Este documento presenta conceptos fundamentales de probabilidad y distribuciones de probabilidad discretas como Bernoulli, binomial, Poisson y exponencial. Explica las fórmulas y características de cada distribución con ejemplos ilustrativos. Además, proporciona problemas de aplicación para que el lector practique el cálculo de probabilidades con diferentes escenarios.

1. DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDADES.
Carlos Alexis Estrada Juárez

2. CONCEPTO DE BERNOULLI.
Si X es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos", y se realiza un único
experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria
X , se distribuye como una Bernoulli de parámetro p.
Su formula es:
Su función de probabilidad es definida como:

3. EJEMPLO DE PROBABILIDAD DE BERNOULLI.
¿Qué tal van las clases, Bartolo?
Me pregunta mi barbero.
-Bien... Dando probabilidad
y estadística... Respondo.
-¡Ah! Probabilidad... Yo
Suelo jugar a la lotería...
Cuando compro un número, tal y como yo lo veo, hay dos
posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de
probabilidad de ganar y un 50% de perder
ganar
perder
50%
50%
E
F
La suma de esto debe dar
100%

4.  ¿Se lanzan una moneda que probabilidad es de que salga águila?
águila 50% E
sol 50% F
Probabilidad.
1
0
0.3
0.7
1.0
La suma de esto debe dar
100%

5. Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X =1 si el
dado cae seis y X= 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?
Solución
La probabilidad de éxito es p P(X 1) 1/6. Por lo que X Bernoulli(1/6).

6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte
superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro
es de 0.55.
a) Sea X 1, si anota el tiro, si no lo hace, X 0. Determine
la media y la varianza de X.
b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla,
su equipo no recibe puntos. Sea Y el número de puntos
anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es
así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique
por qué.
c) Determine la media y varianza de Y.

7. En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para
beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40%
una grande. Sea X 1 si se escoge aleatoriamente una orden
de una bebida pequeña y X 0 en cualquier otro caso.
Sea Y 1 si la orden es una bebida mediana y Y 0 en
cualquier otro caso. Sea Z 1 si la orden es una bebida pequeña
o mediana y Z 0 para cualquier otro caso.
a) Sea pX la probabilidad de éxito de X. Determine pX.
b) Sea pY la probabilidad de éxito de Y. Determine pY.
c) Sea pZ la probabilidad de éxito de Z. Determine pZ.
d) ¿Es posible que X , Y sean iguales a 1?
e) ¿Es pZ pX pY?
f ) ¿Es Z X Y? Explique.
Problema 2

8. PROBLEMA 3
Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X =
1 si sale “cara” en la moneda de 1 centavo y X = 0 en cualquier
otro caso. Sea Y = 1 si sale “cara” en la moneda de 5
centavos y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si sale
“cara” en ambas monedas y Z 0 en cualquier otro caso.
a) Sea pX la probabilidad de éxito de X. Determine pX.
b) Sea pY la probabilidad de éxito de X. Determine pY.
c) Sea pZ la probabilidad de éxito de X. Determine pZ.
d) ¿Son X , Y independientes?
e) ¿Es pZ = pX pY?
f ) ¿Es Z = XY? Explique.

9. PROBLEMA 4
Se lanzan dos dados. Sea X = 1 si sale el mismo número en
ambos y X = 0 en cualquier otro caso. Sea Y =1 si la suma
es 6 ,Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z =1 si sale el
mismo número en los dados y ambos suman 6 (es decir, que
salga 3 en los dos dados) y Z = 0 en cualquier otro caso.
a) Sea pX la probabilidad de éxito de X. Determine pX.
b) Sea pY la probabilidad de éxito de Y. Determine pY.
c) Sea pZ la probabilidad de éxito de Z. Determine pZ.
d) ¿Son X , Y independientes?
e) ¿Es pZ = pX pY?
f ) ¿Es Z = XY? Explique.

10. PROBLEMA 5
Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = XY.
a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.
b) Demuestre que si X , Y son independientes, entonces pZ = pX pY.

11. CONCEPTO DE PROBABILIDAD BINOMIAL
la distribución varios compone es una distribución de probabilidad discreta que cuenta
el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre
sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
 varios componentes determina si esta o no defectuoso
 implica realizar varios ensayos de Bernoulli
 C/U P= éxito ensayos independientes
 X es el numero de éxitos en los ensayos
Formula
x~bin (n,p)

12. EJEMPLOS DE PROBABILIDAD BINOMIAL

13. EJEMPLO 2°

14. EJEMPLO 3

15. PROBLEMAS PARA SU RESOLUCIÓN
1. Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de ellas es correcta. Un
estudiante que no se había preparado la materia responde completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente.
Calcula la probabilidad de que acierte 4 o más preguntas.
2. La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que
cobre una pieza al menos 3 veces.
3. Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales se acompaña de cuatro respuestas, una de ellas
correcta y erróneas las otras tres. Si un estudiante contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 30
preguntas? ¿Y menos de 15?
4. Una persona que desea encontrar trabajo se presenta a dos entrevistas en las empresas A y B. En la entrevista de la
empresa A obtiene una puntuación de 9, con una media de puntuación de 7 para la totalidad de los candidatos y una
varianza de 4. En la entrevista de la empresa B obtiene una puntuación de 8, con una media de puntuación de 6 para la
totalidad de los candidatos y una desviación típica de 1,5 ¿En qué entrevista ha obtenido esa persona una mejor
puntuación relativa?
5. En un test que mide ciertas habilidades específicas, las puntuaciones se distribuyen normalmente, con media 100 y
desviación típica 25. El 20 % de las puntuaciones más altas corresponde al grupo de los superdotados, y el 20 % de las
puntuaciones más bajas al de los infradotados. Calcular las puntuaciones que delimitan los distintos grupos.

16. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD POISSON
la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a
partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un
determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se
especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy
pequeñas, o sucesos "raros“.
Formula

17. EJEMPLOS DE LA PROBABILIDAD DE POISSON

18. PROBLEMAS DE POISSON PARA SU RESOLUCIÓN

19. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL
La variable aleatoria exponencial, es el tiempo que transcurre hasta que se da el primer
evento de Poisson. Es decir, la distribución exponencial puede modelar el lapso entre
dos eventos consecutivos de Poisson que ocurren de manera independiente y a una
frecuencia constante. Esta distribución se emplea con bastante frecuencia con objeto
de modelar problemas del tipo "tiempo - falla" y como modelo para el estudio de
intervalos en problemas de espera.
Formula

20. EJEMPLOS DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL.

21. PROBLEMAS DE EXPONENCIAL PARA SU RESOLUCIÓN