Semana 12

Grafos
Disciplina: Estruturas Lógico - Dedutivas

Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Grafos
Definição
Dá-se o nome de grafo a todo conjunto cujos elementos são pares
ordenados.
Portanto, se G é um grafo e z ∈ G, então existe x e existe y tais
que z = (x, y), isto é, simbolicamente
G é um grafo ⇔ (∀z)(z ∈ G ⇒ (∃x)(∃y)(z = (x, y)))
Se G é um grafo e o par ordenado (x, y) ∈ G, diz-se que “y é
correspondente de x por G”.
Prof. Liliana Jurado Semana 12

Grafos
Grafo Recı́proco
Grafos
Exemplo
São exemplos de grafos os conjuntos:
1 G1 = {(a, 1), (3, (3, 4))}
2 G2 = {(1, 2), (2, 3), (1, 4)}
3 G3 = {(a, (1, 2)), (b, (2, 3))}

Grafos
Grafo Recı́proco
Definição
Chama-se primeira projeção de um grafo G o conjunto de todos os
elementos x apara os quais existe y tal que (x, y) ∈ G.
Este conjunto representa-se pela notação pr1G. Portanto,
pr1G = {x | (∃y)((x, y) ∈ G)}

Grafos
Grafo Recı́proco
Definição
Chama-se segunda projeção de um grafo G o conjunto de todos os
elementos y apara os quais existe x tal que (x, y) ∈ G.
Este conjunto representa-se pela notação pr2G. Portanto,
pr2G = {y | (∃x)((x, y) ∈ G)}

Grafos
Grafo Recı́proco
Teorema
Todo grafo G é subconjunto do produto cartesiano das suas duas
projeções.

Grafos
Grafo Recı́proco
Exemplo
O produto cartesiano A × B de dois conjuntos A e B é um
grafo tal que pr1(A × B) = A e pr2(A × B) = B.
O conjunto G = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (c, 2)} é um grafo cujas
projeções são:
pr1G = {a, b, c}, pr2G = {1, 2}
Observe-se:
G ⊂ pr1G × pr2G = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

Grafos
Grafo Recı́proco
Exemplo
O conjunto G = {(x, y) | x ∈ N e y = 2x} é um grafo cuja
primeira projeção é o conjunto N dos números naturais e cuja
segunda projeção é o conjunto dos números naturais pares, isto é:
pr1G = N, pr2G = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . .}
O conjunto G = {(a, (1, 2)), (b, (3, 5))} é um grafo cujas projeções
são:
pr1G = {a, b}, pr2G = {(1, 2), (3, 5)}
Observe-se que a segunda projeção de G também é um grafo cujas
projeções são:
pr1(pr2G) = {1, 3}, pr2(pr2G) = {2, 5}

Grafos
Grafo Recı́proco
Sejam G e H dois grafos. Como G e H são conjuntos, podemos
efetuar sobre G e H as operações usuais de interseção, reunião e
diferença, isto é determinar G ∩ H, G ∪ H e G − H, que também
são grafos. Simbolicamente, temos:
G ∩ H = {(x, y) | (x, y) ∈ G e (x, y) ∈ H}
G ∪ H = {(x, y) | (x, y) ∈ G ou (x, y) ∈ H}
G − H = {(x, y) | (x, y) ∈ G e (x, y) /
∈ H}

Grafos
Grafo Recı́proco
Exemplo
Sejam os grafos:
G = {(1, 3), (1, 4), (2, 4)} e H = {(1, 3), (1, 4), (3, 3)}
Temos:
G ∩ H = {(1, 3), (1, 4)}
G ∪ H = {(1, 3), (1, 4), (2, 4), (2, 3)}
G − H = {(2, 4)}
G∆H = {(2, 4), (3, 3)}
onde G∆H = (G − H) ∪ (H − G)

Grafos
Grafo Recı́proco
Grafo Recı́proco
Definição
Chama-se grafo recı́proco de um grafo G o grafo cujos elementos
são todos os pares ordenados (y, x) tais que (x, y) ∈ G.
Representa-se pela notação G−1, que se lê: “G menos um”.
Portanto, simbolicamente:
G−1
= {(y, x) | (x, y) ∈ G}
É imediato:
pr1G−1
= pr2G, pr2G−1
= pr1G
O grafo recı́proco de G−1 é o grafo G, isto é, (G−1)−1 = G

Grafos
Grafo Recı́proco
Grafo Recı́proco
Em particular, se X e Y são dois conjuntos, então
(X × Y )−1 = Y × X.
Um grafo G que coincide com o seu recı́proco (G = G−1) diz-se
simétrica.
Exemplo
O grafo recı́proco de G = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5)} é:
G−1
= {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (5, 3)}

Grafos
Grafo Recı́proco
Sejam G um grafo e X um conjunto.
Definição
Chama-se imagem de X por G o conjunto de todos os elementos y
para os quais existe x ∈ X tal que (x, y) ∈ G.
Este conjunto representa-se por G(X). Portanto, simbolicamente:
G(X) = {y | (∃x)(x ∈ X e (x, y) ∈ G)}
Em particular, é imediato:
G(pr1G) = pr2G, G(∅) = ∅

Grafos
Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo
Composição de Grafos
Propriedades da composição de grafos
Temos:
y ∈ G(X) ⇒ (x, y) ∈ G ⇒ y ∈ pr2G
o que demonstra: G(X) ⊂ pr2G, isto é, a imagem de um conjunto
por um grafo é um subconjunto da segunda projeção do grafo.
Exemplo: Sejam o grafo:
G = {(2, 10), (3, 3), (5, 10), (7, 7), (11, 11)}
e os conjuntos: X = {3, 5, 7}, Y = {2, 3, 11}. Temos:
G(X) = {3, 10, 7}, G(Y ) = {10, 3, 11}

Grafos
Seja G um grafo e Y um conjunto.
Definição
Chama-se imagem recı́proca de Y por G a imagem G−1(Y ) de Y
pelo grafo recı́proco G−1 de G. Simbolicamente,
G−1
(Y ) = {x | (∃y)(y ∈ Y e (x, y) ∈ G}
Exemplo
Seja o grafo G = {(a, 3), (b, 1), (c, 1)}. Temos:
G−1
({1, 2}) = {b, c}, G−1
({1, 3}) = {a, b, c}

Grafos
Sejam G e H dois grafos.
Definição
Chama-se grafo composto de G e H o grafo cujos elementos são
todos os pares ordenados (x, y) para os quais existe z tal que
(x, z) ∈ H e (z, y) ∈ G.
Este grafo representa-se por G ◦ H, que se lê: “G cı́rculo H”.
Portanto, simbolicamente:
G ◦ H = {(x, y) | (∃z)((x, z) ∈ H e (z, y) ∈ G)}

Grafos
Exemplo
Sejam os grafos:
G = {(2, 5), (3, 4), (6, 2), (3, 0), (2, 7)}
H = {(4, 8), (5, 3), (0, 9), (2, 2), (7, 4), (5, 10)}
Temos:
G ◦ H = {(5, 4), (5, 0), (2, 5), (2, 7)}
H ◦ G = {(2, 3), (2, 10), (3, 8), (6, 2), (3, 9), (2, 4)}
Observe-se que G ◦ H ̸= H ◦ G, isto é, a operação de composição
de grafos não goza da propriedade comutativa.

Grafos
Sejam G, H e J grafos.
(P1) O grafo recı́proco de G ◦ H é H−1 ◦ G−1, isto é:
(G ◦ H)−1
= H−1
◦ G−1
(P2) Associativa: (G ◦ H) ◦ J = G ◦ (H ◦ J) = G ◦ H ◦ J
(P3) Para todo conjunto X, tem-se: (G ◦ H)(X) = G(H(X))

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