Matdis-Relasi Fungsi

Relasi dan fungsi merupakan bahasan dasar dari matematika. Pembahasan mengenai konsep
ini salah satunya dapat didekati dari operasi himpunan. Hal ini yang akan dilakukan dalam modul
ini. Pembahasan ditekan pada pengenalan terminology serta ketrampilan manipulasi matematika,
bukan pada sifat-sifat maupun analisisnya. Pembahasan mengenai fungsi mulai dari definisi sampai
dengan operasi-operasi fungsi maupun komposisi fungsi.

5.1 Gugus Ganda Kartesius
Konsep relasi dan fungsi akan dikembangkan berdasarkan perkalian silang antara dua fungsi A dengan B.
Perkalian silang ini sering dikenal dengan nama gugus ganda kartesius.
Definisi :
Gugus ganda kartesius antar dua gugus A dengan B adalah suatu himpunan yang
beranggotakan pasangan berurut (ai,bj) untuk semua i dan j dengan ai∈A dan bj∈B.
Gugus ganda kartesius seperti ini disimbolkan sebagai AxB.
Oleh karena itu, jika ukuran A adalah n(A) dan ukuran adalah n(B), maka ukuran AxB adalah |AxB|
=n(A)xn(B).
Dalam notasi himpunan, gugus ganda kartesius dapat dituliskan sebagai :
AxB={(ai,bj)|untuk semua pasangan i dan j dengan ai∈A dan bj∈B}
Contoh :
A={1,2,3} dan B={a,b}, maka :
AxB={(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}
BxA={(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
AxA={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
Terlihat bahwa AxB≠BxA, dan |AxB|=3x2=6
Konsep perkalian silang antar gugus ini dapat dikembangkan untuk tiga gugus atau lebih. Sebagai contoh
adalah :
BxBxB={(a,a,a), (a,a,b), (a,b,a), (a,b,b), (b,a,a), (b,a,b), (b,b,a), (b,b,b)}

5.2 Relasi
Relasi sering juga disebut dengan hubungan. Relasi ini menyatakan hubungan antara unsur-unsur dua buah
gugus. Dua gugus ini dapat sama, dapat pula berbeda.
Definisi :
Relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari gugus ganda kartesius AxB.

Topik 5 Relasi dan Fungsi
5-1

Oleh karena itu, jika ukuran A dan B masing-masing adalah n(A) dan n(B), maka ukuran dari AxB adalah
n(A)xn(B), yang berarti bahwa banyaknya relasi yang dapat dibuat dari A ke B adalah 2 n(A)xn(B).
Contoh :
A={1,2,3} dan B={a,b}, maka :
Relasi yang dapat dibuat dari A ke B adalah 2 3x2=64 buah. Salah satu relasinya adalah himpunan kosong.
Berikut adalah diagram dari beberapa relasi dari A ke B yang dapat dibuat :

1 a
H={(1,a), (1,b)}
2
b
3

1 a
H={(1,a), (3,b)}
2
b
3

1 a
H={(1,a), (3,a)}
2
b
3

1 a
H={(1,a), (2,b), (3,b)}
2
b
3

BisakaH anda sebutkan beberapa lainnya lagi?

Latihan 5.1.
2. Jika A={0,{0}} dan B={0,{},1}, tentukan
a. n(AxB)
b. AxB
c. Banyaknya relasi yang bisa dibuat dari A ke B
d. Semua relasi dari A ke B yang beranggota sebanyak 5, dan gambarkan diagramnya
3. Arsirlah daerah yang memenuhi relasi berikut dalam bidang dimensi dua
a. H1={(x,y)|x2+y2<9, dengan x∈real, y∈bulat}
b. H2={(x,y)|x2+y2≤9, dengan x∈real, y∈bulat}
c. H3={(x,y)|x2+y2≤9, dengan x∈real, y∈real}
d. H4={(x,y)|4≥|x|+|y|, dengan x∈real, y∈real}

5.3 Fungsi
Istilah fungsi dikenal juga dengan nama pemetaan. Fungsi dari A ke B adalah pemetaan unsur-unsur A ke
unsure di B. Dalam hal ini himpunan A dan B dapat saja sama.

5-2

Definisi :
Fungsi dari A ke B adalah himpunan bagian dari AxB, atau dengan kata lain relasi dari A ke B,
dengan sifat bahwa setiap anggota A dijamin mempunyai tepat satu anggota B sebagai
pasangannya.
Oleh karena itu, jika ukuran A dan B masing-masing adalah n(A) dan n(B), maka banyaknya fungsi dari A ke B
yang dapat dibuat adalah [n(B)]n(A). Kenapa?
Contoh :
A={1,2,3} dan B={a,b}, maka :
Banyaknya fungsi yang dapat dibuat dari A ke B adalah 2 3=8 buah. Berikut adalah diagram dari
beberapa fungsi dari A ke B yang dapat dibuat :

1 a
f={(1,a), (2,b), (3,b)}
2
b
3

1 a
f={(1,a), (2,a)(3,b)}
2
b
3

1 a
f={(1,a), (2,a), (3,a)}
2
b
3

1 a
f={(1,a), (2,b), (3,a)}
2
b
3

Bisakah anda sebutkan beberapa lainnya lagi?
Dalam hal ini :
Himpunan A disebut Domain atau daerah asal fungsi f, disimbolkan dengan D f
Himpunan B disebut Daerah kawan atau Kodomain fungsi f
Sedangkan himpunan yang berisi semua peta dari unsur-unsur A disebut Range atau wilayah hasil, W f.
Contoh :

1 a Df={1, 2, 3}
2 Range={a}
b Kodomain={a,b}
3

Jika pasangan anggota fungsi tersebut adalah bilangan, maka anggota fungsi ini dapat digambarkan dalam suatu
bidang X-Y sebagai himpunan titik-titik (koordinat). Sebagai contoh adalah :
a. f={(1,2), (2,4), (3,4)}
4 • •
1 2
2 2 •
4
3
1 2 3

5-3

b. f(x)=2x+2 dengan x bilangan real

2

-1

Berdasarkan grafik dalam bidan X-Y, maka grafik tersebut merupakan grafik fungsi jika garis vertical hanya
memotong di satu titik. Sedangkan garis horizontal boleh memotong di lebih dari satu titik.
Contoh :
Grafik berikut adalah bukan grafik fungsi

Proyeksi grafik fungsi ke sumbu X merupakan daerah asal, sedangkan proyeksi ke sumbu Y merupakan daerah
hasil.
Contoh :

4 Daerah asal : {x|-1≤x≤6, x bilangan real}
Daerah hasil : {y|0≤y≤4, y bilangan real}

-1 6

5.4 Beberapa Fungsi Khusus
Beberapa fungsi khusus yang dikenal di dalam matematika ini dikaitkan dengan sifat anggota dalam kodomain
sebagai bayangan dari anggota dalam domain. Dalam hal ini ada tiga fungsi khusus yang dikenal, yaitu :
1. Fungsi Injektif
2. Fungsi Surjektif
3. Fungsi Bijektif

5-4

Jika fungsi f memetakan unsur-unsur A ke B (A sebagai daerah fungsi atau Domain, sedangkan B sebagai
kodomain atau daerah kawan), maka :
a. f disebut fungsi Injektif jika setiap anggota B paling banyak sekali sebagai bayangan dari unsur dalam A.
Oleh karena itu syarat supaya dapat dibuat fungsi Injektif adalah : |A|≤|B|. Selain itu kita bisa
mengatakan bahwa banyaknya fungsi injektif yang dapat dibuat dari A ke B adalah sebanyak : ……. (coba
hitung).
b. f disebut fungsi Surjektif jika setiap anggota B paling sedikit sekali sebagai bayangan dari unsur dalam A.
Oleh karena itu syarat supaya dapat dibuat fungsi surjektif adalah : |A|≥|B|. Selain itu kita bisa
mengatakan bahwa banyaknya fungsi surjektif yang dapat dibuat dari A ke B adalah sebanyak : ……. (coba
hitung).
c. f disebut fungsi Bijektif jika setiap anggota B tepat sekali sebagai bayangan dari unsur dalam A.
Oleh karena itu syarat supaya dapat dibuat fungsi Bijektif adalah : |A|=|B|. Selain itu kita bisa
mengatakan bahwa banyaknya fungsi injektif yang dapat dibuat dari A ke B adalah sebanyak : ……. (coba
hitung).
Contoh :
Dari gambar berikut, tentukan mana yang injektif, surjektif, maupun bijektif ?
a. b. c. d.

1 a 1 a 1 a 1 a
2 2 2 2
b b b b
3 3 3 3 c
c
d
e. f. g. h.

1 a 1 a
1 a 1 a 2 2
b b
2 2 3 3
b b c
3 3 c c
c d
d

5.5 Jenis-Jenis Fungsi
Di dalam matematika dikenal beberapa jenis fungsi. Di anataranya adalah :
a. Fungsi konstan
Fungsi ini bernilai tetap (konstan) untuk nilai x berapa saja dalam daerahnya.
Bentuk :
f(x)=k, dengan k adalah suatu konstanta
Contoh
f(x)=4, untuk x bilangan real
grafik fungsi ini adalah :
4
2

5-5

b. Fungsi identitas
Fungsi ini bernilai sama dengan inputnya.
Bentuk :
f(x)=x, dengan k∈Df
Contoh
f(x)=x, untuk x bilangan real
grafik fungsi ini adalah :
y=x

c. Fungsi polinomial
Fungsi ini merupakan penjumlahan dari x pangkat tertentu dengan koefisien tertentu pula. Orde
fungsi polynomial ini adalah pangkat tertinggi dari x.
Bentuk :
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, dalam hal ini a0, a1, …, an adalah koefisiennya.
Jika n=1, disebut fungsi linear
Jika n=2 disebut fungsi kuadrat
Contoh
f(x)=x2+x+5 (adalah fungsi kuadrat)
d. Fungsi Rasional
Fungsi ini merupakan rasio dari dua fungsi polinom. Daerah fungsi ini adalah adalah semua bilangan
real yang tidak menyebabkan pembaginya nol.
Bentuk :

x 2 + 2 x +1
f ( x) = dalam hal ini Df={x|x-3≠0, x adalah bilangan real}
x −3
e. Fungsi Akar
Nilai fungsi ini adalah tidak pernah negatif. Nilainya selalu nol atau positif.
Bentuk :
f ( x) = g ( x) dalam hal ini Df={x|g(x)≥0, x adalah bilangan real}
Contoh
1. f ( x ) = ( x −1)( x +2)

Maka Df={x|(x-1)(x+2)≥0, x adalah bilangan real}
Karena (x-1)(x+2)≥0 ⇔ x≤-2 atau x≥1, maka boleh ditulis juga :

5-6

Df={x| x≤-2 atau x≥1, x adalah bilangan real}

2. f ( x ) = x 2 −5 x −6 , tentukan Df.

f. Fungsi Harga Mutlak
Seperti fungsi akar, fungsi harga mutlak juga selalu bernilai nol atau positif, tidak pernah negatif.
Bentuk :

 g ( x) Untuk semua g(x)≥0
f ( x ) =| g ( x) |= 
− g ( x)
Untuk semua g(x)<0

Contoh
1. f(x)=|x|
jika x=-3, maka f(x)=|-3|=3
jika x=3, maka f(x)=|3|=3
Gambar fungsi :

2. f(x)=|x-2|, gambarkan grafiknya.
3. f(x)=|x2-4|, gambarkan grafiknya.

g. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar
Operator bilangan bulat terbesar disimbolkan dengan “ ”, yang berarti bilangan bulat terbesar yang
lebih kecil atau sama dengan bilangan yang ada dalam tanda tersebut. Sebagai contoh adalah :
1. 3.8=3 5. -3.8=-4
2. 3.1=3 6. -3.1=-4
3. 3.0=3 7. -3.0=-3
4. 4.0=4 8. -4.0=-4
Fungsi bilangan bulat terbesar menggunakan symbol di atas.
Bentuk :
f(x)= g(x)
Contoh
f(x)= 2x-5
Jika x=2.1, maka f(x)= 4.2-5=-0.8=-1

5-7

Jika x=4.3, maka f(x)= 8.6-5=3.6=3

h. Fungsi Bilangan Bulat Terkecil
Operator bilangan bulat terkecil disimbolkan dengan “ ”, yang berarti bilangan bulat terkecil yang
lebih besar atau sama dengan bilangan yang ada dalam tanda tersebut. Sebagai contoh adalah :
1. 3.8=4 5. -3.8=-3
2. 3.1=4 6. -3.1=-3
3. 3.0=3 7. -3.0=-3
4. 4.0=4 8. -4.0=-4
Fungsi bilangan bulat terkecil menggunakan symbol di atas.
Bentuk :
f(x)= g(x)
Contoh
f(x)= 2x-5
Jika x=2.1, maka f(x)= 4.2-5=-0.8=-1
Jika x=4.3, maka f(x)= 8.6-5=3.6=4

Latihan 5.2.
1. Tentukan daerah fungsi untuk fungsi-fungsi berikut :
x −3
a) f ( x) =
( x −1)( x + 2)

b) f ( x) = x 2 − 7 x +12

( x − 2)( x +1)
c) f ( x) =
x2 + x −6

2. Tentukan nilai-nilai berikut :
a. |-3.5| e. -5.8 i. 6.2
b. |3.9| f. 0.6 j. 0.9
c. |0| g. -0.9 k. 0.6
d. |-3.9| h. -10.8 l. -5.7
3. Gambarkan fungsi berikut :
a. f(x)=|2x-5|
b. f(x)=|x+2|+|x+1|
c. f(x)= x
d. f(x)= -x

5-8

e. f(x)= |x|
f. f(x)= |x|
g. f(x)= x+4
h. f(x)= x
i. f(x)= -x
4. Untuk A={1,2,3,4,5} serta B={1,2,3,4,5,6}, ada berapa fungsi injektif dari A ke B yang memenuhi :
a. f(1)=3
b. f(1)=3 dan f(2)=6

5.6 Operasi Terhadap Fungsi
Pada bagian ini akan dibahas enam operasi fungsi, yaitu :
1. penjumlahan fungsi : f(x)+g(x)=(f+g)(x)
2. pengurangan fungsi : f(x)-g(x)=(f-g)(x)
3. perkalian fungsi : f(x).g(x)=(f.g)(x)
4. pembagian fungsi : f(x)/g(x)=(f/g)(x)
5. kebalikan fungsi : f-1(x)
6. komposisi fungsi : f ( x)  g ( x ) = ( f  g )( x)

Penjumlahan, Penguranga, Perkalian dan Pembagian Fungsi
Operasi-operasi ini hanya akan dapat dilakukan pada daerah yang sama.

Contoh :
1. Misalkan f(x)=x-2 dan g(x)=|x+1|, maka :
a. (f+g)(x)=x-2+|x+1|
misal x=5, maka : f(5)+g(5)=(f+g)(5)=5-2+|5+1|=3+6=9
b. (f-g)(x)=x-2-|x+1|
misal x=5, maka : f(5)-g(5)=(f-g)(5)=5-2-|5+1|=3-6=-3
c. (f.g)(x)=(x-2).|x+1|
misal x=5, maka : f(5).g(5)=(f.g)(5)=(5-2).|5+1|=3 . 6=18
d. (f/g)(x)=(x-2)/|x+1|
misal x=5, maka : f(5)/g(5)=(f/g)(5)=(5-2)/|5+1|=3/6=1/2
2. Lakukan hal yang sama seperti di atas untuk : f(x)=x-1 dan g(x)=|x+1|, untuk -3≤x≤3

Komposisi Fungsi

5-9

Komposisi fungsi dikenal juga dengan fungsi majemuk. Dalam hal ini x sebagai input suatu fungsi
tertentu. Hasil dari fungsi dengan input x ini sebagai masukan bagi fungsi berikutnya, dan hasil dari fungsi ini
sebagai input bagi fungsi berikutnya lagi, dan begitu seterusnya. Simbol untuk komposisi fungsi adalah “ ”. 
Bentuk :
(f  g)(x)=f[g(x)]
artinya : x dimasukkan sebagai input untuk g, dan hasilnya sebagai input bagi f.

Contoh :
Misalkan f(x)=x-5 dan g(x)=|x+1|, maka :
Jika x=2, maka : (f  g)(2)=f[g(4)]=f(3)=-2 juga (g  f)(2)=g[f(2)]=g(-3)=2
Kebalikan Fungsi
Istilah kebalikan fungsi sering dikenal juga dengan nama invers suatu fungsi. Kebalikan fungsi f
disimbokan dengan f-1 dan dibaca sebagai “kebalikan fungsi f” atau “invers dari fungsi f” atau “f invers”.
Suatu fungsi f akan mempunyai kebalikan jika dan hanya jika f adalah bijektif (atau korespondensi satu-satu).
Definisi :
Jika f adalah fungsi bijektif dengan domain A dan kodomain B, maka f -1 adalah kebalikan dari f. f -1 ini
memetakan unsur dari B ke A, dengan sifat bahwa : f(a)=b jika dan hanya jika f -1(b)=a, dengan a∈A
dan b∈B.

Contoh :
1. perhatikan Diagram berikut :

1 a
2
b
3
c

Diagram tersebut merupakan diagram untuk fungsi bijektif, oleh karena itu mempunyai kebalikan
fungsi. Dalam hal ini :
f(1)=a, f(2)=c, f(3)=b. Juga bisa dikatakan f-1(a)=1, f-1(b)=3, f-1(c)=2
2. Jika f(x)=2x+10, maka :
y=2x+10
⇔ 2x=y-10
⇔ x=(y-10)/2
maka dapat dirumuskan bahwa f-1(x)=(x-10)/2

x −3
3. Tentukan kebalikan fungsi berikut : f ( x ) =
x −1

5-10

Latihan 5.3.
1. Jika :
f ( x) = x −4 dengan Df={x|x bilangan real, x≥4} serta

g ( x ) = 25 − x 2 dengan Df={x|x bilangan real, -5≤x≤5}
Hitung yang berikut, serta tentukan nilainya untuk x=4 :
a. f(x)+g(x)
b. f(x)-g(x)
c. f(x).g(x)
d. f(x)/g(x)
e. f[g(x)]
2. Gambarkan fungsi berikut :
 2 + x<-1
x 1

f ( x ) = 2 -1≤x≤4
 −2 x x>4
1

3. Perhatikan tabel berikut :

x f(x) g(x) f2(x) f(x2) f[g(x)] g[f(x)] f-1(x) g-1(x) x2(f.g)(x)
0 4 2
1 3 5
2 1 4
3 5 2
4 2 1
5 0 3

4. Jika f(x) dan g(x) adalah sesuai dengan fungsi berikut, tentukan f[g(x)]

 2 +2
x x<2
 x −1 x≥3
f ( x) = x − 1 2≤x<5
dan g ( x) = 
 x 2 x≥5  x 0≤x<5

Maka tentukan f[g(x)].
5. Jika f(x)=2x+2 dan f[g(x)]=6x-4, tentukan g(x).
6. Jika f(x)=2x+2 dan g[f(x)]=6x-4, tentukan f(x).
7. Jika :
 2 + x<-1
x 1
 dan g(x)=|x-4|
f ( x ) = 2 -1≤x≤4
 −2 x x>4
1


5-11

Tentukan : (f+g)(x) dan juga (f/g)(x).
8. Tentukan f--1(x) untuk fungsi-fungsi berikut :
a. f(x)=5x+4, juga hitung f--1(9).
x −2
b. f ( x) = , juga hitung f--1(0)
4x +8
c. f(x)=|x2+3x+1|, juga hitung f--1(1)
x
d. f ( x) = , juga hitung f--1(4)
x +2

5-12

5.7 Fungsi Pertumbuhan
Keunggulan komputer disbanding manusia adalah kecepatan komputasinya. Problem-problem yang
terdefinisi dengan jelas dalam bentuk algoritmik dapat diselesaikan dengan baik oleh komputer. Namun
demikian ada kasus-kasus tertentu dimana komputer memerlukan waktu bertahun-tahun untuk
menyelesaikannya, bahkan dengan komputer tercepat yang ada sekarangpun. Fenomena ini akan muncul pada
problem-problem, dimana banyaknya komputasi yang diperlukan berkaitan dengan ukuran input yang
diberikan. Untuk ukuran input yang kecil, masalah ini tidak akan muncul. Masalah baru muncul jika ukuran
input sangat besar. Oleh Karena itu, seorang computer scientist tentu saja dalam memandang algoritma tidak
hanya terpaku pada benar atau salah algoritma tersebut, tetapi juga berapa operasi yang akan dilakukannya
dikaitkan dengan ukuran input yang diberikan. Materi ini akan memberi bahasan singkat mengenai satu
ternminologi yang sering dipakai untuk menyatakan perilaku algoritma untuk ukuran input yang besar.
Definisi :
Misalkan f dan g adalah fungsi yang memetakan dari bilangan bulat positif ke bilangan real, Z +→R. Jika
dijamin ada konstanta m∈R dan k∈Z+, sehingga ≤∈≥

5-13

Matdis-Relasi Fungsi

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Matdis-Relasi Fungsi

Ähnlich wie Matdis-Relasi Fungsi (20)

Mehr von Ceria Agnantria

Mehr von Ceria Agnantria (17)

Matdis-Relasi Fungsi