Tema 3 ecualizacion de-canal

Tema 3:
Ecualización de canal
Dr. José Ramón Cerquides Bueno
Teoría de la Señal y Comunicaciones
Universidad de Sevilla
Transmisión Digital

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 2
Organización
• Introducción
• El detector MLSD
• Ecualización de canal
• Planteamiento del problema
• Soluciones
• Diseños fijos
• Diseños no restringidos
• Diseños retringidos a una estructura de filtro transversal
• Diseños adaptativos
• Comparación de las diferentes técnicas de ecualización
• Conclusiones
• Referencias

Introducción
• En los sistemas reales de transmisión frecuentemente
nos encontramos con ISI o con fenómenos que
escapan a nuestro control:
• Desvanecimientos
• Propagación multicamino
• Ecos
• Desajustes en general en los circuitos transmisores o
receptores
• Conmutación de circuitos
• Otros fenómenos
• RESULTADO:
• La respuesta del canal difiere de la esperada o supuesta (la
que habremos utilizado en el diseño teórico de los filtros
terminales óptimos)

Introducción
• CONSECUENCIAS:
• Respecto al ruido
• Nuestro sistema ya no tiene un diseño óptimo 
la relación SNR va a descender 
desciende la relación Eb/N0 
aumenta la probabilidad de error
• ISI (Interferencia intersimbólica)
• Si no había ISI
va a aparecer
• Si ya había ISI (sistemas con ISI controlada o compensada)
va a aumentar (descontrolándose).
• En cualquier caso  ISI ↑↑ 
aumenta la probabilidad de error

Introducción. Efectos multicamino
• EJEMPLO:
• Sistema BPSK diseñado para trabajar con Eb/No = 10dB 
BER = 3,9 · 10-6
• ¿Qué le ocurre al aparecer multicamino (τ>Ts)?

0 20 40 60 80 100
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
Potencia relativa del rayo secundario (%)
BER
ISI + ruido
Solo ruido
• EJEMPLO:
• Sistema BPSK diseñado para trabajar con Eb/No = 10dB 
BER = 3,9 · 10-6
• ¿Qué le ocurre al aparecer multicamino (τ>Ts)?

• EJEMPLO:
• Sistema QPSK diseñado para
trabajar con Eb/No = 25dB
• Al aparecer una componente
multicamino (retardo de un
símbolo, nivel relativo 5 dB por
debajo del camino principal)

Introducción
• CONCLUSIÓN
• Necesitamos introducir elementos adicionales que
compensen o minoren el efecto nocivo de la ISI.
• Tenemos dos alternativas
• Cambiar a un detector MLSD (Maximum Likelihood Sequence
Detection)
• Introducir un subsistema encargado de compensar la ISI.
• El subsistema encargado se denomina
ECUALIZADOR DE CANAL
o IGUALADOR DE CANAL
• El ecualizador va colocado justo después del circuito de
muestreo.

El detector MLSD
• Cuando la señal recibida tiene ISI, el detector
convencional (critero de distancia mínima) deja de
ser la solución óptima.
• EJEMPLO:
• Supongamos que el canal digital viene dado por
hd[n] = δ[n] - 0.7·δ[n-1] + 0.5·δ[n-2]
• Si la secuencia de símbolos (binarios) emitida hubiese sido:
s[n] = … 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 …

El detector MLSD
• La señal de salida hubiese venido dada por
• Suponiendo que los dos símbolos transmitidos antes del
inicio de s[n] son dos 1’s (estado inicial) tendríamos que la
secuencia recibida (sin incluir el efecto del ruido sería):
r[n] =… 0.8, -1.2, 0.2, 1.2, -0.2, -1.2, 0.2, -0.8, -0.8, -0.8 …
• Si la secuencia de ruido w[n] tomase los siguientes valores:
w[n] = … 1.0, 0.5, 0.1, -0.4, 0.5, -0.9, -0.1, 1.1, 1.7, -0.6 …
la secuencia completa recibida hubiese sido:
r[n] =… 1.8, -0.7, 0.3, 0.8, 0.3, -2.1, 0.1, 0.3, 0.9, -1.4 …
• La técnica de detección de mínima distancia hubiese
arrojado la siguiente secuencia detectada:
s’[n] = … 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 …
• Comparando:
s[n] = … 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 …
[ ] [ ]d
k
h k s n k
∞
=−∞
= −∑ds[n]*h [n] [ ] [ ] [ ]s n 0.7s n 1 0.5s n 2= − − + −

El detector MLSD
• Es necesario utilizar un detector que tenga en cuenta
el efecto de la ISI (unos símbolos interfieren sobre los
otros).
• En lugar de ser un detector que opere símbolo a
símbolo deberá considerar la secuencia de símbolos
más probable  MLSD (Maximum Likelihood
Sequence Detection)
• Podemos ver el canal digital equivalente como un
codificador convolucional con relación de código
k/n = 1
que utiliza una restricción de tamaño K = longitud
en muestras de la respuesta impulsional.
• El “estado” del codificador serían los últimos K-1
símbolos emitidos.

El canal digital como codificador convolucional
• EJEMPLO:
• El canal digital dado por
hd[n] = δ[n] - 0.7·δ[n-1] + 0.5·δ[n-2]
puede interpretarse como el siguiente codificador
convolucional:
s[n] s[n-1] s[n-2]
1
-0.7 0.5
[ ] [ ] [ ]s n 0.7s n 1 0.5s n 2− − + −
Estado
Entrada

Diagrama de estados del codificador
• Continuando con la similitud entre el canal digital y
un codificador convolucional, podemos obtener su
diagrama de estados. Para el caso del ejemplo:
a
1,1
c
1,-1
b
-1,1
d
-1,-1
1
0.8
-1
-1.2
1
2.2
-1
0.2
-1
-2.2
-1
-0.8
1
1.2
1
-0.2

Trellis del canal digital
• Continuando con la similitud entre el canal digital y
un codificador convolucional, podemos obtener su
Trellis. Para el caso del ejemplo:
a
b
c
d
a
b
c
d
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1

El detector MLSD
• Opera sobre secuencias de símbolos en lugar de
sobre símbolos aislados.
• Vamos a hacer uso del algoritmo de Viterbi para la
obtención del camino más probable a lo largo del
Trellis.
• Necesitamos asignar un “peso” a cada una de las
transiciones dentro del Trellis. Dicho peso debería
ser la probabilidad
• ¿Cuál es la probabilidad de cada transición?
a a
b
1
-1

El detector MLSD
• El símbolo recibido es
r[n] = s[n] – 0.7 s[n-1] + 0.5 s[n-2] + w[n]
• Queremos determinar la probabilidad de que s[n]
sea 1 (o -1) sujeta a que el símbolo recibido sea r[n] y
a que el estado original sea el estado a (1,1).
[ ]( )p s n 1 r[n],a= = [ ] [ ]( )
[ ]( )
p s n 1,r n ,a
p r n ,a
=
=
[ ] [ ]( ) [ ]( )
[ ]( )
p r n s n 1,a p s n 1,a
p r n ,a
= =
[ ] ( )( ) [ ]( )
[ ]( )
p w n r[n] 1 0.7 0.5 p s n 1,a
p r n ,a
= − − + =
= =
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
p s n 1,a
p w n r[n] 0.8
p r n ,a
=
= = − =
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
2
2
w
r n 0.8
2
w
p s n 1,a1
e
p r n ,a2
−
−
σ
=
πσ

El detector MLSD
• La probabilidad buscada es:
• La probabilidad de la otra transición (que supone la
emisión del símbolo -1) será:
• Si los símbolos son equiprobables el factor
• Como la suma de ambas probabilidades debe ser 1,
cada una será proporcional a la correspondiente
exponencial.
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
2
2
w
r n 0.8
2
w
p s n 1,a1
p s n 1 r[n],a e
p r n ,a2
−
−
σ
=
= =
πσ
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
2
2
w
r n 1.2
2
w
p s n 1,a1
p s n 1 r[n],a e
p r n ,a2
+
−
σ
= −
= − =
πσ
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
p s n 1,a p s n 1,a
p r n ,a p r n ,a
= − =
=

El detector MLSD
• Veamos un ejemplo de la asignación de pesos a las
ramas.
• Supongamos que se recibe el símbolo 1.8 y que
partimos del estado a
donde k1 se habrá elegido de forma que la suma de
ambas probabilidades sea la unidad.
a a
b
( )2
2
w
1
2
1k ·e
−
σ
( )2
2
w
3
2
1k ·e
−
σ

El detector MLSD
• Si avanzamos en la decodificación, debemos asignar
las probabilidades de de las nuevas ramas que
aparecen. Por ejemplo, si el siguiente símbolo
recibido fuese -0.7 tendríamos:
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
( )2
2
w
1
2
1k ·e
−
σ
( )2
2
w
3
2
1k ·e
−
σ
( )2
2
w
1.5
2
2k ·e
−
−
σ
( )2
2
w
0.5
2
2k ·e
−
σ
( )2
2
w
2.9
2
2k ·e
−
σ
( )2
2
w
0.9
2
2k ·e
−
σ

El detector MLSD
• Suponiendo que el ruido es independiente en cada
símbolo, la probabilidad de cada camino es el
producto de las probabilidades de sus diferentes
ramas.
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
( )2
2
w
1
2
1k ·e
−
σ
( )2
2
w
3
2
1k ·e
−
σ
( )2
2
w
1.5
2
2k ·e
−
−
σ
( )2
2
w
0.5
2
2k ·e
−
σ
( )2
2
w
2.9
2
2k ·e
−
σ
( )2
2
w
0.9
2
2k ·e
−
σ
( ) ( )2 2
2 2
w w
1 0.5
2 2
1 2k ·e k ·e
− −
σ σ
( ) ( )2 2
2 2
w w
3 2.9
2 2
1 2k ·e k ·e
− −
σ σ

El detector MLSD
• Gracias a las propiedades de la exponencial,
podemos compactar el peso de cada camino como:
• Cuando dos caminos distintos confluyen en un
mismo nodo, ambos tendrán distintas
probabilidades:
• La de mayor probabilidad (exponente menor) será la
superviviente.
( ) ( )
( ) ( ){ }
2 2
2 2
2 2 2
w w w
1 0.5 1
1 0.5
2 2 2
1 2 1 2k ·e k ·e k ·k ·e
− − − +
σ σ σ
=
( )
{ }2 2 2
1,1 2,1 n ,12
w
1
d d ... d
2
1 2 np ruta 1 k ·k ...·k ·e
− + + +
σ
=
( )
{ }2 2 2
1,2 2,2 n,22
w
1
d d ... d
2
1 2 np ruta 2 k ·k ...·k ·e
− + + +
σ
=

El detector MLSD
• Como acabamos de ver, finalmente el único
elemento que se utiliza para decidir es el factor
donde los di son las distancias entre el símbolo que
teóricamente se debería haber recibido de producirse
dicha transición y el que realmente se ha recibido.
• Por tanto no es necesario trabajar con los exponentes,
sino que podemos asignar a cada rama el peso d2
,
eligiendo finalmente el camino de menos peso.
• El resto del algoritmo de Viterbi funciona de la
forma habitual, descartando caminos hasta que sólo
queda uno posible, que corresponde a la secuencia
que se decodifica como correcta.
2 2 2
1 2 nd d ... d+ + +

2.563.82
0.161.42
15.86
0.365.86
1.967.46
Detector MLSD y algoritmo de Viterbi
• Si la secuencia recibida hubiese sido:
r[n] =… 1.8, -0.7, 0.3, 0.8, 0.3, -2.1, 1.7, -2.0, 3.3, -1.4 …
el algoritmo de Viterbi resultaría:
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
1
9
2.253.25
0.251.25
8.4117.41
0.819.81
0.253.5
2.255.5
3.614.86
0.011.26
0.2517.66
6.2523.66
0.8110.62
1.2111.02
0
4
9
3.5
7.5
13.861

1.215.03
0.814.63
6.257.67
0.251.67
0.017.51
3.6111.11
2.255.75
0.253.75
• Continuando con la decodificación:
-0.7 0.3 0.8 0.3
2.563.82
0.161.42
1
0.36
1.96
a
b
c
d
a
b
c
d
a
d
a
b
c
d
2.253.25
0.251.25
0.81
0.253.5
2.25
3.61
0.011.26
0.25
6.25
0.81
1.21
0
4
9
3.5
7.5
a
b
c
d

1.696.72
10.8915.92
0.014.64
3.618.24
5.4911.04
18.4924.24
0.812.48
8.4110.08
5.03
a
b
c
d
a
b
c
d
a
d
a
c
d
a
b
c
d
3.82
1.42
3.5
5.75
1.67
3.53.25
1.25
4.631.26
a
b
c
d
-1 -1
-0.7 0.3 0.8 0.3 -2.1

Detector MLSD. Limitaciones
• Como hemos visto el detector MLSD permite
realizar la decodificación óptima (máxima
verosimilitud) en presencia de ISI.
• Su realización hace uso del algoritmo de Viterbi
para determinar el mejor camino dentro del Trellis.
• Sin embargo, en la práctica su utilización está muy
limitada fundamentalmente por dos factores:
1. Es necesario conocer con precisión la respuesta del canal
digital hd[n].
• Se dificulta su realización en el caso de canales variantes
(comunicaciones móviles, sistemas inalámbricos en
general…)
1. El coste computacional asociado a la realización puede
hacerlo inviable.

Detector MLSD. Coste computacional
• Para una modulación con J posibles símbolos
emitidos y un canal con respuesta impulsional de
longitud L tendremos JL-1
estados posibles con JL
posibles transiciones.
• Cada transición supone evaluar 1 suma (resta) + 1
multiplicación  2JL
operaciones.
• EJEMPLO: Modulación 16-QAM , Rs = 1 Mbaud,
respuesta impulsional de longitud 6
• El número de operaciones para decodificar cada símbolo
será:
2·166
= 33.5·106
flops = 33.5 Mflops
• El número de operaciones requeridas por segundo será:
33.5 Mflops/símbolo · 1 Msímbolo/seg = 33.5·1012
flops/seg
(el límite actual de los procesadores es ~ Gflops/seg)

Ecualización de canal
• En muchas situaciones prácticas (desconocimiento
de la respuesta del canal, excesivo coste
computacional) la detección MLSD no es viable.
• Se opta entonces por una solución sub-óptima: la
ecualización (o igualación) de canal.
• La idea original es bastante sencilla: introducir un
bloque (el ecualizador) capaz de eliminar la ISI o por
lo menos de reducirla considerablemente, de forma
que podamos seguir utilizando un detector clásico
(de los que operan símbolo a símbolo).
• ¿Dónde va a ir colocado este nuevo circuito?

Localización del ecualizador
FUENTE
CODIFI-
CADOR
MODU-
LADOR CANAL
DEMODU-
LADORDETECTORDESTINO
Mensaje
transmitido
m[l]
(secuencia
digital)
Símbolos
transmitidos
s’[n]
(secuencia
digital)
Señal
transmitida
s(t)
(señal
analógica)
Ruido
v(t)
(señal
analógica)
Señal
recibida
x(t)
(señal
analógica)
Símbolos
recibidos
r[n]
(secuencia
discreta)
Mensaje
recibido
m’[l]
(secuencia
digital)
Señal de salida
del canal
c(t)
(señal
analógica)
Símbolos
estimadosDECODIFI-
CADOR
s[n]
(secuencia
digital)
CANAL
DIGITAL
EQUIVALENTE
CANAL
DISCRETO
EQUIVALENTE
CANAL
BINARIO
EQUIVALENTE
Ecualizador

Localización y tecnología del ecualizador
• Tecnológicamente, los ecualizadores suelen
realizarse con DSPs o ASICs  Digital
FILTRO
ADAPTADO
Señal
recibida
x(t)
(señal
analógica)
DEMODULADOR
Símbolos
recibidos
r[n]
(secuencia
discreta)
Señal
salida
r(t)
(señal
analógica)
Ecualizador
Símbolos
ecualizados
y[n]
FILTRO
ADAPTADO
Señal
recibida
x(t)
(señal
analógica)
DEMODULADOR
Símbolos
recibidos
r[n]
(secuencia
discreta)
Señal
salida
r(t)
(señal
analógica)
A/D
DSP
ASIC
(ecualizador+
detector+
decodificador)

Planteamiento del problema
• Utilizando el modelo de canal digital equivalente:
• Si el canal fuese ideal y el diseño perfecto*
:
• hd[n] = √Ep· δ[n] (diseño perfecto, no ISI)
• w[n] blanco y gaussiano, σw
2
= N0/2, rww[m] = σw
2
δ[m]
• En la práctica puede ocurrir (incluso con un canal
conocido y utilizando filtros terminales óptimos)
• hd[n] ≠ √Es· δ[n]  (ISI)
• w[n] adquiere color, σw
2
= N0/2, rww[m] ≠ σw
2
δ[m]
CANAL
DIGITAL
hd[n]
s[n]
Secuencia de
símbolos de
entrada
r[n]
Secuencia de
símbolos de
salida
w[n]
Ruido discreto
x[n]
Salida
del
canal
*
Suponiendo que no se trata de sistema con ISI controlada

Planteamiento del problema
• Ecualizar (igualar) el canal significa introducir un
sistema en cascada de forma que:
y[n] = hd[n]*hec[n]*s[n] + hec[n]*w[n] ≈ s[n-n0]
hd[n]
s[n] r[n]
hec[n]
y[n]
≈ s[n-n0]
w[n]
x[n]
↑
Respuesta del
canal ecualizado
↑
Ruido a la salida
del ecualizador

Soluciones
• Diseños fijos
• Estructuras sin restricciones
• Filtrado inverso
• Filtro de Wiener
• Restringidas a una estructura de filtro transversal:
• Filtro FIR de Wiener
• Forzador de ceros
• Mínimos cuadrados
• Diseños adaptativos
• Con referencia temporal
• Algoritmo LMS
• Algoritmo RLS
• Sin referencias (ciegos)
• Dirigidos por decisión
• Otras alternativas

Diseños fijos
• El problema se plantea de la forma siguiente:
• Dada una hd[n] y las características del ruido w[n] diseñar
un ecualizador con respuesta impulsional hec[n] que
resuelva el problema.
• Se utilizan cuando el canal es conocido y no se
esperan variaciones sustanciales con el tiempo.
• EJEMPLO: Enlaces a través de medios guiados (cable, guía
de ondas, fibra óptica…)
• Pueden usarse también en diseños “adaptativos por
bloques”
• EJEMPLO: La transmisión se ejecuta en salvas de 1024
símbolos (tramas). El sistema identifica el canal en cada
trama y supone que las carácterísticas de hd[n] y w[n] se
mantienen durante el tiempo que dura la trama. Se diseña
un ecualizador para las características de canal medidas.

Diseños fijos y adaptativos por bloques
• Diseños adaptativos por bloques
¿ hd[n] ?
s0[n] r0[n]
¿w[n]?
x0[n]
Algoritmo
de
identificación
de
canal
[ ]
[ ]
d
ˆh n
ˆw n
Ecualizador

Diseños fijos sin restricción–Filtrado inverso
y[n] = r[n]*hec[n] =
= (x[n]+w[n])*hec[n] =
= x[n] *hec[n] + w[n]*hec[n] =
=s[n]*hd[n]*hec[n] + w[n]*hec[n] ≈ s[n-n0]
• Ignorando la componente de ruido
s[n] *hd[n]*hec[n] =s[n-n0]
hd[n]
s[n] r[n]
hec[n]
y[n]
≈ s[n-n0]
w[n]
x[n]

s[n] *hd[n]*hec[n] =s[n-n0]
⇓
hd[n]*hec[n] =δ[n-n0]
⇓
Hd(z)·Hec(z) = z-n0
• Solución:
( )
( )
0n
ec
d
z
H z
H z
−
=

• Comentarios sobre la realizabilidad:
• Solo es estable y causal si hd[n] es un sistema de fase
mínima (todos sus ceros dentro del circulo unidad).
• En caso contrario el ecualizador diseñado tiene polos fuera
del círculo unidad:
• Si el sistema es estable (ROC contiene la circunferencia
unidad), es no causal (ROC no contiene ∞)
• Si el sistema es causal (ROC contiene ∞) es inestable.
• Como la estabilidad es un criterio irrenunciable, el filtro
inverso puede dar lugar a diseños no causales, lo que
compromete seriamente su aplicabilidad.
• En resumen:
• hd[n] es de fase mínima  hec[n] causal
• hd[n] no es de fase mínima  hec[n] no causal

• Comentarios sobre las prestaciones
• No se ha tenido en cuenta el ruido al diseñar el ecualizador.
• El ruido a la salida será w[n]*hec[n], luego su densidad
espectral será Sww(F)·|Hec(F)|2
• En aquellas bandas en las que Hd(F) tome valores bajos
⇓
Hec(F) crecerá para compensar
⇓
La densidad espectral de ruido crecerá
• La potencia de ruido a la salida será:
( ) ( )
0.5
2
ruido,out ww ec
0.5
P S F H F dF
−
= ∫
( )
0.5
20
ec
0.5
N
H F dF
2 −
= ∫
( )
0.5
20
ec
0.5
N
H F dF
2−
= =∫
[ ]
20
ec
n
N
h n
2
∞
=−∞
= ∑

EJEMPLO - Filtro inverso
hd[n] = δ[n] – 0.3·δ[n-1]-0.1·δ[n-2]
Probabilidad de error (Eb/N0 = 5 dB) ≈ 0.023930

Hd(F) = 1 – 0.3e-j2πF
-0.1e-j4πF
( ) ( ) ( )d
1
H F 110 54cos 2 F 20cos 4 F
10
= − π − π
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
d
3sin 2 F sin 4 F
H F tg
10 3cos 2 F cos 4 F
−
 π + π
=  ÷
− π − π 
R

Hd(z) = 1 – 0.3z-1
-0.1z-2
Es un sistema de fase mínima
Polos en z = 0 (doble)
Ceros en z = 0.5, -0.2

EJEMPLO – Filtro inverso
( )
( )
0n
ec
d
z
H z
H z
−
= =
( )
( )( )1
5
ec 1
z
H z
1 0.5z 1 0.2z
−
−
−
=
− +
( )
5
d
z
H z
−
=
5
1 2
z
1 0.3z 0.1z
−
− −
− −
En este caso
se ha elegido
n0 = 5

[ ] [ ]
n 5 n 5
ec
2 1 5 1
h n u n 5
7 5 7 2
− −
    
= − + −  ÷  ÷
     
( )
( )( )1
5
ec 1
z
H z
1 0.5z 1 0.2z
−
−
−
= ⇒
− +

• Probabilidad de error
• Sin ecualizador: 0.026501
• Con ecualizador: 0.012570
• Mínimo teórico: 0.005954
• Relación Eb/N0
• Antes de ecualizar: 5 dB
• Después de ecualizar: 4.04 dB

EJEMPLO 2 – Filtro inverso

• Sin ecualizador:0.259265
• Con ecualizador:0.220274
• Relación Eb/N0
• Antes de ecualizar: 5 dB
• Después de ecualizar: -5.25 dB

Ecualizador por Filtro de Wiener (no causal)
• Nos enfrentamos al problema:
s[n] = Secuencia de símbolos emitidos
hd[n] = Respuesta impulsional del canal digital equivalente
x[n] = Salida del canal digital equivalente
w[n] = Ruido digital equivalente
r[n] = Señal a la entrada del ecualizador
hec[n] = Respuesta impulsional del Ecualizador
y[n] = Señal a la salida del ecualizador
d[n] = Señal deseada a la salida del ecualizador
e[n] = Señal error
s[n] r[n]
w[n]
x[n]
d[n]
y[n] e[n]
hec[n]hd[n]

Filtro de Wiener
• Analizaremos primero un problema más sencillo:
hd[n]
s[n] r[n]
hec[n]
w[n]
x[n]
d[n]
y[n] e[n]
r[n]
h[n]
d[n]
y[n] e[n]

Filtro de Wiener
• Buscamos la solución al problema:
donde e[n] = d[n] – y[n]
• Buscamos el mejor filtro h[n] en sentido cuadrático
medio (Mean Square Error) MSE, (Minimum Mean
Square Error) MMSE
MSE = E{|e[n]|2
} = potencia media del error
• Queremos determinar que filtro h[n] debemos
colocar para minimizar el MSE.
r[n]
h[n]
d[n]
y[n] e[n]

Principio de ortogonalidad
• TEOREMA: El principio de ortogonalidad establece
que el MSE será mínimo cuando se verifique la
condición:
γer[m] = E{e[n]r*[n-m]} = 0
Alternativamente:
γre[m] = γer
*
[m] = E{r[n]e*[n-m]} = 0
• DEMOSTRACIÓN:
• Sea h[n] un filtro tal que al usarlo se verifica γre[m] = 0
• Sea g[n] otro filtro cualquiera
• Vamos a demostrar que el MSE obtenido con el filtro h[n] es
siempre menor o igual que el obtenido con g[n].

yh[n] = salida del filtro h[n]
yg[n] = salida del filtro g[n]
eh[n] = d[n] – yh[n] = error al usar el filtro h[n]
eg[n] = d[n] – yg[n] = error al usar el filtro g[n]
MSEh = E{|eh[n]|}2
= E{|d[n] – yh[n]|2
}
MSEg = E{|eg[n]|}2
= E{|d[n] – yg[n]|2
} =
= E{|d[n] – yg[n]+ yh[n] - yh[n]|2
} =
= E{|eh[n] + yh[n] - yg[n]|2
}
r[n]
h[n]
d[n]
yh[n] eh[n] r[n]
g[n]
d[n]
yg[n] eg[n]

MSEg = E{|eh[n] + yh[n] - yg[n]|2
} =
= E{(eh[n] + yh[n] - yg[n]) *
(eh[n] + yh[n] - yg[n])} =
= E{|eh[n]|2
} + E {eh
*
[n](yh[n] - yg[n])} +
+ E {eh[n](yh[n] - yg[n]) *
} + E {|yh[n] - yg[n]|2
} =
= MSEh + E {|yh[n] - yg[n]|2
} +
+ E {eh
*
[n](yh[n] - yg[n])} + E {eh [n](yh[n] - yg[n]) *
}
• Luego MSEg = MSEh + un término que es siempre
mayor o igual que 0 + otros dos términos (que, como
demostraremos a continuación, son 0)
• Veamos primero que ambos son complejos
conjugados uno del otro:
E {eh
*
[n](yh[n] - yg[n])} = [E {eh[n](yh[n] - yg[n]) *
}]*
de modo que basta demostrarlo para uno de ellos.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
*
h
m m
E e n h m r n m g m r n m
∞ ∞
=−∞ =−∞
   
= − − − =  ÷
   
∑ ∑
[ ] [ ] [ ]( ){ }*
h h gE e n y n y n− =
[ ] [ ] [ ]( ) [ ]
* *
h
m
E e n h m g m r n m
∞
=−∞
 
= − − = 
 
∑
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]{ }
* *
h
m
h m g m E e n r n m
∞
=−∞
= − − =∑
[ ] [ ]( ) [ ]h
*
e r
m
h m g m m
∞
=−∞
= − γ =∑
[ ] [ ]( )
*
m
h m g m 0 0
∞
=−∞
= − =∑

• Por tanto,
MSEg = MSEh + E {|yh[n] - yg[n]|2
}
de forma que el filtro capaz de verificar γer[m] = 0 da
el mínimo MSE (cualquier otro filtro tiene MSE
mayor).
• Así, el filtro que buscamos verificará el principio de
ortogonalidad
γer [m] = 0
que era lo que queríamos demostrar.
• A partir de ahora utilizaremos siempre dicho criterio
para el diseño.

Filtro de Wiener
• La solución al problema:
se obtendrá cuando γer[m] = 0 (ppo. ortogonalidad)
γer[m] = E {e[n]r*[n-m]} =
= E {d[n]r*[n-m] - y[n]r*[n-m]} =
= γdr[m] – γyr[m] = 0
γdr[m] = γyr[m]
r[n]
h[n]
d[n]
y[n] e[n]

Recordatorio – Correlación y filtros
• Dado un proceso estocástico r[n] con autocorrelación
rrr[m] que actúa como entrada a un filtro con
respuesta impulsional h[n] y salida y[n], se verifica:
y[n] = h[n]*r[n]
γrr[m] = E{r[n]r*[n-m]}
rhh[m] = h[m]*h*
[-m]
γyy[m] = E{y[n]y*[n-m]} = γrr[m] * rhh[m] = γrr[m]*h[m]*h*
[-m]
γry[m] = E{r[n]y*[n-m]} = γrr[m] * h*[-m]
γyr[m] = E{y[n]r*[n-m]} = γrr[m] * h[m]
r[n]
h[n]
y[n]

Recordatorio – Densidad espectral y filtros
• Dado un proceso estocástico R(z) con densidad
espectral Γrr(z)que actúa como entrada a un filtro con
función de transferencia H(z) y salida Y(z), se
verifica:
Y(z)=H(z)R(z)
Γrr(z) = Z{γrr[m]}
Shh(z) = H(z)H*
(1/z*
)
Γyy(z) = Γrr(z)· Shh(z) = Γrr(z)·H(z) H*
(1/z*
)
Γry(z) = Γrr(z)·H*
(1/z*
)
Γyr(z) = Γrr(z)·H(z)
R(z)
H(z)
Y(z)

Filtro de Wiener - Solución
La aplicación del principio de ortogonalidad resulta
γdr[m] = γyr[m]
o, tomando transformadas
Γdr(z) = Γyr(z)
Γyr(z) = Γrr(z)·H(z)
r[n]
h[n]
d[n]
y[n] e[n]
( )
( )
( )
dr
rr
z
H z
z
Γ
=
Γ

Ecualizador mediante filtro de Wiener
• Aplicando ahora la solución anterior a nuestro
problema:
• Necesitamos determinar Γrr(z) y Γdr(z), teniendo en
cuenta que d[n] = s[n-n0]
hd[n]
s[n] r[n]
hec[n]
w[n]
x[n]
d[n]
y[n] e[n]
( )
( )
( )
dr
ec
rr
z
H z
z
Γ
=
Γ

Determinación de Γdr(z)
Γdr(z) = Z{γdr[m]}
γdr[m] = E{d[n]r*[n-m]} = E{s[n-n0] (x[n-m]+w[n-m])*
} =
= E{s[n-n0]x*
[n-m]} + E{s[n-n0] w*
[n-m]} =
= γsx[m-n0] + γsw[m-n0] = γsx[m-n0]
• Luego
Γdr(z) = Z{γsx[m-n0]} = z-n0
·Γsx(z)
Γsx(z) = Hd
*
(1/z*
)·Γss(z)
Γss(z) = Z{γss[m]} = Z{E{s[n]s*[n-m]}}
• Si la secuencia de símbolos es blanca (símbolos
independientes) que es lo habitual
γss[m] = E{|s[n]|2
}δ[m]  Γss(z) = E{|s[n]|2
}
Γdr(z) = z-n0
·Hd
*
(1/z*
)· E{|s[n]|2
}

Determinación de Γrr(z)
Γrr(z) = Z{γrr[m]}
γrr[m] = E{r[m]r*[n-m]} =
= E{(x[n]+w[n])(x*[n-m]+w*[n-m])} =
= γxx[m] + γwx[m] + γrw[m] + γww[m] =
= γxx[m] + γww[m]
• Luego
Γrr(z) = Γxx(z) + Γww(z) =
Γrr(z) = Γss(z)Hd(z)Hd
*
(1/z*
) + Γww(z)
• Suponiendo ruido blanco de potencia N0/2
Γrr(z) = E{|s[n]|2
}· Hd(z)Hd
*
(1/z*
) + N0/2

Ecualizador mediante filtro de Wiener
• Finalmente
• Comentarios:
• El filtro de Wiener tiene en cuenta simultáneamente los
efectos de la ISI y del ruido.
• Cuando el ruido es muy pequeño (N0  0) el filtro se
comporta como un filtro inverso
• En aquellas zonas en las que Hd(z) toma valores bajos, el
filtro de Wiener no intenta compensar a cualquier precio,
sino que responde de forma mucho más suave (no olvida
nunca el ruido)
• El filtro obtenido con la expresión anterior es siempre no
causal
( )
[ ]{ }
[ ]{ } ( )
0
2 n*
d *
ec
2 * 0
d d *
1
E s n H z
z
H z
N1
E s n H z H
z 2
− 
 ÷
 =
 
+ ÷
 

EJEMPLO – Ecualizador por filtro de Wiener

hd[n] = δ[n] – 0.3·δ[n-1]-0.1·δ[n-2]
Hd(z) = 1 – 0.3z-1
– 0.1z-2
Hd
*
(1/z*
) = 1 – 0.3z - 0.1z
Símbolos transmitidos ±1  E{|s[n]|2
} = 1
Eb/N0 = 5 dB = 3.16
[ ]
2
b d 0
n
E h n 1.1 N 0.348
∞
=−∞
= = → =∑
( )
3 4 5
ec 2 1 2
0.1z 0.3z z
H z
0.1z 0.27z 1.274 0.27z 0.1z
− − −
− −
− − +
=
− − + − −

• Con filtro inverso: 0.011840
• Con filtro Wiener: 0.008910
• Relación Eb/N0
• Sin ecualizar: 5 dB
• Con filtro inverso: 4.04 dB
• Con filtro Wiener: 4.44 dB

EJEMPLO – Ecualizador por filtro Wiener

• Con filtro inverso: 0.217144
• Con filtro Wiener: 0.060841
• Relación Eb/N0
• Sin ecualizar: 5 dB
• Con filtro inverso: -5.26 dB
• Con filtro Wiener: 2.44 dB

Diseños fijos sin restricción - Conclusiones
• Ofrecen la mejor solución, desde el punto de vista
matemático al problema planteado.
• Dos alternativas
• Filtro inverso:
• Se diseña ignorando el ruido.
• Solo causal en sistemas de fase no mínima
• No es un buen diseño si el ruido es importante
• Filtro Wiener:
• Balancea ruido e ISI
• Solución no causal al problema de diseño
• Mayor complejidad de diseño
• Funciona bien en situaciones de ruido elevado
• Mejores prestaciones que el filtro inverso

Diseños fijos sin restricción - Conclusiones
• Desde el punto de vista de su construcción
(programación) aparecen una serie de
inconvenientes:
• Se desconoce a priori la longitud de la respuesta
impulsional que se obtendrá como solución 
• Se ignora la estructura del filtro (realizaciones hard) o se
ignora el coste computacional asociado al ecualizador en
realizaciones soft (puede comprometer seriamente la selección
de procesador).
• La no causalidad puede suponer retardos de una trama (o
más) que pueden ser intolerables en el sistema de
comunicaciones.
• La obtención del filtro es un procedimiento complejo
(especialmente en el caso del filtro de Wiener).
• Estos inconvenientes son tan serios que han llevado a la
búsqueda de otras soluciones  diseños restringidos.

Diseños restringidos - Introducción
• En los diseños restringidos la estructura del filtro se
establece de antemano.
• Se utilizan filtros FIR de una longitud
predeterminada (Lec muestras).
• Motivos:
• Estructuras fijas permiten la realización del ecualizador en
circuitos hard o el conocimiento a priori del coste
computacional asociado en realizaciones soft.
• Al ser filtros FIR son estructuras intrínsecamente estables
• La causalidad implícita de la estructura va a permitir acotar
el retardo máximo.
• Los algoritmos de diseño son sensiblemente más sencillos y
fáciles de programar que para sistemas no restringidos.
• El inconveniente es que van a ofrecer prestaciones
más moderadas que los diseños sin restricciones.

Diseños restringidos - Planteamiento
• El problema de ecualización continua siendo:
donde ahora vamos a forzar
hec[n] = {hec[0], hec[1], … hec[Lec-1]}
hec[n] = 0 n ≠ 0..Lec -1
hd[n]
s[n] r[n]
hec[n]
w[n]
x[n] y[n]

Criterio de minima distorsión de pico
• El criterio de mínima distorsión de pico puede verse
como la versión del filtro inverso para el caso
restringido.
• Ignorando el ruido trataremos de resolver:
s[n] *hd[n]*hec[n] ≈ s[n-n0]
o lo que es lo mismo:
htot[n] = hd[n]*hec[n] ≈ δ[n-n0]
• Desarrollando:
donde no debemos olvidar que la longitud total de
htot[n] será Ltot = Ld+ Lec- 1
[ ] [ ] [ ] [ ]
ecL 1
tot ec d 0
k 0
h n h k h n k n n
−
=
= − ≈ δ −∑

Criterio de mínima distorsión de pico
htot[0] = hec[0]hd[0] + hec[1]hd[-1] + … + hec[Lec-1]hd[-Lec+1] = 0
htot[1] = hec[0]hd[1] + hec[1]hd[0] + … + hec[Lec-1]hd[-Lec+2] = 0
…
htot[n0] = hec[0]hd[n0]+hec[1]hd[n0-1]+ … +hec[Lec-1]hd[n0-Lec+1]=1
…
htot[Ltot-1] = hec[0]hd[Ltot-1]+hec[1]hd[Ltot-2]+ … +hec[Lec-1]hd[Ltot-Lec]=0
[ ] [ ] [ ] [ ]
ecL 1
tot ec d 0
k 0
h n h k h n k n n
−
=
= − ≈ δ −∑
Ltot ecuaciones
Lec incógnitas

• Vemos que tenemos un sistema de Ltot ecuaciones
con Lec incógnitas, que se puede expresar en forma
matricial como:
Hdhec ≅ δn0
donde:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
d d d ec
d d d ec
d 0 d 0 d 0 ec
d tot d tot d d
h 0 h 1 h L 1
h 1 h 0 h L 2
h n h n 1 h n L 1
h L 1 h L 2 h L 1
 − − +
 
− + 
 
 
− − + 
 
 
− − −  
K
K
M M O M
K
M M O M
L
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
ec
ec
ec 0
ec
h 0
h 1
h n
h L 1
 
 
 
 
≅ 
 
 
 
−  
M
M
0
0
1
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
M
Ltot filas x Lec columnas Lec filas Ltot filas

Hdhec = δn0
Hd = Matriz del canal (Ltot filas x Lec columnas)
hec= Vector representa al ecualizador (incognitas) (Lec
filas)
δn0 = Vector de respuesta deseada o de condiciones (0
en todos los valores excepto en n0) (Ltot filas)
• Imposible verificar todas las ecuaciones
simultáneamente
• Es necesario seleccionar un criterio y tratar de
optimizarlo.
• El criterio que veremos es el denominado Minimax
(o de mínima distorsión de pico):
min {max |htot[n]|}, n=0..Ltot-1, n ≠ n0

• Minimax (mínima distorsión de pico)
min {max |htot[n]|}, n=0..Ltot-1, n ≠ n0
• Se podría interpretar como la minimización del valor
máximo de la ISI.
• No existe una solución cerrada para el caso general 
optimización numérica 
algoritmos difíciles de llevar a la práctica
• La elección de n0 tiene efecto sobre el resultado final
obtenido 
sería necesaria una doble optimización
(que habitualmente no se hace).
• Nótese que en caso de permitir que Lec  ∞ se obtiene el
filtro inverso.

Filtro de Wiener (FIR)
• Una alternativa a la técnica anterior es la versión FIR
del filtro de Wiener.
donde ahora vamos a forzar
hec[n] = {hec[0], hec[1], … hec[Lec-1]}
hec[n] = 0 n ≠ 0..Lec -1
e intentar minimizar el criterio MSE = E{|e[n]|2
}
hd[n]
s[n] r[n]
hec[n]
w[n]
x[n]
d[n]
y[n] e[n]

Filtro de Wiener (FIR)
• Buscamos determinar el valor de los Lec coeficientes
del filtro ecualizador
hec[0], hec[1], … hec[Lec-1]
que minimizan el MSE
• Para ello lo más sencillo es resolver:
[ ] ec
ec
MSE
0 k 0,1, ,L 1
h k
∂
= = −
∂
K
[ ]
[ ]{ }
[ ]
[ ] [ ]{ }
[ ]
2
*
ec ec ec
E e n E e n e nMSE
h k h k h k
∂ ∂∂
= =
∂ ∂ ∂
[ ] [ ]{ }
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
* *
*
ec ec ec
e n e n e n e n
E E e n e n
h k h k h k
 ∂  ∂ ∂   
= = + =   
∂ ∂ ∂    

Filtro FIR de Wiener
• Teniendo en cuenta que
e[n] = d[n] – y[n]
y dado que d[n] es independiente de los coeficientes
del ecualizador
tenemos que:
mientras que el término
[ ]ec
d[n]
0
h k
∂
=
∂
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
ecL 1
ec
l 0ec ec ec
e[n] y[n]
h l r n l r n k
h k h k h k
−
=
∂ ∂ ∂
= − = − − = − −
∂ ∂ ∂
∑
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
ec* L 1
* *
ec
l 0ec ec ec
e [n] y*[n]
h l r n l 0
h k h k h k
−
=
∂ ∂ ∂
= − = − − =
∂ ∂ ∂
∑

Filtro FIR de Wiener
• Sustituyendo los resultados anteriores
y como e*
[n] = d*
[n]-y*
[n] tenemos:
por lo que la condición se puede resumir en:
condición que debe satisfacerse para
[ ]
[ ]{ }*
ec
ec
MSE
E r n k e [n] 0 k 0,1, ,L 1
h k
∂
= − − = = −
∂
K
[ ] [ ] [ ]( ){ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }* * * *
E r n k d n y n 0 E r n k y n E r n k d n− − − = ⇒ − = −
[ ] [ ] [ ] [ ]* *
yr dr yr drk k k kγ = γ ⇒ γ = γ
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
ecL 1
yr rr ec ec rr dr
m 0
k k *h k h m k m k
−
=
γ = γ = γ − = γ∑
eck 0,1, ,L 1= −K

Filtro FIR de Wiener. Solución
• Desarrollando la expresión
se obtiene:
hec[0]γrr[0] + hec[1] γrr[-1] + … + hec[Lec-1] γrr[-Lec+1] = γdr[0]
hec[0] γrr[1] + hec[1] γrr[0] + … + hec[Lec-1] γrr[-Lec+2] = γdr[1]
…
hec[0] γrr[Lec-1]+hec[1] γrr[Lec-2]+ … +hec[Lec-1] γrr[0]= γdr[Lec-1]
cuya solución existe (en general ) y es única.
[ ] [ ] [ ]
ecL 1
ec rr dr ec
m 0
h m k m k k 0,1, ,L 1
−
=
γ − = γ = −∑ K
Lec ecuaciones
Lec incógnitas

• Tenemos un sistema de Lec ecuaciones con Lec
incógnitas, que se puede expresar como:
Γrrhec = γdr
• El sistema de ecuaciones anteriores se conoce como
ecuaciones de Wiener-Hopf y se suele resolver
utilizando para ello el denominado algoritmo de
Levinson-Durbin, que reduce el coste computacional
al explotar la simetría de la matriz.
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
rr rr rr ec
rr rr rr ec
rr ec rr ec rr
0 1 L 1
1 0 L 2
L 1 L 2 0
 γ γ − γ − +
 
γ γ γ − + 
 
 
γ − γ − γ 
K
K
M M O M
K
[ ]
[ ]
[ ]
ec
ec
ec ec
h 0
h 1
h L 1
 
 
  =
 
 
− 
M
[ ]
[ ]
[ ]
dr
dr
dr ec
0
1
L 1
 γ
 
γ 
 
 
γ − 
M
Lec filas x Lec columnas Lec filas Lec filas

• El valor de γrr[m], γdr[m] ya se obtuvieron cuando se
analizó el filtro de Wiener sin restricciones.
Γrr(z) = Γss(z)Hd(z)Hd
*
(1/z*
) + Γww(z)
Γdr(z) = z-n0
·Hd
*
(1/z*
)·Γss(z)
por tanto:
γrr[m] = γss[m]*rhdhd[m] + γww[m]
γdr[m] = hd
*
[-m]*γss[m-n0]
que en el caso habitual de secuencia de símbolos
blanca y ruido blanco se convierte en:
γrr[m] = E{|s[n]|2
} rhdhd[m] + N0/2δ[m]
γdr[m] = hd
*
[-m+n0]· E{|s[n]|2
}

hd[n] = δ[n] – 0.3·δ[n-1]-0.1·δ[n-2]
Símbolos transmitidos ±1  E{|s[n]|2
} = 1
Eb/N0 = 5 dB = 3.16, n0= 2
γrr[m] = rhdhd[m] + 0.174
γdr[m] = hd
*
[-m+2]
rhdhd[m] = -0.1δ[m+2] – 0.27δ[m+1]+1.1δ[m]-0.27δ[m-1]-0.1δ[m-2]
γrr[m] = -0.1δ[m+2] – 0.27δ[m+1]+1.274δ[m]-0.27δ[m-1]-0.1δ[m-2]
γdr[m] = δ[-m+2] – 0.3·δ[-m+1]-0.1·δ[-m]
[ ]
2
b d 0
n
E h n 1.1 N 0.348
∞
=−∞
= = → =∑

Filtro FIR de Wiener. Ejemplo
• Suponiendo que deseamos construir un ecualizador
de longitud Lec = 3 tendremos:
cuya solución es:
1.274 0.27 0.1
0.27 1.274 0.27
0.1 0.27 1.274
− − 
 = − −
 
− −  
rrΓ
[ ]
[ ]
[ ]
ec
ec
ec
h 0
h 1
h 2
 
 
=  
  
ech
0.1
0.3
1
− 
 = −
 
  
drγ
0.0356
0.0809
0.7650
− 
 = −
 
  
ech

Conclusiones
• La presencia de ISI limita enormemente las
prestaciones de los sistemas de transmisión digital.
• Posibles soluciones
• Cambiar el detector  MLSD
• Mejor solución posible teóricamente
• Problemas de realizabilidad
• Mantener el detector y añadir un ecualizador
• Solución subóptima, pero realizable
• Posibilidades de diseño
• Fijos (adaptativos por bloques)
• No restringidos (inverso, Wiener, Wiener causal)
• Restringidos a una estructura de filtro transversal (mínima
distorsión de pico, filtro FIR Wiener)
• Adaptativos

Referencias
• Communication Systems, 3rd
.ed.
• Simon Haykin, John Wiley & Sons, 1994.
• Páginas 424 a 427 y 448 a 465.
• Digital Communications, 4th
ed.
• John G. Proakis, McGraw-Hill, 2000.
• Capítulo 10
• An Introducction to Digital Communications
• Jack Kurzweil, John Wiley & Sons, 1999.
• Páginas 143 a 144, cap.10
• Digital Transmission Engineering
• John B. Anderson, 1999.
• Páginas 318-336

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