Teoría de exponentes

1. ÁLGEBRA
Concepto : Es aquella parte de las
matemáticas que se encarga del estudio de las
cantidades en su forma más general posible.
Estudia además a las diferentes operaciones
algebraicas en los diferentes conjuntos de
números, para su estudio emplea números y
letras.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los conjuntos de números que usaremos son:
1. Números Naturales ( N)
{ } ,2,12,,,,3,2,1 nnnN −=
Presenta dos subconjuntos importantes
Números pares { }Nnn ∈= /2
Números impares { }Nnn ∈−= /12
2. Números Enteros (Z)
Presenta dos subconjuntos importantes
{ } ,3,2,1,0,1,2,3, −−−=Z
{ },4,3,2,1=+
Z
{ },3,2,1 −−−=−
Z
{ }0∪∪= −+
ZZZ
OBS: { }00 ∪= ++
ZZ
3. Números Racionales (Q)
{ }0,;// ≠∈∧== nZnmnmxxQ
4. Números Irracionales ( I )
{ }0,;// ≠∈∧≠== nZnmnmxxIQC
Se caracteriza por tener parte decimal no
periódica con infinitas cifras decimales.
Se pueden dividir en dos grupos:
a) Irracionales Algebraicos.
...6457513110,27
...4142135623,12
=
=
b) Números trascendentes.
∏ = 3,1415926535...(Número pi)
e =2,7182818284...(Base del logaritmo
Neperiano)
5. Números Reales(R)
Es el conjunto de todos los números
racionales e irracionales
IQR ∪=
6. Números Complejos(C)
{ }RbabiaC ∈∧+= /
Se distinguen los complejos de la forma
“a” denominados complejos reales y los
de la forma “bi” (b≠ 0) denominados
imaginarios puros.
Podemos esquematizar los conjuntos de
Números de la siguiente manera.
RECTA NÚMERICA: Si a los puntos de una
recta le corresponden un único número real
y a cada número real le hacemos
corresponder un único punto de la recta,
entonces decimos que dicha recta es la
Recta Numérica
LEY DE EXPONENTES
En general las leyes de exponentes se
cumplen en el conjunto de los números
complejos (C).En particular estudiaremos
dichas leyes en el conjunto de números
reales (R), es decir que las letras que
aparecen en cada ley representan a
números reales. Para su estudio definamos
las operaciones de Potenciación y
radicación.
POTENCIACIÓN
Notación:
Ej.:

2. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1
• 642.2.2.2.2.22
6
6
== 
veces
Es la potencia
6Ta
de 2
• (-3)4
=(-3)(-3)(-3)(-3)=81 Es la potencia 4Ta
de (-3)
• 
vecesπ
π
8...8.8.88 ≠ , no tiene sentido pues π
∉N
LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES
1. Multiplicación de Potencias de bases
iguales
nmnm
aaa +
=.
Ej.
15128368128368
6732732
9375375
523232
....
555.5.5
222.2
aaaaaaa
xxxxx
mmmmm
==∗
==∗
==∗
==∗
+−−+−−
+−−
−+−
++++++
2. División de Potencias de Bases iguales
nm
n
m
a
a
a −
=
Ej.:
2)5(7
5
7
6)3(3
3
3
4
2242
2202
538
3
8
6422
2
2
81)3(
)3(
)3(
−−−−
−
−
−−+
−
+
−
−
−
==∗
===∗
=−=
−
−
∗
==∗
aa
a
a
xx
x
x
mm
m
m
x
x
3. Exponente Cero
10
=a donde a≠0
Ej.
,1)532(
1)(
110
0
05
0
≠−+∗
=∗
=∗
x
no tiene sentido calcular oo
,es
indeterminado
4. Exponente negativo
n
n
a
a
1
=−
,donde a≠0
Ej.
3
5
5
3
42
4
2
1
3
3
5,0
2
1
2
1
a
b
b
a
ba
b
a
x
x
=∗
=∗
==∗
=∗
−
−
−
−
−
5. Potencia de un producto.
nnn
baba =× )(
Ej.
1
6
6
6
)2.3(
6
23
33)3(
)(
2222
555
===∗
==∗
=∗
x
x
x
x
x
xx
xxx
baab
6. Potencia de un Cociente.
n
n
n
b
a
b
a
=)( donde b≠0
Ej.
4
4
4
)(
y
x
y
x
=∗
125
27
5
3
)
5
3
(
4)
2
8
(
2
8
3
3
3
==∗
==∗ nn
n
n
7. Potencia Negativa de un Cociente.
n
n
nn
a
b
a
b
b
a
==−
)()(
Ej.
287)
1
4
()
1
3
()
1
2
()
4
1
()
3
1
()
2
1
(
1255)
1
5
()
5
1
(
4
25
2
5
)
2
5
()
5
2
(
432432
333
2
2
22
=++=++∗
===∗
===∗
−−−
−
−
8. Potencia de Potencia.
mnnm
aa =)(
48

3. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1
Ej.
[ ]
124).3(43
605.4.3543
105.252
)(
)(
22)2(
−−−
==∗
==∗
==∗
xxx
xxx
OBS: [ ]{ } mnrs
srnm
aa =).(.
RADICACIÓN
Es una operación donde a partir de dos
cantidades: índice y radicando; se obtiene
otra cantidad llamada raíz que cumple con
la siguiente identidad.
Ej.
162216
125)5(5125
322232
44
33
55
=⇔=∗
−=−⇔−=−∗
=⇔=∗
9. Raíz de una Potencia.
n
p
p
nn p
aaa ==
Ej.
43
12
3 123
4
48
3 4 48
25
10
5 10
xxxxx
xxx
====∗
==∗
OBS: srnmm n s r
aa ...
=
10. Raíz de un Producto.
nnn
baab =
Ej.
6322433224332 555
525 255 105 2510
=×==×∗
==∗ yxyxyx
11. Raíz de un Cociente.
0, ≠= b
b
a
b
a
n
n
n
Ej.
5
2
625
16
625
16
4
4
4
7
4
5 35
5 20
5
35
20
==∗
==∗
y
x
y
x
y
x
EJERCICIOS
NIVEL I
1. Si: 84
4.2=n
Hallar el valor de:
5
nM =
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 16
2. Reducir
12
9
27
1
−−
−






−=B
A) 1 B) 2 C) –3
D) –1 E) –27
3. Reducir:
[ ]212
3
4
3
)4(2
)8(4
n
n
A
−
−
=
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 16
4. Simplificar:
294
336
30.14.15
80.35.21
=B
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 7
5. Reducir: Nn ∈
3
24
2.2
2.22
+
++
−
= n
nn
C
A)
2
1
B) 2 C) 4
D)
4
1
E)
8
1
6. Reducir: 0≠x
33753
254223222
))()()()((
)()()())((
xxxxx
xxxxx
D =
A) 4
x B) 5
x C) 6
x
D) 7
x E) 18
x
7. Reducir:
49

4. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1
8
4
22
222








=E
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 16
8. simplificar:
496
27
8
4
9
3
2


















=H
A) 1 B)
3
2
C)
2
3
D) 6 E)
6
6
9. Efectuar:
6 642332
)5(16)3(832 −++−+−+−=L
A) 3 B) –3 C) 8
D) –10 E) 6
10. Calcule (U.N.I), si:
[ ] UU
NINU =−==
−−−
−
;)4(;16
416
124
A) 16 B) 8 C) 32
D) 1 E) 2
NIVEL II
11. Al reducir:
[ ] 0,,;)(7
)
2
1
(
)
4
1
(473122
>−
zyxzyyxx
Se obtiene un término semejante a:
cba
zyx21
Según ello hallar:
ca
b
M
+
=
A) 0,3 B) 0,2 C) 1
D)
3
1
E) 0
12. Calcular el valor de:
2
1
323
)
3
1
(
9
2
)2,0(2)
2
1
(
−
−−−






++=C
A) 8 B) 6 C)
8
1
D)
6
1
E) 1
13. Reducir:
∞+++
∞+
=


222
7772
α
A)
2
3
B)
3
2
C) 3
D) 2 E) 1
14. Si se cumple que:
)0,,(; >
+
=
+
=
+
cba
ac
c
cb
b
ba
a
Reducir:
a b c acb
xxx
32
=β 0≠x
A) x B) 5
x C) 2
x
D) 3
x E) 4
x
15. Simplificar:
( ) ( ) 0; ≠=
−
−− −
−
xxx
x
x
x
x x
x
x
x
δ
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) –1
16. Reducir:
2
4 2
33
812793




=λ
A) 1 B) 2 C) 3
D) 9 E) 27
17. Reducir:
( ) 0;
11
1 12
2
≠








=
+− −−
xx
x
x
x x
x
ω
A) 2
x B) x
x C) x
x
D) 1 E) x
18. Halle “x” de: n
nn
nx
nx =
+1
A) n B) n
n C) n
n
D) 1+n
n
n E) n
n
2
19. Que valor de “x” satisface:
4
16
2
84
2
625.125125.5
++−
=
xxxx
A) 22 B) 5 C) 17
D)
5
22
E)
22
5
20. Calcular: 52
+x a partir de : 62
24
813 =
x
50

5. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
NIVEL III
21. Calcular el valor de E:
13
1815
7118
53
2257545
×
××
=E
A) 115 B) 225 C) 625
D) 25 E) 75
22. Calcular el valor de “B” :
2/1123
10
23
4
5
2
3
1








+





+





+





=
−−−
B
A) 5 B) 7 C) 8
D) 6 E)4
23. Determine el valor de E
111
543
32
1
16
1
8
1
−−−
−−−






−+





+





−=E
A) –2 B) –1 C) 0
D) 2 E) ½
24. si:
radx ∞+++= 303030
Determinar
3 3 3
radxxxE ∞+++= 
A) 2 B) φ C) 4
D) 0 E) 3
25. Resolver:
314
9
3
1
=−x
x
A) 3 B) 2 C) 1/3
D) 1 E) ½
26. Hallar “n” en:
81
39
812433 =
−
−
nn
nn
A) 9 B) 3 C) 2
D) 81 E) 4
27.Si: Nn ∈ y además
81
veces81
veces10
360360360
81
81.81.81
=
+++
  
  
 nnn
Calcule: 12
+n
A) 20 B) 10 C) 40
D) 30 E) 15
28.Si se cumple que:
75
55555
55555
3
..5.4.3.2
)3.(.12.9.6.3
=
n
n


Calcule: 1+n
A) 0 B) 1 C) 10
D) 2 E) 4
29. Si: xpxnxmx mpn
===
Reducir:
pnm
m
p
p
n
n
m
A )()()(=
A) 1 B) x2
C) x3
D) x E ) 2
30. Si: 56222 21
=++ ++ xxx
Halle:
+





+





++=
32
555
1
xxx
M
A) 2/5 B) 5/2 C) 5
D) 2 E) 7
NIVEL IV
31. Determinar la veracidad o falsedad de
las proposiciones:
I) nn
xxNnRx 22
)(: =−∈∧∈∀
II)
1212
)(: ++
−=−∈∧∈∀ nn
xxNnRx
III) 0: 2
≥∈∀ xRx
IV) 33
: RxRx ∈∈∀
32. Simplificar:
7
7
8
21
12
14
4
7721
12
22595
3515
−−−
++
++
A) 15 B) 15 C) 5
D) 10 E) 5
33. Si Nn ∈ , Simplificar:
n
n
nn
8
8
2.881
88
88
+
++
51

6. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
34. Si: +
∈Zzyx ,, , tal que : 2≥− xy .
Calcular el valor más simple de:
xy
yxxy
xyxyyx
xyyx
xyyx−
++
+
+
..
..
22
A) x B) y C) xy
D)
x
y
E)
y
x
35. Indicar el valor de x ; tal que:
3
553
5
3
=
x
x
x
A) 3 B) 3 C) 5
3
D) 27 E) 9
36. Siendo 1>x ,calcular el valor de “P”, en:
xxxxx p
=...........
A) 2 B) 3 C) 4
D) ½ E) 1/3
37. Señale el valor de “x” que cumple :
15
2
1
2
1
2
1
2
1
321
=+++ +++ xxxx
A) –1 B) –2 C) –3
D) –4 E) –5
38. Calcular el valor aproximado de:
3
...222834 −
A) –1 B) –2 C) –3
D) –4 E) –5
39. El valor de “x” que verifica:
1
9
3
−
=x
x es:
A)
3
1
B)
9
1
C)
27
1
D)
81
1
E)
243
1
40. Si nmnm =+ Calcular el valor de:
nm
m nn m
22
22
+
+
A) 2 B)
4
1
C) 4
D)
8
1
E)
2
1
41. A partir de:
y
yx
yx =
1
)2( ; calcular el valor
numérico de:
xyy
xxy
25
42
−
+
A) 1 B)
2
1
C)
4
1
D)
5
1
E)
8
1
52

7. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
34. Si: +
∈Zzyx ,, , tal que : 2≥− xy .
Calcular el valor más simple de:
xy
yxxy
xyxyyx
xyyx
xyyx−
++
+
+
..
..
22
A) x B) y C) xy
D)
x
y
E)
y
x
35. Indicar el valor de x ; tal que:
3
553
5
3
=
x
x
x
A) 3 B) 3 C) 5
3
D) 27 E) 9
36. Siendo 1>x ,calcular el valor de “P”, en:
xxxxx p
=...........
A) 2 B) 3 C) 4
D) ½ E) 1/3
37. Señale el valor de “x” que cumple :
15
2
1
2
1
2
1
2
1
321
=+++ +++ xxxx
A) –1 B) –2 C) –3
D) –4 E) –5
38. Calcular el valor aproximado de:
3
...222834 −
A) –1 B) –2 C) –3
D) –4 E) –5
39. El valor de “x” que verifica:
1
9
3
−
=x
x es:
A)
3
1
B)
9
1
C)
27
1
D)
81
1
E)
243
1
40. Si nmnm =+ Calcular el valor de:
nm
m nn m
22
22
+
+
A) 2 B)
4
1
C) 4
D)
8
1
E)
2
1
41. A partir de:
y
yx
yx =
1
)2( ; calcular el valor
numérico de:
xyy
xxy
25
42
−
+
A) 1 B)
2
1
C)
4
1
D)
5
1
E)
8
1
52