The document discusses solving polynomial equations. It begins by explaining quadratic equations, including how to solve them by factoring or using the quadratic formula. It then introduces polynomial equations of higher degree and methods for determining their real or complex roots, including the fundamental theorem of algebra. Examples are provided to illustrate solving quadratic and polynomial equations using these various methods.

1. Matemática
Básica
PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES
ÁREA DE CIENCIAS

2. PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES
ÁREA DE CIENCIAS
ECUACIONES POLINÓMICAS
𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

3. 𝑥2
− 1 = 0 𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 0
Resolviendo 𝑥 = ±1
¿ 𝒙𝟓 +𝟑𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 ?
PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES
ÁREA DE CIENCIAS

4. CONTENIDO DE LA CLASE
❑ Ecuación de segundo grado.
✓ Expresión general y métodos de solución.
❑ Ecuaciones polinómicas.
✓ Expresión general y regla de Ruffini.

5. OBJETIVOS
Resolver ecuaciones algebraicas utilizando
las propiedades de los números reales y
aplicarlas a la solución de problemas.
Utilizar la regla de Ruffini para determinar
las raíces de una ecuación polinomial.

6. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Ecuación de segundo grado es una expresión de la forma o reducida a la forma:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
donde los coeficientes 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales con 𝑎 ≠ 0.

7. a) Por factorización
Métodos de solución
Propiedad 1: 𝐴. 𝐵 = 0 ⇔ 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0
Siempre y cuando el primer miembro de la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, se pueda
expresar como el producto de dos factores lineales de la forma: 𝐴 . 𝐵 = 0
EJEMPLO
Resuelva la ecuación: 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3 = 0
Solución
La ecuación es equivalente a:
2𝑥 − 1 𝑥 + 3 = 0
∴ 𝑆 = −3;
1
2
2𝑥 − 1 = 0 ∨ 𝑥 + 3 = 0
𝑥 =
1
2
∨ 𝑥 = −3
Factorizamos por el aspa simple
2𝑥2 + 5𝑥 − 3
2𝑥
𝑥
−1
+3 = 6𝑥
= −𝑥
+
+5𝑥

8. b) Por fórmula general
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Dada la ecuación cuadrática:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝑎 ≠ 0,
los valores de la variable 𝑥 se
obtienen mediante la formula
EJEMPLO
Resuelva la ecuación: 2𝑥2 + 4𝑥 − 1 = 0
Solución
Según la ecuación: 𝑎 = 2, 𝑏 = 4 y 𝑐 = −1
𝐷 = ∆ = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
El valor 𝑏2 − 4𝑎𝑐 se denomina
discriminante de la ecuación de
segundo grado y se denota por
𝐷 𝑜 ∆. Es decir:
Discriminante: 𝐷 = 42
− 4 2 −1 = 24
Luego, 𝑥 =
−4 ± 24
2(2)
=
−4 ± 2 6
4
𝑥1 =
−2 + 6
2
∨ 𝑥2 =
−2 − 6
2
∴ 𝑆 =
−2 − 6
2
;
−2 + 6
2

9. a) Si 𝐷 = ∆ = 𝑏2
− 4𝑎𝑐 > 0, las dos raíces de la ecuación son números reales
y diferentes.
b) Si 𝐷 = ∆ = 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0, las dos raíces de la ecuación son números reales e
iguales.
c) Si 𝐷 = ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, las dos raíces de la ecuación no son números reales,
son números complejos y conjugados.
Propiedad 2

10. Utilice el discriminante para determinar si las raíces de las siguientes ecuaciones
son números reales o no
a) 5𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 b) 𝑥2
− 4𝑥 + 4 = 0
𝐷 = ∆ = (−3)2−(4)(5)(1)
𝐷 = ∆ = 9 − 20 = −11
𝐷 = ∆ = −4 2 − (4)(1)(4)
𝐷 = ∆ = 16 − 16 = 0
Tiene raíces complejas
y conjugadas
Tiene dos raíces iguales
y reales
Ejercicio 9 (Página 91)

11. Ejercicio 11 (Página 92)
El alquiler de un ómnibus para una excursión estudiantil costó S/1200. El
organizador de la excursión afirma que si hubieran viajado 20 estudiantes más el
costo de transporte por estudiante habría sido S/16 menos. ¿Cuántos estudiantes
fueron a la excursión?
Solución
a) 𝑥: número de estudiantes 𝑦: costo de transporte por estudiante
b) ቐ
𝑥 . 𝑦 = 1200
𝑥 + 20 𝑦 − 16 = 1200
𝑥𝑦 − 16𝑥 + 20𝑦 − 320 = 1200
16𝑥 − 20𝑦 + 320 = 0
1200 − 16𝑥 + 20𝑦 − 320 = 1200
4𝑥 − 5𝑦 + 80 = 0
⟺ 𝑦 = 1200
𝑥

12. 𝑥2 + 20𝑥 − 1500 = 0
Respuesta. Fueron a la excursión 30 estudiantes.
𝑥1 = 30
4𝑥2 − 6000 + 80𝑥 = 0
4𝑥 − 5
1200
𝑥
+ 80 = 0
Al reemplazar 𝑦 =
1200
𝑥
en la igualdad anterior, obtenemos:
𝑥 − 30 𝑥 + 50 = 0
𝑥2 = −50

13. Ejercicio 12 (Página 92)
Un ingeniero de sistemas cobró S/900 por arreglar una falla en el sistema de
cómputo de una empresa. El trabajo le llevó tres horas menos de lo que suponía y
entonces ganó S/50 más por hora de lo que esperaba. ¿Cuánto dinero por hora
pensó cobrar inicialmente por llevar a cabo el trabajo?
Solución
a) 𝑥: número de horas 𝑦: pago por hora
b) ቐ
𝑥 . 𝑦 = 900
𝑥 − 3 𝑦 + 50 = 900
𝑥𝑦 + 50𝑥 − 3𝑦 − 150 = 900
50𝑥 − 3𝑦 − 150 = 0
900 + 50𝑥 − 3𝑦 − 150 = 900
⟺ 𝑥 = 900
𝑦

14. 𝑦2 + 50𝑦 − 15 000 = 0
Respuesta. Inicialmente el ingeniero pensó cobrar 100 soles.
𝑦1 = 100
45 000 − 3𝑦2 − 150𝑦 = 0
50
900
𝑦
− 3𝑦 − 150 = 0
Al reemplazar 𝑥 =
900
𝑦
en la igualdad anterior, obtenemos:
𝑦 − 100 𝑦 + 150 = 0
𝑦2 = −150

15. ECUACIONES POLINÓMICAS
Una ecuación polinómica es una igualdad de la forma o reducida a la forma:
𝑷 𝒙 = 𝟎 𝑛 ≥ 1
𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0
Un polinomio de grado 𝑛 es de la forma
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
Donde, 𝑎𝑖 son coeficientes reales, 𝑎𝑛 ≠ 0 , 𝑛 ∈ ℕ
𝑎𝑛 : coeficiente principal
𝑎0 : término independiente

16. 1. 𝑥3−4𝑥2 + 𝑥 + 6 = 0
2. 𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 15𝑥2 + 4𝑥 + 12 = 0
3. 𝑥 3𝑥 − 1 = 2
EJEMPLOS

17. Toda ecuación polinomial 𝑃 𝑥 = 0 de grado 𝑛 𝑛 ≥ 1 ; tiene por lo menos una
raíz compleja; y como máximo 𝑛 raíces complejas, algunas de las cuales se
pueden repetir 𝑘 veces (multiplicidad 𝑘)
Teorema Fundamental del álgebra

18. En una ecuación polinomial 𝑃 𝑥 = 0 de grado 𝑛 𝑛 ≥ 1 ; si 𝒙 = 𝒓 es una raíz de
esta ecuación, entonces 𝑥 − 𝑟 es un factor del polinomio 𝑃 𝑥 , es decir:
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝑟 𝑄(𝑥)
Donde 𝑄(𝑥) es un polinomio de grado (𝑛 − 1)
Teorema del factor

19. En una ecuación polinomial de grado 𝑛 𝑛 ≥ 1 ;
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0 , donde los coeficientes son enteros,
además
𝑎𝑛 ≠ 0 𝑦 𝑎0 ≠ 0 ; el conjunto de posibles raíces racionales (𝑃. 𝑅. 𝑅 .) está dado por:
𝑃. 𝑅. 𝑅 = ±
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎0
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑛
Teorema de las raíces racionales

20. En una ecuación polinomial de grado 𝑛 𝑛 ≥ 1 .
1) 𝑎𝑛 = 1 , entonces las posibles raíces racionales son enteras.
2) Si la suma de todos los coeficientes es cero, entonces 𝑥 = 1 es una raíz de la
ecuación polinomial.
3) Si el término independiente es cero, entonces la ecuación polinomial tiene al
menos una raíz igual a cero.
4) Para calcular las raíces, se puede factorizar el polinomio con la regla de Ruffini.
Observaciones

21. EJEMPLO
Determine el conjunto solución de la siguiente ecuación polinómica:
𝑥3
+ 4𝑥2
+ 𝑥 − 6 = 0
Solución
Dado que el coeficiente principal es 𝑎𝑛 = 𝑎3 = 1 y el término independiente es 𝑎0 = −6
𝑃. 𝑅. 𝑅 = ±
divisores de (6)
divisores de (1)
= ±1, ±2, ±3, ±6
Como la suma de coeficientes es, 1 + 4 + 1 + (−6) = 0, entonces una raíz es, 𝑥 = 1
Para hallar las otras 2 raíces aplicamos Ruffini
𝑥 = 1
1 + 4 + 1 − 6
Raíz
1
1
+5 +6 0
+5 + 6
Luego, obtenemos la ecuación:
1𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
𝑥 + 3 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = −2
∴ 𝑆 = −3; −2; 1
= ±
1; 2; 3; 6
1

22. Ejercicio 18 (Página 92)
Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) 𝑥5 − 2𝑥4 − 5𝑥3 + 6𝑥2 =0
b) 4𝑥3 + 14𝑥2 +10𝑥 − 3=0
c) 𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 15𝑥2 + 4𝑥 + 12 = 0
d) 6𝑥4 + 25𝑥3 + 12𝑥2 −25𝑥 + 6 =0

23. a) 𝑥5 − 2𝑥4 − 5𝑥3 + 6𝑥2 =0
Como el término independiente es cero, entonces se factoriza 𝑥2
𝑥2 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 ⟺ 𝑥2 = 0 ∨ 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
𝑥. 𝑥 = 0 ∨ 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 0
𝑥 = 0 es una raíz doble
Como 1 − 2 − 5 + 6 = 0, entonces una raíz es, 𝑥 = 1
𝑥 = 1
1 − 2 − 5 + 6
1
1
−1 −6 0
−1 −6
1𝑥2
− 1𝑥 − 6 = 0
𝑥 − 3 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 3 𝑆 = −2; 0 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 ; 1; 3
v
Solución

24. Solución
b) 4𝑥3 + 14𝑥2 +10𝑥 − 3=0
𝑃. 𝑅. 𝑅. = ±
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 (3)
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 (4)
= ±
1;3
1;2;4
= ±1; ±
1
2
; ±
1
4
; ±3; ±
3
2
; ±
3
4
Aplicamos Ruffini:
𝑥 = −3
2
4 + 14 + 10 − 3
4
− 6
+ 8 − 2 0
− 12 + 3
4𝑥2 + 8𝑥 − 2 = 0
2𝑥2 + 4𝑥 − 1 = 0
Entonces: 𝑎 = 2, 𝑏 = 4, 𝑐 = −1 y ∆ = 24
𝑥 =
−4 ± 24
4
=
−4 ± 2 6
4
=
−2 ± 6
2
∴ S =
−2 − 6
2
; −
3
2
;
−2 + 6
2
Al simplificar se obtiene:
Luego, se reemplaza en la fórmula general

25. Solución
c) 𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 15𝑥2 + 4𝑥 + 12 = 0
Las 𝑃. 𝑅. 𝑅. = ±
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 (12)
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 (1)
= ±
1;2;3;4;6;12
1
= ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12
Como la suma de coeficientes es, 1 + 3 − 5 − 15 + 4 + 12 = 0, entonces una raíz es, 𝑥 = 1
Aplicamos Ruffini:
𝑥 = 1
1 + 3 − 5 − 15 + 4 + 12
1
1
+ 4 − 1 − 16
4 − 1 − 16
− 12
− 12
0
𝑥 = −1
1
− 1
+ 3
− 3
− 4
+ 4
− 12
+ 12
0
𝑥 = −2
1
− 2
+ 1
− 2
− 6
+ 12
0
∴ 𝑆 = −3; −2; −1; 1 ; 2
𝑥5
+ 3𝑥4
− 5𝑥3
− 15𝑥2
+ 4𝑥 + 12 = 0
𝑥 + 3 𝑥 + 2 𝑥 + 1 𝑥 − 1 𝑥 − 2 = 0
𝑥2
+ 𝑥 − 6 = 0 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 2
Con las raíces para el polinomio
Obtenemos los factores del polinomio

26. Solución
d) 6𝑥4 + 25𝑥3 + 12𝑥2 −25𝑥 + 6 =0
Las 𝑃. 𝑅. 𝑅. = ±
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 (6)
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 (6)
= ±
1;2;3;6
1;2;3;6
= ±1; ±
1
2
; ±
1
3
; ±
1
6
; ±2; ±
2
3
; ±3; ±
3
2
; ±6
Aplicamos Ruffini:
6 + 25 + 12 − 25 + 6
𝑥 = −2 − 12 − 26 + 28 − 6
6 + 13 − 14 + 3 0
𝑥 = −3 − 18 + 15 − 3
6 − 5 + 1 0
6𝑥4
+ 25𝑥3
+ 12𝑥2
−25𝑥 + 6 = 0
∴ 𝑆 = −3; −2;
1
3
;
1
2
𝑥 + 3 𝑥 + 2 3𝑥 − 1 2𝑥 − 1 =0
6𝑥2
− 5𝑥 + 1 = 0
6𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 3𝑥 − 1 2𝑥 − 1 = 0
𝑥 =
1
3
∨ 𝑥 =
1
2

27. Determine el conjunto solución de la ecuación 𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0
SONDEO
a) 𝑆 = −2; −1; 1 b) 𝑆 = −1; 1; 2 c) 𝑆 = −2; 1; 2 d) 𝑆 = 1; 2; 3
Respuesta: b
Solución
Al factorizar la expresión del primer miembro por la regla de Ruffini, se obtiene:
𝑥 + 1 𝑥 − 1 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2
Por lo tanto, 𝑆 = −1; 1; 2

28. Ejercicio 21 (Página 93)
Determine una ecuación polinómica de menor grado posible, con coeficiente
principal igual a 1, si sus raíces son: 2; −2; ± 3
Solución
Por el teorema del factor, si sus raíces son: 2; −2; ± 3
Entonces 𝑃 𝑥 = 𝑘(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3 ) 𝑥 + 3 = 0
Coeficiente principal 1, luego: 𝑃 𝑥 = 1 𝑥2 − 4 𝑥2 − 3 = 0
Al efectuar y reducir, se obtiene: 𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 7𝑥2+12 = 0

29. Ejercicio 23 (Página 93)
Una fábrica de envases desea confeccionar una caja rectangular abierta para envasar
chocolates a partir de un cartón rectangular de 6 cm de ancho y 14 cm de largo. Para
lo cual se recorta cuadrados de igual tamaño en las cuatro esquinas y se doblan hacia
arriba las porciones restantes de los lados, formando las caras laterales de la caja. Si
el volumen de la caja debe ser de 40 cm3, ¿cuál debe ser la longitud del cuadrado que
se recorte?

30. Solución
Sea 𝑥 la longitud del lado del cuadrado
que se recorta en cada esquina.
𝑥
𝒙
𝟏𝟒 − 𝟐𝒙
14 cm
6
cm
𝟏𝟒 − 𝟐𝒙
𝟔
−
𝟐𝒙
𝑥
De los datos y las figuras adjuntas, el volumen 𝑉 de la caja es:
𝑉 = (14 − 2𝑥)(6 − 2𝑥) 𝑥
40 = (14 − 2𝑥)(6𝑥 − 2𝑥2
)
40 = 14(6𝑥) − 14(2𝑥2
) − 2𝑥(6𝑥) + 2𝑥(2𝑥2
)
(0 < 𝑥 < 3)

31. 40 = 4𝑥3
− 40𝑥2
+ 84𝑥
4𝑥3
− 40𝑥2
+ 84𝑥 − 40 =0
𝑥3 − 10𝑥2 + 21𝑥 − 10 =0
Al resolver, las raíces, son:
Luego, la longitud del lado del cuadrado que se recorta es de 2 cm o de 4 − 11 cm.
𝑥2 = 4 + 11 = 7,316 2𝑥2 > 6 no puede ser!
𝑥3 = 4 − 11 = 0,683
𝒙
𝟏𝟒 − 𝟐𝒙
𝑥1 = 2

32. Ejercicio 24 (Página 93)
Una fábrica construye un tanque de almacenamiento de gas que tiene la forma de un
cilindro circular recto, cuya altura mide 10 pies, con una semiesfera unida a cada
extremo. Determine la longitud del radio “ 𝑟 ” del tanque para que su volumen sea
27 𝜋 pies3
.
Nota: 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋 𝑟2 ℎ 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4
3
𝜋 𝑟3

33. Solución
Sean:
𝑟 la longitud del radio del tanque y
ℎ = 10 pies la altura del cilindro.
De los datos y la figura, el
volumen 𝑉 del tanque es:
𝑉 = 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
27 𝜋 = 𝜋 𝑟2
ℎ +
4
3
𝜋 𝑟3
27 𝜋 = 𝜋 𝑟2 10 +
4
3
𝜋 𝑟3
r
ℎ = 10 pies

34. 27 = 10 𝑟2
+
4
3
𝑟3
81 = 30 𝑟2 +4 𝑟3
×𝟑
4 𝑟3
+ 30 𝑟2
− 81 =0
cuyas raíces son: 𝑟1 =
3
2
= 1,5
𝑟2=
3 3−9
2
= − 1,901
𝑟3=
−3 3−9
2
= − 7,098
Luego, la longitud radio del cilindro es de 1,5 pies.
Ambas son negativas

35. EJERCICIOS DEL LIBRO
PARA RESOLVER

36. EJERCICIO N° 8a (página 91)
Determine el conjunto solución de la ecuación (8𝑥 + 2)2 + (6𝑥 − 1)2 = 4
EJERCICIO N° 15 (página 92)
Un estudiante de la Facultad de Comunicación debe diseñar un logotipo
rectangular de 24 cm2 de impresión rodeado por márgenes de 1 cm en los
cuatro lados. Si el perímetro de la hoja de papel es de 30 cm, determine
las dimensiones de la hoja, así como su área.
RESPUESTAS: En la página 475 del libro texto.
EJERCICIO N° 18 (página 92)
Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones polinómicas:
e) 3𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 = 0 f ) 𝑥4 − 5𝑥3 − 5𝑥2 + 23𝑥 + 10 = 0

37. TEORÍA Y
PRÁCTICA
AUTOR TÍTULO EDITORIAL
Páginas: 62 - 93
Cárdenas, V., del Águila, V.,
Mitacc,M., y Yalta, A.
Matemática Básica
(2a ed.).(2017)
Universidad de Lima
Fondo Editorial
REVISE EL LIBRO TEXTO DE LA ASIGNATURA

38. GRACIAS