matemáticas

1. Instituto Universitario de Tecnología
Antonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
Matemática II
Alumno:
Briggith Vargas
C.I: 25390081

2. 1. Hallar el área de la región encerradas por los gráficos
a) 푓(푥) = 푥 2 − 4, 푔(푥) = 푥 − 4
Solución:
Puntos de corte
푓(푥) = 푔(푥)
푥 2 − 4 = 푥 − 4
푥 2 = 푥
푥 2 − 푥 = 0
푥(푥 − 1) = 0
푥 = 0 푥 = 1
Se busca el vértice de la paralela.
푓(푥) = 푥 2 − 4
푦 = 푥 2 − 4 -4
푦 + 4 = 푥 2
V= (0, −4) se plantea la integral del área.
A= ∫ (푥 − 4 − 푥 2 + 4)푑푥 = ∫ (푥 − 푥 2)푑푥 = (푥2
) 1
0
2
− 푥3
3
1
0
∫ 1
0
= 12
2
− 13
3
= 1
2
− 1
3
= 1
6

3. x
y
2
b) 푦 = 푥 3, 푦 = 4푥
Solución:
Punto de corte. Se buscan los puntos de corte
푦 = 푦
푥 3 = 4푥
푥 3 − 4푥 = 0
푥(푥 − 2)(푥 + 2) = 0
푥 = 0
푥 = 2
푥 = −2
Se plantea la integral del área como las 2 aéreas son iguales se calcula una y se multiplican
las 2.
A= 2 ∫ (4푥 − 푥 3) 2
0
푑푥 = 2 (4푥2
2
−푥4
4
) ∫ 2
0
= 4. 22 −
24
2
= 16 − 8 = 8
-2

4. x
y
12
푦
X=
푦 = 푒2
X= 0
Y=1
c) 푥 = 12
푦
, 푥 = 0, 푦 = 1, 푦 = 푒2 se grafican las regiones
Se plantea la ecuación de área.
− 0) 푑푦 푒2
1
A= ∫ (12
푦
= 12 ∫ 푦−1 푑푦 푒2
1
Se integra y se evalúa.
= 12 ln|푦| ∫
푒2
1
0
= 12 ln|푒2| − 12 ln|1|
1
= 12.2 ln|푒| = 24

5. x
d) 푓(푥) = tan 푥
y
2
-휋 휋 휋
2
, 푒푙 푒푗푒 푥 푦 푙푎푠 푟푒푐푡푎푠 푥 = 0, 푥 = 1
2
휋
Se grafican las funciones
Se plantea la ecuación del área y se cambia la variable para resolver la integral.
A= ∫ tan (푥
2
) 푑푥
휋
⁄2
0
푢 = 푥
2
푤 = cos 푢
푑푢 = 1
2
푑푥 푑푤 = −푠푒푛 푢푑푢
2푑푢 = 푑푥 −푑푤 = 푠푒푛 푢푑푢
= 2 ∫ tan 푢푑푢
= 2 ∫
푠푒푛 푢
cos 푢
푑푢
= −2 ∫
푑푤
푤
= −2 ln|푤| + 푐
= 2 ln|cos 푢| + 푐
= 2 ln |cos
푥
2
| + 푐
A=∫ tan (푥
2
) 푑푥 = 2 ln |cos 푥
2
휋
⁄2
0
| ∫
휋
⁄2
0

6. x
y
1
1
−휋
4
휋
4
2 ln |cos
휋
⁄2
2
| − 2 ln |cos
0
2
|
0
2 ln |
√2
2
| − 2 ln|1|
√2
2
= 2 ln |
|
2. hallar el volumen del solido de revolución generado por la región encerrada por las
curvas dadas (utilice el método del disco, arandelas y cortezas cilíndricas)
a) Un arco de y=cos2x, alrededor del eje x
Se grafica la región
Se plantea la ecuación del volumen por el método del disco.
휋
⁄4
−휋
V= 휋 ∫ (cos 2푥)
⁄4
푑푥
휋
⁄4
= 2휋 ∫ cos 2
0
2푥 푑푥
Se aplica la identidad trigonométrica.
= 2휋 ∫
1+cos 4푥
2
휋
⁄4
0
푑푥
휋
⁄4
= 휋 ∫ (1 + cos 4푥)
0
푑푥
휋
⁄4
= 휋 ∫ 푑푥 + 1 ∫ cos 4푥 푑푥
0
휋
⁄4
0
Se cambia la variable y se resuelve.
푢 = 4푥
푑푢 = 4푑푥

7. X=8
1
⁄2
1
⁄8
−1
⁄8
−1
⁄2
푑푢
4
= 푑푥
= 휋 ∫ 푑푥 + 휋 ∫
cos 푢 푑푢
4
휋
⁄4
0
휋
⁄4
0
= 휋 푥 ∫ + 휋
4
휋
⁄4
0
휋
⁄4
0
푠푒푛4푥 ∫
0 0
= 휋. 휋
4
+ 휋
4
푠푒푛 4. 휋
4
− 휋
4
푠푒푛 (4.0)
=
휋 2
4
b) 푥 = 4푦, 푥 = 3√푦, 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 8
Se grafica la región.
Punto de corte.
푥 = 푥
3
(4푦)3 = ( 3√푦)
64푦3 = 푦
64푦3 − 푦 = 0
푦(64푦2 − 1) = 0
푦 = 0 U 64푦2 − 1 = 0
푦2 =
1
64
푦 = ±
1
8

8. Se plantea la ecuación de volumen por el método de la arandela, quedando así 2 volúmenes.
V= 푉1 + 푉2
2
) 푑푦
1
⁄8
푉1 = 휋 ∫ ((푦 − 8)2 − ( √푦 − 8 3 )
0
2
− (4푦 − 8)2) 푑푦
0
푉2 = 휋 ∫ (( √푦 − 8 3 )
−1
⁄8
푉1 = 휋 ∫ (16푦2 − 64푦 + 64 − 푦
2
⁄3 + 16푦
1
⁄3− 64)
1
⁄8
0
푑푦
= 휋 ∫ (16푦2 − 64푦 − 푦
2
⁄3 + 16푦
1
⁄3)푑푦
1
⁄8
0
= 휋 (
16푦3
3
−
64푦2
2
−
푦
5
⁄3
5
3
+
4
⁄3
4
3
16푦
)∫
1
⁄8
0
= 휋 (16.
(
1
8
)
3
3
− 32 (
1
8
)
2
−
3
5
3 5
√(
1
8
)
3 4
+ 12 √(
1
8
)
)
= 휋 (
1
32
3
− 32
1
64
−
3
5
.
1
32
− 12
1
16
)
= 휋 (
1
96
−
1
2
−
3
160
+
3
4
)
=
29
120
휋
푉2 = 휋 ∫ (푦
2
⁄3 − 16푦
1
⁄3+ 64 − 16푦2 + 64푦 − 64푦)푑푦
0
−1
⁄8

9. x
y
푎
b
−푎
= 휋 ∫ (푦
2
⁄3 − 16푦
1
⁄3− 16푦2 + 64푦)
0
−1
⁄8
푑푦
= 휋 (
푦
5
⁄3
5
3
−
4
⁄3
4
3
16푦
−
16푦3
3
+
64푦2
2
) ∫
0
−1
⁄8
= 휋 (0 −
3
5
√(
−1
8
)
5
+
3 48
4
√(
−1
8
)
4
+
16
3
3
(
−1
8
)
3
− 32 (
−1
8
)
2
)
= 휋 (
3
160
+
3
4
−
1
96
−
1
2
) =
31
120
휋
푉푇 =
29
120
휋 +
31
120
휋 =
휋
2
c) Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje x la elipse
푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1
Se despeja la y para que sea más fácil plantear el volumen por el método del disco.
푦2
푏2 = 1 −
푥 2
푎2
푦2 = 푏2 (1 − 푥2
푎2) Se grafica la elipse y su revolución.
푦 = ±√푏2 (1 − 푥2
푎2)
Se plantea la ecuación del volumen.
2
푑푥 푎
−푎
푉 = 휋 ∫ (√푏2 (1 − 푥2
푎2))
= 2휋 ∫ 푏2 (1 −
푥 2
푎2 ) 푑푥
푎
0

10. -2
4
푎
2 3 4 8
= 2푏2 휋 (∫ 푑푥 −
1
푎2
푎
0
∫ 푥 2
0
푑푥)
= 2푏2 휋 (푥 −
1
푎2
푥 3
3
) ∫
푎
0
2푏2휋 (푎 −
푎3
푎23
)
2푏2휋 (푎 −
푎
3
)
2푏2휋 (
2푎
3
)
4푎푏2 휋
3
d) Hallar el volumen del sólido que genera la región encerrada por.
푦 = 4 − 푥 2, 푒푗푒 푥, 푎푙 푔푖푟푎푟 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 3
Se busca el vértice de la paralela y se grafica.
Se plantea la ecuación del volumen por el método de la capa climática.
2
푉 = 2휋 ∫ (3 − 푥)
−2
(4 − 푥 2)푑푥
Se distribuye
2
= 2휋 ∫ (12 − 3푥 2 − 4푥 + 푥 3)
−2
푑푥

11. Se integra
= 2휋 (12푥 −
3푥 3
3
−
4푥 2
2
+
푥 4
4
) ∫
2
−2
Se evalúa.
= 2휋 (12.2 − 23 − 2. 22 +
24
4
) − 2휋 (12(−2) − (−2)3 − 2(2)2 +
(−2)4
4
)
= 2휋(12) − 2휋(−20)
= 24휋 + 40휋 = 64휋
3. Hallar la longitud de la curva dada
a) 푦 = 푥3
6
+ 1
2푥
, 푑푒푠푑푒 푥 = 1 ℎ푎푠푡푎 푥 = 3
Se deriva la función
푦 =
3푥 2
6
+
1
2
(−1)푥 −2
=
푥 2
2
−
1
2푥 2
Se plantea la integral de la longitud
3 2
푥 2
2
퐿 = ∫ √1 + (푦1)2푑푥 = ∫ 1 + (
−
1
2푥 2)
1
3
1
Se resuelve el producto notable
= ∫ √(1 +
푥 4
4
−
2푥 2
2
.
1
2푥 2 +
1
4푥 4) 푑푥
3
1
= ∫ √(푥4
3
+ 1
+ 1
) 4
2
4푥2 1
dx

12. Se factoriza.
2
푑푥 3
1
= ∫ √(푥2
2
+ 1
2푥2 )
Se simplifica
푥 2
2
= ∫ (
+
1
2푥 2)
3
1
푑푥
Se integra
=
1
2
3
∫ 푥 2
1
푑푥 +
1
2
3
∫ 푥 −2
1
푑푥
=
1
2
.
푥 3
3
∫ +
1
2
3
1
.
푥 −1
−1
∫
3
1
Se evalúa
=
3
6
−
13
6
−
1
2.3
+
1
2.1
=
14
3
b) 푦 = 푙푛푠푒푐푥 , 푑푒푠푑푒 푥 = 0, ℎ푎푠푡푎 푥 = 휋
3
Se deriva la función
푦 =
1
sec 푥
. sec 푥 . tan 푥
푦 = tan 푥
Se arma la integral de longitud
휋
⁄3
퐿 = ∫ √1 + (푦)2 푑푥 =
0
휋
⁄3
∫ √(1 + tan 2 푥)
0
푑푥
Se aplica la identidad trigonométrica

13. 휋
⁄3
0
= ∫ √sec 2 푥
휋
⁄3
0
푑푥= ∫ sec 푥
푑푥
Se simplifica y se integra
= ∫
sec 푥(sec 푥 + tan 푥)
sec 푥 + tan 푥
휋
⁄3
0
푑푥
= ∫
sec2 푥 + sec 푥 . tan 푥
sec 푥 + tan 푥
휋
⁄3
0
푑푥
푢 = sec 푥 + tan 푥
푑푢 = (sec 푥 . tan 푥 + sec2 푥)푑푥
= ∫ 푑푢 = ln|푢| + 푐
= ln|sec 푥 + tan 푥| + 푐
= ln|sec 푥 + tan 푥| ∫ = ln|sec 휋
⁄3 + tan 휋
⁄3|− ln|sec 0 + tan 0|
휋
⁄3
0
0
= ln|2 + √3 | − ln|1 + 0| = ln|2 + √3 |