Função quadrática resumo teórico e exercícios - celso brasil

FUNÇÃO QUADRÁTICA
Celso do Rozário Brasil
1
Resumo teórico e exercícios
Função quadrática
Definição: É toda função do tipo f (x) = ax² + bx + c, (com a, b e c números reais e a ≠ 0).
Gráfico: É uma parábola.
Concavidade: É a abertura da curva. A concavidade pode estar voltada para cima ou para baixo. O que
determina o sentido da concavidade é o valor de a.
Assim temos:
Se a > 0, a concavidade está voltada para cima.
Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo.
Zeros ou raízes da função quadrática
A interseção da parábola f(x) = ax² + bx + c, com o eixo x, ocorre nos pontos (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são
zeros da parábola.
Os zeros são valores de x tais que f (x) = 0. Então:
ac
4
b
a
2
b
x
0
c
bx
ax
2
2
−
=



−
=

=
+
+
.
A fórmula de Bhaskara, por meio do discriminante, nos conduz imediatamente às raízes (zeros) da função.
Assim para  > 0, a fórmula fornece dois zeros, para  = 0, apenas um zero e  < 0 não fornece zero real.
OBS.: A interseção da parábola com o eixo y acontece no ponto (0,c).

2
Eixo de simetria e vértice
A função quadrática apresenta um eixo de simetria, que é uma reta paralela ao eixo das ordenadas. O eixo de
simetria intercepta a parábola no ponto V(xv, yv) denominado vértice. Esse ponto é o extremo da função. V é
ponto máximo quando a < 0 e mínimo quando a > 0. As coordenadas de V podem ser obtidas por meio das
relações:
a
2
b
xV −
=
e a
4
yV

−
=
Gráficos da função quadrática f(x) = a.x² + b.x + c
1º caso: a > 0:
2º caso: a < 0:
Conjunto Imagem da Função Quadrática

3
Exercícios resolvidos
Construa um esboço dos gráficos das funções quadráticas a seguir e indique o domínio e a imagem:
a) f(x) = x2 – 4x + 3
b) f(x) = x2 – 6x + 8
c) f(x) = – x2 + 2x + 3
d) f(x) = x2 – 2x
e) f(x) = – x2 + 8x
f) f(x) = – 2x2
Solução
Para o esboço identifica-se: f(x) = 0 (zeros da função), f(0) (intersecção com o eixo Y) e as coordenadas do
vértice.
a) f(x) = x2 – 4x + 3
( )




+
−
=
=










−
=








−
−
−
=





 
−
−
=
=
+
−
=



=
=


=
−

=

=
+
−
=
[
,
1
[
)
f
(
IM
IR
)
f
(
D
1
;
2
)
1
(
4
4
;
)
1
(
2
)
4
(
a
4
;
a
2
b
V
3
3
)
0
(
4
)
0
(
)
0
(
f
3
x
1
x
2
2
4
2
)
3
)(
1
(
4
16
4
x
0
)
x
(
f
:
3
x
4
x
)
x
(
f 2
2
1
2
.
Gráfico:
b) f(x) = x2 – 6x + 8
( )




+
−
=
=










−
=








−
−
−
=





 
−
−
=
=
+
−
=



=
=


=
−

=

=
+
−
=
[
,
1
[
)
f
(
IM
IR
)
f
(
D
1
;
3
)
1
(
4
4
;
)
1
(
2
)
6
(
a
4
;
a
2
b
V
8
8
)
0
(
6
)
0
(
)
0
(
f
4
x
2
x
2
2
6
2
)
8
)(
1
(
4
36
6
x
0
)
x
(
f
:
8
x
6
x
)
x
(
f 2
2
1
2

4
Gráfico:
c) f(x) = – x2 + 2x + 3
( )




−
=
=










=








−
−
−
−
=





 
−
−
=
=
+
+
−
=



=
−
=

−

−
=
−
−
−

−
=

=
+
+
−
=
]
4
,
]
)
f
(
IM
IR
)
f
(
D
4
;
1
)
1
(
4
16
;
)
1
(
2
)
2
(
a
4
;
a
2
b
V
3
3
)
0
(
2
)
0
(
)
0
(
f
3
x
1
x
2
4
2
2
)
3
)(
1
(
4
4
2
x
0
)
x
(
f
:
3
x
2
x
)
x
(
f 2
2
1
2
.
Gráfico:
d) f(x) = x2 – 2x
( )




+
−
=
=










−
=








−
−
−
=





 
−
−
=
=
−
=



=
=

=
−

=
−
=
[
,
1
[
)
f
(
IM
IR
)
f
(
D
1
;
1
)
1
(
4
4
;
)
1
(
2
)
2
(
a
4
;
a
2
b
V
0
)
0
(
2
)
0
(
)
0
(
f
2
x
0
x
0
)
2
x
(
x
0
)
x
(
f
:
x
2
x
)
x
(
f 2
2
1
2
.

5
Gráfico:
e) f(x) = – x2 + 8x
( )




−
=
=










=








−
−
−
−
=





 
−
−
=
=
+
−
=



=
=

=
+
−

=
+
−
=
]
16
,
]
)
f
(
IM
IR
)
f
(
D
16
;
4
)
1
(
4
64
;
)
1
(
2
)
8
(
a
4
;
a
2
b
V
0
)
0
(
8
)
0
(
)
0
(
f
8
x
0
x
0
)
8
x
(
x
0
)
x
(
f
:
x
8
x
)
x
(
f 2
2
1
2
.
Gráfico:
f) f(x) = – 2x2
( )




−
=
=










=








−
−
−
−
=





 
−
−
=
=
−
=
=

=

=
−
=
]
0
,
]
)
f
(
IM
IR
)
f
(
D
0
;
0
)
2
(
4
0
;
)
2
(
2
)
0
(
a
4
;
a
2
b
V
0
)
0
(
2
)
0
(
f
0
x
0
x
0
)
x
(
f
:
x
2
)
x
(
f 2
2
2
.

6
Gráfico:
A função f(x) = ax2 + bx + c passa pela origem. Sabendo que f(–2) = 0, calcule o valor de:
ab
b
abc
a 2
2
+
+
Solução.
Se o gráfico de f(x) passa pela origem, f(0) = 0.
Utilizando a informação que f(– 2) = 0 vem:
)
0
a
(
2
5
a
2
a
5
a
2
a
4
a
)
a
2
(
a
)
a
2
(
)
0
)(
a
2
(
a
a
ab
b
abc
a
)
iii
a
2
b
a
4
b
2
0
b
2
a
4
0
)
2
.(
b
)
2
.(
a
0
)
2
(
f
)
ii
0
c
0
c
)
0
.(
b
)
0
.(
a
0
)
0
(
f
)
i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

→
=
=
+
=
+
+
=
+
+
=

=

=
−

=
−
+
−

−
−
=

=
+
+

=
.
(F.C. CHAGAS) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 – 24x +1. O valor mínimo de f é:
a) 73
b) 71
c) –71
d) –73
e) –79
Solução.
O valor mínimo da função é a segunda coordenada do vértice. Utilizando a fórmula, temos:
71
8
568
8
8
576
)
2
.(
4
)
1
).(
2
.(
4
)
24
(
a
4
y
2
V −
=
−
=
−
−
=
−
−
−
=

−
=
.
Resposta: C
(PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50 m de corda. A área desse terreno
expressa como função do comprimento x de um dos lados é:
a) A(x) = -x2 + 25x para x  0
b) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25

7
c) A(x) = -3x2 + 50x para x  0
d) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3
Solução
A área do terreno é calculada pela fórmula:
A = x.y
e o perímetro (P) utilizando a fórmula:
P = 2x + 2y.
A corda de comprimento 50 m corresponde a esse perímetro. Logo:
2x + 2y = 50 =>
x + y = 25.
Expressando a área em função de x, temos:
A(x) = x.y
y = 25 – x.
Logo:
A(x) = x.(25 – x)
A(x) = – x2 + 25x.
Cálculo das raízes:
-x² + 25x = 0
x(-x + 25) = 0
x = 0
ou
-x + 25 = 0
-x = = -25
x = 25
O valor de y não pode ser 25, pois nesse caso x = 0, nem negativo, pois é dimensão.
Logo:
25 – x > 0 =>
25 > x ou x < 25 e x > 0.
Resposta: B

8
(PUC) A função quadrática y = (m2 – 4)x2 – (m + 2)x – 1 está definida quando:
a) m  4
b) m  2
c) m  -2
d) m = -2 ou +2
e) m   2
Solução.
A função será quadrática quando o coeficiente de x2
for diferente de zero.
Temos:
m2
– 4 ≠ 0 =>
m2
≠ 4 =>
m ≠ ±2.
Resposta: D
(MACK) O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por; então, k pode ser:
a) -2
b) -1
c) 2
d) 3
e) 4
Solução.
Substituindo as coordenadas (k, 3k) na função, temos:
y = x2
– 2x + k
3k = k2
– 2k + k =>
3k = k2
– k =>
k2
– 4k = 0 =>
k(k – 4) = 0 =>
k = 0
Ou
k = 4.
Resposta: E
(F.C. CHAGAS) Uma função quadrática f, de R em R, tem raízes, nos pontos (-1,0) e (1,0) e assume o
valor mínimo –1 se x = 0. Essa função é dada por:

9
a) f(x) = x2 – 1
b) f(x) = x2 + 1
c) f(x) = x2 – 2x + 1
d) f(x) = x2 – 2x – 2
e) f(x) = x2 – x + 1
Solução
Utilizando a expressão da função quadrática e a fórmula das coordenadas do vértice, temos:
( ) ( )
( ) ( )



−
=
=

=
+

−
=

−
=
−
−

−
−
−
−
=
−


−
=



−
=
=

=
+

=
+




=
+
+
=
+
−






+
+
=

+
+
=
+
−
=

+
−
+
−
=
−
+
+
=
1
c
0
c
0
)
1
c
(
c
4
c
4
c
4
1
c
4
c
4
)
c
(
4
)
c
)(
c
(
4
)
0
(
1
a
4
y
)
ii
c
a
0
b
0
c
a
0
c
2
a
2
0
c
b
a
0
c
b
a
c
b
a
0
c
)
1
(
b
1
a
1
f
c
b
a
0
c
)
1
(
b
1
a
1
f
)
i
c
bx
ax
)
x
(
f
2
2
2
V
2
2
2
.
Repare que c ≠ 0, pois a = - c e a ≠ 0.
Logo, c = –1 e a = 1.
Logo:
f(x) = x2 – 1.
Resposta: A
(UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda
de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser
vendidas:
a) 20 unidades
b) 16 unidades
c) 12 unidades
d) 8 unidades
e) 4 unidades
Solução.
A expressão do lucro será:
L(x) = V(x) – C(x)
L(x) = 2x2
+ x – (3x2
– 15x + 21)
L(x) = 2x2
+ x – 3x2
+ 15x – 21
L(x) = – x2
+ 16x – 21.
A quantidade máxima é o valor da primeira coordenada do vértice:
8
2
16
)
1
(
2
16
a
2
b
xV =
−
−
=
−
−
=
−
=
.

10
Resposta: D
(UNICAMP) Determine o número m de modo que o gráfico da função y = x2 + mx + 8 – m seja tangente
ao eixo dos X.
Solução.
O gráfico da função quadrática é tangente ao eixo x se o discriminante for nulo. Logo:
( )







−
=
−
=
−
−
=
=
=
+
−
=


−
=
+

−
=


−
−

−
=

=
−
+

=
−
−

=

8
2
16
2
12
4
m
4
2
8
2
12
4
m
2
144
4
2
128
16
4
m
)
1
(
2
)
32
)(
1
(
4
16
4
m
0
32
m
4
m
0
)
m
8
)(
1
(
4
m
0 2
2
.
. (UNESP) A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é:
Solução
Os pontos (-2,0), (1,0) e (0,-4) satisfazem à equação quadrática.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4
x
2
x
2
)
x
(
f
2
2
4
2
)
2
(
2
2
a
2
b
)
ii
2
a
6
a
3
4
b
a
2
b
a
2
0
4
b
a
0
4
b
2
a
4
4
c
c
)
0
(
b
0
a
0
f
0
c
b
a
c
)
1
(
b
1
a
1
f
0
c
b
2
a
4
c
)
2
(
b
2
a
2
f
)
i
2
2
2
2
−
+
=

=
−
=
−
=
−
=
=

=





=
+
=
−




=
−
+
=
−
−








−
=

+
+
=
=
+
+

+
+
=
=
+
−

+
−
+
−
=
−
.
Resposta: D
(UFPE) Suponha que o consumo de um carro, para percorrer 100 km com velocidade de x km/h, seja
dado por C(x) = 0,006x² - 0,6x + 25. Para qual velocidade esse consumo é mínimo?
a) 46 km/h
b) 47 km/h
c) 48 km/h
d) 49 km/h
e) 50 km/h
Solução
a) f(x) = -2x2 - 2x + 4
b) f(x) = x2 + 2x – 4
c) f(x) = x2 + x - 2
d) f(x) = 2x2 + 2x - 4
e) f(x) = 2x2 + 2x - 2

11
(UFRGS) As raízes da equação 2x2 + bx + c = 0 são 3 e − 4. Nesse caso, o valor de b - c é:
(a) −26.
(b) −22.
(c) −1.
(d) 22.
(e) 26.
Solução
As raízes de uma equação do 2º grau correspondem aos valores de x em que o resultado da equação é igual a
zero.
Portanto, substituindo o x pelos valores das raízes poderemos encontrar o valor de b e c. Fazendo isso,
ficaremos com o seguinte sistema de equações:
Subtraindo os valores encontrados, temos:
b - c = 2 - (-24) = 26
Resposta: E

12
(PUC) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada
pessoa pagasse R$6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de
R$2760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$1,50 no preço de inscrição, receberia 10
participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço
unitário, em reais, da inscrição em tal evento deve ser:
a) 15,00 b) 24,50 c) 32,75 d) 37,50 e) 42,50
Solução.
Descrevendo a situação na tabela até uma generalização, temos:
Número de participantes Preço do ingresso (R$) Arrecadação (R$)
460 6 460.(6)
460 – 1.(10) 6 + 1.(1,50) (460 – 1.10).( 6 + 1.(1,50))
460 – 2.(10) 6 + 2.(1,50) (460 – 2.10).( 6 + 2.(1,50))
460 – 3.(10) 6 + 3.(1,50) (460 – 3.10).( 6 + 3.(1,50))
... ... ...
460 – x.(10) 6 + x.(1,50) (460 – x.10).( 6 + x.(1,50))
A expressão, então da arrecadação é:
A(x) = (460 – 10x).(6 + 1,50x) = 2760 + 690x – 60x – 15x2
= – 15x2
+ 630x + 2760. Uma função quadrática.
A maior arrecadação ocorrerá com máximo número de aumentos x dados.
Esse valor corresponde à abscissa do vértice da função:
21
)
30
(
)
630
(
)
15
(
2
)
630
(
a
2
b
xV =
−
−
=
−
−
=
−
=
.
Com 21 aumentos de R$1,50 o preço do ingresso será: P = 6 + 21.(1,50) = 6 +31,50 = R$37,50.
(PUC) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de
certo produto é x – 10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada
mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70 – x. Nas condições dadas, o lucro
mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função quadrática de x, cujo valor
máximo, na unidade monetária usada, é:
a) 1200 b) 1000 c) 900 d) 800 e) 600
Solução.
De acordo com as informações, o custo total da produção é C(x) = 10.(70 – x), pois 10 é o preço unitário e
(70 – x) a quantidade produzida. O total obtido pela venda do produto será V(x) = x.(70 – x). Sendo o lucro a
diferença entre o valor arrecadado na venda e o custo, temos:
( ) ( )
900
4
3600
4
]
2800
6400
[
)
1
(
4
)]
700
)(
1
(
4
6400
[
a
4
y
)
máximo
(
L
700
x
80
x
x
10
700
x
x
70
x
70
.
10
x
70
.
x
)
x
(
L
V
2
2
=
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=

−
=
=
−
+
−
=
+
−
−
=
−
−
−
=
.

13
(VUNESP) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-
se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura.
a) Exprima y em função de x.
Solução.
Observando a semelhança nos triângulos assinalados, temos:
3
x
2
60
y
30
x
20
600
y
0
x
20
y
30
600
xy
xy
x
20
y
30
600
y
20
x
y
x
30
−
=


−
=

=
−
−

=
+
−
−

−
=
−
.
b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?
Solução.
A área ocupada será A(x) = (x.y). Será máxima para um valor máximo das medidas. Substituindo e calculando
a abscissa do vértice, temos:
( )
10
3
30
3
30
60
3
)
15
(
2
60
y
,
Logo
15
4
60
4
3
).
20
(
3
4
20
3
2
2
)
20
(
x
x
20
3
x
2
3
x
2
x
60
3
x
2
60
.
x
y
.
x
A V
2
2
=
=
−
=
−
=
=
=






−
−
=
−
−
=
−
−
=

+
−
=
−
=





 −
=
=
.
A área será máxima se as dimensões ocupadas forem x = 15m e y = 10m.
(VUNESP) Um retângulo possui perímetro é 10cm e a medida de um dos lados é x. Determine:
a) a área do retângulo em função de x;
b) o valor de x para o qual a área do retângulo seja máxima.
Solução.
Considere a outra medida do retângulo como y. Temos:
a)
( ) x
5
x
x
5
.
x
y
.
x
A
)
ii
x
5
y
5
y
x
10
y
2
x
2
y
2
x
2
P
2
10
P
2
)
i
2
+
−
=
−
=
=
−
=

=
+

=
+




+
=
=
.
Note que x não pode ser nulo, nem maior ou igual a 5.

14
b)
cm
5
,
2
2
5
)
1
(
2
)
5
(
x
)
máxima
(
A
x
5
x
A
V
2
=
=
−
−
=

+
−
=
.
(UNIRIO) Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos é dado por c(x) = – x2 + 22x + 1. Se que
cada produto é vendido por R$10,00, o número de produtos que devem ser vendidos para se ter um
lucro de R$44,00 é:
a) 3 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15
Solução.
O arrecadado com a venda é V(x) = 10x. O lucro será a diferença entre a venda e o custo. Temos:
( )







=

=

−
=
−
=


=

=
+

=
−

=


=
−
−

=
−
−




=
−
−
=
−
−
+
=
+
+
−
−
=
15
2
18
12
x
0
3
2
18
12
x
2
18
12
2
324
12
2
180
144
12
2
)
45
)(
1
(
4
144
12
x
0
45
x
12
x
44
1
x
12
x
44
)
x
(
L
1
x
12
x
1
x
22
x
x
10
1
x
22
x
x
10
)
x
(
L
2
1
2
2
2
2
2
.
A quantidade de produtos não pode ser negativa. Logo, x = 15.
(UFC) No triângulo ABC a seguir, a é a base, h a altura relativa a esta base, e b o lado oposto ao ângulo
de 45°. Se a + h = 4, calcule o valor mínimo de b2.
Solução.
Se a + h = 4, então a = 4 – h. Utilizando as relações métricas, vem:
2
h
h
2
y
h
2
y
h
h
y
)
i 2
2
2
2
2
2
=
=

=

+
= .
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo relacionando o lado b oposto ao ângulo de 45º, temos:

15
( ) ( )
5
16
20
64
20
]
64
[
20
]
320
256
[
)
5
(
4
)]
16
)(
5
(
4
)
16
[(
a
4
)
b
(
Mínimo
)
iii
16
h
16
h
5
b
h
2
h
8
h
8
16
h
3
)
h
h
4
.(
2
h
8
16
h
3
b
2
2
).
h
h
4
.(
2
2
h
h
8
16
h
2
º
45
cos
).
h
4
.(
2
h
.
2
)
h
4
(
2
h
b
)
ii
2
h
h
2
y
h
2
y
h
h
y
)
i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
=

−
=
+
−
=

+
−
−
+
=
−
−
−
+
=


−
−
+
−
+
=
−
−
−
+
=
=
=

=

+
=
(Enem) A igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer,
localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura
1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A figura 2 fornece uma vista frontal desta
abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
a) 16/3
b) 31/5
c) 25/4
d) 25/3
e) 75/2
Solução
Nesta questão precisamos calcular o valor da altura. Para isso, vamos representar a parábola no eixo cartesiano,
conforme figura abaixo.

16
Escolhemos o eixo de simetria da parábola coincidindo com o eixo y do plano cartesiano. Assim, notamos que
a altura representa o ponto (0, yH).
Observando o gráfico da parábola, percebemos ainda, que o 5 e o -5 são as duas raízes da função e que o ponto
(4,3) pertence a parábola.
Com base em todas essas informações, vamos utilizar a forma fatorada da equação do 2º grau, ou seja:
y = a,(x - x1).(x - x2)
Onde:
a: coeficiente
x1 e x2: raízes da equação
Para o ponto x = 4 e y = 3, temos:
y = a,(x - x1).(x - x2)
Conhecendo o valor de a, podemos calcular o valor da altura (yH) usando novamente a forma fatorada da
equação do 2º grau. Para isso, consideramos x = 0, conforme indicado no gráfico acima:
Resposta: D
(UNESP) Uma função quadrática f é dada por f(x) = x2 + bx + c, com b e c reais.
Se f(1) = –1 e f(2) – f(3) = 1, o menor valor que f(x) pode assumir, quando x varia no conjunto dos
números reais, é igual a
(a) –12.
(b) –6.
(c) –10.
(d) –5.
(e) –9.
Solução
O gráfico da função apresentada é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois a = 1 (positivo).
Sendo assim, o menor valor da f(x) será a coordenada y do seu vértice.
Sendo yv encontrado através da fórmula:
Assim, para encontrar o vértice é necessário conhecer os valores de b e c. Para tal, iremos utilizar as
informações, substituindo os valores de x e y na função. Ou seja:
Expressão I : f(1) = - 1 ⇒ 12
+ 1 . b + c = - 1 ⇒ b + c = - 2

17
Expressão II : f(2) - f(3) = 1 ⇒ 22
+ 2 . b + c - (32
+ 3 . b + c) = 1 ⇒ 4 + 2b +c - 9 - 3b - c = 1
⇒ - 5 - b = 1⇒ b = - 6
Substituindo o valor encontrado de b, na expressão I, temos:
- 6 + c = - 2 ⇒ c = - 2 + 6 ⇒ c = 4
Portanto, a função é: f(x) = x2
- 6x + 4. Calculando o yv desta função, encontramos:
Resposta: D
(UERJ) Observe a função f, definida por:
Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.
Assim, o valor positivo do parâmetro k é:
(a) 5
(b) 6
(c) 10
(d) 15
(e) 8
Solução
Como o coeficiente a da função é positivo (1) seu gráfico será uma parábola com a concavidade voltada para
cima. Logo, o vértice da parábola será o ponto em que o valor da função é mínimo.
No enunciado é informado que esse valor é igual a 4, ou seja, que o yv = 4. Sendo assim, usaremos a expressão
do yv para calcular o valor do parâmetro k.
Como a questão pede o valor positivo do parâmetro k, então iremos desprezar o valor de k = - 5

18
Resposta: A
(UFSM) A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os alimentos. Em regiões
com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a captação e armazenamento da água da
chuva. Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, a expressão:
representa o volume (em m3) de água presente no tanque no instante t (em minutos)
Qual é o tempo, em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado?
(a) 360.
(b) 180.
(c) 120.
(d) 6.
(e) 3.
Solução
O instante que o tanque ficará vazio pode ser calculado, considerando V(t) = 0. Então, vamos igualar a
função dada a zero e calcular o valor de t.
Precisamos ainda passar o valor encontrado para horas. Lembrando que 1 hora é igual a 60 min, então 360
min será igual a 6 h.
Resposta: D
(FUVEST)A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e
horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura.

19
O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil,
percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura
máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida
por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil
quando foi lançado?
a) 60
b) 90
c) 120
d) 150
e) 180
Solução
Vamos começar representando a situação no plano cartesiano, conforme figura abaixo:
No gráfico, o ponto de lançamento do projétil pertence ao eixo y. Já o ponto (10, 200) representa o vértice da
parábola.

20
Como o projétil atinge o solo em 30 m, essa será uma das raízes da função. Note que a distância entre esse
ponto e a abscissa do vértice é igual a 20 (30 - 10).
Por simetria, a distância do vértice para a outra raiz também será igual a 20. Sendo assim, a outra raiz foi
assinalada no ponto - 10.
Conhecendo os valores das raízes (- 10 e 30) e um ponto pertencente a parábola (10, 200), podemos usar a
forma fatorada da equação do 2º grau, ou seja:
y = a . (x - x1) . (x - x2)
Substituindo os valores, temos:
Conhecendo o valor de a, podemos agora calcular o valor da altura h de lançamento do projétil. Para isso,
basta identificar que no ponto de lançamento x = 0 e y = h.
Substituindo esses valores na fórmula fatorada, encontramos:
Resposta: D
(Enem) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de
modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela
função f(t) = - 2t2 + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que
tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número
de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.
A segunda dedetização começou no
(a) 19º dia.
(b) 20º dia.
(c) 29º dia.
(d) 30º dia.
(e) 60º dia.
Solução
A dedetização será feita quando a f(t) = 1600, então substituindo esse valor na função, encontraremos o valor
de t.
1600 = - 2.t2
+ 120 . t
2.t2
- 120t + 1600 = 0
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar as contas. Assim, a equação ficará:

21
t2
- 60t + 800 = 0
Para encontrar as raízes da equação, usaremos a fórmula de Bhaskara:
Portanto, a segunda dedetização ocorrerá no 20º dia, que é quando chegará a 1600 infectados após a primeira
dedetização.
Resposta: B
(ENEM) A parte interior de uma taça foi gerada
pela rotação de uma parábola em torno de um
eixo z, conforme mostra a figura.
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei:
f(x) = 3/2 x2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se
que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições,
a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é:
(a) 1.
(b) 2.
(c) 4.
(d) 5.
(e) 6.
Solução
Pela imagem da questão, observamos que a parábola apresenta apenas um ponto que corta o eixo x (ponto
V), ou seja, ela possui raízes reais e iguais.
Da equação: 3/2 x2
– 6x + C, temos:
a = 3/2, b = -6 e “c” é o valor que queremos calcular. Logo:

22
Sabemos que Δ = 0, ou seja:
Δ = 0
b2
– 4.a.c = 0
Substituindo os valores da equação, temos:
Portanto, a altura de líquido será igual a 6 cm.
Resposta: E
1) Para as funções abaixo, determine:
a) a concavidade;
b) os zeros;
c) as coordenadas do vértice (máximo ou mínimo);
d) interseção com o eixo y;
e) esboço do gráfico;
f) o conjunto imagem;
g) o estudo de sinal.
1º) f(x) = x² - 4x + 3
2º) y = -x² + 6x
3º) y = x² - 2x + 5
4º) y = -x² + 2x – 1
2) (UFMG) Sendo f : R → R uma função definida por f(x) = x2 –1, calcule:
(a)






2
1
f
(b)
( )
2
1
f −
Solução
(a)
De acordo com o enunciado, a função é:

23
f(x) = x2
–1
Fazendo x = 1/2 e substituindo na função acima, temos:
f (
1
2
) = (
1
2
)
2
− 1
f (
1
2
) =
1
4
− 1
𝐟 (
𝟏
𝟐
) =
𝟑
𝟒
(b)
Fazendo x = 1 - √2 e substituindo na função, temos:
f(x) = x2
–1
f(1 − √2) = (1 − √2)
2
− 1
f(1 − √2) = 12
− 2.1. √2 + (√2)
2
f(1 − √2) = 1 − 2√2 + 2
𝐟(𝟏 − √𝟐) = 𝟑 − 𝟐√𝟐
3) Para que valores reais de k a função f(x) = 2x² + 5x + k + 3 admite duas raízes reais e distintas?
Solução:
Condição: ∆> 0
b2
− 4ac > 0
52
− 4.2(k + 3) > 0
25 − 8(k + 3) > 0
25 − 8k − 24 > 0
1 − 8k > 0
1 > 8k
𝐤 < 𝟏/𝟖
4) O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c está representado abaixo. Determinar os valores de a, b e c.

24
Solução
O valor de “c” corresponde ao ponto em que o gráfico intercepta o eixo das ordenadas (o eixo y). Então,
c = 2.
O gráfico intercepta o eixo das abscissas (o eixo x) nos pontos 1 e 4. Então, essas são as raízes da equação.
No ponto (1, 0), temos:
y = ax² + bx + c
0 = a.1² + b.1 + 2
a + b + 2 = 0
a + b = - 2 (i)
No ponto (4, 0), temos:
y = ax² + bx + c
0 = a.4² + b.4 + 2
0 = 16a + 4b + 2
16a + 4b = - 2 (ii)
As equações (i) e (ii) formam um sistema, logo:
a + b = - 2 . (- 4)
16a + 4b = - 2

25
-4a - 4b = 8
16a + 4b = - 2 +
12a = 6
a = 6/12 : 6/6
a = 1/2
Agora, o valor de b:
a + b = - 2
1/2 + b = - 2
b = -2 – 1/2
b = - 5/2
Resposta: a = 1/2; b = - 5/2; c = 2
A função é: 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
−
𝟓
𝟐
𝒙 + 𝟐 ou x² -5x + 4 = 0
5) O gráfico da função y = ax² + bx + c está representado abaixo. Determine:
(a) Os valores de a, b e c.
(b) f(8).
Solução
(a)
A parábola passa pelo ponto 0,0 então f(0) = 0, então c = 0
As coordenadas do vértice são (2,1), se o x do vértice se encontra no meio do gráfico, então se eu dobrar o
valor encontrarei a outra raiz, ou seja, 4, então f(4)=0
ax² + bx + c = 0
a(4)² + b.4 + 0 = 0
16a + 4b = 0 : (4)
4a + b = 0
-b = 4a (1)
Sendo: f(2) = 1, temos:
ax² + bx + c = 0
a.2² + b.2 + 0 = 1

26
4a + 2b = 1 (2)
Substituindo (1) em (2), temos:
Como:
-b = 4a (1)
-1 = 4a
a = -1/4
Agora que já temos os valores de a, b e c, nossa função ficará assim:
f(x) = ax² + bx +c
𝐟(𝐱) = −
𝟏
𝟒
𝒙𝟐
+ 𝒙
(b)
Vamos calcular f(8):
f(8) = −
1
4
(8)2
+ 8
𝑓(8) = −
64
4
+ 8
𝑓(8) = −
32
4
𝒇(𝟖) = −𝟖
6) Determinar o conjunto imagem da função f:[-2,2[→IR tal que f(x) = x² - 2x - 3.
Solução
A imagem da função quadrática é dada pelo “y” do vértice. Assim:
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
𝑦𝑣 = −
𝑏2
− 4𝑎𝑐
4𝑎
𝑦𝑣 = −
[(−2)2
− 4.1. (−3)]
4.1
𝑦𝑣 = −
4 + 12
4

27
𝑦𝑣 =
−16
4
𝒚𝒗 = −𝟒
Observe o gráfico da função dada:
Como a concavidade da parábola é voltada para cima, pois, a > 0, a função tem ponto de mínimo igual ao y
do vértice, 𝑦𝑣 = −4, logo:
𝐈𝐦(𝐟) = {𝐲 ∈ ℝ/𝐲 ≥ −𝟒}
7) O gráfico da função y = a.x² + bx + c está representado abaixo:
Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) ( V ) O número real c é negativo.
b) ( V ) O número real a é positivo.
c) ( ) O número real b é positivo.
d) ( F ) A abscissa do vértice V é negativa.
e) ( F ) A ordenada do vértice V é positiva.
f) ( F ) O discriminante () da equação f(x) = 0 é nulo.
8) (FUVEST) O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2).
Então f(-2/3) vale:

28
a) 9
2
−
b) 9
2
c) 4
1
−
d) 4
1
e) 4
Solução
Para o ponto (0, 0) temos:
y = x² + bx + c
0 = 0² + b.0 + c
c = 0
Para o ponto (1, 2), temos:
y = x² + bx + 0
2 = 1² + b.1 + 0
2 = 1 + b
b = 1
Logo, a função é:
f(x) = x² + x
Vamos calcular f(-2/3):
f (−
2
3
) = (−
2
3
)
2
+ (−
2
3
)
f (−
2
3
) =
4
9
−
2
3
f (−
2
3
) =
4 − 6
9
𝐟 (−
𝟐
𝟑
) = −
𝟐
𝟗
Resposta: A
9) Encontre os possíveis valores de k tais que o conjunto imagem da função 𝐲 = −𝐱𝟐
+ 𝐤𝐱 −
𝟏
𝟐
seja
Im = {y  IR/ y ≤ 2}.
Solução
A função é: 𝑦 = −𝑥2
+ 𝑘𝑥 −
1
2
Como a < 0, a concavidade será voltada para baixo. E a função terá ponto de máximo expresso no y do vértice.
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
𝑦𝑣 = −
𝑏2
− 4𝑎𝑐
4𝑎

29
2 = −
[(𝑘2
− 4(−1). (−
1
2
)]
4(−1)
−
(𝑘2
− 2)
−4
= 2
−𝑘2
+ 2
−4
= 2
−𝑘2
+ 2 = −8
−𝑘2
= −10
𝑘2
= 10
𝐤 = √𝟏𝟎
10) O gráfico da função f(x)=x² + x + 2k – 3, k  IR, não intercepta o eixo das abscissas. Determine os
possíveis valores de k.
Solução
Quando o gráfico não intercepta o eixo das abscissas o discriminante deve ser negativo, então Δ < 0. Assim
sendo:
b² - 4ac < 0
1² - 4.1.(2k - 3) < 0
1 -4.(2k - 3) < 0
1 - 8k + 12 < 0
-8k + 13 < 0
-8k < -13 (-1)
8k > 13
k > 13/8
11) (UCMG) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Solução
O valor máximo da função é dado pelo y do vértice, logo:
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
𝑦𝑣 =
−(𝑏2
− 4𝑎𝑐)
4𝑎

30
𝑦𝑣 =
−[(2)² − 4. (−1). 2]
4(−1)
𝑦𝑣 =
−(4 + 8)
−4
𝑦𝑣 =
−12
−4
𝒚𝒗 = 𝟑
Resposta: B
12) Um golfinho realiza um salto cuja trajetória é uma parábola como a que está representada no
gráfico abaixo:
A altura h atingida pelo golfinho no ponto máximo do seu salto, em metros, é igual a:
(a) 2,5 (b) 2,25 (c) 2,0 (d) 1,75 (e) 2,10
Solução
A altura máxima da trajetória está no vértice da parábola, cujas coordenadas são dadas pelas expressões:
Temos que encontrar a equação da parábola.
Note que os valores 0 e 3 são as raízes da equação (estão no eixo x)
Se o vértice é metade da distância entre as raízes, então, x do vértice vale:
𝑥𝑣 =
0 + 3
2
𝑥𝑣 =
3
2
−
𝑏
2𝑎
=
3
2
−𝑏 = 3𝑎 (−1)

31
𝐛 = −𝟑𝐚
Note que a função passa pela origem, então o coeficiente c = 0
Logo, a equação é da forma y = -ax² + bx (Concavidade voltada para baixo, pois, a < 0)
Substituindo o ponto (1, 2) que é x = 1 e y = 2 e o valor de b = -3a, temos:
2 = a.1² - 3a.1
2 = a - 3a
2 = -2a
a = 2/-2
a = -1
Como:
b = -3a
b = -3(-1)
b = 3
Logo, a equação é:
y = −𝑥² + 3 𝑥
A altura h atingida pelo golfinho no ponto máximo do seu salto é dada pelo y do vértice. Logo
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
𝑦𝑣 =
−(𝑏2
− 4𝑎𝑐)
4𝑎
yv =
− [(9)2
− 4. (−
1
2
) . 0]
4(−1)
yv =
(−9)
−4
yv =
9
4
𝐲𝐯 = 𝟐, 𝟐𝟓 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐬
Resposta: B
13) Uma bola é lançada ao ar. A sua altura h (metros) está relacionada com o tempo (segundos) de
lançamento por meio da expressão h(t) = - t² + 4t + 5.
(a) Em que instante a bola atinge a altura máxima?
(b) Qual a altura máxima atingida pela bola?

32
(c) Faça um esboço gráfico da trajetória da bola.
Solução
(a) O instante que a bola atinge a altura máxima é dado pelo x do vértice. Logo:
xv = −
b
2a
xv =
−4
2(−1)
xv =
−4
−2
𝐱𝐯 = 𝟐 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬
Resposta: a bola atinge a altura máxima em 2 segundos
(b)
Substituindo t = 2 na função encontraremos a altura máxima atingida pela bola:
h(t) = - t² + 4t + 5
h(2) = -2² + 4.2 + 5
h(2) = -4 + 8 + 5
h(2) = 9 m
Observação: A altura máxima também pode ser calculada pelo y do vértice. Observe:
yv =
−∆
4a
yv =
−(b2
− 4ac)
4a
yv =
−[(−4)2
− 4.1. (−5)]
4(−1)
yv =
−[16 + 20]
−4
yv =
−36
−4
𝒚𝒗 = 𝟗 𝒎
Zeros ou raízes da função:

33
Fazendo h(t) = 0, temos:
- t² + 4t + 5 = 0 (-1)
t² - 4t – 5 = 0
∆ = b2
− 4ac
∆ = (−4)2
− 4.1(−5)
∆ = 16 + 20
∆ = 𝟑𝟔
t =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
t =
−(−4) ± √36
2
t =
4 ± 6
2
𝑡′
= 5
𝑡" = −1
(c) Com os pontos: (-1, 5), (0, 5) e V(2, 9) podemos esboçar o gráfico da função:
14) (UFRJ) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de
equação:
2
7
8
7
1 2
+
+
−
= x
x
y

34
na qual os valores de x e y são dados em metros. Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo
centro da cesta, que está a 3 m de altura.
Determine a distância do centro da cesta ao eixo y.
Solução
Temos:
y = −
1
7
𝑥2
+
8
7
𝑥 + 2
Se a altura é 3m, significa que y = 3.
3 = −
1
7
𝑥2
+
8
7
𝑥 + 2
Multiplicando a equação por 7:
3.7 = 7 (−
1
7
𝑥2
+
8
7
𝑥 + 2)
21 = −𝑥2
+ 8𝑥 + 14
x² - 8x + 21 -14 = 0
x² - 8x + 7 = 0
∆ = b2
− 4ac
∆ = (−8)2
− 4.1.7
∆ = 64 − 28
∆ = 𝟑𝟔
x =
−b ± √∆
2a
x =
−(−8) ± √36
2.1
x =
8 ± 6
2
x′
= 7 x" = 1 (Não convém)
Logo, a distância do centro da cesta ao eixo y vale 7 metros.
15) (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a
venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem
ser vendidas:
a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades

35
Solução
Note que:
Lucro = Venda - Custo.
Venda = 2x²+x
Custo = 3x²-15x+21
Venda - Custo = Lucro
(2x² + x) - (3x²-15x+21) = Lucro
(2x² + x) -3x² + 15x -21 = Lucro
-x² + 16x - 21 = Lucro
Para descobrirmos o valor máximo utilizamos a formula da função quadrática.
Lucro Máximo de x = - (b/2a)
Luco Máximo de x = - (16/2.-1)
Luco Máximo de x = - (16/-2)
Luco Máximo de x = - (-8)
Luco Máximo de x = 8
Resposta: D
16) (FGV) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros
lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Qual o quociente do
lado menor pelo maior?
Solução
x é a medida do comprimento e y é a medida do retângulo
Área do retângulo
A = Comprimento x largura
A = x . y
Quantidade de tela a ser utilizada
2x + y = 400
y = 400 - 2x
Logo

36
A = x. y
A = x.(400 - 2x)
A(x) = 400x - 2x²
A equação do 2* grau acima possui ponto de máximo no vértice , logo a área é máxima nesse ponto.
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
𝑥𝑣 =
−400
2(−2)
𝑥𝑣 =
−400
−4
𝐱𝐯 = 𝟏𝟎𝟎
Como:
y = 400 - 2x
y = 400 – 2.100
y = 400 – 200
y = 200
Lado menor
Lado maior
=
100
200
=
𝟏
𝟐
17) (UFSCAR) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol,
teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t  0), onde t é o tempo medido em segundos
e h(t) é a altura em metros da bola no instante t.
Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura máxima atingida pela bola.
Solução
(a) O instante será o x do vértice:
𝑥𝑣= -b/2a
𝑥𝑣 = -8/2(-2)
𝑥𝑣 = -8/-4

37
𝒙𝒗 = 2 segundos
(b) a altura máxima é dada pelo y do vértice:
Δ = b² - 4ac
Δ = 8² - 4.(-2).0
Δ = 64
𝑦𝑣 = - Δ/4a
𝑦𝑣 = - 64/4(-2)
𝑦𝑣 = -64/-8
𝒚𝒗 = 8 metros
Gráfico da função:
18) (UERJ) Numa operação de salvamento marítimo, foi lançado um foguete sinalizador que
permaneceu aceso durante toda sua trajetória. Considere que a altura h, em metros, alcançada por este
foguete, em relação ao nível do mar, é descrita por:
2
t
t
5
10
h −
+
= ,
em que t é o tempo, em segundos, após seu lançamento. A luz emitida pelo foguete é útil apenas a partir
de 14m acima do nível do mar.
O intervalo de tempo, em segundos, no qual o foguete emite luz útil é igual a:
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6
Solução
O enunciado nos forneceu a função que descreve o deslocamento do foguete:

38
,
Queremos saber, a partir de quantos segundos o foguete começa a emitir luz útil, temos a informação de que
isso ocorre quando o foguete está a uma altura de 14m, então podemos substituir os dados e encontrar o
tempo:
Resposta: B
19) (UERJ) As trajetórias A e B de duas partículas lançadas em um plano vertical XOY estão
representadas. Suas equações são, respectivamente,
x
3
x
2
1
y 2
+
−
=
x
x
2
1
y 2
+
−
=
,
nas quais x e y estão em uma mesma unidade u. Essas partículas atingem, em um mesmo instante t, o
ponto mais alto de suas trajetórias. A distância entre essas partículas, neste instante t, na mesma
unidade u, equivale a:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 20
Solução
Devemos ter:

39
Encontrando as coordenadas dos respectivos vértices, temos:
(i) {
𝐴: 𝑥𝑉 = −
3
2(−1
2
⁄ )
= 3; 𝑦𝑉 = −
(3)2−4(−1
2
⁄ ).(0)
4(−1
2
⁄ )
=
9
2
𝐵: 𝑥𝑉 = −
1
2(−1
2
⁄ )
= 1; 𝑦𝑉 = −
(1)2−4(−1
2
⁄ ).(0)
4(−1
2
⁄ )
=
1
2
;
(𝑖𝑖) 𝑑(𝑉𝐴, 𝑉𝐵) = √(3 − 1)² + (
9
2
−
1
2
) ² = √4 + 16 = √𝟐𝟎.
Resposta: D
20) (UERJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B,
conforme representado no sistema de eixos ortogonais. Durante sua trajetória, a bola descreve duas
parábolas com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é:
5
x
2
75
x
y
2
+
−
=
.
Se a abscissa de D é 35m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:
a) 38 b) 40 c) 45 d) 50
Solução
Encontrando o xV na equação informada, temos:
( ) 15
2
75
.
5
2
75
1
2
5
/
2
xV =





 −






−
=
−
−
=
.

40
Essa abscissa xV corresponde à parábola maior e está no ponto médio de d(0, A). Logo, A = 30.
Como (35 – A) = (B – 35)  (35 – 30) = (B – 35) 5 = B – 35  B = 40. Logo, a distância de 0 a 40 = 40.
Resposta: B
Sejam a e b as raízes da equação x² + 5x + 8 = 0. Determine o valor da expressão ab
2
b
a
ab
b
a
2
2
2
2
+
+
+
.
Solução.
Simplificando a expressão temos:
( )
)²
b
a
(
b
a
ab
ab
2
b
a
ab
b
a
2
2
2
2
+
+
=
+
+
+
.
Utilizando as relações de Girard, para a equação ax² + bx + c = 0, temos:
( )
5
8
)²
5
(
5
8
ab
2
b
a
ab
b
a
8
1
8
a
c
:
oduto
Pr
5
1
5
a
b
:
Soma
2
2
2
2
−
=
−
=
+
+
+








=
=
−
=
−
=
−
.
Determine o valor de y na função y = ax² + bx + c, cujo gráfico passa pelos pontos: (-1,0), (5,0) e (1,-8),
quando x = 2.
Solução.
Substituindo os pontos na equação e resolvendo o sistema temos:
.
9
13
4
5
8
4
5
)
2
(
4
)²
2
(
y
2
x
Se
.
5
x
4
²
x
y
,
Logo
.
5
)
1
(
4
a
4
c
,
Então
.
1
a
24
a
24
20
c
a
25
4
c
a
20
c
a
25
)
1
(
x
4
c
a
0
c
)
4
(
5
a
25
0
c
)
4
(
a
0
c
b
5
a
25
4
b
8
b
2
8
c
b
a
0
c
b
a
0
c
b
5
a
25
8
c
b
a
)
1
(
x
0
c
b
a
c
)
1
(
b
)²
1
(
a
8
c
)
5
(
b
)²
5
(
a
0
c
)
1
(
b
)²
1
(
a
0
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=

=
−
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
=

=




=
+
=
−
−




=
+
−
→
−
=
+




=
+
−
+
=
+
−
−






=
+
+
−
=

−
=




−
=
+
+
=
−
+
−






=
+
+



−
=
+
+
−
→
=
+
−






+
+
=
−
+
+
=
+
−
+
−
=
(UERJ) Considere a função:
IR
x
,
18
x
2
2
3
x
f 2
3 
−
=







 +
.
(a) Determine os zeros da função.
(b) Calcule:

41
2
)
1
(
f
)
1
(
f −
+
Solução.
Escrevendo a função na variável “y” com a substituição indicada, temos:
( ) ( )
³
y
24
y
8
)
y
(
f
18
18
³
y
24
y
8
)
y
(
f
18
9
³
y
12
y
4
2
)
y
(
f
18
²
3
³
y
2
2
)
y
(
f
3
³
y
2
x
³
y
2
3
x
y
2
3
x
6
6
6
3
−
=

−
+
−
=


−
+
−
=

−
−
=

−
=

=
+

=
+
.
(a) ( )



=

=
−
=

=
−

=
−

= 3
6
3
y
0
3
³
y
0
y
0
3
³
y
³
y
8
0
³
y
24
y
8
0
)
y
(
f .
(b) 8
2
16
2
)
32
(
)
16
(
2
)
1
(
f
)
1
(
f
32
24
8
)³
1
(
24
)
1
.(
8
)
1
(
f
16
24
8
)³
1
(
24
)
1
.(
8
)
1
(
f
6
6
=
=
+
−
=
−
+




=
+
=
−
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
.
(UERJ) A figura mostra um anteparo parabólico que é representado pela função:
.
x
3
2
x
3
3
)
x
(
f 2
+
−
=
Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma trajetória
retilínea. Ao incidir no vértice de anteparo é refletida e a nova
trajetória é simétrica à inicial, em relação ao eixo da parábola. O
valor do ângulo de incidência corresponde a:
a) 30º b) 45º c) 60º d)
75º
Solução.
Encontrando as coordenadas do vértice, temos:
( )
( )
3
3
3
3
.
3
9
3
9
3
4
3
).
12
(
3
3
4
12
3
3
4
)
0
.(
3
3
4
3
2
y
;
3
3
3
.
3
3
3
2
3
2
x
2
V
V =
=
=
−
−
=
−
=





−





−
−
−
=
=






−
−
=





−
−
=
.
A tangente do ângulo α é a razão entre xV e yV:
º
30
3
3
3
1
3
3
3
tg =


=
=
=

.
Na parede da sala de aula de Manolito, que tem 4m de altura e 6m de largura, será pintado um painel,
conforme a figura apresentada.

42
O valor de x para que a área hachurada seja máxima é:
a) 1/4 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 4
Solução.
O valor da área pedida será a diferença entre a área total e a soma das áreas dos triângulos retângulos não
hachurados.
( )
1
)
2
(
2
)
4
(
x
)
hachurada
(
A
18
x
4
²
x
2
x
4
6
²
x
2
24
)
hachurada
(
A
x
4
6
²
x
2
:
Soma
x
4
6
2
)
x
4
6
).(
2
(
)
2
T
(
A
²
x
2
2
)
x
4
).(
x
(
)
1
T
(
A
²
m
24
)
4
).(
6
(
)
total
(
A
V
MÁXIMA
=
−
−
=
→
+
+
−
=
−
+
−
=
−
+








−
=
−
=
=
=
=
=
.
Um pequeno pomar com 40 árvores plantadas produz 25 cestas de frutas por árvores. Devido à
disputa de nutrientes no solo, a cada árvore que é plantada a mais, cada uma das árvores produz 1/4
de cestas a menos. Podemos dizer que o número de árvores que devem estar no pomar para que a
produção seja máxima é:
a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70
Solução.
Observando o que acontece em cada caso para generalizar, temos:
Repare que a cada plantio não diminui 1/4 do total. E sim a quantidade 1/4.

43
Logo a função da produção é:
Já estão 40 e podem ser plantadas mais 30. Logo, Devem estar 70.
(ENEM) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu
proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100
litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200
litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$,
arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é:
a) V = 10.000 +50x -x2
b) V = 10.000 +50x +x2
c) V = 15.000 -50x -x2
d) V = 15.000 +50x -x2
e) V = 15.000 -50x +x2
Solução
‘p’ é o preço do litro.
Inicialmente p = 1,5.
Se o proprietário der um desconto de x centavos o preço do litro será p = 1,5 -x.
Considerando que x é um número inteiro, nós precisamos convertê-lo para centavos, para isso basta dividi-lo
por 100:
A quantidade de litros vendidos é ‘l’:
Inicialmente l = 10.000
Para cada centavo de desconto são vendidos 100 l a mais, então l = 10.000 +100x
( ) ( ) 30
)
2
).(
15
(
2
1
)
15
(
4
1
2
)
15
(
x
)
x
(
P
4
x
x
15
1000
4
x
x
25
4
x
40
1000
4
x
25
).
x
40
(
)
x
(
P
Máximo
Máximo
2
2
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
→
−
+
=
−
+
−
=






−
+
=

44
O valor arrecadado no dia é o preço x a quantidade de litros vendidos
Resposta: D
(EFOMM) Examine a função real f(x) = 2x -3x2 quanto à existência de valores e pontos de máximos e
mínimos. Analise o problema e assinale a alternativa CORRETA.
a) A função atinge o valor máximo de 2/3, no ponto x = 1/3
b) A função atinge o valor mínimo de 1/3, no ponto x = 1/3
c) A função atinge o valor máximo de 1/3, no ponto x = 2/3
d) A função atinge o valor mínimo de 2/3, no ponto x = 1/3
e) A função atinge o valor máximo de 1/3, no ponto x = 1/3
Solução
O valor máximo de uma função do 2º grau é conhecido como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte
maneira:
Δ é conhecido como discriminante, sendo que Δ = b2
-4ac.
a: coeficiente do x2
b: coeficiente do x
c: termo independente, se ele não aparecer na função nós podemos considerá-lo igual à 0
Logo
Δ = 22
-4.(-3).0

45
Δ = 4
Substituindo Δ na equação do y do vértice
O x correspondente do y do vértice é o x do vértice, que pode ser calculado como segue
Então:
O valor máximo da função é 1/3, no ponto x = 1/3
Resposta: E
(CESMAC) O custo total do dia de trabalho de uma empresa pode ser descrito pela expressão C(x) =
3x2 +11x, em que x representa a quantidade de clientes atendidos. O valor recebido pela empresa em
um dia pode ser descrito pela igualdade V(x) = 83x. O lucro diário da empresa é dado por:
L(x) = V(x) –C(x). Para que o lucro seja máximo em um dia, quantos clientes devem ser atendidos?
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
Solução

46
O lucro diário é:
L(x) = 83x -(3x2
+11x)
L(x) = -3x2
+72x
Resposta: A
(ENEM) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo de fabricação de
cada unidade é dado por 3x2 +232, e o seu valor de venda é expresso pela função 180x −116. A
empresa vendeu 10 unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa
vender para obter um lucro máximo.
A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para a obtenção do maior
lucro é
a) 10
b) 30
c) 58
d) 116
e) 232
Solução
O custo do produto é c(x) = 3x2
+232
E a arrecadação com a venda de x unidades do produto é a(x) = 180x -116
O lucro de uma empresa é a arrecadação com as vendas -os gastos
l(x) = a(x) -c(x)

47
l(x) = 180x -116 -(3x2
+232)
l(x) = -3x2
+180x -348
Nós queremos descobrir o x que maximiza o l(x), o x do vértice, que pode ser calculado da seguinte
maneira:
Resposta: B
(PUC) Quando presa a duas paredes paralelas, certa rede toma a forma do gráfico da
função y=x2−6x+10, conforme a figura:
Considerando que o eixo x está no solo, é correto afirmar que a distância entre o ponto mais baixo dessa
rede e o solo (distância entre os pontos M e P), em unidades de comprimento, é igual a:
a) 1
b) √3
c) 2

48
d) √5
e) √7
Solução
Considerando que o eixo x está no solo, é correto afirmar que a distância entre o ponto mais baixo dessa
rede e o solo (distância entre os pontos M e P), em unidades de comprimento, é igual a:
Vamos reescrever a função, digamos que g(x) = x2
-6x +10, portanto y = √g(x).
Veja, mesmo que g(x) esteja dentro de uma raiz quadrada, ela continua sendo uma função do 2º grau, não
deixe a questão lhe confundir.
O mínimo de uma função do 2º grau é conhecido como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte
maneira:
Logo
Δ = (-6)2
-4.1.10
Δ = -4

49
portanto, a distância de M a P é 1
Resposta: A
(FUVEST) A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são
vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais.
Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo?
a) R$ 2.000,00
b) R$ 3.200,00
c) R$ 3.600,00
d) R$ 4.000,00
e) R$ 4.800,00
Solução
Seja ‘a’ é a arrecadação diária.
‘p’ o preço do combo.
E ‘c’ a quantidade de combos vendidos.
Inicialmente p = 10.
Se x é o valor do desconto no preço do combo, então p = 10 -x
Inicialmente c = 200.
Para cada R$ 1,00 de desconto ela vende 100 combos a mais, portanto c = 200 +100x

50
Assim sendo a arrecadação é o preço x a quantidade de combos vendidos
a = pc
a = (10 -x).(200 +100x)
a = 2000 +800x -100x2
O valor máximo de uma função do 2º grau é conhecido como y do vértice e pode ser calculado da seguinte
maneira:
Logo Δ = 8002
-4.(-100).2000
Resposta: C
(UEG) As raízes da função quadrática y = ax2 +bx +c são -1 e 3. Sabendo-se que o vértice é o ponto (1,
-4), os valores de a, b e c são, respectivamente:
a) -1, -2 e -3
b) 1, -2 e -3
c) -1, 2 e 3
d) 1, 2 e 3
e) -1, -2 e 3
Solução

51
As raízes de uma função do 2º grau são os valores de x que resultam em 0, ou seja, quando x = -1 ou x = 3 y
= 0, assim sendo
0 = a(-1)2
+b(-1) +c
a -b +c = 0 (eq1)
Temos também que
0 = a(3)2
+b(3) +c
9a +3b +c = 0 (eq2)
Ainda segundo a questão (1, -4) é o vértice da função, isto significa que o ponto (1, -4) pertence a ela, ou
seja quando x = 1 y = -4
-4 = a(1)2
+b(1) +c
a +b +c = -4 (eq3)
Com 2 ou + equações nós podemos montar um sistema, é o que faremos
Vamos subtrair eq3 -eq1
a +b +c = -4
- a -b +c = 0
------------------
2b = -4
b = -2
Vamos substituir b em eq2
9a +3.(-2) +c = 0
9a +c = 6 (eq4)
e eq3
a -2 +c = -4
a +c = -2 (eq5)

52
Vamos subtrair eq4 -eq5
9a +c = 6
- a +c = -2
----------------
8a = 8
a = 1
E finalmente vamos substituir “a” em eq5
1 +c = -2
c = -3
Então a = 1, b = -2 e c = -3
Resposta: B
(FATEC) Uma empresa trabalha com fretamento de ônibus para o litoral. O valor cobrado por
passageiro, no caso dos 50 lugares disponíveis serem todos ocupados, é de R$ 40,00. No caso de não
ocorrer a lotação máxima, cada passageiro deverá pagar R$ 2,00 a mais por assento vazio.
O valor máximo arrecadado por essa empresa, numa dessas viagens, é
a) R$ 2.000,00
b) R$ 2.200,00
c) R$ 2.350,00
d) R$ 2.450,00
e) R$ 2.540,00
Solução
p é a quantidade de passageiros.
V(x) é o valor arrecadado.
E x é a quantidade de lugares vagos.
O valor cobrado é R$ 40,00 por passageiro, então o valor arrecadado é
V(x) = 40p
Mas veja, p é a capacidade máxima da van menos a quantidade de lugares vagos
p = 50 -x

53
Então:
V(x) = 40(50 -x)
São cobrados R$ 2,00 a mais por passageiro por lugar vago.
Vamos com calma, R$ 2,00 por passageiro é 2p.
Por lugar vago, a quantidade de lugares vagos é x, sendo assim 2px.
Logo o valor arrecadado é
V(x) = 40(50 -x) +2px
V(x) = 40(50 -x) +2x(50 -x)
V(x) = 2000 +60x -2x
O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a arrecadação máxima, é conhecido como y do
vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira:
Logo Δ = 602
-4.(-2).2000
Resposta: D
(FPS) O desenvolvimento de gestação de certa criança entre a 30ª e a 40ª semanas de vida foi modelado
pelas funções M(t) = 0,01t2 –0,49t +7 e H(t) = t +10, onde t indica as semanas transcorridas, 30 ≤ t ≤40,
H(t) o comprimento em cm, e M(t) a massa em kg. Admitindo o modelo, qual o comprimento do feto,
quando sua massa era de 2,32 kg?
a) 42 cm
b) 44 cm

54
c) 46 cm
d) 48 cm
e) 50 cm
Solução
Se a massa era 2,32 kg, então:
2,32 = 0,01t2
-0,49t +7
0,01t2
-0,49t +4,68 = 0, vamos multiplicar a equação por 100
t2
-49t +468 = 0
Nós precisamos encontrar os valores de t que satisfazem a equação
Para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara:
Δ é conhecido como fator discriminante da função de segundo grau e seu valor é: Δ = b2
-4ac
a: coeficiente do x2
b: coeficiente do x
c: termo independente, se ele não aparecer na função nós podemos considerá-lo igual à 0
Vamos começar calculando o delta:
Δ = (-49)2
-4.1.468
Δ = 529
Substituindo em Bhaskara
Este valor não nos interessa, pois segundo a própria questão t ≥ 30.

55
Quando t = 36, o comprimento do feto é
H(36) = 36 +10
Resposta: C
(IFF) Em uma partida de futebol, uma falta será cobrada próximo à grande área. Supondo que a
trajetória da bola até o gol, no momento da cobrança da falta, será uma parábola com concavidade
voltada para baixo, e sabendo que a bola parte do ponto (9, 0) e alcança a maior altura no ponto (0, 4),
então a expressão que representa essa trajetória é:
Solução

56
Temos, então:
y = a.x² + b.x + c --->
Xv = 0
Yv = 4
Raízes:
𝑥′
= 9
𝑥" = −9
Xv = −
b
2a

57
−
b
2a
= 0
−b = 2a. 0
−b = 0
𝐛 = 𝟎
Logo, a função terá a seguinte forma:
y = ax² + 0.x + c
y = ax² + c (i)
Fazendo:
x = 0 e y = 4 e substituindo em (i), temos:
4 = a.0² + c
c = 4
Finalmente, fazendo:
x = 9 (zero da função)
y = 0
E substituindo na função, temos:
y = ax² + c
y = ax² + 4
0 = a(9)² + 4
0 = 81a + 4
-81a = 4 (-1)
a = - 4/81
Temos os seguintes valores:
a = -4/81
b = 0
c = 4
Substituindo na forma geral da função, resulta em>
y = ax² + bx + c

58
𝑦 = −
4
81
𝑥2
+ 0. 𝑥 + 4
Logo, a função é:
𝐲 = −
𝟒
𝟖𝟏
𝒙𝟐
+ 𝟒
Resposta: D
(SSA1 2019) Em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, considere as representações das
funções f(x) = x2 -4 e g(x) = -x -2. Em quantas regiões, essas representações dividem o plano ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Solução
Vamos esboçar os gráficos das funções.
Para traçarmos o gráfico de uma função do 2º grau, nós precisamos das suas raízes.
As raízes de f(x) = x2
-4 são -2 e +2
(as raízes de uma função do 2º grau, são os valores de x tais de f(x) = 0)

59
E também precisamos do vértice.
Como o coeficiente de x2
é positivo, o gráfico de f(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima:
o menor valor de f(x), conhecido como y do vértice, pode ser calculado da seguinte maneira:
Assim
Δ = 02
-4.1(-4)
Δ = 16
Marcando no gráfico o ponto (0, 4) fica:

60
O esboço do gráfico é:
Agora vamos esboçar o gráfico de g(x) = -x -2.
Para traçarmos o gráfico de uma reta, nós só precisamos de 2 pontos quaisquer por onde ela passa.
Comecemos fazendo x = -2.
Quando x = -2
g(-2) = -(-2) -2
g(-2) = 0
(-2,0) já está marcado no plano cartesiano, vamos prosseguir.
Quando g(x) = 0, x igual a …
0 = -x -2
x = -2
Nós já marcamos (-2,0) no plano cartesiano. Traçando uma reta que passa por eles, temos:

61
De posse do esboço dos gráficos das funções nós podemos identificar as regiões do plano.
Resposta: E
(UFSM) A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os alimentos. Em
regiões com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a captação e armazenamento da
água da chuva.
Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, a expressão:
representa o volume (em m3) de água presente no tanque no instante t (em minutos). Qual é o tempo,
em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado?
a) 360

62
b) 180
c) 120
d) 6
e) 3
Solução
360 minutos = 6 horas
Resposta: D
(UNESP) Em relação a um sistema cartesiano
de eixos ortogonais com origem em O(0, 0),
um avião se desloca, em linha reta, de O até o
ponto P, mantendo sempre um ângulo de
inclinação de 45º com a horizontal. A partir
de P, o avião inicia trajetória parabólica,
dada pela função f(x) = –x2 +14x –40, com x e
f(x) em quilômetros. Ao atingir o ponto mais
alto da trajetória parabólica, no ponto V, o
avião passa a se deslocar com altitude
constante em relação ao solo, representado na
figura pelo eixo x.
Em relação ao solo, do ponto P para o ponto V, a altitude do avião aumentou
a) 2,5 km
b) 3 km
c) 3,5 km

63
d) 4 km
e) 4,5 km
Solução
Vamos supor que as coordenadas de P sejam (x, y). Teremos, então:
Note o triângulo retângulo OPx:
Px mede y e Ox mede x:

64
Sabemos que:
Logo a tangente de 45° é:
Logo:
Ora, se y = x então:

65
y = –x2
+14x –40
x = -x2
+14x -40
-x² +13x -40 = 0 (-1)
x² - 13x + 40 = 0
Resolvendo por soma e produto:
Soma: 8 + 5 = 13
Produto: 8.5 = 40
Isto significa que, se y = x, temos:
Calculando as coordenadas do vértice encontramos o ponto: V (0,9), Logo:
Logo, De P a V o avião subiu 4 km:

66
Resposta: D
(UNINASSAU) Admita que a probabilidade de chover em cada dia da semana, na cidade de Gramado
seja dada pela função p(x) = - 0,05𝑥2 +0,3x +0,45, em que x representa o dia da semana, sendo x = 1
representa o domingo, x = 2 a segunda feira, e assim por diante. Considerando a função como
verdadeira, em qual dia da semana ocorrerá a maior probabilidade de chover em Gramado?
a) Domingo, com probabilidade 70%
b) Segunda-feira, com probabilidade 85%
c) Terça-feira, com probabilidade 90%
d) Quarta-feira, com probabilidade 90%
e) Quinta-feira, com probabilidade 88%
Solução
O maior valor de uma função do 2º é conhecido como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira:
Logo:
Δ = 0,32
-4.(-0,05).0,45
Δ = 0,18

67
A maior probabilidade de chover em Gramado é 0,9 que equivale a:
Mas qual é o dia da semana?
O x correspondente do y do vértice é o x do vértice, que pode ser calculado como segue
Então,
Portanto, o dia da semana no qual a probabilidade de chover é o 3º dia da semana, terça-feira.
Resposta: C
(ENEM) Um meio de transporte coletivo que vem ganhando espaço no Brasil é a van, pois realiza,
com relativo conforto e preço acessível, quase todos os tipos de transportes: escolar e urbano,
intermunicipal e excursões em geral.
O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, cobra para uma excursão até a
capital de seu estado R$ 60,00 de cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da van, cada
passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago.
Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor arrecadado V(x), em reais,
pelo dono da van, para uma viagem até a capital é:

68
Solução
p é a quantidade de passageiros.
Se ele cobra R$ 60,00 por passageiro, então o valor arrecadado é
V(p) = 60p
Mas veja, p é igual a capacidade máxima da van menos a quantidade de lugares vagos
Então
V(x) = 60(15 -x)
Ele cobra + R$ 2,00 por passageiro por lugar vago.
Vamos com calma, R$ 2,00 por passageiro é 2p.
Por lugar vago, a quantidade de lugares vagos é x, sendo assim 2px.
Logo o valor arrecadado é
V(x) = 60(15 -x) +2px
V(x) = 60(15 -x) +2x(15 -x)
V(x) = 900 -60x +30x -2x2
Resposta: E
(INSPER) A figura a seguir representa a evolução dos milhares de unidades vendidas de um produto
em função do tempo, dado em meses, desde seu lançamento.

69
O trecho correspondente ao intervalo [0, t1] pode ser representado pela expressão y = 0.05x2 e o trecho
correspondente ao intervalo ]t1,t2] por y = -0,05x2 +4x -40. O valor de t1 é:
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
Solução
Segundo a própria questão o intervalo [0, t1] pertence a função y = 0,05x2
Uma coisa que eu quero que você fique atento é que o intervalo [0, t1] é fechado, isto significa que o ponto
(t1,20). Logo, pertence a y = 0,05x2
Então nós só precisamos substituir o y para encontrar o x correspondente
20 = 0,05x2
x = 20
Resposta: D
(UCS) A relação entre a quantidade em oferta de determinado produto e o seu preço, quando este for x
reais por unidade, é dada pela equação q = x2 +3x -70. Já a procura per esse produto (quantidade que
os consumidores estão dispostos a comprar), quando o preço for x reais, é dada pela equação:
d = 410 -x. O equilíbrio no mercado ocorre quando q e d são iguais. Sendo x0 o preço e y0 a quantidade
quando ocorre o equilíbrio, o valor de y0 -x0 é:
a) 366
b) 370

70
c) 390
d) 410
e) 414
Solução
Quando ocorre o equilíbrio q = d, assim sendo
x2
+3x -70 = 410 -x
Resolvendo esta equação, encontramos as seguintes raízes:
x' = -24
x” = 20
O valor não nos interessa, pois x é o preço de um produto, e claro, ele não pode ser negativo. Logo:
x = 20
O que este resultado nos informa? Que o equilíbrio no mercado ocorre quando o preço do produto é R$ 20,00
Nós podemos descobrir a quantidade ofertada pela equação da demanda, já que a procura e a oferta são
iguais:
d = 410 -x
y0 = 410 - 20
y0 = 390
Assim sendo
y0 -x0 = 390 - 20
y0 - x0 = 370
Resposta: B
(Enem 2015) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa
pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa,
em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = -h2 +22h -85, em que h representa as horas do dia. Sabe-
se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e,
nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus
Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.

71
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa
está classificada como:
a) muito baixa
b) baixa
c) média
d) alta
e) muito alta
Solução
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está
classificada como muito alta: T > 43.
Veja “o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima”, ou seja,
quanto maior a temperatura maior é a quantidade de bactérias.
Mas qual é a temperatura máxima que a estufa atinge?
Δ = 222
-4.(-1).(-85)
Δ = 144
Substituindo Δ na equação do y do vértice:

72
Esta é a maior temperatura que a estufa atinge.
Em 36° C a temperatura está classificada como alta.
Resposta: D
(ENEM) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes
de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve
ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria
de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a
função:
Em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos,
decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a
temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C. O tempo de permanência dessa
peça no forno é, em minutos, igual a:
a) 100
b) 108
c) 128
d) 130
e) 150
Solução
O que a questão está perguntando é quanto tempo leva para o forno sair dos 48º C para 200º C.
Qual a temperatura do forno após os 100 primeiros minutos?

73
Portanto de 48º C até 160, a temperatura do forno é controlada pela função:
Então quanto tempo leva para o forno atingir 48º C?
E quanto tempo leva para o forno atingir 200º C?
Vamos encontrar os valores de x que satisfazem a equação.
Para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara:
Logo:
Substituindo em Bhaskara:

74
Ora, se o forno leva 100 minutos para atingir 160º C, como ele poderia chegar nos 200º C em 50 minutos?
Claramente isto é uma contradição, portanto nós podemos desconsiderar este valor de x.
Este resultado indica que o forno leva 150 minutos para atingir 200º C.
150 – 20 = 130’
Então de 48°C para 200º C são 130 minutos.
Resposta: D
(UEG) Um lava-jato tem 50 clientes fixos por semana e cada lavagem custa R$ 20,00. Sabe-se que a cada
um real que o dono desse lava-jato aumenta no preço da lavagem, ele perde 2 clientes. O valor do
aumento que maximiza a arrecadação semanal desse lava-jato é de:
a) R$25,00
b) R$20,00
c) R$2,50
d) R$10,00
e) R$2,00
Solução
A arrecadação do lava jato é “a”.
A quantidade de clientes é c.
E o preço da lavagem é p.

75
A arrecadação é a quantidade de clientes x o preço da lavagem a = cp
Se x é o aumento do preço da lavagem, então p = 20 + x
Para cada 1 real de aumento, ele perde 2 clientes, portanto a quantidade de clientes é c = 50 - 2x
Assim sendo
a = (50 -2x).(20 +x)
a = -2x2
+10x +1000
Nós queremos descobrir o x que maximiza o “a”, o x do vértice, que pode ser calculado da seguinte maneira:
Logo:
O aumento que maximiza a arrecadação é de R$ 2,50.
Resposta: C
(UNICAMP) Sejam a e b números reais positivos. Considere a função quadrática f(x) = x(ax +b),
definida para todo número real x. No plano cartesiano, qual figura corresponde ao gráfico de y = f(x)?

76
Solução
Nós sabemos que o gráfico de uma função do 2º grau cujo coeficiente do x2
é positivo, é uma parábola com
a concavidade para cima.
Então nós já podemos eliminar as alternativas c e d.
Agora olhe para o gráfico da letra a:
considere um x > 0, por exemplo:
o produto ‘ax’ é positivo, lembre-se, segundo a questão a > 0.
Então (ax +b) também é positivo.
Logo, o produto x(ax +b) só pode ser positivo.
Mas se nós olharmos no gráfico, o y correspondente é negativo:
o que não é possível.
Portanto, sobrou apenas 1 alternativa.
Resposta: B

77
(EEAR) Seja a função quadrática f(x) = ax2 +bx +1. Se f(1) = 0 e f(–1) = 6, então o valor de a é:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
Solução
Se f(1) = 0 então
0 = a.12
+b.1 +1
Temos também que f(-1) = 6, assim sendo
6 = a.(-1)2
+b.(-1) +1
Pela eq1 nós sabemos que
a +b +1 = 0
b = -a -1
Substituindo -b em eq2
a +(a +1) -5 = 0
Resposta: D
(UEG) Em um jogo de futebol, um jogador chuta uma bola parada, que descreve uma parábola até cair
novamente no gramado. Sabendo-se que a parábola é descrita pela função y = 20x - x2, a altura máxima
atingida pela bola é:

78
a) 100 m
b) 80 m
c) 60 m
d) 40 m
e) 20 m
Solução
O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a altura máxima que a bola atinge, é conhecido
como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira:
Logo:
Δ = 202
-4.(-1).0
Resposta: A
(IFAL) Certo fabricante, segundo levantamentos estatísticos, percebe que seus clientes não têm
comprado mais de 10 de seus produtos por compras. Para incentivar as compras em maior quantidade,
ele estabelece um preço unitário p por produto dado pela função p(x) = 400 –x, onde x é a quantidade
de produtos comprados, considerando uma compra de, no máximo, 300 produtos.
Sabendo-se que a receita de uma empresa é o valor arrecadado com a venda de uma certa quantidade
de produtos, qual a receita máxima que essa empresa pode ter quando fechar uma venda com um
determinado cliente, na moeda corrente no Brasil?
a) R$ 200,00
b) R$ 400,00
c) R$ 20.000,00

79
d) R$ 40.000,00
e) R$ 80.000,00
Solução
A receita do fabricante é a quantidade de produtos que ele vende R(x) = x
vezes o preço do produto R(x) = xp(x).
Sabendo que p(x) = 400 -x
R(x) = x(400 -x)
O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a receita de um fabricante, é conhecido como y
do vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira:
Logo:
Δ = 4002
-4.(-1).0
Resposta: D
(CMRJ) A cantina do Colégio Militar do Rio de Janeiro vende 96 kg de comida por dia, a 29 reais o
quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, para cada real de aumento no preço, a cantina perderia 6
clientes, com o consumo médio de 500 g cada um. Qual deve ser o valor do quilo de comida para que a
cantina tenha a maior receita possível?

80
a) R$ 31,00
b) R$ 30,50
c) R$ 30,00
d) R$ 29,50
e) R$ 29,00
Solução
Seja ‘r’ é a receita da cantina.
‘p’ o preço do quilo de comida.
E ‘q’ a quantidade de comida vendida.
A receita é a quantidade de comida vendida x o preço:
Se x é o valor do aumento no preço do quilo, então o preço da comida é:
Se x é o valor do aumento no preço do quilo, então o preço da comida é:
Inicialmente q = 96.
Para cada aumento de R$ 1,00 ela perde 6 clientes. Se cada cliente consome 1/2 kg, ela deixa de vender 3
kg.
Portanto a quantidade de comida que ela vende é:
Assim sendo
r = qp

81
a = (96 -3x).(29 +x)
Nós queremos descobrir o x que maximiza o “r”, o x do vértice, que pode ser calculado da seguinte maneira:
x é o aumento no preço da comida, se inicialmente o preço era R$ 29,00, com um aumento de R$ 1,50, o
preço passará a ser R$ 30,50.
Resposta: B
(ETEC) Em um famoso jogo eletrônico de arremessar pássaros, a trajetória do lançamento corresponde
a parte de uma parábola, como a da figura.
Considere que um jogador fez um lançamento de um pássaro virtual cuja trajetória pode ser descrita
pela função h(x) = −x2 +4x, com x variando entre 0 e 4.
O gráfico mostra essa trajetória. O ponto de lançamento do pássaro coincide com a origem do plano

82
cartesiano.
Analisando o gráfico, é correto afirmar que o pássaro começa a:
a) cair a partir do ponto (2, 4)
b) cair a partir do ponto (4, 2)
c) subir a partir do ponto (2, 4)
d) subir a partir do ponto (4, 2)
e) subir a partir do ponto (3, 3)
Solução
Vamos analisar as afirmações
a) cair a partir do ponto (2,4) ✔
Correta.
Em (2,4) o pássaro atinge o ponto máximo

83
e então começa a cair
b) cair a partir do ponto (4,2) ✘
Falso.
No ponto (4,2) o pássaro já tá no chão
c) subir a partir do ponto (2,4) ✘
Falso.
d) subir a partir do ponto (4,2) ✘
Falso.
e) subir a partir do ponto (3,3) ✘
Falso.
No ponto (3,3) ele está caindo

84
ele começa a subir em (0,0)
Resposta: A
(CESMAC) Uma pequena editora planeja vender livros de seu mais famoso autor. Se 200 livros forem
colocados à venda, o valor cobrado será de R$ 60,00 por exemplar. Entretanto, se a editora imprimir
mais de 200 exemplares, terá condições de baixar em R$ 0,20 o preço unitário, para cada livro adicional;
por exemplo, se são impressos 202 livros, o preço do exemplar será de R$ 59,60. Quantos livros a editora
deve colocar à venda de modo a maximizar o valor arrecadado com a venda dos livros?
a) 240
b) 250
c) 260
d) 270
e) 280
Solução

85
Seja ‘a’ a arrecadação com a venda dos livros.
‘p’ é o preço de um exemplar.
E ‘q’ a quantidade total de exemplares vendidos.
A arrecadação é a quantidade de exemplares vendidos x o preço:
x é a quantidade de exemplares adicionais imprimidos.
Inicialmente p = 60
Se a editora der um desconto de R$ 0,20 centavos por adicionais imprimidos o preço do exemplar é:
E a quantidade total de livros vendidos será:
O valor arrecadado com os livros é então
v = (200 +x)(60 -0,2x)
Nós queremos descobrir o x que maximiza o “a”, o x do vértice, que pode ser calculado da seguinte maneira:
Esta é a quantidade de livros adicionais que deve ser impressa, com os 200 primeiros dá um total de 250
livros.
Resposta: B

86
(CESMAC) João tem um serviço de aluguel de bicicletas. Quando o preço diário do aluguel é de R$
12,00 por bicicleta, ele aluga 36 bicicletas por dia. Uma pesquisa entre os usuários do serviço revelou
que, a cada aumento (diminuição) de cinquenta centavos no preço diário do aluguel, o número de
bicicletas alugadas por dia diminuía (aumentava, respectivamente) de duas. Qual o valor máximo
diário, em reais, que João pode obter com o aluguel de bicicletas?
a) R$ 440,00
b) R$ 441,00
c) R$ 442,00
d) R$ 443,00
e) R$ 444,00
Solução
Seja ‘a’ a arrecadação diária.
‘p’ o preço do aluguel.
E ‘b’ a quantidade de bicicletas alugadas.
A arrecadação é a quantidade de bicicletas alugadas x o preço:
Após x descontos de 50 centavos o preço é:
Para cada desconto de 50 centavos, a quantidade de bicicletas alugadas aumenta em 2, portanto:
Assim sendo
a = (36 +2x)(12 -0,5x)
O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a arrecadação com aluguel de bicicletas, é
conhecido como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira:

87
Bem, esta é apenas uma das possibilidades, ele também pode aumentar o preço do aluguel para tentar uma
maior arrecadação, vamos explorar esta alternativa:
Após aumentar o preço em 0,5x o aluguel será:
Contudo para cada aumento de R$ 0,50, ele perde 2 clientes, assim a quantidade de bicicletas alugadas é:
A função da arrecadação é
a = (36 -2x)(12 +0,5x)
O discriminante é:
Substituindo-o na equação do y do vértice:

88
O valor máximo arrecadado nas 2 situações é o mesmo R$ 441,00.
Resposta: B
(CESMAC) O efeito de determinada substância na variação da população de certos micro-organismos
está representado no gráfico a seguir, em que N(t) denota o número de dezenas de milhares de
organismos sobreviventes, passados t dias do primeiro contato com a substância, ocorrido em t = 0. Os
pontos (t, N(t)) de N pertencem ao gráfico de uma parábola com eixo vertical, vértice no ponto com
coordenadas (3, 2), e passando pelo ponto (1, 4), como esboçado abaixo.
Quantos eram os organismos sobreviventes no 5º dia?
a) 32.000
b) 34.000
c) 36.000
d) 38.000
e) 40.000
Solução
Se a função descreve uma parábola, então ela é do 2º grau.
A forma geral de uma função do 2º grau é f(x) = ax2
+bx +c.
Pelo gráfico nós vemos que N(1) = 4

89
portanto
4 = a.12
+b.1 +c
Ademais N(3) = 2
então
2 = a.32
+b.3 +c
E por último, segundo a questão, o ponto (3,2) é vértice da parábola, logo 3 é o x do vértice:

90
Com as duas equações nós podemos montar um sistema:
Vamos substituir b em eq1
a -6a +c = 4
e em eq2
9a +3(-6a) +c = 2
O sistema fica assim:
Vamos subtrair eq3 -eq4:

91
São 4 dezenas de milhares de organismos no 5º, 4 dezenas de milhares são 40.000.
Resposta: E
(CESMAC) O custo C(x), em reais, para se produzir x unidades de determinado produto, é dado por
C(x) = x2 –100x +4525. Se, para a produção de certo número de unidades, o custo foi de R$ 2.125,00,
qual dos valores a seguir pode ser o número de unidades produzidas? Parte do gráfico de C em termos
de x está esboçada a seguir.

92
a) 52
b) 54
c) 56
d) 58
e) 60
Solução
O custo para produzir x unidades do produto é R$ 2.125, então C(x) = 2125
2125 = x2
-100x +4525
Nós precisamos encontrar os valores de x que satisfazem a equação.
E para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara:
Δ = (-100)2
-4.1.2400
Substituindo o delta em Bhaskara, temos:

93
x' = 40
x” = 60
Não há nenhuma alternativa com 40 para marcamos, então deve ser 60.
Resposta: E
(UFPB) Em uma partida de futebol, um jogador, estando na lateral do campo, cruzou a bola para um
companheiro de equipe o qual se encontrava na lateral oposta, a uma distância de 64 m. A bola passou
1,20 m acima da cabeça de um jogador, com 1,80 m de altura, da equipe adversária, o qual, nesse
instante, estava a 4 m de distância do jogador que realizou o cruzamento, conforme figura a seguir:
Nessa situação, a bola descreve uma trajetória em forma de arco de parábola até tocar o gramado,
quando foi dominada pelo companheiro de equipe. Com base nessas informações, é correto afirmar
que, durante o cruzamento, a bola atinge, no máximo, uma altura de:
a) 12,8 m
b) 12 m
c) 11,2 m
d) 10,4 m
e) 9,6 m
Solução

94
Nós podemos começar encontrando uma função que descreve a trajetória da bola.
A altura da bola depende da distância x entre ela e o jogador que cruzou A(x) = ax2
+bx +c.
Como a questão diz que a trajetória é uma parábola, a função da altura é do 2º grau.
Quando a bola está com o jogador, distância de 0 m, sua altura também é 0 m:
ou seja A(0) = 0
0 = a02
+b0 +c
Quando a bola está a 4 m do jogador, sua altura é 3 m:
Isto significa que A(4) = 3
3 = a.42
+b.4
E quando a bola está a 64 m do jogador que cruzou, ela encontra-se no chão, altura 0 m:

95
Então A(64) = 0
0 = a.642
+b.64
64a +b = 0
O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a altura da bola, é conhecido como y do vértice,
e pode ser calculado da seguinte maneira:

96
-4ac.
Logo:
Resposta: A
(Fps 2017) Uma clínica médica tem capacidade máxima para 40 pacientes. O custo médio diário da
clínica C(x), em milhares de reais, em função do número x de pacientes internados por dia, é dado por:
Qual o número mínimo de pacientes internados na clínica, para que o custo diário seja de, no máximo,
20.000 reais?

97
a) 22
b) 23
c) 24
d) 25
e) 26
Solução
Veja, segundo a questão C(x) está milhares de reais, isto significa que, os resultados gerados pela função
devem ser multiplicados por 1.000.
Exemplo, o custo para 1 paciente é:
O custo deve ser multiplicado por 1.000, portanto o custo de 1 paciente é c(1) = 296.000.
Então, se o custo de x pacientes é R$ 20.000,00 1º nós devemos dividi-lo por 1.000, C(x) = 20, assim sendo:
Resposta: C
(UNIOESTE) A função definida por f(x) = a(x -1)2 + b(x -1) +c, onde a, b e c são constantes reais,
representa quanto José tinha em sua carteira ao final de cada um dos últimos 31 dias. Assim, x é um
número natural tal que 1 ≤ x ≤ 31 e f(x) é o valor, em reais, que José tinha em sua carteira no final do
dia x. Da mesma forma, a função g(x) = mx +n onde m e n são constantes reais, representa quanto Paulo
tinha em sua carteira ao final de cada um dos últimos 31 dias. Sabe-se que no final do:
- primeiro dia, José e Paulo não tinham dinheiro em suas carteiras.
- segundo dia, Paulo tinha R$ 7,00.
- dia 16, José tinha R$ 120,00.
- dia 31, José não tinha dinheiro em sua carteira.
Com base nestas informações, é CORRETO afirmar que:

98
a) ao final do dia x, a soma dos valores que José e Paulo tinham nas carteiras é:
b) ao final do dia 18, José tinha R$ 5,00 a mais do que Paulo.
c) a expressão da função que representa a soma dos valores que José e Paulo têm na carteira no dia x
é um polinômio de grau 3.
d) f(x) = -x2 +32x –31.
e) Paulo nunca teve em sua carteira um valor maior do que José.
Solução
Primeiro, nós temos que descobrir os valores das incógnitas a, b e c.
Nós sabemos que no final do 1º dia, José estava sem dinheiro, portanto f(1) = 0
0 = a(1 -1)2
+b(1 -1) +c
No final do 16º dia, José tinha R$ 120,00,
120 = a(16 -1)2
+b(16 -1)
225a +15b = 120, dividir toda a equação por 15:
E no final do dia 31, José, novamente, estava sem dinheiro, f(31) = 0
0 = a(31 -1)2
+b(31 -1)
0 = 900a +30b, dividir a equação por 30:

99
Agora vamos calcular m e n.
No fim do 1º dia, Paulo estava sem dinheiro, portanto g(1) = 0
0 = m.1 +n
m +n = 0
No final do 2º dia, Paulo tinha R$ 7,00
7 = m.2 +n
Sabendo que n = -m

100
2m -m = 7
Logo
g(x) = 7x -7
Agora vamos analisar as alternativas:
a) ao final do dia x, a soma dos valores que José e Paulo tinham nas carteiras é:
Correta.
A soma dos valores de José e Paulo é:
b) ao final do dia 18, José tinha R$ 5,00 a mais que Paulo ✘
Falso.
Ao final do dia 18 José tinha

101
Paulo tinha
g(18) = 7(18 -1)
c) a expressão da função que representa a soma dos valores que José e Paulo têm na carteira no dia x é um
polinômio de grau 3 ✘
Falso.
É um polinômio de grau 2.
d) f(x) = -x2
+32x -31 ✘
Falso.
e) Paulo nunca teve em sua carteira um valor maior do que José ✘
Falso.
No dia 18, Paulo estava com mais dinheiro que José.
Resposta: A
(FPS) Uma farmacêutica vende, mensalmente, 20.000 recargas de insulina, ao preço unitário de R$
60,00. O aparecimento no mercado de uma insulina similar, mais barata, obrigou a farmacêutica a
avaliar seu preço de venda. Uma pesquisa de mercado revelou que, a cada diminuição de R$ 0,50 no
preço da recarga, o número de recargas vendidas aumentava em 200 recargas; e que, a cada aumento
de R$ 0,50 no preço da recarga, o número de recargas vendidas diminuia em 200 recargas. Para qual
preço de venda da recarga o valor mensal obtido com a venda será máximo?
a) R$ 50,00
b) R$ 70,00
c) R$ 65,00
d) R$ 60,00
e) R$ 55,00

102
Solução
Seja ‘a’ a arrecadação mensal.
‘p’ o preço da insulina.
E ‘i’ a quantidade de insulinas vendidas.
A arrecadação é o preço x a quantidade de insulinas vendidas:
Após x descontos de 50 centavos o preço é:
Para cada desconto de 50 centavos, a quantidade de insulinas vendidas aumenta em 200, portanto:
Assim sendo
a = (60 -0,5x)(20.000 +200x)
O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a arrecadação da venda de insulina, é conhecido
como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira:

103
Bem, esta é apenas uma das possibilidades, ela também pode aumentar o preço para tentar uma maior
arrecadação, vamos explorar esta alternativa.
Após aumentar o preço em 0,5x ele será:
Contudo, para cada aumento de R$ 0,50, a quantidade de insulinas vendidas diminui em 200:
A função da arrecadação é
a = (60 +0,5x)(20.000 -200x)
O valor máximo arrecadado nas 2 situações é o mesmo R$ 1.210.000.
Mas qual deve ser o preço das insulinas para obtê-lo ?
O x correspondente do y do vértice é o x do vértice, que pode ser calculado como segue:
Considerando a 1ª função:

104
Agora cuidado para não confundir, na 1ª situação, a farmacêutica dava descontos de R$ 0,50, então se
inicialmente o preço era R$ 60,00, após 10 descontos de 50 centavos, o preço será de R$ 55,00.
Resposta: E
(IDABE) Uma bola é lançada verticalmente para cima. A equação h = 200t -5t2 é a representação
matemática do movimento, sendo que a altura alcançada h, medida em metros, e o tempo decorrido
após o lançamento t, medido em segundos.
Considerando h = 0 e t = 0 no instante do lançamento, então o tempo decorrido desde o lançamento até
alcançar a altura máxima, e a altura máxima atingida são respectivamente:
a) 40 segundos e 0 metros
b) 10 segundos e 1.500 metros
c) 20 segundos e 2.000 metros
d) 15 segundos e 1875 metros
e) 25 segundos e 1875 metros
Solução
O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a altura de uma bola, é conhecido como y do
vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira:
Logo
Δ = 2002
-4.(-5).0
A altura máxima que a bola atinge é 2.000 metros.

105
O x correspondente do y do vértice é o x do vértice, que na verdade, neste caso é um t, pode ser calculado
como segue:
Resposta: C
(Espm 2017) O lucro de uma pequena empresa é dado por uma função quadrática cujo gráfico está
representado na figura abaixo:
Podemos concluir que o lucro máximo é de:
a) R$ 1.280,00
b) R$ 1.400,00
c) R$ 1.350,00
d) R$ 1.320,00
e) R$ 1.410,00
Solução
Segundo a própria questão, o lucro da empresa é uma função quadrática.
A forma geral de uma função do 2º grau é f(x) = ax2
+bx +c

106
Vamos olhar no gráfico. Quando x = 0, y = 0
ou seja f(0) = 0
0 = a.(0)2
+b.0 +c
Nós temos também que f(10) = 1.200
Então:
1200 = a.102
+b.10
100a +10b = 1200
Temos:
f(20) = 1.200

107
Assim:
1200 = a.202
+b.20
20.20.a +20b = 1200
20a +b = 60
Substituindo b em eq1:
10a +(60 -20a) = 120
-10a = 60
Substituindo “a” em eq1
10(-6) +b = 120
O valor máximo de uma função do 2º grau é conhecido como y do vértice e pode ser calculado da seguinte
maneira:

108
Δ = 1802
- 4.(-6).0
Logo, o lucro máximo da empresa é R$ 1.350,00.
Resposta: C
(FGV) O índice de Angstrom (IA), usado para alertas de risco de incêndio, é uma função da umidade
relativa do ar (U), em porcentagem, e da temperatura do ar (T), em °C. O índice é calculado pela
fórmula:
sua interpretação é feita por meio da tabela a seguir.
Tabela adaptada de www.daff.gov.za.

109
A temperatura T, em °C, ao longo das 24 horas de um dia, variou de acordo com a função T(x) = -
0,2x2 +4,8x, sendo x a hora do dia (0 ≤ x ≤ 24). No horário da temperatura máxima desse dia, a umidade
relativa do ar era de 35% (U = 35).
De acordo com a interpretação do índice de Angstrom, nesse horário, a condição de ocorrência de
incêndio era:
a) improvável.
b) desfavorável.
c) favorável.
d) provável.
e) muito provável.
Solução
Qual foi a temperatura máxima no dia?
O valor máximo de uma função do 2º grau conhecido como y do vértice, pode ser calculado da seguinte
maneira:
-4ac
Assim sendo
Δ = 4,82
-4.(-0,2).0
Substituindo na equação do y do vértice:
Este resultado nos informa que a temperatura máxima do dia foi 28,8° C.
Agora nós já podemos calcular o índice:

110
A condição de ocorrência de incêndio era provável.
Resposta: D
(UFG) A auxina é um hormônio vegetal relacionado ao crescimento das plantas, sendo a raiz mais
sensível a este hormônio do que o caule. A figura a seguir representa o efeito de diferentes concentrações
desse hormônio sobre o crescimento da raiz e do caule de uma determinada planta.
Assumindo-se que as curvas dadas na figura são parábolas, conclui-se que:
Solução
Segundo a questão “a raiz é mais sensível a este hormônio do que o caule”, se nós olharmos para o gráfico,
veremos que na concentração 10-9
a curva à esquerda já atingiu o pico:

111
por outro lado, a curva da direita não está crescendo nada:
ela só atinge seu pico muito depois, em 10-5
por isso nós podemos dizer que a curva da esquerda representa o crescimento da raiz, que é estimulada
mesmo com baixos níveis do hormônio (alta sensibilidade), logo a curva da direita é o crescimento do caule
que precisa de concentrações maiores para ser estimulada:

112
Agora vamos analisar as alternativas.
a) a concentração para o estímulo máximo de crescimento da raiz é maior do que do caule. ✘
Falso.
A concentração para o crescimento máximo da raiz é 10-9
enquanto que a concentração para o crescimento
máximo do caule é 10-5
b) a concentração ótima de auxina, para o desenvolvimento do caule, varia de 10−8
μg/L a 10−7
μg/L. ✘
Falso.
A concentração ótima de auxina para o caule é 10−5
, e 10−5
está fora do intervalo 10−8
e 10−7
.
c) a concentração ótima de auxina para o desenvolvimento da raiz é de 10−5
μg/L. ✘
Falso.
Esta é a concentração ótima para o caule, para a raiz não.
d) a concentração de auxina variando de 10−11
μg/L a 10−7
μg/L estimula o crescimento do caule. ✘
Não.
De 10−11
a 10−7
praticamente apenas a raiz cresce, o caule cresce bem pouquinho.
e) a concentração ótima de auxina para o desenvolvimento da raiz é de 10−9
μg/L. ✔
Correto.
Resposta: E

113
Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular. O retângulo onde a casa será construída tem
80 metros de perímetro. Calcule as dimensões desse retângulo sabendo que a área de sua região deve
ser a maior possível.
Solução
Sejam “x” e “y” as dimensões do retângulo:
(i) Perímetro = 80 m
2x + 2y = 80 : (2)
x + y = 40
y = 40 – x (I)
(ii) Área (S):
S = x.y (II)
Substituindo (I) em (II), temos:
S = x(40 – x)
S(x) = -x² + 40x
Zeros da função:
-x² + 40x = 0
x(-x + 40) = 0
x = 0 ou
-x + 40 = 0
x = 40
Esboço do gráfico:

114
Queremos saber o valor do Xv, logo:
Xv = −
b
2a
Xv =
−40
2(−1)
Xv =
−40
−2
𝐗𝐯 = 𝟐𝟎 m
y = 40 – x (I)
y = 40 – x
y = 20 m
Logo, as dimensões do retângulo, para que sua área seja máxima, são: x = 20 m e y = 20.
Seja a função f : R ―> R definida por f(x) = 2x² - 3x + 4, determine o valor de "m" tal que:
f(m) = f(m-1)
Solução
Se f(x) = 2x² - 3x + 4, então, f(m) = 2m² - 3m + 4
f(m) = f(m-1)
2m² - 3m + 4 = 2(m - 1)² - 3(m-1) + 4
2m² - 3m + 4 = 2(m² - 2m + 1) - 3m + 3 + 4
2m² - 3m + 4 = 2m² - 4m + 2 - 3m + 7
2m² - 2m² - 3m + 4m + 3m = 2 + 7 - 4
4m = 5
m = 5/4
O conjunto imagem da função quadrática y = x² – 10x + 9 é:
a) [-16;+00[
b) [16;-00[

115
c) ]-00;16]
d) [-16;+00]
e) [-16;16]
Solução
y = x² - 10x + 9 =>para a > 0 => as coordenadas são:
{ -b / 2a e -Δ / 4a }
x = -b/2a = -(-10) / 2 = 5
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 100 - 4.1. 9 = 64
y = -Δ /4a => -64 / 4 = -16
4) Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = – 3x ² + 60x onde x é a distância (em
metros) e y é a altura (em metros) atingida pela bala do canhão. Determine:
a) a altura máxima atingida pela bala;
b) o alcance do disparo.
Solução
(a)
A altura máxima atingida pela bala do canhão é dada pelo Yv. Logo:
(i) Cálculo do delta:
∆ = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
∆= (60)2
− 4(−3). 0
∆= 𝟑𝟔𝟎𝟎
(ii) Substituindo na fórmula do Yv, temos:

116
Yv = −
∆
4a
Yv =
−3600
4(−3)
Yv =
− 3600
−12
𝐘𝐯 = 𝟑𝟎𝟎 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐬
(b)
Podemos calcular o alcance do disparo igualando a função a zero:
y = 0
-3x² + 60x = 0
x (-3x + 60) = 0
Temos:
x = 0 ou
-3x + 60 = 0
-3x = -60
x = -60/-3
x = 20 metros
(PUCRJ) Sejam f e g funções reais dadas por f(x)= 2 + x2 e g(x) = 2 + x. Os valores de x tais que f(x) =
g(x) são:
(a) x = 0 ou x = -1
(b) x = 0 ou x = 2
(c) x = 0 ou x = 1
(d) x = 2 ou x = -1
(e) x = 0 ou x = 1/2
Solução
Devemos ter:
f(x) = g(x)
2 + x² = 2 + x
x² - x = 0
x(x – 1) = 0
x = 0

117
ou
x – 1 = 0
x = 1
S = {0, 1}
Resposta: C
Determine as condições sobre o parâmetro real m na função dada por: y = 3x² - 2x + (m - 1) a fim de
que:
a) não existam raízes reais;
b) haja uma raiz dupla;
c) existam duas raízes reais e distintas.
Solução
Economistas estimam que os valores médios, em reais, das ações de duas empresas A e B sejam dados,
respectivamente, por:
e
em que t é o tempo, em anos, contado a partir da data desta previsão.
a) Qual é o valor atual das ações de cada uma das empresas?
b) Daqui a 4 anos qual ação estará mais valorizada?
c) Daqui a quantos anos as ações das duas empresas terão o mesmo valor? Qual será esse valor?
Solução

118
Certo mês, um vendedor de sucos naturais arrecadou uma média diária de R$ 180,00, vendendo cada
copo de suco pelo mesmo preço. No mês seguinte, aumentou o preço em R$ 0,50 e vendeu uma média
de 18 unidades a menos por dia, mas a arrecadação média diária foi a mesma. Determine:
a) o preço do copo de suco no primeiro mês;
b) o número de copos por dia vendidos no primeiro mês;
c) o número de copos por dia vendidos no segundo mês.
Solução
Determine 𝒎 ∈ ℝ de modo que a equação: x² + mx + (m² - m – 12) = 0 tenha uma raiz nula e outra
positiva.
Solução

119
O gráfico seguinte representa a função quadrática dada por y = -3x² + bx + c. Quais os valores de b e
c?
Solução
Pelo gráfico, temos:
Uma bola, lançada verticalmente para cima, a partir do solo, tem sua altura h (em metros) expressa em
função do tempo t (em segundos), decorrido após o lançamento, pela lei: h(t) = 40t – 5t².
Determine:
a) a altura em que a bola se encontra 1 s após o lançamento;
b) o(s) instante(s) em que a bola se encontra a 75 m do solo;
c) a altura máxima atingida pela bola;
d) o instante em que a bola retorna ao solo.
Solução
Estima-se que, para um exportador, o valor v(x), em milhares de reais, do quilograma de certo minério
seja dado pela lei: v(x) = 0,6x² - 2,4x + 6, sendo x o número de anos contados a partir de 2010.
a) Entre que anos o valor do quilograma desse produto diminuiu?
b) Qual é o valor mínimo atingido pelo quilograma do produto?
c) Em que ano o preço do quilograma do produto será máximo? Qual será esse valor?

120
Solução
A lei que expressa o número (y) de milhares de downloads de um aplicativo baixado em smartphones,
em função do número (x) de semanas transcorridas desde o instante em que esse aplicativo ficou
disponível para ser baixado, é:
x, em que c é uma constante real.
Sabendo que, ao completar uma semana do início da contagem, já haviam sido registrados 700
downloads, determine:
a) após quantas semanas, no mínimo não foram registrados mais downloads desse aplicativo;
b) após quantas semanas do início o número de downloads foi máximo e qual foi esse número.
Solução

121
Um fazendeiro possui 150 metros de um rolo de tela para cercar um jardim retangular e um pomar,
aproveitando, como um dos lados, parte de um muro, conforme indica a figura seguinte:
a) Para cercar com a tela a maior área possível, quais devem ser os valores de x e y?
b) Qual seria a resposta, caso não fosse possível aproveitar a parte do muro indicada, sendo necessário
cercá-la com a tela? Nesse caso, em que percentual ficaria reduzida a área máxima da superfície
limitada pelo jardim e pelo pomar reunidos?
Solução

122
Entre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine aquele cuja área é máxima. Qual é essa área?
Solução
Considere todos os pares ordenados (x, y), com
Quais os valores de x e y de modo que a soma dos quadrados de x e de y seja a menor possível? Qual é
o valor encontrado para essa soma?
Solução
Ana vende milho verde em uma praia do litoral
brasileiro. Durante o primeiro mês de uma
temporada de verão, Ana observou que, quando
o preço da espiga de milho é fixado em R$ 3,50,
são vendidas 40 unidades por dia. Procurando
aumentar sua arrecadação, Ana fez algumas
reduções no preço da espiga que acarretaram
um aumento nas vendas. Nessa relação entre
preço e número de espigas vendidas, ela pôde
verificar que, para cada R$ 0,10 de desconto, o
número de espigas vendidas por dia aumentava
em duas unidades, como mostra o gráfico ao
lado (o desconto máximo praticado foi de R$
1,50 e podem ser oferecidos descontos segundo
múltiplos de R$ 0,05).

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