Trabalho que relaciona os sistemas lineares com software educativos (Geogebra, Winplot, Máxima)

1. Tópicos em
Aritmética, Álgebra e
Geometria para o Ensino Médio.
Nome:- Carlos Alberto Spolaor e
Almir Rogério Ferreira
Pólo:- Votuporanga (SP)
Grupo:- 08

2. Introdução
 Trata-se de uma atividade a ser desenvolvida na 2ª série
do Ensino Médio, referente ao conteúdo Sistemas
Lineares – Interpretação Gráfica.
 As tarefas são organizadas para serem desenvolvidas
em 6 aulas aproximadamente.
 O foco principal da atividade é a utilização de softwares
gráficos, em especial o Geogebra e o Winplot, onde o
aluno poderá comparar a solução algébrica dos sistemas
com a sua solução gráfica e verificar quais são as
implicações de ambas na resolução de problemas.

3. Tema Central:
Sistemas Lineares
Tópicos que deverão ser revisados
anteriormente:
•Plano Cartesiano;
•Equações lineares;
•Noções de sistemas.

4. A História dos Sistemas Lineares
• Carl Gustav Jacobi (1804 – 1851)
• Pierre Simon Laplace (1749 – 1827)
• Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813)
Sistema Linear
• Definição e Resolução
• Escalonamento
• Classificação
• Utilização

5. Organização da turma
A turma deverá ser organizada em duplas, de modo a facilitar o andamento
do trabalho do professor, pois com os alunos trabalhando em equipe o
ambiente fica mais interessante para o desenvolvimento das atividades,
inclusive no laboratório
As aulas serão ministradas em sala de aula e na sala de informática,
dependendo da necessidade, conforme experiência profissional do
professor.

6. Recursos
• Projeto Multimídia
• Computador
• Softwares Geogebra e Winplot devidamente
instalados
• Caneta,
• Régua,
• Caderno,
• Borracha,
• Outros materiais que fazem parte do Kit do
aluno

7. Tarefa - Aula 1
A história do desenvolvimento dos sistemas lineares
através das descobertas matemáticas.
Questões a serem discutidas com os alunos:-
•Como era a vida dos matemáticos que descobriram a
utilidade dos sistemas? Tinham computador? Como
eles anotavam as suas descobertas?
•Como eles faziam os seus cálculos?
•Faça uma pesquisa sobre o modo de vida destes
matemáticos e os apresente a classe.

8. Tarefa - Aulas 2, 3 e 4
•Revisão do Plano Cartesiano
•Apresentação do sistema Linear:-
Denomina-se sistema linear m x n o conjunto S de m equações
lineares em n incógnitas, que pode ser representado assim:

10. Apresentação do Vídeo sobre escalonamento de
sistemas lineares
http://www.youtube.com/watch?v=LS4RYy4dp4o
E o vídeo sobre classificação de um sistema linear
http://www.youtube.com/watch?v=3ZGQAqBIxLY

11. Sistemas Lineares: Introdução
 Um terreno de 8000 m2
deve ser dividido em dois
lotes. O lote maior
deverá ter 1000 m2 a mais
do que o lote menor.
Vamos calcular a área
que cada um deverá ter.
 Sendo x e y,
respectivamente, as
áreas destinadas ao lote
maior e ao lote menor;
1000
8000
yx
yx

12. Resolvendo este sistema, encontramos:-
 Método da Substituição
substituindo na 1ª
equação, temos:-
 Método Geométrico
4500
3500
70002
100080002
80001000
x
y
y
y
yy
1000
8000
yx
yx

13. Classificação de um
Sistema Linear 2 x 2
Sistema
Possível
Determinado
Indeterminado
Impossível

14. Interpretação Geométrica de um sistema
2 x 2
As retas concorrentes indicam que
existe um única número para
ordenado que é solução do sistema
(sistema possível e determinado).
As retas paralelas e distintas
indicam que não existe par
ordenado que seja solução do
sistema (sistema impossível).
152
103
yx
yx
52
242
yx
yx

15. As retas coincidentes indicam que existem infinitos pares ordenados que
são soluções do sistema (sistema possível e indeterminado.
1293
862
yx
yx

16. Tarefas - Aulas 5 e 6
O professor deverá trabalhar no laboratório de
informática, utilizando o software Geogebra.
• Apresentação do Geogebra;
• Solução de sistemas lineares
• Classificação de um sistema linear
• Estudo geométrico dos sistemas lineares
• Atividades
Tutorial Geogebra:-
http://diadematematica.diadematematica.com.br/modu
les/mastop_publish/?tac=10

17. Atividade 1
Resolva o sistema através de escalonamento, classificando-o e interprete o mesmo
geometricamente através do winpot.
1 - O supermercado Comprebem em Uberaba gasta o dobro da energia elétrica do
que o de Araxá, e o depósito da rede em Uberaba gasta o triplo da energia elétrica do
que o de Araxá. Em tempos de racionamento de energia elétrica, o proprietário
negociou com a concessionária e conseguiu uma cota mensal de 13000 kWh para a
soma do consumo dos seus dois estabelecimentos de Uberaba e 5000 kWh para a
soma do consumo dos seus dois estabelecimentos de Araxá. Considerando que as
cotas foram utilizadas em sua totalidade, responda:-
a) Qual o consumo de cada loja?
b) Observe o gráfico e responda quanto a classificação do sistema.
c) Qual é o consumo das lojas da cidade de Uberaba?

18. )(1300032
)(5000
Uberabayx
Araxáyx
Resolução:-
a)
x = gasto com energia do supermercado Araxá
y = gasto com energia do depósito em Araxá
Resolvendo o sistema, encontramos x=2000 e y = 3000, assim temos que a
Loja Comprebem e o depósito de Uberaba gastam 4000 kWh e 9000 kWh,
respectivamente e a loja e o depósito de Araxá gastam 2000 e 3000 kWh,
respectivamente.

19. b) Resolução geométrica através do
Geogebra

20. c) Supermercado Comprebem – 4000 kWh;Depósito 9000 kWh (Uberaba)
Supermercado Comprebem – 2000 kWh – Depósito 3000 kWh (Araxá)
2) Uma empresa deve entalar uma mistura de amendoim, castanha de caju e
castanha-do-pará. Sabendo-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo
de castanha de caju, R$ 20,00, e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada
lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada
lata deve ser R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada
lata dever igual a um terço da soma das outras duas.
a) escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima;
b) resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de
cada ingrediente por lata;
c) Mostre geometricamente.

21. Resolução
Sendo:-
a = amendoim, c= castanha de caju; p=castanha do pará, temos: 03
3
pca
ap
c
Temos um sistema linear:-
03
5.0
75,516205
pca
pca
pca
que transformada em matriz, temos:
D=
5,0020
5,0111
75,516205
01431
5.0111
75,516205
13 LL Podemos encontrar o valor de c,
)tanh(125,0
4
5,0
5,04 cajúdeacasgramasc Continuando o escalonamento, encontramos:-
5,0040
25,311150
75,516205
5
5,0040
5,0111
75,516205
12 LL
fazendo as substituições necessárias em
parádoacasdegramasp tanh125,0 .250 amendoimdegramasa

22. Resolução através do Winplot 3D

23. Atividades Propostas
1. Numa danceteria, o convite para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$
10,00. Sabendo que o número de mulheres que foram à danceteria excede 5 o
número de homens e que, ao todo, foram arrecadados R$ 550,00, pergunta-se: qual
é o número de homens que foram dançar lá?
2. Em um restaurante há 12 meses todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras
por apenas 2, num total de 38 fregueses. Qual é o número de mesas ocupadas por
apenas 2 pessoas?
3. Rapazes e moças dançavam animadamente em uma festa. Com a saída de 8
rapazes, percebeu-se que as moças estavam para os rapazes numa proporção de 3
para 2. Mas tarde, porém, 10 moças deixaram a festa e a proporção passou a ser de
5 moças para cada 4 rapazes. Quantos rapazes e moças havia na festa?

24. 4. Resolva cada sistema linear 2 x 2 usando o método da adição e geométrico através do
Winplot ou Geogebra; classifique-os quanto ao número de soluções.
52
424
yx
yx
865
1223
yx
yx
642
15105
yx
yx
5. Classifique e resolva os sistemas lineares através de escalonamento e
faça sua representação geométrica.
014
032
042
yx
zyx
zyx
02
833
132
zy
zyx
zyx

25. Avaliação
•Habilidades para usar os softwares Geogebra e/ou Winplot;
•Observar o envolvimento e a participação de cada integrante.
•A socialização dos temas propostos;
•Avaliação final do projeto através de um seminário com exposição
dos estudados realizados;
•Criação de um blog para que os alunos relatem suas experiências.
•Verificar se os alunos conseguem resolver as situações propostas
de maneira satisfatória;

26. Conclusão
• Recursos tecnológicos pode tornar a aprendizagem dos conteúdos
mais atrativa e satisfatória;
• A utilização dos softwares, como no caso de construção gráfica, não
apresenta dificuldade, pois requer apenas razoável treinamento e pode
inclusive ser um desafio e um estimulo tanto para professor como para
o aluno.
• No caso do conteúdo específico, Sistemas Lineares, a vantagem de
desenvolvê-lo com auxílio do computador é que a análise gráfica se
torna mais fácil, com melhor visual, o que possibilita abranger um
maior número de situações, possibilitando assim uma aprendizagem
mais plena.

27. Bibliografia
Dante, Luiz Roberto, Matemática, Volume Único, 2008, 1ª
Edição, Editora Ática;
IEZZE, Gelson, Fundamentos de Matemática Elementar, 2ª
Edição 1977, Editora Atual;
IEZZE, Gelson e outros, Matemática Ciência e Tecnologia, 2ª
Edição, 2005, Editora Atual;
SPIEGEL, Murray R., MOYER, Robert E., Coleção Schaum,
Álgebra, 2ª Edição, 2004, Editora Bookman.