Sistema de ecuaciones lineales
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Este documento introduce métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la eliminación de Gauss, factorización LU y el método de Cholesky. Explica cómo representar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y define conceptos clave como rango de una matriz y existencia de soluciones. También incluye ejemplos resueltos paso a paso usando estos métodos.
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Sistema de ecuaciones lineales
- 1. Introducción Métodos directos de solución SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODOS DE SOLUCIÓN Mg. Ana Laksmy Gamarra Carrasco Universidad Privada Antenor Orrego Abril del 2013
- 2. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Forma general Un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas tiene la forma general siguiente: a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
- 3. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Forma matricial a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn x1 x2 ... xn = b1 b2 ... bm Ax = b Donde: A: Matriz coeficiente del sistema x: Vector incógnita b: Vector de términos independientes
- 4. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Existencia y unicidad de la solución Sea: Ax = b Si b = 0, el sistema es homogéneo. Si b = 0, el sistema es no homogéneo.
- 5. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Existencia y unicidad de la solución Definimos la matriz aumentada B, de la sigiente manera: B = a11 a12 a13 ... a1n b1 a21 a22 a23 ... a2n b2 ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn bm La matriz aumentada podemos escribirla en la forma: B = [aij : bj]
- 6. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Existencia y unicidad de la solución Sea Ax = b, INCONSISTENTE r(A) = r(B) El sistema no tiene solución. CONSISTENTE r(A) = r(B) 1 Solución única. r(A) = n 2 Número infinito de soluciones. r(A) < n
- 7. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Rango de una matriz Es el número de filas o columnas linealmente independientes, utilizando esta definición se puede calcular usando el método de Gauss. Ejemplo Calcular el rango de la siguiente matriz: A = 1 2 2 2 1 2 2 2 1 Ejemplo Calcular el rango de la siguiente matriz: B = 5 −1 −1 1 2 3 4 3 2
- 8. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplos Verificar si los siguientes sistemas de ecuaciones tienen solución: 2x + 4y = 0 3x + 6y = 0 5x − y − z = 0 x + 2y + 3z = 14 4x + 3y + 2z = 16
- 9. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Eliminación de Gauss Considermos el siguiente sistema (1): a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 ...f2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 ...f3
- 10. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Eliminación de Gauss Primer paso: (−a21/a11)f1 + f2 (−a31/a11)f1 + f3 Esto dá lugar al nuevo sistema (2):
- 11. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Eliminación de Gauss Primer paso: (−a21/a11)f1 + f2 (−a31/a11)f1 + f3 Esto dá lugar al nuevo sistema (2): a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1 a22x2 + a23x3 = b2 ...f2 a32x2 + a33x3 = b3 ...f3
- 12. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Eliminación de Gauss Segundo paso: (−a32/a22)f2 + f3 Luego obtenemos el sistema (3):
- 13. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Eliminación de Gauss Segundo paso: (−a32/a22)f2 + f3 Luego obtenemos el sistema (3): a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1 a22x2 + a23x3 = b2 ...f2 a33x3 = b3 ...f3 El proceso de llevar el sistema de ecuaciones (1) a la forma de la ecuación (3) se conoce como triangularización.
- 14. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Eliminación de Gauss El sistema en la forma (3) se resuelve despejando de su última ecuación x3, sustituyendo x3 en la segunda ecuación y despejando x2 de ella. Por último, con x3 y x2 sustituidos en la primera ecuación de (3) se obtiene x1. Esta parte del proceso se llama sustitución regresiva. En la ilustración de los ejemplos se empleará la matriz aumentada B.
- 15. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Resuelva por eliminación de gauss el sistema: 4x1 − 9x2 + 2x3 = 5 2x1 − 4x2 + 6x3 = 3 x1 − x2 + 3x3 = 4 Solución: La matriz aumentada del sistema es: B = 4 −9 2 5 2 −4 6 3 1 −1 3 4
- 16. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Por triangularización: −2 4 f1 + f2, −1 4 f1 + f3 ∼ 4 −9 2 5 0 0.5 5 0.5 0 1.25 2.5 2.75
- 17. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Por triangularización: −2 4 f1 + f2, −1 4 f1 + f3 ∼ 4 −9 2 5 0 0.5 5 0.5 0 1.25 2.5 2.75 −1.25 0.5 f2 + f3 ∼ 4 −9 2 5 0 0.5 5 0.5 0 0 −10 1.5
- 18. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Por triangularización: −2 4 f1 + f2, −1 4 f1 + f3 ∼ 4 −9 2 5 0 0.5 5 0.5 0 1.25 2.5 2.75 −1.25 0.5 f2 + f3 ∼ 4 −9 2 5 0 0.5 5 0.5 0 0 −10 1.5 En términos de sistemas de ecuaciones quedaría: 4x1 − 9x2 + 2x3 = 5 0.5x2 + 5x3 = 0.5 −10x3 = 1.5
- 19. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Por sustitución regresiva: x1 = −0.15 x2 = 2.5 x3 = 6.95
- 20. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Método de Factorización LU Consideremos el sistema de ecuaciones lineales: Ax = b LUx = b U una matriz triangular superior. L una matriz triangular inferior. Hacemos Ux = c, c es el vector desconocido. Resolvemos Lc = b, una vez calculado c, se resuelve: Ux = c donde: x es el vector solución.
- 21. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Resuelva por factorización LU el sistema: 4x1 − 9x2 + 2x3 = 5 2x1 − 4x2 + 6x3 = 3 x1 − x2 + 3x3 = 4 Solución: La matriz aumentada del sistema es: B = 4 −9 2 5 2 −4 6 3 1 −1 3 4
- 22. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución Por triangularización: −2 4 f1 + f2, −1 4 f1 + f3 ∼ 4 −9 2 5 0 0.5 5 0.5 0 1.25 2.5 2.75
- 23. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución Por triangularización: −2 4 f1 + f2, −1 4 f1 + f3 ∼ 4 −9 2 5 0 0.5 5 0.5 0 1.25 2.5 2.75 −1.25 0.5 f2 + f3 ∼ 4 −9 2 5 0 0.5 5 0.5 0 0 −10 1.5
- 24. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución U:Matriz triangular superior U = 4 −9 2 0 0.5 5 0 0 −10 L:Matriz triangular inferior L = 1 0 0 2/4 1 0 1/4 1.25/0.5 1
- 25. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución Resolvemos: Lc = b 1 0 0 2/4 1 0 1/4 1.25/0.5 1 c1 c2 c3 = 5 3 4 donde:
- 26. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución Resolvemos: Lc = b 1 0 0 2/4 1 0 1/4 1.25/0.5 1 c1 c2 c3 = 5 3 4 donde: c1 = 5 c2 = 0.5 c3 = 1.5
- 27. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución Luego resolvemos: Ux = c 4 −9 2 0 0.5 5 0 0 −10 x1 x2 x3 = 5 0.5 1.5 donde:
- 28. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución Luego resolvemos: Ux = c 4 −9 2 0 0.5 5 0 0 −10 x1 x2 x3 = 5 0.5 1.5 donde: x1 = −0.15 x2 = 2.5 x3 = 6.95
- 29. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Resuelva por factorización LU el sistema: x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 21 2x1 + 8x2 + 6x3 + 4x4 = 52 3x1 + 10x2 + 8x3 + 8x4 = 79 4x1 + 12x2 + 10x3 + 6x4 = 82 Solución:
- 30. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Resuelva por factorización LU el sistema: x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 21 2x1 + 8x2 + 6x3 + 4x4 = 52 3x1 + 10x2 + 8x3 + 8x4 = 79 4x1 + 12x2 + 10x3 + 6x4 = 82 Solución: x1 = 2 x2 = 2 x3 = 3 x4 = 4
- 31. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Método de Cholesky Consideremos el sistema de ecuaciones lineales: Ax = b LLt x = b A una matriz simétrica y definida positiva. L una matriz triangular inferior. Hacemos Lt x = c, c es el vector desconocido. Resolvemos Lc = b, una vez calculado c, se resuelve: Lt x = c donde: x es el vector solución.
- 32. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Método de Cholesky La matriz triangular inferior L tiene la forma: l11 0 0 ... 0 l21 l22 0 ... 0 ... ... ... ... ... ln1 ln2 ln3 ... lnn
- 33. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Resuelva usando el método de Cholesky el siguiente sistema: 4x1 + x2 + 2x3 = 1 x1 + 2x2 + 0x3 = 2 2x1 + 0x2 + 5x3 = 4
- 34. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Resuelva usando el método de Cholesky el siguiente sistema: 4x1 + x2 + 2x3 = 1 x1 + 2x2 + 0x3 = 2 2x1 + 0x2 + 5x3 = 4 A es simétrica y definida positiva.
- 35. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución A = L.Lt De donde obtenemos:
- 36. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución A = L.Lt De donde obtenemos: l2 11 = a11 ⇒ l11 = 2 l11.l21 = a12 ⇒ l21 = 0.5 l11.l31 = a13 ⇒ l31 = 1 l2 21 + l2 22 = a22 ⇒ l22 = 1.32287 l21.l31 + l22.l32 = a23 ⇒ l32 = −0.37796 l2 31 + l2 32 + l2 33 = a33 ⇒ l33 = 1.96396
- 37. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución Resolviendo el sistema: Lc = b 2 0 0 0.5 1.32287 0 1 −0.37796 1.96396 c1 c2 c3 = 1 2 4 obtenemos:
- 38. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución Resolviendo el sistema: Lc = b 2 0 0 0.5 1.32287 0 1 −0.37796 1.96396 c1 c2 c3 = 1 2 4 obtenemos: c1 = 0.5 c2 = 1.32287 c3 = 2.0367
- 39. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución Luego resolviendo el sistema: Lt x = c 2 0.5 1 0 1.32287 −0.37796 0 0 1.96396 x1 x2 x3 = 0.5 1.32287 2.0367 obtenemos:
- 40. Introducción Métodos directos de solución Sistema de ecuaciones lineales Ejemplo - solución Luego resolviendo el sistema: Lt x = c 2 0.5 1 0 1.32287 −0.37796 0 0 1.96396 x1 x2 x3 = 0.5 1.32287 2.0367 obtenemos: x1 = −0.59259 x2 = 1.29629 x3 = 1.037