O prezentare a probabilitatilor pentru elevi si colegi

1. CALCULUL PROBABILITATILOR
PROIECT POWER-POINT LA
MATEMATICA
Profesor
Carmen Delcea

2. • Inceputurile teoriei probabilitatilor sunt legate de
numele matematicienilor Blaise Pascal(1623-1662)
si Pierre Fermat(1601-1665).Ei au ajuns la
probleme legate de probabilitate datorita jocurilor
de noroc.
• Probabilitatea este o multime numerica prin care
se exprima caracterul aleatoriu al unui eveniment,
al unui fenomen; calculul probabilitatilor este
calculul matematic care permite sa se aprecieze
daca un eveniment complex se va intampla sau nu,
in functie de eventualitatea unor evenimente mai
simple, presupus cunoscute.
• Teoria probabilitatilor este ansamblul de reguli,
legi, scheme care definesc relatiile dintre
probabilitatile de realizare a unor evenimente
intamplatoare (probabile). In matematica,
probabilitatea este un raport intre numarul
cazurilor favorabile de realizare unui eveniment
intamplator si numarul total de cazuri posibile.

3. • Probabilitatea unui eveniment este o
valoare cuprinsa intre 0 si 1. Daca
probabilitatea unui eveniment este 0,
atunci evenimentul este imposibil;
daca probabilitatea unui eveniment
este 1, atunci evenimentul este sigur.
• Evenimentul este, in calculul
probabilitatilor, rezultatul unei
experiente sau al unei observatii.

4. • a) Evenimentul imposibil nu se
realizeaza la nici o efectuare a
experientei. Evenimetul imposibil are
probabilitatea 0.
• b) Evenimentul posibil este cel care
poate sau nu sa aiba loc. Are
probabilitatea mai mare ca 0 si mai
mica ca 1.
• c) Evenimentul sigur este evenimentul
care se realizeaza cu certitudine.
Probabilitatea evenimentului sigur
este 1.

5. • Multimea tuturor evenimentelor legate de o
experienta ( inclusiv evenimentul sigur si
evenimentul imposibil) se numeste camp de
evenimente.
• Frecventa este notiunea matematica
utilizata in statistica si calculul
probabilitatilor. Fie o experienta si un
eveniment A corespunzator acestei
experiente. Daca aceasta experienta a fost
repetata de n ori in conditii identice, iar cu
a am notat numarul de realizari ale
evenimetului A, atunci raportul fn = a/n se
numeste frecventa evenimentului A. In
statistica, frecventa unei valori de caracter
este egala cu raportul: efectiv/efectiv total.

6. • Universul probelor!!!
• Def)Multimea a tuturor rezultatelor posibile,incompatibile
doua cate doua,care pot avea loc in cazul unei probe a unui
experiment aleatoriu se numeste universul probelor(sau
spatiul probelor).
• Prin rezultate incompatibile intelegem acele rezultate care
nu se pot obtine simultan in nici o proba.
• Exemple:
• 1)La aruncarea unei monede omogene avem:ohm=(b,s),unde
b este banul,iar s este stema.
• 2)La aruncarea unui zar omogen avem:ohm={1,2,3,4,5,6}.
• OBSERVATIE!!!Cazul de modelare matematica pe care-l
prezentam aici este cel mai simplu,cu ohm multime
finita.Situatia se complica daca ohm este multime
numarabila sau nenumarabila.
• Exemplu:
• 1)Se arunca o moneda pana se obtine banul.In acest caz
universul probelor este ohm={b,sb,ssb,sssb,...},adica o
multime numarabila.

7. • EVENIMENTE
• Definitie)Fie ohm un univers.Se numeste
eveniment orice submultime a lui ohm.
• Evenimentul este, in calculul
probabilitatilor, rezultatul unei experiente
sau al unei observatii.
• Evenimentul imposibil nu se realizeaza la
nici o efectuare a experientei. Evenimetul
imposibil are probabilitatea 0.
• Evenimentul posibil este cel care poate sau
nu sa aiba loc. Are probabilitatea mai mare
ca 0 si mai mica ca 1.
• Evenimentul sigur este evenimentul care se
realizeaza cu certitudine. Probabilitatea
evenimentului sigur este 1.

8. • Operatii cu evenimente.
• Negatia: _
• Def) Daca A este un eveniment,atunci A(citim:non
A)este evenimentul care se ralizeaza daca si numai
daca nu se realizeaza A.
• De exemplu la aruncarea zarului daca A={1,2,3}
care inseamna ca A se realizeaza daca la o proba
apare una din fetele cu 1,2 sau 3 puncte,atunc
A(non A)={4,5,6}(care se realizeaza daca nu se
realizeaza A,adica daca intr-o proba apare una din
fetele care contin 4,5 sau 6 puncte).
• Reuniunea
• Def)Fie A,B doua evenimente.Se numeste
reuniunea evenimentelor A,B evenimentul notat A
U B(citim A sau B)care se realizeaza daca si numai
daca se realizeaza cel putin unul din evenimentele
A,B.
• Exemplu.La aruncarea zarului fie evenimentele:
• A={1,2,3},B={4,5},C={1,3},D={2,3,5}.Atunci A U
B={1,2,3,4,5}si C U D={1,2,3,5}.

9. • Intersectia
• Definitie:Fie A,B doua evenimente.Se
numeste intersectia evenimentelor A
si B evenimentul notat A ^ B(citim: A
si B)care se realizeaza daca si numai
daca se realizeaza simultan A si B.
• Exemplu.La aruncarea zarului fie
evenimentele:A={1,2,3,4},B={2,4,6}.
• Atunci A ^ B={2,4}si se realizeaza
daca la aruncarea zarului apare fata
cu doua puncte sau fata cu patru
puncte.

10. • Evenimente incompatibile
• Def.Doua evenimente A,B se numesc incompatibile
dai si numai daca A ^ B=0
• Cu alte cuvinte doua evenimente sunt
incompatibile daca nu se pot realize simultan in
nici o proba legata de fenomenul aleator
considerat.
• Exemplu:La aruncarea zarului evenimentele
A={1,2,3}, B= {4,5,6} sunt incompatibile deoarece A
^ B=0.
• Evenimente elementare
• Def.Fie ohm un univers finit
ohm={w1,w2,...wn}.Evenimentele {w1},{w2},…,{wn}
se numesc evenimente elementare.
• Exemplu:
• La aruncarea monedei ohm={s,b} cand avem
elementele elementare{s} (aparitiastemei,{b}
(aparitia banului).

11. • Functia probabilitate
• Dintre toate formulele propuse pentru
definirea functiei probabilitatea,cea folosita
astazi este teoria dezvoltata de
matematicianul rus Kolmogorov la inceputul
deceniului al patrulea al secolului XX.Ela a
propiat conceptual de probabilitate de
teoria masurii si analiza
functionala.Kolmogorov a creat un
fundament axiomatic pentru conceptual de
probabilitate care se bazeaza pe o multime
ohm de evenimente elementare si un
system |B c P(ohm).Evenimentele sistemului
|B,adica submultimile lui ohm se numesc
evenimente (aleatoare).In plus |B verifica
proprietatile:

12. • 1)Daca A1,A2...,An,…E |B,atunci U Ai E
|B;
• 2)Daca A E B,atunci C A E |B.
• Observatii!!!0)Toate evenimentele vor
avea probabilitati de la 0,evenimentul
imposibil,aproape de zero,evenimente
putin probabile,egale cu ½,corespund
evenimentelor cu sanse egale,aproape
de 1,cand vorbim de evenimente
foarte probabile si pana la 1,care
corespunde evenimentului sigur.

13. • Camp de probabilitate
• Consideram F un fenomen
aleator.Modelarea matematica a
acestuia este caracterizata de cele
trei elemente descries mai
sus:universal probelor(ohm),multimea
tuturor evenimentelor(P(ohm)) si de
probabilitatea P asociata multimii
evenimentelor.
• Definitie.Fie F un fenomen
aleator.Tripletul (ohm,P(ohm),P) se
numeste CAMP DE PROBABILITATE
asociat fenomenului F.

14. • Exemplu:1)La aruncarea monedei
ohm={s.b},P(ohm)={0,{s},{b},{s,b}},iar
P:P(ohm)->[0,oo),unde
P(0)=0,P({s})=P({b})=1/2,P({s,b})=1
• Operatii cu probabilitati
• Din definitia probabilitatii si
proprietatile operatiilor cu multimi se
deduc reguli de calcul ale proprietatii
unor evenimente.
• Vom demonstra pentru inceput
urmatoarea:
• Teorema:Daca A,B E P(ohm),atunci
P(B^A)=P(B)-P(B^A).

15. • *Remarca importanta!!!
• Axiomele din definitia probabilitatii si
rezultatele precedente sunt
insuficiente pentru a preciza
probabilitatile diferitelor evenimente
ale unui univers ohm.Alte consideratii
sau experiente practice sunt
indispensabile pentru a da aceste
probabilitati sau cel putin o parte
Dintre ele.

16. • Evenimente elementare echiprobabile
• Definitie.Fie ohm={W1,W2,…,Wn}.Evenimentele elementare
{W1},{W2},…,{Wn} se numesc echiprobabile daca au aceeasi
probabilitate P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})
• Cum P(ohm)=1,iar pe de alta parte P(ohm)=P({W1})+P({W2})+…
+P({Wn}) (evenimentele elementare fiind incompatibile doua
cate doua deducem:
• P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})=1/n
• Pentru evenimentul:A={Wi,…,Wik}avem acum probabilitatea:
• P(A)=P({Wi1}+…+P({Wik})=k/n.
• Teorema!Daca ohm este un univers format din n evenimente
elementare echiprobabile,iar A este un eveniment format din
reuniunea a k evenimente elementare,atunci
P(A)=k/n=n(A)/n(ohm).
• Reformulam rezultatul sub forma:probabilitatea unui
eveniment asociat unui experiment avand cazuri elementare
echiprobabile este raportul Dintre numarul de cazuri
favorabile realizarii evenimentului si numarul total de cazuri
posibile.

17. • Evenimente elementare echiprobabile
• Definitie.Fie ohm={W1,W2,…,Wn}.Evenimentele elementare
{W1},{W2},…,{Wn} se numesc echiprobabile daca au aceeasi
probabilitate P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})
• Cum P(ohm)=1,iar pe de alta parte P(ohm)=P({W1})+P({W2})+…
+P({Wn}) (evenimentele elementare fiind incompatibile doua
cate doua deducem:
• P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})=1/n
• Pentru evenimentul:A={Wi,…,Wik}avem acum probabilitatea:
• P(A)=P({Wi1}+…+P({Wik})=k/n.
• Teorema!Daca ohm este un univers format din n evenimente
elementare echiprobabile,iar A este un eveniment format din
reuniunea a k evenimente elementare,atunci
• P(A)=k/n=n(A)/n(ohm).
• Reformulam rezultatul sub forma:probabilitatea unui
eveniment asociat unui experiment avand cazuri elementare
echiprobabile este raportul Dintre numarul de cazuri
favorabile realizarii evenimentului si numarul total de cazuri
posibile.

18. • Regula produsului: Si x (produs)
• Pentru calculul probabilitatilor din diagrama,se
poate utilize regula produsului de la
combinatorica.De exemplu,pentru rezultatul (a,a)
avem urmatorul rationament.
• Prima bila alba se extrage din cele trei bile albe in
trei moduri.Se repune bila alba extrasa inapoi in
urna si se reface compozitia initiala a urnei.Deci,la
a doua extragere,bila alba se poate obtine tot in
trei moduri.Conform regulii produsului numarul de
posibilitati de a extrage doua bile albe este egal cu
3x3=9.Numarul de posibilitati de a extrage prima
bila din 7este egal cu sapte.A doua bila se poate
extrage tot Dintre cele 7 bile,in 7 moduri.Conform
aceleasi reguli,numarul de moduri de extragere a
doua bile este egal cu 7x7=49.Probabilitatea
cautata este egala cu 9/49.

19. • Altfel,putem considera doua urne cu
continut identic U1(3a,4n),U2(3a,4n)si
extragem simultan cate o bila din fiecare
urna.Din prima urna,o bila alba se extrage in
3 moduri(din cele 3 bile albe),iar din a doua
urna,o bila alba se extrage regulii
produsului,cele doua bile albe se extrag in
3x3=9 moduri etc.
• Facem observatia ca probabilitatile
(coloana atasata diagramei)sunt correct
calculate,pe coloana rezultate sunt date
toate evenimentele elementare;or,se stie ca
suma probabilitatilor lor este egala cu 1).In
cazul de fata:
• 9/49+12/49+12/49+16/49=49/49=1.

20. • Deci,probabilitatile au fost correct
calculate.
• Observatii!!! 1)Problema poate fi
abordata si astfel:numerotam bilele
albe si negre cu 1a,2a,3a,1n,2n,3n,4n
si avem universal probelor
• Ohm={(x,y)|
x,yE{1a,2a,3a,1n,2n,3n,4n}}cu n
ohm=49.Acum
• A={(1a,1n),(1a,2a,3a,1n,2n,3n,4n)…,
(2a,4n),(3a,1n),…,(3a,4n),(1a,1a),
(1a,2a),(1a,3a),(2a,1a),….,(3a,3a)} cand
n(A)=21 etc.

21. • Regula sumei: Sau<=> + (adunarea)
• Pe fiecare ramura a diagramei am indicat
probabilitatea cu care se extrage bila
respectiva.Dupa prima extragere am marcat
sub fiecare bila extrasa continutul urnei
dupa extragere.
• Probabilitati conditionate
• Pentru un fenomen aleator F dorim sa
calculam probabilitatea unui eveniment A a
carui realizare depinde de realizarea unui
alt eveniment B.Daca realizarea acestuia
din urma a avut loc,atunci aceasta
informatie va modifica probabilitatea de
realizare a evenimentului A.Vom nota
aceasta noua probabilitate prin Pb(A)
(citim:probabilitatea evenimentului A
conditionata de evenimentul B).

22. • Exemplu comentat.Consideram aruncarea
unui zar ideal.Universul probelor este
ohm={1,2,3,4,5,6}(sase evenimente
echiprobabile).Fie A={1,6},B={2,4,6} si A ^
B={6}.Avem P(A)=2/6=1/3,P(B)=3/6=1/2,
P(A^B)=1/6.
• Daca,zarul fiind aruncat,ni se precizeaza ca
s-a obtinut un numar par de puncte(adica s-
a produs B),atunci numarul cazurilor
posibile se reduce la 3(=nB)).Atunci
Pb({6})=1/3.
• Definitie.Fie A,B c ohm.Se numeste
probabilitate a evenimentului A
conditionata de evenimentul B numarul
notat Pb(A)definit prin Pb(A)=P(A^B)/P(B),
P(B)=/ 0.

23. • Teorema!!!
• .Fie A,B,C…evenimente ale unui univers
ohm.Atunci1)P(A^B)=P(A)Pa(B);2)P(A^B^C)=
P(A)pa(B)xPa^b(C).
• Demonstratie!
• 1)Se obtine din Pa(B)=P(A^B)/P(A).
• 2)P(A^B^C)=P(A)Pa(B)x Pa^b(C).
• Exemplu:O urna contine 7 bile rosii si 4 bile
albe.Se fac doua extrageri,fara repunerea
bilei extrase inapoi in urna.
• 1)Determinati probabilitatile evenimentelor
legate de aceasta experienta.
• 2)Determinati probabilitatea ca bilele
extrase sa aiba culori diferite.

24. • Evenimente independente
• Sa ne imaginam ca stim ca evenimentul A s-a
produs,dar ca acest fapt nu are nici o influenta
asupra probabilitatii evenimentului B,adica
Pa(B)=P(B).De aici
P(A^B)/P(A)=P(B)sauP(A^B)=P(A)P(B).
• Dar atunci Pb(A)=P(A^B)?
P(B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A),astfel spus daca
evenimentul B nu depinde de evenimentul A,atunci
nici A nu depinde de B
• Definitie!!!
• 1)Fie A,B c ohm.Se spune ca evenimentele A,B
daca P(A^B)=P (A)P(B).In caz contrar evenimentele
sunt dependente.
• 2)Fie A,B,C c ohm.Se spune ca evenimentele A,B,C
sunt independente daca:
• P(A^B)=P(A)P(B), P(A^C)=P(A)P(C),
• P(B^C)=P(B)P(C),
P(A^B^C)=P(A)P(B)P(C).

25. • Exemplu.Se arunca o moneda de doua ori.Universul
rezultatelor este ohm={(s,s),(s,b),(b,b)}.Consideram
A evenimentul “stema apare la prima
aruncare”.Acesta este A={(s,s),(s,b)}.Fie B
evenimentul “banul apare la a doua aruncare”.Deci
B={(s,b),(b,b)}.Avem:P(A)=2/4=1/2,P(B)=2/4=1/2,iar
P(a^B)=P((s,b))=1/4.
• Definitie!Fie ohm1,ohm2,…,ohmn universurile
associate la n probe successive independente si
P1,P2,…,Pn probabilitatile relative la aceste
universuri.
• Fie ohm=ohm1x…xohm nuniversul asociat multimii
acestor probe,iar P probabilitatea relative la ohm.
• Atunci P(a1,a2,…an)=P1(a1)P2(a2)…Pn(an),aiE ohm
I,i=1,n.
• Aceasta definitie caracterizeaza modelul
mathematic corespunzator unui fenomen aleator F
ale carui n probe sunt independente.

26. • VA MULTUMESC PENTRU ATENTIA
ACORDATA!!