程式人《十分鐘系列》

1. 張量與相對論
陳鍾誠
2018 年 6 月 22 日
程式人《十分鐘系列》程式人《十分鐘系列》
本文衍生自維基百科

2. 最近
● 深度學習神經網路導致人工智慧有
快速進展

3. Google 所釋出的 TensorFlow 套件
● 是深度學習的重要工具

4. Tensor 的中文是《張量》

5. 但是你可能不知道
● 張量是《廣義相對論》的關鍵

6. 雖然張量的那些理論
● 在深度學習與神經網路裏
似乎派不上甚麼用場 ...

7. 但是
● 能夠透過《張量》理解《廣義相對論》
● 卻是一件頗為吸引我的事情！

8. 今天
● 就讓我們來研究一下
到底甚麼是張量吧！

9. 還有
● 張量是如何被用在《廣義相對論》
裏的呢？

10. 資工系畢業的同學
● 大部分都有學過線性代數

11. 如果還沒忘記
● 那麼恭喜你，你已經具備理解張
量的數學基礎了

12. 在線性代數中
● 我們學過
– 純量 : 就是一個數 ( 像 3.14)
– 向量：是一個數的陣列 ( 像 [1,3,2])
– 矩陣：是二維的數值陣列 ( 像 [[1,2],
[2,1]])
● 而 n 維的數值陣列，我們通常就稱為《張量》
– 所以純量是 0 維張量、向量是 1 維張量
– 矩陣是 2 維張量、三維以上我們就只用張量稱呼

13. 但是這樣的理解
● 有點太過簡化，沒辦法抓到
《數學上的張量意義》
● 不過對於程式人而言，這樣的理解
差不多就夠用了 ....

14. 數學上的張量
● 除了是 n 維向量外，還具有
《幾何意義》

15. 張量的幾何意義
● 和《座標轉換》有關 ...
● 而且和《線性代數裏的仿射空間》
概念有關

16. 線性代數裏的仿射空間
● 必須滿除下列性質

17. 但是這些定義
● 看了就讓人頭大 ...

18. 如果改說人話
● 那仿射空間的幾何意義就是
《一個子空間加上平移 ... 》

19. 所以線性代數裏的向量空間特性
● 在仿射空間裏幾乎都還存在

20. 但是向量空間
● 可以是在《實數》上面
● 也可以是在《複數》上面的

21. 那些有複數的向量空間
● 很厲害、很厲害、很厲害 ...

22. 愛因斯坦的相對論
● 在幾何學上，相當於引入了虛數 i
到坐標軸裏

23. 如果我們拿虛數 i 當座標軸
● 那麼就會形成『偽歐氏空間』

24. 最小的偽歐氏空間稱為《偽歐式平面》
● 這很像《極座標》的空間
● 對於座標為 (a,b) 的點
代表的其實是 a + bi
實軸 x1
單位為 1
虛軸 x2
單位為 i
b
a
a+bi

25. 在《偽歐式平面》裏會有些奇怪的特性
● 例如： (a,a) 與自己做內積結果會是 0
(a,a)(a,a)=a2
+(ai)2
=a2
+(-a2
)=0
實軸 x1
單位為 1
虛軸 x2
單位為 i
b
a
a+bi

26. 但問題是
● 這樣的偽歐氏空間有甚麼用呢？

27. 有的
● 可以用來描述《狹義相對論》的幾何學

28. 在狹義相對論裏
● 根據勞倫茲轉換，會有《尺縮鐘慢》的效果
尺縮
鐘慢

29. 如果放到《偽歐氏空間》裏
● 這些公式的合法區會落在
《過去與未來光錐》之外

30. 當你的速度愈快時
● 偏離《現在平面》的角度
就會愈大，但是永遠無法
到達《過去或未來光錐》
● 因為速度
不能超過
光速
( 接近光速時質量會愈來愈大，
於是就會推不動了 )

31. 只要無法超越光速
● 就無法達到光錐內部
也就無法回到過去或
穿越到未來

32. 你可以看到在以下公式裏
● 如果我們用 ict 取代時間軸
那麼就會得到完整的時空地圖
( 這就是狹義相對論的幾何學 )

33. 現在
● 你應該可以逐漸感受到
狹義相對論與偽歐氏空間
的關係了吧！

34. 但是
● 我們還沒提到《張量》與《相對論》之
間的關係！

35. 張量
● 是用來描述《兩個座標系統》中，
看到的幾何現象
● 也就是探討《座標轉換》時函數值會有
甚麼變化的的一種數學

36. 由於牽涉到座標轉換
● 所以是討論很多維度之間的關係 ...

37. 但仍然是在《向量空間》裏
● 不過會包含虛軸 i ，所以要納入對偶空間

38. 以下是個座標轉換的案例

39. 這些座標轉換並非只能在直角坐標系
● 也可以做兩類不同形式座標系的轉換
● 像是以下的《直角對圓柱》座標系之轉換
http://ccckmit.wikidot.com/ca:tensor

40. 或是球面對直角座標系之轉換
http://ccckmit.wikidot.com/ca:tensor

41. 而這些轉換還可以進行組合
● 圓柱轉直角後，再轉成球面 ( 兩矩陣相乘 )
http://ccckmit.wikidot.com/ca:tensor

42. 當座標系可以轉來轉去之後
● 相對論就可以用來探討，在某群座標系
轉換下，有《哪些函數是不變的》？
● 這些不變的函數，就成了《該群座標系
統》共有的《物理定律》

43. 這種在座標轉換的不變性
● 就是愛因斯坦所說的《相對性原理》
物理定律在一切慣性參考系中具有相同的形式

44. 但是相對性原理
● 只考慮了《慣性座標系》
● 卻沒有考慮
– 《重力與加速度座標系》

45. 問題是
● 加速度可以用《座標系》處理
● 但是重力要怎麼處理呢？

46. 解決的關鍵是在
● 愛因斯坦所提出的《等效原理》
– 重力場和加速度座標系是等效的

47. 於是只要能處理加速度座標系
● 就相當於解決了《重力場》的問題！

48. 運用了張量之後
● 愛因斯坦終於能妥善處理
《重力場與加速度座標系》
的情況！

49. 透過引入黎曼提出的《度量張量》
● 讓愛因斯坦能用微積分處理曲面距離
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%A6%E9%87%8F%E5%BC%A0%E9%87%8F

50. 這種度量張量
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%A6%E9%87%8F%E5%BC%A0%E9%87%8F
可以用來量度轉換不同空間中的距離

51. 然後引入時間軸
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%A6%E9%87%8F%E5%BC%A0%E9%87%8F

52. 還有一大堆
● 我還沒學會的張量相關數學 ...

53. 最後終於完成了廣義相對論

54. 所以要理解廣義相對論
● 張量的數學將會是很重要的

55. 這就是我所知道的
● 張量與相對論之間的關係

56. 希望您會喜歡

57. 今天的十分鐘系列

58. 我們下回見！

59. Bye Bye!