3. Ley de Gravitación Universal
Establece la fuerza con la que se atraen
dos cuerpos separados una distancia r
La leyes con las que se rigen los cielos
Son las mismas que gobiernan la Tierra.
Realidad Blasfémica
Las condiciones para que una estrella se
Convierta en un agujero negro se obtuvieron
En una primera aproximación de esta ecuación
G = 6.67x10-11 Nm2/kg2 La trayectoria que deben seguir las naves
Espaciales son trazadas mediante esta ecuación
4. Medida de la Masa de la Tierra
La Fuerza gravitacional que actúa sobre una partícula
De masa m se define como el peso
Suponiendo que una masa se encuentra sobre la
Superficie de la Tierra, la distancia r es la distancia
Entre m y el centro de la Tierra, es decir el radio
De la Tierra.
RT =6.378 x 106 m
Si la magnitud a de la aceleración de una nave
espacial o de un satélite se mide a una distancia
determinada R del centro del planeta ,
2 entonces la masa se determina con una
ar
M= generalización de la ecuación anterior
G
5. Satélites artificiales de la Tierra
¿Cuál es la magnitud de la Fuerza
Gravitacional que ejerce la Tierra sobre
un satélite de 1040 kg que viaja en una
órbita circular de 100km
Sobre la superficie de la Tierra?
•Determine la magnitud de la aceleración
del satélite en dicha órbita.
•Determine la velocidad del satélite
en esta órbita
•Calcule el periodo del satélite
6. Velocidad de escape
Cuando se requiere escapar
de la superficie de un cuerpo
que genera efectos gravitatorios,
se requiere para ello una velocidad
dada para poder realizarlo, es lo
que se denomina «velocidad de escape».
Cuando mayor sea la atracción
gravitatoria sobre un cuerpo,
mayor tiene que ser la velocidad de escape.
7. Energía mecánica total E = KE + PE
E = ½ mve² – GMm / R = 0.
½ mve² = GMm / R.
Ve = ( 2GM / R )½.
Newton usó un dibujo parecido al de arriba para analizar
la velocidad de escape. Los proyectiles A y B caen a la Tierra.
Los proyectiles C y D alcanzan una órbita a una altura fija.
Pero, el proyectil E alcanza la velocidad de escape.
8. Agujeros Negros
• En el siglo XVIII, John Michell(1724 - 1793) se dio cuenta que
la velocidad de escape de una estrella lo suficientemente
grande y compacta excedería la velocidad de la luz (finita)
para originar lo que ahora llamamos agujero negro.
• Ni siquiera la luz puede escapar de un agujero negro, pues v >
c. El radio crítico al cual l masa M puede comprimirse para
que l velocidad de escape sea igual a la de la Luz se denomina
radio de Schwarzschild R,
10. Primera ley del movimiento planetario
Los planetas describen órbitas
elípticas estando el Sol en
uno de sus focos
c
e=
a
Ecuación de la elipse en coordenadas polares
r=
(
a 1− e 2
)
1 − e cos θ
11. Ejemplo Primera Ley
Cuando un planeta se encuentra en la posición P1
en la figura, está en el perihelio, su distancia
más cercana al Sol. Cuando se encuentra en
P2 , está en el afelio, su distancia mayor al Sol.
P1 P2
12. • ¿Cuál es el ángulo Ѳ en la ecuación polar de
una elipse cuando el planeta se encuentra en
el afelio?
• Demuestre que el afelio se relaciona con el
semieje mayor con la excentricidad de la
elipse mediante la siguiente fórmula
raf = (1 + )
a e
13. • ¿Cuál es el ángulo Ѳ en la ecuación polar de
una elipse cuando el planeta se encuentra en
el perihelio?
• Demuestre que el perihelio se relaciona con el
semieje mayor con la excentricidad de la
elipse mediante la siguiente fórmula
rperi = a(1 − e )
14. • La excentricidad de la órbita de la Tierra
alrededor del Sol es de 0.0167 y el semieje
mayor de la órbita es de 1.496 x108 km.
Determine el afelio y el perihelio.
15. Segunda Ley de Kepler
• Una recta del Sol a un Planeta dado barre
áreas iguales en tiempos iguales
A los segmentos AB y CD les toma
el mismo tiempo para recorrer
¿Dónde se mueve con mayor velocidad en el afelio o en el perihelio?
16. Tercera Ley de Kepler
• El cuadrado del periodo de un satélite es
proporcional al cubo del radio de su órbita,
siempre que la masa del satélite sea mínima
comparada con la masa del planeta
4π 3 2
T =
2
r
GM
17. Unidades Acostumbradas
4π 2
T =2
a3
GM Θ
Unidad astronómica= UA = 1.496x1011 m
Periodo de la Tierra = 1 Año
4π 2
(1a) =
2
(1UA) 3
GM Θ
4π 2 1a 2
Por lo tanto =
GM Θ UA3
1a 2 3
La ecuación se simplifica T2 = 3
a
UA
18. • El periodo de la órbita de Júpiter es de 11.87
años. Determine el semieje mayor de la órbita
de Júpiter
