A aula resume os principais conceitos de estimativa pontual e intervalos para proporções e variâncias. Apresenta também os passos gerais para realização de testes de hipóteses, ilustrando com exemplos de como definir as hipóteses nulas e alternativas e calcular as regiões de rejeição.
2. Última aula
Aula 2:
Estimativa Pontual para a proporção;
X
ˆ
p
n
onde
p (1 p )
ˆ
p ~ N p;
n
3. Última aula
Aula 2:
Intervalo para uma proporção;
ˆ ˆ
p(1 p)
ˆ
IC( p; ) : p z /2
n
Determinação do tamanho de uma amostra;
2 ˆ
p(1 p)ˆ
n z 2
/2
e
4. Última aula
Aula 2:
Como verificar a normalidade dos dados;
Boxplot;
Intervalo para a variância;
(n 1) S 2 2 (n 1) S 2
P 2 2
X2 X1
5. Última aula
Aula 2:
Testes de Hipóteses;
Hipótese Científica;
Hipótese Estatística;
Decisão baseada Situação na população
na amostra H0 Verdadeira H0 Falsa
Não Rejeitar H0 Decisão correta Erro Tipo II
Rejeitar H0 Erro Tipo I Decisão correta
6. Última aula
Aula 2:
Testes de Hipóteses;
P(erro tipo I ) P(rejeitar H 0 | H 0 é verdadeira)
P(erro tipo II ) P(não rejeitar H 0 | H 0 é falsa )
7. Teste de Hipótese
Exemplo
• Uma indústria usa como componente das máquinas que
produz, um parafuso importado, que deve satisfazer
algumas exigências, tal como a tração;
• Esses parafusos são fabricados por alguns países e essas
especificações variam de país para país;
• Resistência média à
País A tração = 145 kg
• Dp = 12 kg
• Resistência média à
País B tração = 155 kg
• Dp = 20 kg
8. Teste de Hipótese
Exemplo
• Um leilão será realizado com preços muito bons e a empresa
precisa saber de qual país são os parafusos;
• A média de uma amostra de 25 parafusos será divulgada
antes do leilão.
• Qual é a regra de decisão para definir de qual país são os
parafusos?
• R: Define-se como país produtor aquele para qual a
média da amostra se aproxima mais da média do
catálogo.
9. Teste de Hipótese
Exemplo
• Uma possível regra de decisão seria:
A B
145 150 155 X
Ponto médio
• Se fosse divulgado que x 148 poderíamos dizer que o país
é o A? Podemos estar enganados? É possível que a amostra
de 25 parafusos tenha origem do país B? R: Sim.
• Então precisamos estudar os tipos de erros que temos.
10. Teste de Hipótese
Exemplo
• Erro Tipo I: Dizer que os parafusos são de A, quando na
realidade são de B. (quando a amostra apresenta média
inferior a 150kg);
• Erro Tipo II: Dizer que os parafusos são de B, quando na
verdade são de A. (quando a amostra apresenta média
superior a 150kg);
• A partir disso podemos criar as hipóteses científicas:
H0: Os parafusos são de origem B
H1: Os parafusos são de origem A
livro
11. Teste de Hipótese
Exemplo
• O valor de α é muito alto, então podemos fixar
α, alternativamente e encontrar a regra de decisão que
corresponde à este erro;
• Se α=5%, então:
5% P(erro tipo I ) P( X xc | X ~ N (155,16))
P( Z 1,645)
• Mas da transformação para a normal padrão:
xc 155
1,645 xc 148,42
4
12. Teste de Hipótese
Exemplo
• Consequentemente:
5% P(erro tipo II ) P( X 148,42 | X ~ N (145,5,76))
P( Z 1,425) 7,93%
• Ilustração dos erros.
13. Teste de Hipótese
Exemplo
• Poderíamos elaborar as hipóteses somente com base em
B, ou seja:
H0: Os parafusos são de origem B
H1: Os parafusos não são de origem B
• Porém não saberíamos como encontrar nem controlar o erro
β pois não saberíamos qual a outra distribuição a ser
comparada.
• Ilustração 2.
14. Teste de Hipótese
Procedimento Geral do Teste de
Hipóteses
• Passo 1: Fixar qual hipótese H0 a ser testada e qual a
alternativa H1
• Passo 2: Use a teoria estatística e as informações disponíveis
para decidir qual estatística (estimador0 será usada para
testar H1
• Passo 3: Fixar a probabilidade α de cometer o erro tipo I e
usar este valor para construir a região de decisão;
• Passo 4: Usar as observações da amostra para calcular o valor
da estatística de teste;
• Passo 5: Se o valor da estatística calculado com os dados da
amostra pertencer à região de decisão não rejeite H0, cc
rejeite.
15. Teste de Hipótese
Aplicação dos passos para σ2
conhecida
• Uma máquina automática para encher pacotes de café
enche-os segundo uma distribuição normal, com média μ e
variância sempre igual a 400 g2. A máquina foi regulada para
μ=500 g. Desejamos, periodicamente verificar se a produção
está sob controle, isto é, se μ=500 g ou não. Se uma dessas
amostras apresentasse uma média de 492 g, você pararia ou
não a produção para regular a máquina?
Livro
16. Teste de Hipótese
Exercício
• Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância
no tempo de reação de seres vivos a certo estímulo. Um
experimento é realizado em 10 cobaias, que são inoculadas
com substância e submetidas a um estímulo elétrico, com
seus tempos de reação (em segundos) anotados. Admita que
o tempo de reação segue, em geral, o modelo normal, com
média, com média de 8 segundos e desvio padrão 2
segundos. O pesquisador desconfia, entretanto, que o
tempo médio sofre alteração por influencia da substância.
Determine a região crítica considerando α=0,06;
• Encontre a probabilidade do erro tipo II;
Exemplo 5
17. Teste de Hipótese
Exercício
• Um grupo de pesquisadores planeja fazer um estudo para examinar se
um programa de exercícios físicos de seis meses de duração produz um
aumento no conteúdo total de minerais nos ossos do corpo (CTMOC)
em mulheres jovens. Baseando-se nos resultados de um estudo
anterior, eles optaram por supor que σ=2 para a variação percentual de
CTMOC no período de 6 meses de duração do programa. Uma variação
de 1% no CTMOC seria considerada como importante e os pesquisadores
gostariam de ter uma chance razoável de detectar uma variação que
fosse, no mínimo igual a este valor. Uma amostra de 25 sujeitos seria
grande o suficiente para o projeto?
a) Enuncie as hipóteses;
b) Encontre os valores de xbarra que levam a rejeição de H0;
c) Calcule a probabilidade de observar esses valores de xbarra quando a
hipótese alternativa for verdadeira
Exemplo 6
