1) Se define la derivada de una función f(x) respecto a x como el límite de la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en un punto x cuando el punto se acerca a x.
2) Se presentan las reglas básicas para calcular la derivada de funciones como potencias, constantes, sumas y productos.
3) Se explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente o la tasa de cambio instantánea de la función.
1. DERIVADAS
DEFINICION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION
La derivada de una función ݂ሺݔሻ respecto de (x) es la función ݂´ሺݔሻ (se lee “f
prima de (x) y está dad por:
݂´ሺݔሻ ൌ lim
՜
݂ሺݔ ݄ሻ െ ݂ሺݔሻ
݄
El proceso de calcular la derivada se denomina derivación. Se dice que ݂ሺݔሻ es
derivable en c si existe ݂´ሺܿሻ , es decir,
lim՜
ሺାሻିሺሻ
existe
La derivada se puede interpretar como la pendiente de una recta tangente a
una curva en un punto determinado o como una razón de cambio instantánea.
2. Al calcular el límite lim՜
ሺାሻିሺሻ
lo que sucede es que el punto Q empieza
a acercarse hacia el punto P hasta que llegar muy próximo a él (ver gráfica), en
ese momento se está calculando la derivada de f(x) en el punto x=c
representada por la pendiente de la recta tangente en el punto (c,f(c)).
REGLAS DE DERIVACIÓN
1. Derivada de una constante
Sea la función ݂ሺݔሻ ൌ ܿ, donde c es una constante o número real. La derivada será
݂´ሺݔሻ ൌ 0.
Ejemplo 1:
݂ሺݔሻ ൌ 9 ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݂´ሺݔሻ ൌ 0
Ejemplo 2:
݉ሺݔሻ ൌ 9 ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݉´ሺݔሻ ൌ 0
Ejemplo 3:
݄ሺݔሻ ൌ 9 ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݄´ሺݔሻ ൌ 0
2. Derivada de una potencia de x
Sea la Función ݂ሺݔሻ ൌ ݔ
, la derivada será ݂´ሺݔሻ ൌ ݊ݔିଵ
, donde n es
cualquier número real.
Ejemplo 1:
݂ሺݔሻ ൌ ݔଷ
݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݂´ሺݔሻ ൌ 3ݔଷିଵ
ൌ 3ݔଶ
Ejemplo 2:
ݐሺݔሻ ൌ ݔହ
݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ´ݐሺݔሻ ൌ 5ݔହିଵ
ൌ 5ݔସ
Ejemplo 3:
ݎሺݔሻ ൌ ݔିଶ
݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ´ݎሺݔሻ ൌ ሺെ2ሻݔିଶିଵ
ൌ െ2ݔିଷ
3. Derivada de una constante por una función
Sea la Función ݂ሺݔሻ ൌ ܿݔ
, la derivada será ݂`ሺݔሻ ൌ ܿ݊ݔିଵ
Ejemplo 1:
3. ݂ሺݔሻ ൌ 6ݔସ
݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݂´ሺݔሻ ൌ 6ሺ4ሻݔସିଵ
ൌ 24ݔଷ
Ejemplo 2:
݄ሺݔሻ ൌ െ2ݔଷ
݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݄´ሺݔሻ ൌ െ2ሺ3ሻݔଷିଵ
ൌ െ6ݔଶ
Ejemplo 3:
ݍሺݔሻ ൌ 5ݔି
݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ´ݍሺݔሻ ൌ 5ሺെ6ሻݔିିଵ
ൌ െ30ݔି
Ejemplo 4:
ሺݔሻ ൌ 6ݔ ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ´ሺݔሻ ൌ 6ሺ1ሻݔଵିଵ
ൌ 6ݔ
ൌ 6
4. Derivada de una suma o resta de funciones
La derivada de una suma y/o diferencia de funciones es la suma y/o diferencia
de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:
Sea ݄ሺݔሻ ൌ ሾ݂ሺݔሻ േ ݃ሺݔሻ േ ݍሺݔሻሿ
La derivada será ݄´ሺݔሻ ൌ ሾ݂´ሺݔሻ േ ݃´ሺݔሻ േ ´ݍሺݔሻሿ
Ejemplo 1:
݂ሺݔሻ ൌ 2ݔସ
8ݔଶ
9ݔ െ 3
݂´ሺݔሻ ൌ 8ݔଷ
16ݔ 9 Derivar cada término por separado aplicando las
reglas anteriormente vistas.
Ejemplo 2:
ሺݔሻ ൌ െ5ݔିଶ
െ 3ݔଷ
െ 12ݔ െ 20
´ሺݔሻ ൌ 10ݔିଷ
െ 9ݔ െ 12 Derivar cada término por separado aplicando las
reglas anteriormente vistas.
Ejemplo 3:
ݏሺݔሻ ൌ െ3ݔସ
െ 8ݔିଶ
െ 2ݔ
´ݏሺݔሻ ൌ െ12ݔଷ
16ݔିଷ
െ 2
4. Exponentes fraccionarios ݔ
ೌ
್ y términos de la forma √ݔ್
.
Los términos de la forma √ݔ್
para expresarlos como exponente se aplica la
propiedad de radicación √ݔ್
ൌ ݔ
ೌ
್.
Ejemplo 1: derivar la función ݐሺݔሻ ൌ 4ݔ
భ
మ െ 2ݔ
ఱ
య √ݔ
య
El primer paso es convertir los radicales en exponentes
ݐሺݔሻ ൌ 4ݔ
భ
మ െ 2ݔ
ఱ
య √ݔ
య
función inicial
Convertir el término √ݔ
య
en exponente aplicando √ݔ್
ൌ ݔ
ೌ
್
ݐሺݔሻ ൌ 4ݔ
భ
మ െ 2ݔ
ఱ
య ݔ
భ
య
´ݐሺݔሻ ൌ 4 ቀ
ଵ
ଶ
ቁ ݔ
భ
మ
ିଵ
െ 2 ቀ
ହ
ଷ
ቁ ݔ
ఱ
య
ିଵ
ቀ
ଵ
ଷ
ቁ ݔ
భ
య
ିଵ
Derivar cada término por separado
aplicando las reglas anteriormente vistas.
´ݐሺݔሻ ൌ 2ݔି
భ
మ െ
ଵ
ଷ
ݔ
మ
య
ଵ
ଷ
ݔି
మ
య Simplificando, resultado final.
Ejemplo 2: derivar la función ݈ሺݔሻ ൌ
ଵ
ଷ
ݔ
భ
ఱ െ 5√ݔଷర
െ 2ݔଷ
4
El primer paso es convertir los radicales en exponentes
݈ሺݔሻ ൌ
ଵ
ଷ
ݔ
భ
ఱ െ 5√ݔଷర
െ 2ݔଷ
4 función inicial
Convertir los términos con radical en exponente aplicando √ݔ್
ൌ ݔ
ೌ
್
݈ሺݔሻ ൌ
ଵ
ଷ
ݔ
భ
ఱ െ 5ݔ
య
ర െ 2ݔଷ
4
݈´ሺݔሻ ൌ
ଵ
ଷ
ቀ
ଵ
ହ
ቁ ݔ
భ
ఱ
ିଵ
െ 5 ቀ
ଷ
ସ
ቁ ݔ
య
ర
ିଵ
െ 2ሺ3ሻݔଷିଵ
Derivar cada término por separado
aplicando las reglas anteriormente vistas.
݈´ሺݔሻ ൌ
ଵ
ଵହ
ݔି
ర
ఱ െ
ଵହ
ସ
ݔି
భ
ర െ 6ݔଶ
Simplificando, resultado final.
5. 5. Derivada de un producto de funciones
Sea ݄ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃ሺݔሻ, la derivada será ݄´ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ.
Es decir, la derivada de un producto de dos funciones es: “la primera, por la
derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
6. Derivada de un cociente de funciones
Sea ݄ሺݔሻ ൌ
ሺ௫ሻ
ሺ௫ሻ
,la derivada será ݄´ሺݔሻ ൌ
ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ
ሾሺ௫ሻሿమ
Es decir, la derivada de un cociente de dos funciones es: “la segunda, por la
derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda;
dividida entre la segunda al cuadrado”.
El producto y cociente de funciones se desarrollará más adelante.
7. Regla de la cadena
Si ݄ሺݔሻ ൌ ሾ݂ሺݔሻሿ
, entonces la derivada es ݄´ሺݔሻ ൌ ݊ሾ݂ሺݔሻሿିଵ
כ ݂´ሺݔሻ
La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones algebraicas de los
siguientes tipos:
݂ሺݔሻ ൌ √ݔ 1
య
Funciones Raíz
݂ሺݔሻ ൌ ሺ2ݔ െ 1ሻହ
Función con paréntesis elevado a una potencia
Es importante aclarar que la regla de la cadena es de amplio uso en las
funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Ejemplo 1: derivar ݏሺݔሻ ൌ ሺ2ݔଶ
3ሻ
ݏሺݔሻ ൌ ሺ2ݔଶ
3ሻ
ሾ݂ሺݔሻሿ
, en este caso la función 2ݔଶ
3 es la función
interna y se encuentra elevada a la 6.
6. ´ݏሺݔሻ ൌ 6ሺ2ݔଶ
3ሻହ
כ ሺ4ݔሻ Organizar términos el 4x pasa a la izquierda
´ݏሺݔሻ ൌ 24ݔሺ2ݔଶ
3ሻହ
Resultado final
Ejemplo 2: derivar ݎሺݔሻ ൌ √ݔଶ 12
య
. Aplicando la propiedad de radicación se
transforma el radical en exponente.ඥሺ݂ሺݔሻሻ್
ൌ ሺ݂ሺݔሻሻ
ೌ
್
ݎሺݔሻ ൌ √ݔଶ െ 12ݔ
య
ൌ ሺݔଶ
െ 12ݔሻ
భ
య Aplicar propiedad de radicación
ݎሺݔሻ ൌ ሺݔଶ
െ 12ݔሻ
భ
య ሾ݂ሺݔሻሿ
, en este caso la función ݔଶ
െ 12ݔ es la función
interna y se encuentra elevada a la
ଵ
ଷ
.
´ݎሺݔሻ ൌ
ଵ
ଷ
ሺݔଶ
െ 12ݔሻି
మ
య כ ሺ2ݔ െ 12ሻ
´ݎሺݔሻ ൌ
ଵ
ଷ
ሺ2ݔ െ 12ሻሺݔଶ
െ 12ݔሻି
మ
య Pasar (2x-12) a la izquierda
´ݎሺݔሻ ൌ ሺ
ଶ
ଷ
ݔ െ 4ሻ ሺݔଶ
െ 12ݔሻି
మ
య Simplificar
´ݎሺݔሻ ൌ
ቀ
మ
య
௫ିସቁ
ሺ௫మିଵଶ௫ሻ
మ
య
Bajar el término ሺݔଶ
െ 12ݔሻି
మ
య con potencia positiva
´ݎሺݔሻ ൌ
ቀ
మ
య
௫ିସቁ
ඥሺ௫మିଵଶ௫ሻమయ
Convertir en radical el término ሺݔଶ
െ 12ݔሻ
మ
య
´
7. 8. Función exponencial e , aplicación de la regla de la cadena
Si ݂ሺݑሻ ൌ ݁௨
su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ ݁௨
כ ሺ´ݑሻ, la variable ݑ es el exponente de
(e) y ሺ´ݑሻ significa derivada de (u).
Ejemplo 1: derivar ݃ሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫ାଵ
݃ሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫ାଵ
Función inicial
݃´ሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫ାଵ
כ ሺ2ሻ Pasar el número 2 a la izquierda
݃´ሺݔሻ ൌ 2݁ଶ௫ାଵ
Respuesta
Ejemplo 2: derivar ݃ሺݔሻ ൌ ݁௫
భ
మା௫
݃ሺݔሻ ൌ ݁௫
భ
మା௫
Función inicial
݃´ሺݔሻ ൌ ሺ
ଵ
ଶ
ݔି
భ
మ 1ሻ݁௫
భ
మା௫
El término ሺ
ଵ
ଶ
ݔି
భ
మ 1ሻ pasa a la izquierda
Ejemplo 3: derivar ݃ሺݔሻ ൌ ݁ିସ௫యାହ௫
݃ሺݔሻ ൌ ݁ିସ௫యାହ௫
Función inicial
݃´ሺݔሻ ൌ ݁ିସ௫యାହ௫
כ ሺെ12ݔଶ
5ሻ Aplicar fórmula ݂´ሺݑሻ ൌ ݁௨
כ ሺ´ݑሻ
݃´ሺݔሻ ൌ ሺെ12ݔଶ
5ሻ݁ିସ௫యାହ௫
El término ሺെ12ݔଶ
5ሻ pasa a la izquierda
8. 9. Función logaritmo Natural (Ln), aplicación de la regla de la cadena
Si ݂ሺݑሻ ൌ ݊ܮሺݑሻ su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ
ଵ
௨
כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la que
acompaña al logaritmo natural y (u´) es la derivada de (u).
Ejemplo 1: derivar ݍሺݔሻ ൌ ݊ܮሺݔଷ
ሻ
ݍሺݔሻ ൌ ݊ܮሺݔଷ
ሻ Función inicial
´ݍሺݔሻ ൌ
ଷ௫మ
௫య
Organizar la expresión como fracción para simplificar
´ݍሺݔሻ ൌ
ଷ
௫
Respuesta
Ejemplo 2: derivar ݉ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺ5ݔସ
െ 4ݔଶ
ሻ
݉ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺ5ݔସ
െ 4ݔሻ Función inicial
݉´ሺݔሻ ൌ
ଵ
ሺହ௫రିସ௫ሻ
כ ሺ20ݔଷ
െ 8ݔሻ Aplicar la fórmula ݂´ሺݑሻ ൌ
ଵ
௨
כ ሺ´ݑሻ
݉´ሺݔሻ ൌ
ሺଶ௫యି଼௫ሻ
ሺହ௫రିସ௫ሻ
Organizar los términos como fracción para simplificar
݉´ሺݔሻ ൌ
ସ௫൫ହ௫మିଶ൯
௫ሺହ௫యିସሻ
Factorizar por factor común y simplificar
݉´ሺݔሻ ൌ
ସ൫ହ௫మିଶ൯
ሺହ௫యିସሻ
Respuesta
Ejemplo 3: derivar ݊ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺ√ݔଶ 1ሻ
݊ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺ√ݔଶ 1ሻ Función inicial
݊ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺݔଶ
1ሻ
భ
మ Convertir el radical √ݔଶ 1 en exponente
9. Para derivar la función ሺݔଶ
1ሻ
భ
మ mirar el tema de regla de regla de la cadena
para funciones algebraicas visto anteriormente.
݊´ሺݔሻ ൌ
ሺଶ௫ሻሺ௫మାଵሻ
ష
భ
మ
ଶሺ௫మାଵሻ
భ
మ
Organizar los términos como fracción para simplificar
݊´ሺݔሻ ൌ
ሺ௫ሻሺ௫మାଵሻ
ష
భ
మ
ሺ௫మାଵሻ
భ
మ
Simplificar los términos de bases iguales ݔଶ
1
݊´ሺݔሻ ൌ
௫
ሺ௫మାଵሻ
భ
మሺ௫మାଵሻ
భ
మ
Aplicar propiedad de potenciación de bases iguales
݊´ሺݔሻ ൌ
௫
௫మାଵ
Respuesta
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas:
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
10. Función Seno
Si ݂ሺݑሻ ൌ ܵ݁݊ሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ ݏܥሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la que
acompaña al Seno y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 1: derivar ݂ሺݔሻ ൌ ܵ݁݊ሺݔଶ
1ሻ
݂ሺݔሻ ൌ ܵ݁݊ሺݔଶ
1ሻ
݂´ሺݔሻ ൌ ݏܥሺݔଶ
1ሻ כ ሺ2ݔሻ Pasar el término 2x a la izquierda
݂´ሺݔሻ ൌ 2ݏܥݔሺݔଶ
1ሻ Respuesta
10. 11. Función Coseno
Si ݂ሺݑሻ ൌ ݏܥሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ െܵ݁݊ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la
que acompaña al Coseno y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 2: derivar ݃ሺݔሻ ൌ ݏܥሺ√2ݔଷ 4ሻ
݃ሺݔሻ ൌ ݏܥሺ√2ݔଷ 4ሻ
݃ሺݔሻ ൌ ݏܥሺሺ2ݔଷ
4ሻ
భ
మሻ Convertir el radical √2ݔଷ 4 a exponente
Para derivar la función ሺ2ݔଷ
4ሻ
భ
మ mirar el tema de regla de regla de la cadena
para funciones algebraicas visto anteriormente.
݃´ሺݔሻ ൌ െܵ݁݊ሺቀ2ݔଷ
4ሻ
భ
మቁ כ ሾ3ݔଶሺ2ݔଷ
4ሻି
భ
మሿ Simplificar y organizar (u´)
݃´ሺݔሻ ൌ െ3ݔଶሺ2ݔଷ
4ሻି
భ
మܵ݁݊ሺቀ2ݔଷ
4ሻ
భ
మቁ Pasar a la izquierda 3ݔଶሺ2ݔଷ
4ሻି
భ
మ
݃´ሺݔሻ ൌ െ3ݔଶሺ2ݔଷ
4ሻି
భ
మ ܵ݁݊ሺቀ2ݔଷ
4ሻ
భ
మቁ Respuesta
12. Función Tangente
Si ݂ሺݑሻ ൌ ݊ܽݐሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ ܵ݁ܿଶ
ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la que
acompaña a la tangente y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 3: derivar ݄ሺݔሻ ൌ tan ሺ2ݔସ
െ ݔଶ
ሻ
݄ሺݔሻ ൌ tan ሺ2ݔସ
െ ݔଶ
ሻ
11. ݄´ሺݔሻ ൌ Secଶሺ2ݔସ
െ ݔଶሻ כ ሺ8ݔଷ
െ 2ݔሻ Pasar el término 8ݔଷ
െ 2ݔ a la izquierda
݄´ሺݔሻ ൌ ሺ8ݔଷ
െ 2ݔሻ Secଶሺ2ݔସ
െ ݔଶሻ Respuesta
13. Función Secante
Si ݂ሺݑሻ ൌ ܿ݁ݏሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ ܵ݁ܿሺݑሻ כ tanሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u)
es la que acompaña a secante y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 4: derivar ݈ሺݔሻ ൌ Sec ሺ√ݔ 2ሻ
݈ሺݔሻ ൌ Sec ሺ√ݔ 2ሻ
݈ሺݔሻ ൌ Sec ሺݔ
భ
మ 2ሻ Convertir el término √ݔ a exponente
݈´ሺݔሻ ൌ Sec ቀݔ
భ
మ 2ቁ כ ݊ܽݐ ቀݔ
భ
మ 2ቁ כ ሺ
ଵ
ଶ
ݔି
భ
మሻ Aplicar ݂´ሺݑሻ ൌ ܵ݁ܿሺݑሻ tanሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ
݈´ሺݔሻ ൌ ሺ
ଵ
ଶ
ݔି
భ
మሻSecቀݔ
భ
మ 2ቁ ݊ܽݐ ቀݔ
భ
మ 2ቁ
14. Función Cotangente
Si ݂ሺݑሻ ൌ ܿݐሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ െܿܿݏଶ
ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la
que acompaña a cotangente y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 5: derivar ݐሺݔሻ ൌ cot ሺ5ݔଶ
െ ݔሻ
ݐሺݔሻ ൌ cot ሺ5ݔଶ
െ ݔሻ
´ݐሺݔሻ ൌ െ cscଶሺ5ݔଶ
െ ݔሻ כ ሺ10ݔ െ 1ሻ Aplicar ݂´ሺݑሻ ൌ െܿܿݏଶ
ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ
´ݐሺݔሻ ൌ െሺ10ݔ െ 1ሻ cscଶሺ5ݔଶ
െ ݔሻ
´ݐሺݔሻ ൌ ሺ1 െ 10ݔሻ cscଶሺ5ݔଶ
െ ݔሻ
12. 15. Función Cosecante
Si ݂ሺݑሻ ൌ ܿܿݏሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ െ cscሺݑሻ כ cot ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u)
es la que acompaña a cosecante y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 6: derivar ሺݔሻ ൌ csc ሺ5√ݔହయ
െ 2ሻ
ሺݔሻ ൌ csc ሺ5√ݔହయ
െ 2ሻ
ሺݔሻ ൌ csc ሺ5ݔ
ఱ
య െ 2ሻ Convertir el término 5√ݔହయ
en exponente
´ሺݔሻ ൌ െ csc ቀ5ݔ
ఱ
య െ 2ቁ ܿ ݐ ቀ5ݔ
ఱ
య െ 2ቁ כ ሺ
ଶହ
ଷ
ݔ
మ
యሻ
´ሺݔሻ ൌ െ
ଶହ
ଷ
ݔ
మ
య csc ቀ5ݔ
ఱ
య െ 2ቁ ܿ ݐ ቀ5ݔ
ఱ
య െ 2ቁ Aplicar ݂´ሺݑሻ ൌ െ cscሺݑሻ cot ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ
DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES
Regla del producto. Multiplicación de funciones
Sea ݄ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃ሺݔሻ, la derivada será ݄´ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ.
Regla del cociente. División de funciones
Sea ݄ሺݔሻ ൌ
ሺ௫ሻ
ሺ௫ሻ
,la derivada será ݄´ሺݔሻ ൌ
ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ
ሾሺ௫ሻሿమ
Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza:
݄´ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ
Identificación de los términos en la función ݉ሺݔሻ ൌ ݔ√ݔ െ 3
݂ሺݔሻ ൌ ݔ
13. ݃ሺݔሻ ൌ √ݔ െ 3 ൌ ሺݔ െ 3ሻ
ଵ
ଶ
Calculamos las derivadas
݂´ሺݔሻ ൌ 1
݃´ሺݔሻ ൌ
1
2
ሺݔ െ 3ሻି
ଵ
ଶ כ ሺ1ሻ
݃´ሺݔሻ ൌ
ଵ
ଶ
ሺݔ െ 3ሻି
భ
మ Simplificando
Aplicando la regla del producto para ݉ሺݔሻ ൌ ݔ√ݔ െ 3
݉´ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ
݉´ሺݔሻ ൌ ሺݔሻ כ ቀ
ଵ
ଶ
ሺݔ െ 3ሻି
భ
మቁ ሺݔ െ 3ሻ
భ
మ כ ሺ1ሻ Remplazando en la fórmula
݉´ሺݔሻ ൌ
௫
ଶ
כ ሺݔ െ 3ሻି
భ
మ ሺݔ െ 3ሻ
భ
మ Simplificar la expresión
݉´ሺݔሻ ൌ ሺݔ െ 3ሻି
భ
మ ሺ
௫
ଶ
ሺݔ െ 3ሻሻ Factorizar ሺݔ െ 3ሻ por facto común
݉´ሺݔሻ ൌ ሺݔ െ 3ሻି
భ
మ ሺ
௫
ଶ
ݔ െ 3ሻ Simplificar, romper paréntesis
݉´ሺݔሻ ൌ ሺݔ െ 3ሻି
భ
మ ሺ
ଷ
ଶ
ݔ െ 3ሻ Operar términos semejantes
݉´ሺݔሻ ൌ
ሺ
య
మ
௫ିଷሻ
ሺ௫ିଷሻ
భ
మ
Pasar el término ሺݔ െ 3ሻି
భ
మ al denominador cambia de signo
el exponente por propiedad de potenciación
݉´ሺݔሻ ൌ
ሺ
య
మ
௫ିଷሻ
√௫ିଷ
Convertir el término del denominador en radical. Respuesta
Ejemplo 2: derivar ݐሺݔሻ ൌ
௫య
ଶ௫ିଵ
ሺ௫ሻ
ሺ௫ሻ
Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza:
݄´ሺݔሻ ൌ
ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ
ሾሺ௫ሻሿమ
Identificación de los términos en la función ݐሺݔሻ ൌ
௫య
ଶ௫ିଵ
ሺ௫ሻ
ሺ௫ሻ
݂ሺݔሻ ൌ ݔଷ
݃ሺݔሻ ൌ 2ݔ െ 1
14. Calculamos las derivadas
݂´ሺݔሻ ൌ 3ݔଶ
݃´ሺݔሻ ൌ 2
Aplicando la regla de cociente para ݐሺݔሻ ൌ
௫య
ଶ௫ିଵ
´ݐሺݔሻ ൌ
ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ
ሾሺ௫ሻሿమ
´ݐሺݔሻ ൌ
ሺଶ௫ିଵሻכ൫ଷ௫మ൯ି൫௫య൯כሺଶሻ
ሺଶ௫ିଵሻమ
Remplazar en la fórmula
´ݐሺݔሻ ൌ
௫యିଷ௫మିଶ௫య
ሺଶ௫ିଵሻమ Realizar operaciones
´ݐሺݔሻ ൌ
ସ௫యିଷ௫మ
ሺଶ௫ିଵሻమ Reducción de términos semejantes, respuesta
Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza:
݄´ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ
Identificación de los términos en la función ݍሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ
ݏܥሺ7ݔଷ
ሻ
݂ሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ
݃ሺݔሻ ൌ ݏܥሺ7ݔଷ
ሻ
Calculamos las derivadas
݂´ሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ
כ ሺ4ݔሻ
݂´ሺݔሻ ൌ 4݁ݔଶ௫మାସ
݃´ሺݔሻ ൌ െܵ݁݊ሺ7ݔଷሻ כ 21ݔଶ
݃´ሺݔሻ ൌ െ21ݔଶ
ܵ݁݊ሺ7ݔଷሻ
Aplicando la regla del producto para ݍሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ
ݏܥሺ7ݔଷ
ሻ
´ݍሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ
15. Remplazando en la fórmula
´ݍሺݔሻ ൌ ሺ݁ଶ௫మାସ
ሻ כ ൫െ21ݔଶ
ܵ݁݊ሺ7ݔଷሻ൯ ሺݏܥሺ7ݔଷሻሻ כ ሺ4݁ݔଶ௫మାସ
ሻ
´ݍሺݔሻ ൌ െ21ݔଶ
ܵ݁݊ሺ7ݔଷሻ݁ଶ௫మାସ
4ݏܥݔሺ7ݔଷሻ݁ଶ௫మାସ
Organizar y simplificar
´ݍሺݔሻ ൌ ݁ݔଶ௫మାସ
ሺെ21݊݁ܵݔሺ7ݔଷሻ 4ݏܥሺ7ݔଷሻሻ Factorizar por factor común
´ݍሺݔሻ ൌ ݁ݔଶ௫మାସ
ሺെ21݊݁ܵݔሺ7ݔଷሻ 4ݏܥሺ7ݔଷሻሻ Respuesta.
Ejemplo 4: derivar ݏሺݔሻ ൌ
ሺଷ௫రିଷ௫ሻ
௫యାଶ
ሺ௫ሻ
ሺ௫ሻ
Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza:
݄´ሺݔሻ ൌ
ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ
ሾሺ௫ሻሿమ
Identificación de los términos en la función ݏሺݔሻ ൌ
ሺଷ௫రሻ
௫యାଶ
ሺ௫ሻ
ሺ௫ሻ
݂ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺ3ݔସ
ሻ
݃ሺݔሻ ൌ ݔଷ
2
Calculamos las derivadas
݂´ሺݔሻ ൌ
1
ሺ3ݔସሻ
כ ሺ12ݔଷ
ሻ
݂´ሺݔሻ ൌ
12ݔଷ
3ݔସ
ൌ
4
ݔ
݃´ሺݔሻ ൌ 3ݔଶ
Aplicando la regla de cociente para ݏሺݔሻ ൌ
ሺଷ௫రሻ
௫యାଶ
´ݏሺݔሻ ൌ
ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ
ሾሺ௫ሻሿమ
´ݏሺݔሻ ൌ
ሺ௫యାଶሻכቀ
ర
ೣ
ቁି൫ଷ௫ర൯כሺଷ௫మሻ
ሺ௫యାଶሻమ Remplazando en la fórmula
´ݏሺݔሻ ൌ
ሺସ௫మା
ఴ
ೣ
ሻିଷ௫మ൫ଷ௫ర൯
ሺ௫యାଶሻమ Realizar operaciones y organizar
´ݏሺݔሻ ൌ
ሺସ௫మା଼௫షభሻିଷ௫మ൫ଷ௫ర൯
ሺ௫యାଶሻమ
´ݏሺݔሻ ൌ
௫షభሺସ௫యା଼ିଷ௫య൫ଷ௫ర൯ሻ
ሺ௫యାଶሻమ
Factorizar por factor común, respuesta