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Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos

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Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos

  1. 1. Resolução comentada Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos 1
  2. 2. 1. A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Calcular o comprimento da ponte. Inicialmente, vamos colocar os dados no 30° triângulo e identificar o que se pretende x calcular. Aplicando a Lei dos senos, temos: 45° 100 m O comprimento da ponte é 2
  3. 3. 2. Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo do qual se conhecem um lado AB = 10m e o ângulo oposto C = 60º. Representando geometricamente a situação, temos: C Aplicando a lei dos senos: 60° R A 10 B Racionalizando: Assim, o raio da circunferência circunscrita é 3
  4. 4. 3. Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e formam entre si um ângulo de 120º. Determinar a medida do terceiro lado. Representando geometricamente a situação, temos: x C B 120° 10 cm 6 cm A Aplicando a Lei dos cossenos: O terceiro lado mede 14 metros. 4
  5. 5. 4. (FUVEST – SP) Em um triangulo ABC o lado AB mede eo ângulo C, oposto ao lado AB, mede 45º. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo. Representando geometricamente a situação, temos: C Aplicando a lei dos senos: 45° R A B Assim, o raio da circunferência circunscrita é 5
  6. 6. 5. (Mack) - Na figura, a área do triângulo ABC é: Inicialmente, vamos aplicar a Lei dos cossenos no triângulo ACD 30° para determinar o ângulo C: 120° 60° 4 Como cos C = 0,5; temos que C = 60°. Concluímos assim que ACB = 120° e BAC = 30°. Com base nos ângulos internos, verificamos que o triângulo ABC é isósceles, e com isso, segue que AC = BC = 4. Agora podemos determinar a área (ABC) com a expressão: Portanto, a área do triângulo (ABC) é igual a 6
  7. 7. 6. (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Logo, a distância entre B e C, em km, é: a) menor que 90 x b) maior que 90 e menor que 100 c) maior que 100 e menor que 110 80 d) maior que 110 e menor que 120 120 e) maior que 120 Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC: Aplicando a Lei dos cossenos: Como ; temos que 7
  8. 8. 7. (FEI) – Calcule c, sabendo que a = 4, b = e C = 45º. 4= 45° Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC: Aplicando a Lei dos cossenos, temos: Concluímos que a medida do lado c é 8
  9. 9. 8. (CESGRANRIO) – No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. Quanto vale o seno do ângulo B? Geometricamente temos: C 6 cm 8 cm 30° B A Aplicando a Lei dos senos, segue que: 9
  10. 10. 9. (FUVEST) a) Na figura 1, calcular x. Aplicando a Lei dos senos: 60° Racionalizando: b) Na figura 2, calcular y. Aplicando a Lei dos cossenos: 10
  11. 11. 10. (PUC – MG) – Na figura, AB = 5dm, AD = dm, DBC = 60º e DCA = 90º. Qual é a medida de CD, em decímetros? Vamos colocar os dados no triângulo e identificar o que se pretende calcular. 30° Chamando BC de y, segue que BD = 2y. (A medida da hipotenusa sempre será o x 2y dobro da medida do cateto oposto ao ângulo de 30º). 120° 60° . Como o ângulo ABD = 120º, aplicaremos 5 y =5 a Lei dos cossenos em ABD para obter o valor de y. Segue que: Finalmente, do triângulo BCD: Com isso, a medida de CD é 11
  12. 12. 11. (FGV) – Na figura a seguir, são dados DA = cm e AB = 3cm. Qual é a área do triângulo CDB, em centímetros quadrados? Identificando os dados da questão, 30° 30° temos: 3 Uma vez que a altura do triângulo 60° CDB é 3cm, precisamos apenas 120° = 30° calcular a base CD para encontrar a área. Vamos determinar o ângulo ɵ: Com isso . Verificamos que ABD = 30º, BDC = 120º e CBD = 30º. Ora, como o lado BD = (hipotenusa é igual ao dobro da cateto oposto a 30º) e, como BD = CD, temos que CD também tem medida . Assim: 12
  13. 13. 12. (Mack) – Qual é a área de um triângulo ABC onde c = 2cm, b = 3cm e  = 60º? Representando geometricamente: B 2 cm 60° A C 3 cm Temos que Área (ABC) = 13
  14. 14. 13. (UNICAMP) – A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60º. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? A situação pode ser representada pelo esquema: 80 m Pela lei dos cossenos, temos: 50 m x São necessários 70 metros de encanamento para bombear água diretamente do rio até a casa. 14
  15. 15. 14. (FEI) – Num triângulo ABC, BC = a, AC = b, Â = 45º e B = 30º. Qual é o valor de a, sendo ? De acordo com os dados: C b a 45° 30° A B Aplicando a Lei dos senos: Como , segue que: Mas , assim 15
  16. 16. 15. (Fatec) - Na figura seguinte, qual é a área do triângulo ABC? 1º modo: . Basta observar que a base do triângulo h = 0,5 ABC é e a altura é 0,5. Assim: 2º modo: 16
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