Dokumen tersebut membahas tentang teori permainan dan konsep-konsep dasarnya seperti dilema narapidana, strategi dominan, saddle point, strategi murni dan campuran dalam menyelesaikan permainan dua orang dengan jumlah keuntungan nol.

1. ***

2. Berkaitan dengan permasalahan Pengambilan
Keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada
dalam kondisi persaingan atau konflik.
Pihak-pihak:
1.
individu vs individu
2.
perusahaan vs perusahaan
3.
organisasi vs organisasi
4.
negara vs negara

3. Persaingan yang terjadi dapat berupa
persaingan yang saling menghacurkan
misalnya perang harga, pesaingan secara
fair memperebutkan pertumbuhan pasar
atau pangsa pasar, atau persaingan
dengan berkolusi membentuk kartel atau
monopoli.
Beberapa contoh persaingan duopoli:

4. Dua orang pencuri bekerjasama melakukan suatu
pencurian. Saat sedang beraksi, kedua pencuri
tersebut tertangkap polisi.
Oleh polisi kedua pencuri tersebut diperiksa
secara terpisah. Dengan berbagai bukti yang
ada dari berbagai kejahatan yang pernah
dilakukan oleh keduanya polisi melakukan
penawaran sebagai berikut:

5. Kepada masing-masing pencuri polisi menyatakan
bahwa dengan berbagai bukti yang ada, saya
siap mengirimmu ke penjara selama 1 tahun.
Saya ingin mengajukan penawaran. Jika mengaku
akan saya atur agar kamu dihukum 3 bulan
sementara temanmu 10 tahun. Tetapi jika kalian
berdua mengaku maka masing2 dihukum 5
tahun. Ditabelkan berikut:

6. Kasus: Dilema Narapidana
PENCURI 2
Mengaku
A
Tidak
Mengaku
PENCURI 1
Mengaku
C
5 thn
10 thn
Tidak
Mengaku
5 thn B
10 thn
3 bln
3 bln D
1 thn
1 thn

7. Data empiris menunjukkan bahwa jika
dilema narapidana dilakukan berulangulang, maka orang akan cenderung
kooperatif/bekerjasama
Perkembangan strategi kooperatif dalam
persaingan berlaku strategi tit-for-tat
(balasan setimpal)

8. Strategi tit-for-tat:
-bila anda berlaku baik pada saya, maka
sayapun akan baik pada anda, dan
sebaliknya
-lakukanlah
kepada
orang
lain
sebagaimana anda ingin diperlakukan,
namun sepanjang mereka berlaku sama

9. Untuk mempertinggi keuntungan, dua
perusahaan yang bersaing dalam pasar
melakukan kolusi sehingga harga jual
produk menjadi tinggi. Hal ini tentu
merugikan masyarakat dan melanggar
undang2 anti monopoli perdagangan.
Matriks payoff kolusi ditunjukkan tabel
berikut:

10. Ekuilibrium Nash (Kolusi vs tidak Kolusi)
PT. P
Harga tinggi
A
$150
Harga tinggi
Harga normal
B
$200
–$20
$100
PT. Q
Harga normal C
$150
–$30
D*
$10
$10
*Ekuilibrium Nash, D adalah strategi dominan Q

11. Ekuilibrium Nash – terjadi jika tidak ada
pemain yang dapat memperbaiki hasilnya
dengan strategi tertentu dari lawan
Disebut juga strategi non-kooperatif karena
masing-masing pihak memilih strateginya
tanpa bersekongkol dan memilih strategi
terbaik
bagi
dirinya
tanpa
mempertimbangkan pihak manapun

12. *****

13. Klasifikasi game theory:
-berdasar jumlah pemain: two-person game, n
person game
-berdasar jumlah keuntungan/kerugian: zero-sum
game, constant-sum game, non-zero-sum game
-berdasar jumlah strategi yang digunakan: 2 x 2, 2
x n, atau m x n
Basis analisis: Matriks Payoff

14. Asumsi dasar pada teori permainan:
1.
Setiap pemain bersifat rasional
2.
Setiap pemain secara aktif mencoba
menaikkan kemenangan masing-masing
3.
Penentu strategi dalam permainan
adalah baris

15. Permainan Odds and Evens
Strategi Baris
Strategi Kolom
Satu jari
Dua jari
Satu jari
$1,000
$−1,000
Dua jari
$−1,000
$1,000

16. Strategi Dominan
Strategi Baris
Strategi Kolom
K1
K2
K3
B1
4
4
10
B2
2
3
5
B3
3
4
7
Strategi mana yang dipilih??, apa kriterianya??
Strategi Dominan

17. Strategi B3 lebih dominan dibandingkan strategi
B2, strategi B1 lebih dominan dibandingkan
dengan strategi B3 walaupun pada kolom K2
sama-sama mendapatkan nilai 4.
Karena strategi B1 lebih dominan dibanding dua
strategi yang lain, maka pemain baris pasti
akan memilih strategi B1, sehingga permainan
ini dinamakan permainan dengan strategi
dominan.

18. Strategi Baris
Strategi Kolom
K1
K2
K3
B1
4
4
10
B2
2
3
1
B3
6
5
7
Tanpa dominan, Strategi mana yang dipilih??
dan apa kriterianya??

19. K1
K2
K3
B1
4
4
10
Min
baris
4
B2
2
3
1
1
B3
6
5
7
5
6
5
10
Maks
kolom
M
A
K
S
I
M
I
N
MINIMAKS
MAKSIMIN=MINIMAKS →Saddle Point, dan 5
adalah nilai permainan

20. Pada permainan Two-person zero-sum game,
jika terdapat saddle point, maka untuk
menyelesaikannya digunakan strategi murni.
Strategi
murni
artinya
setiap
pemain
mempunyai posisi terbaik dengan memilih
satu strategi atau strategi tunggal

21. Jika pada permainan Two-person zero-sum
game tidak terdapat saddle point, maka
untuk menyelesaikannya
digunakan
strategi campuran atau lebih dari satu
strategi

22. K1
K2
K3
B1
0
−2
2
Min
baris
−2
B2
5
4
−3
−3
B3
2
3
−4
−4
5
4
2
Maks
kolom
M
A
K
S
I
M
I
N
MINIMAKS
MAKSIMIN ≠ MINIMAKS, tdk ada Saddle Point

23. Permainan seperti ini disebut tidak stabil
karena setiap pemain (B dan K) sulit
memilih strategi tertentu.
Permainan seperti ini dapat diselesaikan
dengan mixed-strategy yaitu dengan
menetapkan probabilitas tertentu dalam
memilih strategi yang akan dijalankan

24. Misal:
xi : probabilitas pemain B memilih strategi i
(i=1, 2, 3, …, m)
yj : probabilitas pemain K memilih strategi j
(j=1, 2, 3, …, n)
m dan n adalah banyaknya strategi yang
dapat dipilih pemain B dan K.

25. Solusi dari strategi campuran tetap dengan
kriteria maksimin dan minimaks.
Pemain B: memilih xi yang memaksimumkan
ekspektasi payoff terkecil suatu kolom
(maksimin)
Pemain
K:
memilih
yi
yang
dapat
meminimumkan ekspektasi payoff terbesar
suatu baris (minimaks)

26. K
K1: y1 K2: y2
Kn: yn
B1: x1
B
a11
a12
a1n
B2: x2
a21
a22
a2n
Bm:
xm
am1
am2
amn

27. Secara matematis:
Pemain B akan memilih xi yang menghasilkan:
m
m
 m

vB  maksmin   a11xi ,  a12 xi ,..., ain xi 


i 1
i 1

  i1

28. Secara matematis:
Pemain K akan memilih yi yang menghasilkan:
n
n

 n



vK  min maks  a1 j y j ,  a2 j y j ,..., amj y j 



j 1
j 1
 j 1



29. Jika xi dan yi berkorespondensi dengan solusi
optimum, maka VB=VK dimana nilai yang
diperoleh sama dengan nilai optimum
permainan.
Jika xi* dan yj* adalah solusi optimum bagi kedua
pemain, maka setiap elemen payoff aij akan
dihubungkan dengan probabilitas (xi*, yj*).
Maka nilai ekspektasi optimum permainan
adalah:
m n
v*  
i 1 j 1
* *
aij xi y j

30. *****

31. Permainan 2 x n digambarkan sbb:
y1
y2
yn
x1
a11
a12
a1n
x2=1−x1
a21
a22
a2n

32. Berdasarkan strategi murni K, maka espektasi
payoff (EP) untuk B adalah:
Strategi murni K
K1
K2
Ekspektasi payoff B
(a11−a21) x1 + a21
(a12 −a22) x1 + a22
Kn
(a1n −a2n) x1 + a2n
Hal ini menunjukkan bahwa EP B bervariasi secara
linier terhadap x1. B harus memilih nilai x1 yg
memaksimumkan EP minimumnya

33. Contoh:
K1
K2
K3
B1
0
−2
2
B2
5
4
−3
Permasalahan tidak mempunyai saddle
point, diselesaikan secara grafis

34. Berdasarkan strategi murni K, maka espektasi
payoff untuk B adalah:
Strategi murni K
K1
K2
K3
Ekspektasi payoff B
0x1 + 5(1−x1) = 5−5x1
−2x1 + 4(1−x1)= 4−6x1
2x1 − 3(1−x1)=−3+5x1
Ketiga ekspektasi payoff tersebut
digambarkan dalam bentuk grafik sbb.

35. Ekspektasi payoff
5
K1
MAKSIMIN
3
K2
0
K3
-3
1
x1

36. Maksimin ekspektasi payoff:
vB = maks { min (5-5x1), (4-6x1), (-3+5x1}
vB = maks { min (4-6x1), (-3+5x1)}
Titik potong dicari secara aljabar:
4 – 6x1 = −3 + 5x1
x1*=7/11 dan x2*= 4/11
vB = v* = −3 + 5x1 = −3 + 5(7/11) = 2/11
Selanjutnya:

37. v* = ∑∑aij xi yj atau
y1*(5-5x1) + y2*(4-6x1) + y3(−3+5x1) = 2/11 (1)
y1 * + y2 * + y3 * = 1
(2)
Persamaan (5-5x1) tidak melewati titik maksimin,
yang berkorespondensi dengan y1*, maka y1*=0,
sehingga y2* + y3* = 1 atau y3*=1−y2*
disubstitusikan ke persamaan (1):
Untuk x1 = 0 → 4y2* − 3y3* = 2/11
x1 = 1 →−2y2* + 2y3* = 2/11

38. maka : y2* = 5/11 dan y3* = 6/11
Dengan demikian, solusi optimum untuk kedua
pemain adalah:
- pemain B: (x1, x2)
= (7/11, 4/11)
- pemain K: (y1, y2, y3) = (0, 5/11, 6/11)
Dengan nilai permainan v* = 2/11

39. Karena y1*=0, maka y2* + y3* = 1 atau
y3*=1−y2* , maka expected payoff untuk
pemain K (kolom) ditunjukkan pada
tabel:

40. Berdasarkan strategi murni B, maka espektasi
payoff untuk K adalah:
Strategi murni B
Ekspektasi payoff K
B1
−2y2* + 2(1 −y2*)=2 −4y2*
B2
4y2* −3(1−y2*)=−3 + 7y2*
Ketiga ekspektasi payoff tersebut
digambarkan dalam bentuk grafik sbb.

41. Ekspektasi payoff
5
3
MINIMAX B2
0
-3
1
B1
y2

42. Titik potong kedua garis memberikan
hasil:
2−4y2* = −3 + 7y2* atau
y2*=5/11 dan y3*=6/11
Sehingga (y1*, y2*, y3*) = (0, 5/11, 6/11)

43. Tentukan solusi dari permainan
Two-Person Zero-Sum game berikut
K1
K2
K3
B1
2
1
3
B2
4
3
2

44. Tentukan solusi dari permainan
Two-Person Zero-Sum game berikut
K1
K2
K3
B1
1
2
3
B2
2
0
3

45. Tentukan solusi dari permainan
Two-Person Zero-Sum game berikut
K1
K2
K3
B1
2
4
6
B2
3
1
5

46. Tentukan solusi dari permainan
Two-Person Zero-Sum game berikut
K1
K2
K3
B1
2
0
3
B2
3
4
1