Viagens com gps

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Conceitos-chave nesta secção:

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20
Ténis que dispõem de um receptor
de GPS e de um emissor
de rádio que informa
permanentemente
qual é a posição
dos seus
portadores...
Pode ser utilizado
para os pais
saberem em que
local se encontram os filhos (utilizando uma página na
Internet) e pode até ser programado para produzir um
sinal sonoro se se afastarem demasiado...
1 “Invente” uma possível utilização para um GPS que seja útil para um técnico florestal.
2 Os relógios do sistema GPS têm de ter elevada precisão. Explique porquê em duas ou três
frases.
3 Que precisão aproximada deveria ter o sistema GPS para que pudesse ser utilizado
adequadamente numa bola de futebol para saber quando era ou não golo?
O sistema GPS (“Global Positioning System”, Sistema
de Posicionamento Global) permite a localização de
qualquer objecto na Terra com elevada precisão
(incerteza de poucos metros, ou menor). Foi desen-
volvido pelo Ministério da Defesa dos Estados Unidos
da América e está disponível desde a década de 1980
para uso não militar, em todo o mundo. Na década de
2000, generalizou-se a utilização do GPS em automó-
veis, depois de se ter igualmente generalizado o seu
uso na ajuda à navegação no mar e no ar.
O sistema inclui um conjunto de dezenas de saté-
lites em órbita terrestre, que emitem radiação elec-
tromagnética (microondas) que é recebida pelos apa-
relhos receptores na Terra. A recepção dos sinais de
pelo menos quatro satélites, em simultâneo, permite
aos aparelhos de recepção calcular a posição
na Terra, bem como a magnitude e a direcção
da velocidade, no caso do aparelho receptor estar
em movimento. A ciência e a tecnologia que estão na
base do sistema GPS é extremamente complexa. Por
exemplo, exige relógios que conseguem distinguir mi-
lésimos de milionésimo de segundo. Só com relógios
tão precisos é possível calcular o tempo que demora
os sinais entre os satélites e os receptores na Terra,
quando se percorre distâncias pequenas.
É enorme a importância actual do GPS, desde a
sua utilização militar (nos mísseis, por exemplo) e
na navegação (onde praticamente substi-
tuiu todos os processos anteriores de
fazer navegação) até à elaboração e
verificação de mapas, passando pela
determinação da velocidade e dis-
tância percorrida por atletas até
ao controlo de pessoas idosas com
risco de perdas de memória (ou de
crianças e jovens pelos pais, ver
imagem ao lado). E todos os anos
surgem novas aplicações do GPS, à
medida que os circuitos receptores
diminuem de tamanho e de preço.
Funcionamento e aplicações do sistema GPS
À esquerda: um
GPS utilizado
principalmente
para navegação
no mar e
em passeios
pedestres. À
direita, um GPS
para uso em
automóveis.
Um dos circuitos de
recepção mais utilizados
nos aparelhos de GPS
(circuito Sirf III).
Conhecendo a distância a
vários satélites, bem como
a posição dos satélites, é
possível determinar a posição
do receptor na Terra.

21
1 Qual das cidades assinaladas na figura tem latitude
sul? E a longitude dessa cidade é este ou oeste?
2 Estime um valor aproximado, em graus, para a
longitude de Londres. Fundamente a resposta.
3 Estime um valor aproximado (às dezenas) para
a latitude de Londres, sabendo que a latitude de
Lisboa é N39º.
A determinação da posição de um objecto pode ser
feita utilizando as chamadas coordenadas de posi-
ção que não são mais do que quantidades físicas que
medem distâncias e, ou, ângulos.
Para posições na superfície terrestre costu-
mam-se utilizar dois ângulos e uma distância, as
chamadas coordenadas geográficas:
• a latitude, que é um ângulo medido no me-
ridiano do lugar a partir do equador, para
norte ou para sul; varia
de 0º a 90º norte ou de
0º a 90º sul (0º a 90º N
e 0º a 90º S);
• e a longitude, um ân-
gulo medido no para-
lelo do lugar, para oeste
ou para este, a partir do
meridiano de referência
(meridiano que passa por
Greenwich, uma locali-
dade perto de Londres, na
Inglaterra); varia de 0º a 180º oeste ou de 0º a
180º este (0º a 180º W e 0º a 180º E);
• a altitude, que é a distância do objecto ao nível
médio do mar.
Os ângulos das coordenadas geográficas medem-se
em graus (º). Um grau é a fracção 1/90 de um ângulo
recto. Cada grau tem 60 minutos de arco (60’) e cada
minuto de arco tem 60 segundos de arco (60’’). Com
frequência, em vez de se usar segundos de arco, utili-
zam-se fracções decimais do minuto.
Por exemplo, as coordenadas geográ-
ficas do farol do Cabo da Roca (o ponto
mais ocidental da Europa, na foto), são
N38°46.9’, W9°29.8’, 165 m. Isto significa
que: a latitude do farol é 38 graus e 46,9
minutos norte; a longitude do farol é 9
graus e 29,8 minutos oeste; a altitude do
farol é 165 m.
Posição na Terra e coordenadas geográficas
Pólo Norte
Pólo Sul
(latitude = 0°)
Meridiano de Greenwich
(longitude = 0°)
A
Este ângulo
mede a
latitude
do lugar A
OESTE
ESTE
Este ângulo mede a
longitude do lugar A
Eixo de rotação da Terra
Meridiano que passa
no lugar A
Paralelo que
passa no lugar A
Equador
Hemisfério norte
Hemisfério sul
Pólo Norte
Pólo Sul
Equador
(latitude = 0°)
Meridiano de Greenwich
(longitude = 0°)
Lisboa
Moscovo
Londres
Rio de
Janeiro
Norte (N)
Sul (S)
Oeste (W) Este (E)

22
O sistema GPS é um exemplo
de como a ciência pura e
abstracta pode vir a ter
aplicações inesperadas tempos
depois...
De facto, quem diria que as
ideias de Galileu e Newton,
sobre o movimento dos
objectos na Terra e nos céus,
poderiam ter utilidade prática
trezentos anos depois...?
Quem diria que a teorias
matemáticas muito complexas
desenvolvidas no século XIX
e as teorias de Einstein,
desenvolvidas no princípio do
século XX, acerca da natureza
do espaço e do tempo,
poderiam ter utilidade prática
algumas dezenas de anos
depois...?
Ao lado, com as órbitas à
escala, pode observar-se
uma imagem da constelação
de 28 satélites em 6 planos
orbitais. Cada um dá uma volta
à Terra duas vezes por dia a
uma altitude de 20200 km à
velocidade de 11265 km/h.
Cada satélite tem um relógio
atómico e comunica com
um conjunto de estações de
observação terrestres.
Os receptores necessitam de
receber os sinais de quatro
satélites para determinar as
suas próprias coordenadas.
Para tal, o receptor calcula a
distância a cada um dos quatro
satélites pelo intervalo de
tempo entre o instante local
e o instante em que os sinais
foram enviados. Conhecendo
as localizações dos satélites a
partir dos sinais dos satélites,
o receptor pode situar-se na
intersecção de quatro calotes,
uma para cada satélite.
Nas imagens ao lado, pode
observar-se um percurso de
carro sobreposto no Google
Earth (earth.google.com),
visto em perspectiva e visto
directamente na vertical.
A precisão do GPS permite
distinguir em que lado
(esquerda/direita) se vai numa
estrada...

23
O uso do GPS alterou
completamente, na década de
1990, como se faz navegação,
isto é, como se determina a
posição de um objecto no mar,
no ar ou em terra e como se
determina para onde deve
aponta a velocidade desse
objecto quando se pretende
atingir um determinado lugar.
Ao lado, pode observar
um percurso no mar, perto
de Cascais, registado em
perspectiva e na vertical, no
Google Earth, e registado numa
carta náutica digital (em baixo).
O registo na carta náutica
inclui ainda a magnitude
da velocidade: o código de
cores utilizado na trajectória
representa as velocidades mais
elevadas a vermelho e as mais
baixas a amarelo.
No site do Programa Ciência
Viva, na página do projecto
Latitude e Longitude,
Instrumentos e Medição,
www.cienciaviva.pt/latlong,
existem textos e actividades
sobre o GPS e sobre a história
dos instrumentos de navegação,
nomeadamente os utilizados
nas viagens dos descobrimentos
portugueses nos séculos XIV e
XV. Essa página pode ser um
bom ponto de partida quer para
a construção de instrumentos
simples quer para a realização
de outros trabalhos sobre as
tecnologias e a ciência da
navegação.
http://www.cienciaviva.pt/latlong

24
1 Desceva dois exemplos de movimentos com trajectória rectilínea.
2 Descreva dois exemplos de movimentos com trajectória circular.
3 Será possível utilizar apenas uma coordenada cartesiana para descrever a posição de um
objecto em movimento circular? Fundamente a resposta.
4 O comprimento da trajectória é sempre igual à distância percorrida? Fundamente a resposta,
utilizando exemplos adequados.
Em certas situações como, por exemplo, para descre-
ver a posição numa zona relativamente pequena, não
é prático utilizar as coordenadas geográficas latitude,
longitude e altitude. No século XVII, o filósofo e ma-
temático René Descartes inventou outro modo de des-
crever a posição através das chamadas coordenadas
cartesianas.
As coordenadas cartesianas definem-se num re-
ferencial cartesiano, que é apenas um sistema de
eixos perpendiculares entre si e que começam num
certo ponto, a chamada origem do referencial. A ori-
gem representa‑se por O. Os eixos do referencial são
convencionalmente designados por eixos Ox, Oy e Oz
(ou eixos dos xx, dos yy e dos zz).
Para certos movimentos como, por exemplo, o mo-
vimento de um projéctil, que ocorre num plano vertical,
são necessários apenas dois eixos para descrever as po-
sições do projéctil. E se o movimento for segundo uma
linha recta, então basta apenas um eixo para descrever
a posição nessa linha. Já a posição de uma mosca, com
uma trajectória curvilínea irregular, necessita de três ei-
xos para ser correctamente descrita.
Posição num referencial e coordenadas cartesianas
O
y
x
O
O
x
Para descrever a posição da mosca no espaço
é necessário utilizar três coordenadas (duas
coordenadas horizontais e uma coordenada
vertical).
Para descrever a posição de um projéctil no espaço pode
utilizar-se duas coordenadas (uma coordenada horizontal e uma
coordenada vertical).
Para descrever a posição da pessoa numa linha recta
pode utilizar-se uma única coordenada horizontal.

25
1 Na foto acima da queda da esfera, a foto evidencia que a esfera move-se cada vez mais
depressa. Porquê?
2 Quantas coordenadas são necessárias para descrever a posição da esfera? Porquê?
3 Admita que coloca a origem do referencial no ponto em que a esfera atinge o chão e que o
eixo Oy aponta para cima. Nesse caso, quanto vale a coordenada da esfera no instante em que
atinge o solo?
O tempo é uma grandeza física que se pode
medir com relógios. Não é fácil definir o tempo de
outro modo. Santo Agostinho, um filósofo que vi-
veu há mais de 1500 anos, escreveu “se não me
perguntarem o que é o tempo, eu sei o que é, mas
se me perguntarem então já não sei o que é o
tempo...”.
Um objecto em movimento evidencia a pas-
sagem do tempo. Tempo e movimento são, pois,
conceitos intimamente associados. O conceito de
movimento é mais facilmente definido: há movi-
mento quando há mudança de posição.
Como representar numa folha de papel um ob-
jecto em movimento, se qualquer imagem no papel
está necessariamente parada? Há várias formas de
o fazer, como já se fez na página anterior: o trace-
jado do caminho da mosca no espaço sugere por
onde a mosca se moveu... e as várias representa-
ções da bala de canhão sugerem que a bala esteve
em várias posições!
A trajectória de um objecto em movimento é o
conjunto de todas as posições do objecto à medida
que o tempo passa. Há trajectórias “simples”, como
as trajectórias rectilíneas e as trajectórias circu-
lares, mas a maioria das trajectórias são bastante
complexas. Algumas trajectórias curvilíneas, como
a trajectória do movimento de um projéctil em cer-
tas condições, são descritas matematicamente, sem
dificuldade.
Uma forma muito prática de representar um
objecto em movimento, numa folha de papel, é
através da chamada representação estrobos-
cópica: neste tipo de representação, o objecto é
representado em várias posições de tal modo que
entre duas posições sucessivas passa sempre
o mesmo intervalo de tempo. Utilizando uma
lâmpada estroboscópica (acende e apaga a interva-
los de tempo constante) podem fazer-se fotografias
estroboscópicas.
Tempo, trajectória e representações do movimento
Uma foto estroboscópica do movimento de queda
livre de uma esfera. Entre cada duas imagens
sucessivas decorre o mesmo intervalo de tempo.
A trajectória da esfera é vertical. A esfera
inicialmente estava atraída magneticamente ao
suporte S, atracção essa que pode ser desligada
utilizando um interrutor. Quando o interruptor é
desligado, inicia-se a contagem do tempo no relógio
digital R. A contagem do tempo termina quando a
esfera bate na placa P (a colisão envia um sinal ao
relógio).
Uma lâmpada estroboscópica.
P R
S

26
1 Que significa dizer que uma variável é função de outra variável?
2 Em geral, utiliza-se o eixo Oy para representar um eixo vertical. Poder-se-á utilizar um eixo Ox
em vez de Oy? Porquê?
3 Alguns alunos mais distraídos confundem a trajectória de um objecto em movimento com o
gráfico da posição desse objecto em função do tempo. Como é que explicaria a um desses
“distraídos” que essa confusão não tem “lógica”?
Um bom modo de representar o movimento
de um objecto é utilizar gráficos e tabelas
que mostrem os valores da distância percor-
rida e da posição em função do tempo, num
referencial conveniente. Vejamos alguns
exemplos para o mo-
vimento de queda de
uma pequena esfera
(os valores foram ob-
tidos com o modelo
matemático que será
estudado adiante).
Distância percorrida
pela esfera na queda,
em função do tempo
decorrido desde o início
da queda.
Referencial com eixo Oy
apontando para baixo,
com origem no ponto
de partida.
Posição no eixo Oy,
da queda.
Referencial com eixo Oy
apontando para cima,
com origem no solo.
Posição no eixo Oy,
da queda. A altura do
ponto de partida, acima
da origem O, era de
1,400 m.
Gráficos e tabelas da distância percorrida e da posição em
função do tempo
O
O
y
y
x
x

27
1 Qual foi a velocidade da pessoa entre 100 s e 120 s no percurso referido acima? Fundamente a
resposta.
2 No percurso total, ida e volta, qual foi a distância percorrida?
3 Distância percorrida e distância ao ponto de partida têm sempre o mesmo valor? Fundamente
a resposta, dando exemplos adequados.
Como calcular a velocidade, quando a velocidade é constante
85 s – 10 s = 75 s
105 m – 0 m = 105 m
205 m – 105 m = 100 m
190 s – 125 s = 65 s
Primeira parte do percurso:
afastando-se da praia...
Segunda parte do percurso:
aproximando-se da praia...
(Nota: como a posição determinada
pelo GPS tem um pequeno erro, a
trajectória sobreposta no Google Earth
ficou um pouco deslocada em relação
ao percurso efectivamente realizado).
O movimento de queda livre é um movimento em que
a velocidade aumenta à medida que o tempo passa
(até atingir o solo, claro). Outros movimentos podem
decorrer com velococidade constante, ou aproxima-
damente constante.
A foto ao lado mostra um percurso a pé, aproxi-
madamente rectilíneo, feito com um GPS num pontão
numa praia: o movimento iniciou-se na praia, foi-se até
ao final do pontão e regressou-se. Mas, como se pode
ver no gráfico, nem sempre se esteve em movimento...
O gráfico representa a distância percorrida, a partir do
ponto de partida, em função do tempo decorrido.
O movimento iniciou-se 10 s depois de se começar a
registar os dados: durante os primeiros 10 s, a distân-
cia percorrida foi, pois, nula...
A seguir, durante 75 s, entre 10 s e 85 s, a pessoa
andou 105 m e depois esteve cerca de 40 s parada no
extremo do pontão...
Ao fim de 125 s, voltou para o ponto de partida,
demorando um intervalo de tempo menor do que no
percurso de ida (na volta demorou 65 s, quando tinha
demorado 75 s na ida).
No percurso de ida,
a velocidade foi apro-
ximadamente cons-
tante (por exemplo,
em cada 10 s percorreu
sempre a mesma dis-
tância). A magnitude
da velocidade, no per-
curso de ida, vale
105 m
1,4 m/s
75 s
Quando a velocidade é constante, basta di-
vidir a distância percorrida pelo tempo gasto
para obter a magnitude da velocidade.
N

28
A magnitude da velocidade e o declive do gráfico da distância
percorrida em função do tempo
variação da
grandeza no
eixo horizontal
variação da grandeza
no eixo vertical
205 m – 150 m = 55 m
150 m – 105 m = 45 m
160 s – 125 s = 35 s
190 s – 160 s = 30 s
1 Descreva numa ou duas frases o que é o declive de uma linha num gráfico.
2 Qual é o declive da linha do gráfico entre 100 s e 110 s? Fundamente a resposta.
3 Qual é a magnitude da velocidade entre 100 s e 110 s? Fundamente a resposta.
4 O declive da linha entre 10 s e 20 s é maior/menor/igual [riscar o que estiver errado] ao
declive da linha entre 20 s e 30 s. Que significado tem essa relação?
magnitude da velocidade, entre 125 s e 160 s
magnitude da velocidade, entre 160 s e 190 s
Vejamos novamente os dados referentes ao movimento da
página anterior, no pontão da praia.
No regresso, depois de estar parada cerca de 20 s no
final do pontão, a pessoa voltou, andando mais devagar...
durante cerca de 35 s, até meio do pontão, e depois voltou a
andar mais depressa, do meio do pontão até ao ponto
de partida. Como se pode saber se anda mais de-
pressa ou mais devagar apenas a partir do gráfico da
distância percorrida em função do tempo?
Para responder a este tipo de questões, calcula‑se
o chamado declive da “linha” que representa a distância
percorrida em função do tempo decorrido, para um determi-
nado intervalo de tempo. O declive é o quociente entre a
variação da grandeza no eixo vertical (neste caso, eixo
da distância percorrida) e a variação da grandeza no eixo
horizontal (neste caso, eixo do tempo decorrido).
Calculemos então a magnitude da velocidade no percurso
de volta, onde primeiro se andou mais devagar e depois um
pouco mais depressa (entre 125 s e 160 s o declive é menor
que entre 160 s e 190 s):
variação da grandeza no eixo vertical
declive
variação da grandeza no eixo horizontal
45 m
1,3 m/s
35 s
55 m
1,8 m/s
30 s
declive menor...
declive maior...

29
Gráficos posição-tempo e cálculo da velocidade
5 m – 60 m = – 55 m
60 m – 105 m = – 45 m
160 s – 125 s = 35 s
190 s – 160 s = 30 s
1 Sobreponha ao gráfico posição-tempo acima, o respectivo gráfico distância percorrida-tempo
(indique com um nome adequado a linha correspondente ao novo gráfico).
2 No percurso de A para B, para onde aponta a velocidade?
3 No percurso de B para A, para onde aponta a velocidade?
declive da linha correspon-
dente ao intervalo de tempo
entre 125 s e 160 s:
declive da linha correspondente ao
intervalo de tempo entre 160 s e
190 s:
A distância percorrida por um objecto em movimento está sempre
a aumentar. O mesmo não sucede necessariamente com a coorde-
nada de posição.
Por exemplo, no percurso estudado nas páginas anteriores, uma
pessoa iniciou um movimento na praia, foi até ao extremo do pontão
e voltou para trás até ao ponto de partida. A distância percorrida au-
mentou ao longo do tempo (excepto quando se esteve parado, claro!)
mas a coordenada de posição x no eixo Ox, que coincide com a
trajectória, primeiro aumentou e depois diminuiu (ver representação
do eixo ao lado sobre a foto: a origem O está no ponto de partida). O
gráfico abaixo mostra essa coordenada x, em função do tempo decor-
rido.
A magnitude da velocidade pode ser calculada quer a partir do
gráfico distância percorrida-tempo quer do gráfico posição-tempo. Se
houver movimento, o declive obtido no gráfico distância percorrida-
tempo é sempre positivo, porque a variação da distância percorrida
é sempre positiva. Mas num gráfico posição-tempo, a variação
da coordenada de posição pode ser positiva ou negativa, con-
soante a coordenada aumente ou diminua. Assim, o declive da
linha, num gráfico posição-tempo, pode ser negativo ou positivo.
Note-se que isto não significa que “a velocidade possa ser negativa”!
De facto, não há vectores negativos... Nas páginas seguintes vamos
ver qual é o significado deste declive negativo.
O
x
y
55 m
1,8 m/s
30 s
-
= -
45 m
1,3 m/s
35 s
-
= -
N

30
O GPS de um atleta informa que a magnitude da velocidade
do atleta é, num certo instante, 20 km/h e a direcção é
295º (ver foto).
1 Para onde aponta a velocidade do atleta?
2 Que ângulo faz essa velocidade com o norte? E com o
oeste? E com o noroeste?
3 Como se caracteriza a velocidade do atleta, utilizando os
dois significados do termo velocidade?
Já no ano anterior se usaram vectores para representar quantida-
des físicas. Um vector é um “objecto matemático” que:
• tem um determinado valor (esse valor designa-se por mag-
nitude, mas também se usam os termos módulo e norma);
• “aponta” para um certo lado.
Vimos também que o lado para onde um vector aponta é de-
signado internacionalmente por direcção do vector. Por exemplo,
se a velocidade de um barco aponta para nordeste, diz-se que a
sua velocidade tem a direcção nordeste ou 045 (faz um ângulo de
45º com o norte).
Mas em Portugal utiliza-se frequentemente a convenção se-
gundo a qual uma direcção é uma linha e cada linha tem dois
sentidos. Usando esta linguagem, no caso de um barco a dirigir‑se
para nordeste, diz-se que o barco se move numa direcção
sudoeste-nordeste, sentido para nordeste.
Dizer que uma direcção é uma linha com dois sentidos é uma
linguagem um pouco mais “complicada” que a usada internacio-
nalmente e irá, certamente, cair em desuso, porque é desneces-
sária. E é pouco prático estar a identificar deste modo a direcção
quando, por exemplo, se utiliza um GPS (onde a palavra direcção
tem sempre o significado usado internacionalmente).
Vectores, magnitude e direcção
Este vector aponta na
direcção sudoeste
Significado utilizado internacionalmente
para a palavra “direcção”, um exemplo:
Significado utilizado em Portugal para a
palavra “direcção”, um exemplo:
Este vector tem direcção
sudoeste-nordeste,
sentido sudoeste
Este vector aponta na
direcção nordeste
Este vector tem direcção
sudoeste-nordeste,
sentido nordeste

31
1 Um vector é independente das suas componentes... As componentes é que dependem do
vector. Explique o significado desta afirmação.
2 Em que condições é que as componentes escalares de um vector são ambas positivas e têm
igual valor?
3 Em que condições é que a componente escalar de um vector segundo Oy é nula?
4 Em que condições é que a componente escalar de um vector segundo Ox é nula?
Vectores e componentes vectoriais
Uma ideia importante acerca dos vectores é que não há “vectores
negativos”. Quando se coloca um sinal “menos” atrás da letra que
representa o vector, está-se a indicar o vector simétrico (aponta
para o lado oposto), não um vector negativo.
Para se poder “fazer contas” com vectores, sem ser com regras
gráficas como as que já vimos no ano anterior (por exemplo, a re-
gra cabeça-contra-cauda ou a regra do paralelogramo), utilizam-se
as chamadas componentes de um vector segundo um eixo.
A componente vectorial de um vector segundo um eixo ob-
tém‑se projectando o vector nesse eixo:
Utilizando dois eixos perpendiculares, obtêm-se as componen-
tes vectoriais do vector segundo cada um dos eixos. A cada com-
ponente vectorial corresponde um número, positivo ou negativo,
a chamada componente escalar. As componentes costumam ser
representadas com um índice, que indica a que eixo de referem.
As componentes escalares podem ser calculadas conhecendo a
magnitude do vector e o ângulo com um dos eixos:
O x
vector
componente do vector segundo o eixo Ox
O x
componente escalar do vector
segundo o eixo Ox = + 8
unidades
cálculo da componente, a partir
do ângulo e da magnitude de v:
a = 26,6º
cálculo da componente, a partir
do ângulo e da magnitude de v:
ou:
90 – a
cálculo da magnitude de v, a
partir das componentes:
Recorde que:
componente escalar do vector
segundo o eixo Oy = + 4
unidades
5
5 
v

yv
vx = + 8
vy = + 4
vector soma
vector soma
Exemplo da aplicação da regra
cabeça-contra-cauda:
Como somar vectores
Exemplo da aplicação da regra
do paralelogramo:

yv v = +
=
4 8
8 94
2 2
, unidades
cos
cos( º )
a
a
= =
- =
cateto adjacente
hipotenusa
cateto adjac
v
v
x
90
eente
hipotenusa
cateto oposto
hipotenusa
=
= =
v
v
v
v
y
y
sina
v vx = ´
= ´
= ´
= ´
=
cos
, cos
, cos . º
, ,
a
a8 94
8 94 26 6
8 94 0 8944
8
v vy = ´ -
= ´ -
= ´
= ´
cos( º )
, cos( º . º)
, cos , º
, ,
90
8 94 90 26 6
8 94 63 4
8 94 0 4
a
4472
4=
v vy = ´
= ´
= ´ =
sin
, sin , º
, ,
a
8 94 26 6
8 94 0 4472 4

32
Velocidade: magnitude versus componente escalar (positiva ou
negativa)
160 s – 125 s = 35 s85 s – 10 s = 75 s
1 Calcule a componente escalar da velocidade no final da segunda parte do percurso, enquanto a
pessoa se aproxima de terra, mais depressa.
2 Se o eixo Ox apontasse para terra, em lugar de apontar para o mar, que valores teriam as
componentes escalares da velocidade, no percurso de ida e no percurso de volta?
3 Por que motivo não faz sentido dizer uma velocidade é negativa ou positiva? Explique o seu
raciocínio, utilizando um ou vários exemplos.
declive da linha correspondente ao intervalo
de tempo entre 125 s e 160 s:
declive da linha
correspondente ao
intervalo de tempo entre
10 s e 85 s:
ida, velocidade aponta para o
mar, vx = 1,4 m/s
regresso, entre 125 s e 160 s,
velocidade aponta para terra,
vx = – 1,3 m/s
Na ida, a velocidade tem
magnitude 1,4 m/s e aponta
para o mar.
Na volta, entre 125 s e 160 s,
a velocidade tem magnitude
1,3 m/s e aponta para terra.
No percurso estudado nas páginas anteriores, em que uma pessoa
iniciou um movimento na praia, foi até ao extremo do pontão e
voltou para trás até ao ponto de partida, a velocidade na primeira
parte do percurso apontava para o mar e no regresso apontava
para terra.
Não faz qualquer sentido dizer que a velocidade primeiro era
“positiva” e depois era “negativa” no regresso. De facto, a velo-
cidade, bem como qualquer grandeza vectorial, nunca pode ser
negativa ou positiva. A magnitude da velocidade é, sempre,
positiva ou nula, mas a velocidade em si mesmo não é nem posi-
tiva nem negativa! A linguagem correcta e sem ambiguidades que
se deve utilizar é indicar a direcção sempre que necessário: por
exemplo, podemos dizer que a direcção da velocidade apontava
para o mar na primeira parte do percurso e no regresso apontava
para terra.
Mas se utilizarmos um referencial, como o da figura, em que
o eixo Ox coincide parcialmente com a trajectória, podemos dizer
que na primeira parte do percurso a velocidade tinha uma compo-
nente escalar positiva segundo o eixo Ox e no regresso tinha uma
componente escalar negativa, segundo esse mesmo eixo. Ora é
precisamente esta componente escalar da velocidade que é
calculada pelo declive da linha no gráfico da coordenada de
posição x em função do tempo: O
x
y
45 m
1,3 m/s
35 s
-
= -
N
105 m
60 m – 105 m = – 45 m
105 m
1,4 m/s
75 s

33
Como calcular a velocidade, utilizando um gráfico, quando a
velocidade não é constante
1 Verifique que a magnitude da velocidade no instante t = 30 s é
(160 m – 40 m) / (36 s – 26 s) = 12 m/s.
2 Calcule a magnitude da velocidade no instante t = 34 s.
3 Identifique dois instantes, em posições distintas, em que a velocidade seja nula. Fundamente a
resposta.
Até agora calculámos a magnitude da velocidade, em intervalos de tempo em
que a velocidade era constante (ou melhor, aproximadamente constante...).
Mas também é possível calcular a magnitude da velocidade quando a veloci-
dade está a aumentar ou quando está a diminuir.
Os dados do gráfico abaixo foram obtidos com um GPS num carro que an-
dou 135 m em linha recta durante 44 s: esteve parado cerca de 10 s, arran-
cou... travou e voltou a parar durante poucos segundos, acelerou novamente
e finalmente travou! Determinando o declive da linha tangente no gráfico,
em diversos instantes, é possível calcular a velocidade nesses instantes.
Por exemplo, no instante t = 24 s (note que a menor divisão no eixo do
tempo vale 2 s e a menor divisão no eixo da distância vale 20 m/5 = 4 m), o
declive da linha pode ser calculado utilizando os catetos do triângulo a verde,
cuja hipotenusa é tangente à linha do gráfico nesse instante. A altura do tri-
ângulo vale 60 m – 0 m = 60 m e a base vale 28 s – 21 s = 7 s. Assim, re-
presentando a magnitude da velocidade nesse instante por v24, temos:
t = 12 s
t = 24 s
t = 30 s
t = 34 s
24
60 m 0 m 60 m
8,6 m/s
28 s 21 s 7 s
v
N
Trajectória do carro durante 44 s, de A para B
(distância 135 m). A velocidade do carro não
foi constante.
A
B

34
Velocidade num “instante”: o significado físico
1 A largura da estrada da rotunda foto é de aproximadamente 20 m. Faça uma estimativa do
erro do GPS, admitindo que o mapa do Google não tem erro...
2 Por que razão se afirmou na questão anterior que o mapa do Google não tem erro? Que
origens pode ter o erro na trajectória numa foto como a da figura acima?
3 Se um carro andar 42 km numa hora às voltas na rotunda (que enjoo...!), que distância se
desloca em relação ao ponto de partida?
A velocidade de um objecto é uma grandeza vectorial que se refere a um
“instante”. Por exemplo, quando dizemos que a velocidade de um carro é
42 km/h, num certo instante, isso indica que se o carro se mantiver àquela
velocidade durante uma hora, deslocar-se-á para uma posição a 42 km, na
direcção da velocidade.
Na linguagem comum, a palavra velocidade refere-se muitas vezes ape-
nas à magnitude da velocidade. Assim, de modo semelhante, quando não se
tem em conta a direcção da velocidade, se dissermos que a velocidade de
um carro é 42 km/h, num certo instante, isso indica que se o carro se man-
tiver com aquela magnitude de velocidade, durante uma hora, percorrerá a
distância de 42 km, qualquer que seja a trajectória (até pode andar às vol-
tas!).
Por vezes, estamos interessados apenas na distância percorrida. Nesse
caso, a magnitude da velocidade é suficiente para se fazer cálculos. Mas,
noutras situações, podemos estar interessados também em conhecer para
onde se deu ou se vai dar a mudança de posição. Ora, isso só é possível se
se conhecer a direcção da velocidade... Em percursos em terra firme, a mag-
nitude da velocidade é, em geral, suficiente, porque os percursos não são
em linha recta. Mas no mar e no ar, a direcção da velocidade é fundamental,
porque os percursos podem ser em linha recta.
N
263º, 42 km/h230º, 38 km/h
168º, 34 km/h
077º, 41 km/h
269º, 45 km/h
312º, 44 km/h
Numa hora, o carro
deslocar-se-ia 42 km nesta
direcção, se a velocidade
no instante 1 s se
mantivesse constante...
Numa hora, o
carro percorreria a
distância de 42 km,
se a magnitude da
velocidade no instante
1 s se mantivesse
constante...
A velocidade do carro, 1 s depois
de se começar a medir o tempo,
era de 42 km/h, na direcção 263º
(apontava aproximadamente para
oeste)
Começou-se a
medir o tempo
aqui...
(Nota: como a posição determinada
pelo GPS tem um pequeno erro, a
trajectória sobreposta no Google
Earth ficou um pouco deslocada em
relação ao percurso efectivamente
realizado).

35
Velocidade média e rapidez média: diferenças entre linguagem
do dia a dia e linguagem física
1 Na linguagem comum, que significa velocidade média?
2 Na linguagem física, que significa velocidade média?
3 Na linguagem física, velocidade é uma grandeza que se refere a um instante. Por exemplo,
num certo instante, a velocidade do carro valia 42 km/h e apontava para oeste. Que
significado tem a velocidade num instante?
Na linguagem do dia a dia, “velocidade média” indica a distância percorrida
por unidade de tempo, em média. Por exemplo, num percurso feito à ve-
locidade média de 80 km/h, em média, em cada hora, percorre-se 80 km.
Claro que não se necessita de andar uma hora... nem percorrer 80 km...! Por
exemplo, de se percorrer apenas 40 km, em meia hora, a “velocidade média”
é de 40 km / 0,5 h = 80 km/h.
Na linguagem rigorosa da Física, a velocidade de um objecto é uma gran-
deza vectorial e refere-se a um instante, não a um intervalo de tempo. Por
isso, a “velocidade média” da linguagem do dia a dia é algo com um signi-
ficado diferente da linguagem física. Deste modo, é mais correcto falar em
rapidez média em vez de velocidade média. A rapidez média diz respeito à
distância percorrida, em média, por unidade de tempo. A distância percorrida
é uma grandeza escalar (só interessa quanto vale): por isso, a rapidez mé-
dia é também uma grandeza escalar.
A palavra velocidade fica, assim, reservada para a grandeza vectorial,
com o significado explicado na página anterior: por exemplo, um objecto
com a velocidade de 80 km/h, movendo-se na direcção oeste, estará num
ponto a 80 km, a oeste do ponto de partida, uma hora depois.
Na linguagem da Física, velocidade média é, de facto, um vector: re-
laciona um deslocamento (que é uma grandeza vectorial) com o tempo que
demora esse deslocamento. Mas, como facilmente se compreende, esta defi-
nição física de velocidade média pouca utilidade tem para percursos em terra
firme, uma vez que os estes percursos são em geral linhas curvas e a mag-
nitude do deslocamento é diferente da distância percorrida.
Neste percurso, a distância percorrida foi de 508 m, em 43 s
(registados no GPS). Portanto, a rapidez média no percurso foi
508 m / 43 s = 11,8 m/s ,
ou seja
0,508 km / (43/3600) h = 42,5 km/h.
Para se calcular a velocidade média neste percurso (definida
na linguagem rigorosa da Física), era necessário determinar a
magnitude do deslocamento e dividir esse vector pelo intervalo
de tempo que demorou o deslocamento...
A grandeza velocidade média, tal como é definida rigorosamente
na linguagem da Física, é pouco útil, principalmente quando os
percursos não são rectilíneos.
O vector deslocamento num certo intervalo de
tempo une a posição inicial à posição final, nesse
intervalo de tempo (vector representado a branco).

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