Guía 1 ecuaciones funcionales

1. Ejercicios Entrenamiento Ibero-IMO Guia 1
Ejercicios de ecuaciones funcionales
Nicol´as Vilches
Los problemas 1, 3 y 4 deber´an ser entregados resueltos
1. * (P5 IMO 1968, parte a) Sea f : R → R una funci´on tal que para alg´un a > 0 se cumple
f(x + a) =
1
2
+ f(x) − (f(x))
2
Pruebe que f es peri´odica.
2. Encontrar todas las funciones f : R → R que cumplen
f(2016x + f(0)) = 2016x2
para todo x ∈ R
3. * Encontrar todas las funciones f : R → R que cumplen
f(x − f(y)) = 1 − x − y
para todo x, y ∈ R.
4. * Encontrar todas las funciones f : R → R que cumplen
x2
f(x) + f(1 − x) = 2x − x4
para todo x ∈ R.
5. Encuentre todas las funciones f : R → R que cumplan
f(x2
− y2
) = (x − y)(f(x) + f(y))
para todo x ∈ R.
6. (P5 IMO 2015) Sea R el conjunto de los n´umeros reales. Determinar todas las funciones f : R → R
que satisfacen la ecuaci´on
f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)
para todos los n´umeros reales x, y.
7. (P3 IMO 2011) Sea f : R → R una funci´on definida en los n´umeros reales que satisface
f(x + y) ≤ yf(x) + f(f(x))
para todos los reales x e y. Pruebe que f(x) = 0 para todo x ≤ 0
Mucho ´exito