El documento presenta información sobre triángulos rectángulos. Explica la relación entre los lados de un triángulo rectángulo usando el Teorema de Pitágoras. También cubre conceptos como triángulos rectángulos semejantes y relaciones entre los ángulos y lados de triángulos rectángulos con ángulos de 45°, 60° y 90°. Finalmente, presenta ejercicios para practicar el uso de estas propiedades para calcular lados desconocidos.

1. TriángulosRectángulos Prof. Carmen Batiz UGHS

2. Llena la tablasiguiente con la informaciónque se teofrecerámásadelante.

3. B A D C

4. 1. ¿Quépuedesobservar de los resultados de la tabla? 2. ¿Quépuedesconcluir en cuanto a la relaciónquetienen los lados de de un triángulorectángulo ?

5. Teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2 En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los lados es igual al cuadrado de la hipotenusa

6. El tamaño de un televisorrectángulares dado por la diagonal de de la pantalla. ¿Cuáles el tamaño de la pantalla? 16.2 “ 21.6”

7. La altura de un rectángulomide 21.6 y suanchomide 16.2. Halla la diagonal del rectángulo. a²+ b²= c² 16.2 “ (16.2)2 + (21.6) = c² 26 2.44 + 466.56 = c² 729 = c² 21.6” c = 27

8. La diagonal de un rectángulomide 20”. Un lado del rectángulomide 12 “. Halla la medida del otrolado del rectánglo.

9. La diagonal de un rectángulomide 20”. Un lado del rectángulomide 12 “. Halla la medida del otrolado del rectánglo. a² + b²= c² (12²+ b²= (20) ² + b²= 400 b²= 400 – 144 b²= 256 b = 16 12” 20”

10. Los lados de un tríangulo son dados. Determinasiéstosforman un triángulorectángulo. 15, 25, 20 8, 13, 10

11. Los lados de un tríangulo son dados. Determinasiéstosforman un triángulorectángulo. 15, 25, 20 8, 13, 10 a2 + b2 = c2 (15)²+ (20) ²= (25) ² 225 + 400 = 625 625 = 625 (8) ²+ (10) ²= (13) ² 64 + 100 = 169 164 ≠ 169

12. Teorema de triángulosrectángulossemejantes Si la altura esta trazada en la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces los dos ángulos formados son semejantes a la figura del triángulo original y a cada otra. C ∆ABC ~ ∆ACD ~∆CBD A B D

13. Teorema de triángulosrectángulossemejantes En el ∆ ABC , AB es la hipotenusa y los lados son AC y CB. En el ∆ ACD , AC es la hipotenusa y los lados son CD y AD. En el ∆ ACD , CB es la hipotenusa y los lados son CD y DB. C A B D

14. Teorema de triángulosrectángulossemejantes Por lo tanto cada uno de éstos lados son correspondientes y se pueden expresar como: Si ∆ ABC ~ ∆ CBD, entonces AB = CB BC BD C A B D

15. Ejemplos: Completa: 1. QS = ? RS PS 2. QS = ? QR QP 3. RQ = PR RS ? P S Q R

16. contestaciones: Completa: 1. QS = ? RS RS PS 2. QS = ? PR QR QP 3. RQ = PRRS RS ? P S Q R

17. ∆MNQ, XY es la altura de la hipotenusa de MN. Identifica los triángulossemejantes. M Y N X

18. ∆MNX, XY es la altura de la hipotenusa de MN. Identifica los triángulossemejantes. M Y ∆ MNX ~ ∆MXY ~ ∆NXY N X

19. Ejercicio L e d a b c N M P Utiliza el diagramaparacompletarcadaproporción. b = a 2. b + c = d a ? d ? ? = e 4. d = b + c e c ? a

20. Contestaciones L e d a b c N M P Utiliza el diagramaparacompletarcadaproporción. b = a 2. b + c = d a ? d ? ? = d 4. d = b + c e c ? a b + c c e b

21. Encuentra la medida de x, y y z A 6 D y 10 x z B c

22. Encuentra la medida de x, y y z A 6 D y 10 x ∆ABC ~ ∆ACD ~ ∆BCD POR LO TANTO: AB = AC16 = Y Y²= 96 AC AD Y 6 Y = = (6) ²+ X²= 96 + X²= 96 X²= 96- 36 X = 60 z B c X2 + (10) ²= Z² 60 + 100 = Z² = Z² Z = =

23. Utiliza el diagramaparahallar AO, OC. y C A x O

24. Utiliza el diagramaparahallar AO, OC. y C AO = 10 unidades En cambio OC se busca con la f’ormula de distancia: A x O

25. Halla la distancia entre los puntos (-4,6) y ( 0,3)

26. Halla la distancia entre los puntos (-4,6) y ( 0,3) 5 = ( x₂ – x₁)² + (y₂–y₁) 2 = (0-(-4)²+ (3 -6) ² = 16 + 9 = 85

27. Relaciones de TriángulosRectángulos Triángulo 45⁰- 45⁰- 90⁰ en estecaso el triánguloesisósceles. Triángulo 30⁰-60⁰-90⁰ 45⁰ a 45⁰ a 30⁰ 2a 60⁰ a

28. 45º,45º, 90º Si los dos ángulos de un triángulo rectángulo rectángulo miden 45º, entonces la hipotenusa mide veces la medida de sus lados. 45º a 45º a

29. EJEMPLO 1: Halla la medida de la hipotenusa. 45º 10 45º 10

30. Contestación 1: Halla la medida de la hipotenusa. 45º 10 45º 10

31. EJEMPLO 2: Halla la medida de los catetos. 8

32. Contestación 2: Halla la medida de los catetos. 8

33. 30º,60º, 90º Si los dos ángulos de un triángulo rectángulo miden 30º y 60º entonces la hipotenusa mide dos veces la medida del lado corto y la medida del otro lado es veces la medida del lado corto. 30º a 2a 60º

34. Ejercicio 3 Halla la medida de los catetos. 30º 15 60º

35. Contestación 3 Halla la medida de los catetos. El lado más corto es la mitad de la hipotenusa. 30º 7.5 15 El lado más largo es veces el lado corto. 60º

36. Ejercicio 4 Halla la medida de el cateto y la hipotenusa. 8 30º 60º

37. Contestación 4: Halla la medida de el cateto y la hipotenusa. 8 30º La hipotenusa es el doble del lado corto, que es 8. Por lo tanto la hipotenusa mide 16. 16 60º El otro lado es veces el lado corto.

38. Halla la medida exacta deconocida de cadalado del triangulo. 2. 3. 4. A E 5 2 45⁰ 7 D B C F Q B 60⁰ 60⁰ 5 30⁰ P 30⁰ A C 7 R

39. Halla la medida exacta deconocida de cadalado del triángulo. 2. 3. 4. A E 45⁰ 7 D B C F Q B 60⁰ 60⁰ 5 30⁰ P 30⁰ A C 7 R

40. TRIGONOMETRÍA sen A = opuesto hipotenusa cos A = adyacente hipotenusa tan A = opuesto adyacente Para recordarte: sohcahtoa B A C

41. Encuentra los valores de las variables en cadafigura. 1. 2. 6 3 z 15⁰ 12 x⁰ 20

42. Encuentra los valores de las variables en cadafigura. 1. 2. 6 3 z 15⁰ 12 x⁰ 20 La informaciónqueestandandoesopuesto e hipotenusapor lo tantoutilizaremos: sen x = 6 3 = 3 12 2 x = 60⁰ La informaciónqueestandandoesadyacente y opuestopor lo tantoutilizaremos: tan 15⁰ = 20 = z z = 20 tan 15⁰ z ≈ 5.4