Unidad 1 conjuntos numericos

1. ESCUELA TECNICA ATLANTIDA PRIMER AÑO EMT DEPORTE 2015
UNIDAD 1: CONJUNTOSNUMERICOS
CONTENIDOS
 Revisiónde losconjuntosnuméricos:naturales,enterosyracionales.
 Existenciade númerosirracionales.
 Nociónde estructurade losnúmerosreales:propiedadesde cuerpoyde orden.
 Potenciación.Definición. Propiedades.Notacióncientífica.
 Operacionesconexpresionesalgebraicas.
El trabajocon la Unidad1 se realizarácomouna extensióndelrepasode conceptosprevios. Se utilizaráunaficha
teórica,uncontrol de lecturay unrepartidode ejerciciosteórico-prácticos.
Fichateórica1: Conjuntosnuméricos(elaboradaporel profesorNicolásRamos)
Fichateórica2: Los númerosreales(resumendel librode texto“MatemáticasAplicadasalasCienciasSociales” – Mc
Graw Hill )
Fichateórica3: La rectareal (fotocopiapágina54 del textoanterior)
Apuntesparala clase
Orden enel conjunto R
Algebraicamente el ordense representaconel símbolo <
𝑎 < 𝑏 se lee a esmenorque b y significaque ladiferencia 𝑏 − 𝑎 espositiva
𝑏 > 𝑎 se lee besmayor que a y es equivalenteadecirque 𝑎 < 𝑏
Decirque x espositivoequivale aescribir 𝑥 > 0,ydecirque es negativo 𝑥 < 0
Otros símbolosque utilizaremosson ≤ (menoroigual) y ≥ (mayoro igual)
Aplicación:ordenarlossiguientesnúmeros:
4
3
, −1.29,√3 , 2,−2, 𝜋,
22
7
utilizandoel símbolo<.
Ejercicios:
1. Dada la siguiente inecuación 𝜋 < 3,5 sumar – 4 a ambos miembros de la igualdad. Observar el
resultado.
2. Dada la inecuación −2 < 3 multiplicar por 2 y luego – 2 a ambos miembros de la igualdad. Verificar
los resultados.
Resoluciones:
1) 𝜋 < 3,5 sumando -4 a ambosladostenemos: 𝜋 + (−4) < 3,5 + (−4) ⇔ −0,858 … < −0,5
Que es correcto.
2) Tenemos −2 < 3,multiplicamospor2, −2(2) < 3(2) ⇔ −4 < 6 escorrecto.
Multipliquemosahoraambosmiembrospor −2 ¿Qué ocurre? −2(−2) < 3(−2)
4 < −6 esincorrectopues 4 > −6
Propiedades del orden
La relaciónde ordenestablecidatiene comopropiedadesmásimportanteslassiguientes:
1. Si 𝑎 < 𝑏, entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
Si se sumauna cantidadc cualquieraalosdosmiembrosde ladesigualdadlamismase mantiene.
2. Si 𝑎 < 𝑏 entonces:
𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐 > 0
𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐 < 0
Si se cambiande signolosmiembrosde unadesigualdad,tambiénhayque cambiael sentidode ladesigualdad.Esto
es−𝑎 < 𝑏 ⇔ −𝑎 > −𝑏

2. ESCUELA TECNICA ATLANTIDA PRIMER AÑO EMT DEPORTE 2015
Intervalos
Son subconjuntosde larectareal.Existendistintostipos:
 Intervaloabierto ( 𝑎, 𝑏) = { 𝑥, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏};designaatodoslosnúmeroscomprendidosentreay b,
excluyendolosextremosayb.
 Intervalocerrado [ 𝑎, 𝑏] = { 𝑥, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}; se incluyenlosextremos.
 Intervalosemi –abierto(semi –cerrado) :
(𝑎, 𝑏] ={ 𝑥, 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}; incluye ab perono a 𝑎.
[𝑎, 𝑏) = { 𝑥, 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}; incluye a 𝑎 perono a 𝑏.
 Intervalosinfinitos:
(−∞;+∞)Representatodalarecta real
(−∞, 𝑎) = { 𝑥, 𝑥 < 𝑎} Son losnúmerosrealesmenoresque 𝑎.
( 𝑎,+∞) = { 𝑥, 𝑎 < 𝑥} Son losnúmerosrealesmayoresque 𝑎.
(−∞, 𝑎] = { 𝑥, 𝑥 ≤ 𝑎} Sonlosnúmerosrealesmenoresoigualesque el real 𝑎.
[𝑎,+∞) = { 𝑥, 𝑎 ≤ 𝑥} Sonlosnúmerosrealesmayoresoigualesque el real 𝑎.
Representamosgráficamente lasdefiniciones.
Consideremoslossiguientesconjuntos A=(-1,2] y B = (1,3). La unión 𝐴 ∪ 𝐵, esotro conjuntoque reúne todoslos
elementosde A y todosloselementosde B.
La intersección 𝐴 ∩ 𝐵,esun nuevoconjuntoque recoge sóloloselementoscomunesalosdosconjuntos.
En base a lasdefinicionesanterioreshallayrepresentagráficamente launiónylaintersecciónde estosdos
conjuntos.
Valor Absoluto
El valorabsolutode unnúmeroreal se define como:
| 𝑐| = 𝑐 𝑠𝑖 𝑐 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜 ( 𝑐 ≥ 0)
| 𝑐| = −𝑐 𝑠𝑖 𝑐 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑐 < 0
De modoque el valorabsolutode cualquiernúmeroessiempre positivo.
Propiedadesde valor absoluto
1. | 𝑐| = |−𝑐|
2. | 𝑎𝑏| = | 𝑎|.| 𝑏|
Demostración
𝑆𝑖 𝑎 > 0 𝑦 𝑏 > 0, 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑏 > 0 ⇒ | 𝑎𝑏| = | 𝑎|.| 𝑏|
𝑆𝑖 𝑎 > 0 𝑦 𝑏 < 0, 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑏 < 0 ⇒ | 𝑎𝑏| = −𝑎𝑏 = 𝑎(−𝑏) = | 𝑎|.| 𝑏|
𝑆𝑖 𝑎 < 0 𝑦 𝑏 < 0, 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑏 > 0 ⇒ | 𝑎𝑏| = 𝑎𝑏 = (−𝑎)(−𝑏) = | 𝑎|.| 𝑏|
3. | 𝑎 + 𝑏| ≤ | 𝑎| + | 𝑏| (DesigualdadTriangular)
La igualdadse cumple sólocuandoay b tienenel mismosigno.
Buscar o realizaruna demostraciónde estapropiedad.
4. 𝑆𝑖 | 𝑘| < 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 𝑘 < | 𝑎| < 𝑘
Demostración
𝐷𝑒 | 𝑎| < 𝑘 𝑒𝑠 𝑒𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 − 𝑘 < | 𝑎| < 𝑘
Falta sustituir| 𝑎| porsuvalor:
𝑆𝑖 𝑎 > 0, | 𝑎| = 𝑎, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 − 𝑘 < | 𝑎| < 𝑘
𝑆𝑖 𝑎 < 0,| 𝑎| = −𝑎, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 − 𝑘 < −𝑎 < 𝑘 𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 (−1), 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎:
𝑘 > 𝑎 > −𝑘 ⇔ −𝑘 < 𝑎 < 𝑘
FichaPráctica 1: NúmeroReal
Fichateórica4: Notacióncientífica(pág.59 mismotexto)

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Practico 1
NÚMERO REAL
1) Ordena los siguiente pares de números reales
a.
223
71
𝑦 𝜋 b. −√3 − (2√2)
2) Calcula el área de un triángulo de base b=3,0276 cm y altura h=1,23 cm. Redondea el resultado a
centésimas.
3) La señal fotónica emitida por un transmisor debe recorrer 0,9 km hasta llegar al receptor. Halla el
tiempo que tardarán en recibirse 15000000 de señales. (La velocidad de la luz es de 3 × 108
𝑚/𝑠
4) Indica si es verdadero o falso justificando en cada caso:
a) La suma de un número racional y un número irracional es irracional
b) EL producto de un número racional y un número irracional es irracional
c) El producto de dos números irracionales es irracional
5) Los lados de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1 ¿Tiene medida racional o
irracional?
6) Ordena de mayor a menor y representa en la recta real los siguientes números:
−0,75 √
9
4
√3
23
20
−√0,0256
2
7) Asigna un intervalo abierto que contenga a cada uno de los números:
a) – 7 b) 𝜋 + 2,45 c) e - √101
8) Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real:
a) 𝐴 = { 𝑥, 𝑥 < 1}
b) 𝐵 = {𝑥, 𝑥 <
1
2
𝑦 𝑥 ≥ −0,5}
c) 𝐶 = { 𝑥, 𝑥 ≤ 1 𝑦 𝑥 > 3}
d) 𝐷 = { 𝑥, −2,5 ≤ 𝑥 < 1,2}
9) Escribe la desigualdad que cumple los números que pertenecen a los siguientes intervalos:
a) (−∞, 2] b) [2 , 5] c) (-1 , 3) ∪ [0 , ∞) d) [0 , 3) ∩ (−1 , 1]
10) En qué se diferencian los números racionales de los irracionales? Indica un ejemplo.

4. ESCUELA TECNICA ATLANTIDA PRIMER AÑO EMT DEPORTE 2015
POTENCIACIÓN
La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.
Se escribe an , y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el
exponente:
Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el
exponente determina la cantidad de veces.
Por ejemplo:
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
POTENCIA DE EXPONENTE 1
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los
correspondientes exponentes (se escribe la misma base y se suman los exponentes):
Ejemplo:
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:
Ejemplo:
POTENCIA DE EXPONENTE 0
Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:
POTENCIA DE UN PRODUCTO
La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha
potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado
por el factor b también elevado a n:

5. ESCUELA TECNICA ATLANTIDA PRIMER AÑO EMT DEPORTE 2015
POTENCIA DE UNA POTENCIA
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de
ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente
como .Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:
POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO
Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente
positivo:
POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL
√ 𝒂 𝒑𝒏
= 𝒂
𝒑
𝒏
Dado que un radical se puede expresar como una potencia de exponente racional, las propiedades de
potenciación son válidas también en este caso.
RADICACION EN R
Dado un número real 𝒂 y un número natural n > 1, definimos:
√ 𝒂𝒏
= 𝒂
𝟏
𝒏

6. ESCUELA TECNICA ATLANTIDA PRIMER AÑO EMT DEPORTE 2015
Practico 2
POTENCIAS
Aplica las propiedades de potencia y resuelve:
Halla el valor de las siguientes potencias:
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) a2x + 1
= a3x + 2
b) ax – 2
= a3x + 1
c) b2x – 5
= b d) a5x – 8
= 1
e) ax
: a2
= a2x
f) bx – 2
· b3x
= b– x
g) (b2
)x
= b3x + 2
h) 43x – 1
= (64)3

7. ESCUELA TECNICA ATLANTIDA PRIMER AÑO EMT DEPORTE 2015
i) 33x
= 2187 j) 25x – 7
= 512 k) –81 = (-3)3x – 5
l)
32
5
1
625
1






 


x