
https://www.itp.uni-hannover.de/~zawischa/ITP/multibeam.htm
陽光被蜘蛛絲反射
內外兩反射光造成
干涉

14. Thanks for your attention