PRE CALCULO N°15 ESAN

La parábola
La hipérbola
Sistemas de desigualdades cuadráticas
Las cónicas: Aplicaciones
Precálculo

3
PARÁBOLA
Conjunto de puntos del
plano que equidistan de
una recta fija llamada
directriz y de un punto
fijo llamado foco.
D
D = Directriz
F = Foco
F
P(x;y)
Q
PF = PQ
Eje focal = L1
Lado recto = LR
L
R
V
V = Vértice
La distancia del vértice al foco es igual
a la distancia del vértice a la directriz,
e igual a .p
L1

4
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
Vértice en el origen (0;0) y eje focal el eje X
y px2
4
a) La ecuación de una parábola es . Determine las coordenadas de su vértice,
su foco, y construya su gráfica.
2
20y x
b) La ecuación de una parábola es . Determine las coordenadas de su vértice,
su foco, y grafique la curva.
2
16y x 
OF
pp
X
Y
0p
O F
pp
Y
X
0p
Ejemplo 1:

5
Vértice en el origen (0;0) y eje focal el eje Y
x py2
4
a) La ecuación de una parábola es . Determine las coordenadas de su vértice,
su foco, y construya su gráfica.
b) La ecuación de una parábola es . Determine las coordenadas de su
vértice, su foco, y construya la gráfica de la curva.
p
p
O
F
Y
X
0p
O
F
p
p
X
Y
0p
Ejemplo 2:
yx 242

yx 102


6
Vértice en el origen (h;k) y eje focal paralelo al eje X
   y k p x h  
2
4
a) La ecuación de una parábola es . Determine las coordenadas de
su vértice, foco, y grafique la curva.
   
2
3 8 1y x  
vértice, de su foco, y construya la gráfica.
 
2
5 12y x  
O
F
Y
X
0p
V
k
h O
F
X
Y
0p
Vk
h
(ECUACIÓN ORDINARIA)
Ejemplo 3:

7
Vértice en el origen (h;k) y eje focal paralelo eje Y
   x h p y k  
2
4
a) La ecuación de una parábola es . Determine las coordenadas de su
vértice, su foco, y grafique la parábola.
   
2
4 4 6x y  
vértice, su foco y grafique la curva.
   
2
5 8 3x y   
V
F
Y
X
0p
O h
k
O
F
X
Y 0p
V
h
k
(ECUACIÓN ORDINARIA)
Ejemplo 4:

8
Forma general
2
0x Dx Ey F   
2
0y Dx Ey F   
Eje focal paralelo al eje Y ( o coincidente con el eje Y)
Eje focal paralelo al eje X ( o coincidente con el eje X)
a) La ecuación de una parábola es . Determine las coordenadas del
vértice y grafique dicha curva.
b) La ecuación de una parábola es . Determine las coordenadas del
vértice y grafique dicha cónica.
2
8 10 49 0y x y   
Ejemplo 5:
01462
 yxx

10
HIPÉRBOLA
Conjunto de puntos del plano
tales que la diferencia de
distancias (en valor absoluto)
a dos puntos fijos del plano,
llamados focos, es constante.
F1 F2
P(x;y)
V1 V2
B2
B1
O
L
L1
L2
O : centro
B1B2 : eje conjugado = 2b
V1V2 : eje transverso = 2a
F1 y F2 : focos
1 2 2PF PF a 
L: eje focal
L1 y L2: asíntotas

11
ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA
Centro (0;0) y eje focal el eje X Centro (h;k) y eje focal paralelo al eje X
F1 F2
P(x;y)
V1 V2
B2
B1
O X
Y
x y
a b
 
2 2
2 2
1
F1 F2
V1 V2
B2
B1
O
X
Y
k
h
   x h y k
a b
 
 
2 2
2 2
1
a) Halle la ecuación de la hipérbola cuyo centro es (1; 4), uno de sus vértices se
encuentra en (3;4) y una de sus asíntotas tiene pendiente 2.
Ejemplo 1:

12
Centro (0;0) y eje focal el eje Y Centro (h;k) y eje focal paralelo al eje X
y x
a b
 
2 2
2 2
1    y k x h
a b
 
 
2 2
2 2
1
F1
F2
V1
V2
B2
B1
O
X
Y
O
Y
h
F1
F2
V1
V2
B2
B1
O
X
k
b) Halle la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son (-5; 2) y (-5; -4) y que pasa por el
punto P (3; 4).
Ejemplo 2:

13
Forma general
2 2
0Ax Cy Dx Ey F    
0 0A y C ,A y C de signos opuestos,D,E y F R  
a) La ecuación de una hipérbola es . Determine su ecuación
general.
   x y 
 
2 2
1 2
1
9 16
b) La ecuación de una hipérbola es . Determine su
ecuación ordinaria.
x y x y    2 2
5 4 40 24 24 0
c) El centro de una hipérbola está en (-3; 2), un vértice en (-3; 5) y la ecuación de una
de sus asíntotas es x + y + 1 = 0. Determine la ecuación general de dicha hipérbola.
d) La ecuación de una hipérbola es . Determine su
centro, de sus vértices y construya su gráfica.
Ejemplo 3:
0101541694 22
 yxyx

1. Grafique la solución del siguiente sistema de
inecuaciones:
Ejemplo





42
1622
yx
yx
Solución

2. Grafique la solución del siguiente sistema de
inecuaciones:






1
94
1
22
22
yx
yx

1. Por fiestas patrias, la demanda de un tipo de escarapelas en
bronce está dada por la ecuación:
donde p es el precio unitario en dólares cuando se
adquieren q cientos de unidades. La oferta tiene un
comportamiento lineal, de tal modo que cuando el precio es
$4 se ofertan 350 unidades, mientras que el productor está
dispuesto a colocar 150 unidades cuando el precio es $2.
a) Determine la ecuación de la oferta.
b) Grafique la oferta y demanda mostrando el equilibrio.
Oferta y demanda
)23)(23()2(4 ppqq 

2. La demanda de cierto producto de consumo masivo viene
dada por:
donde p es el precio en dólares y q representa la cantidad
demandada (en cientos de unidades). Por otro lado, los
productores ofrecen 12 100 unidades cuando el precio es de
$12, pero el producto deja de ofertarse cuando el precio es
de $1.
a) Considerando una oferta lineal, determine su ecuación.
b) Grafique la oferta y demanda mostrando el equilibrio.
Oferta y demanda
2
2 8 64 0p p q   

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